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赣州中学高一年级数学竞赛题与答案

时间:2012-06-01


赣州中学高一年级 2011-2012 学年度第二学期数学解题大赛试题 命题人 施 莉 一、选择题
1. 设 A ? B ? ? , M ? ? x x ? A? , N ? ? x x ? B ? ,则下列等式一定成立的是(



A. M ? N ? ? C. M ? N ? A ? B
2. 函数 y ?

>
B. M ? N ? ? ? ? D. M ? N ? A ? B 的定义域是( )

( x ? 1)

0

x ?x

A. (0, ? ) ? C. ( ?? , 1) ? ( ? 1, ? 0)
3. 数列通项是 a n ?

B. ( ??, 0 ) D. ( ?? , 1) ? ( ? 1, ? (0, ? ) ? 0) ?
1 n ?1 ? n

,当其前 n 项和为 9 时,项数 n 是( D. 1 0 0
1 x ? 1 y
1 5



A. 9
x

B. 9 9

C. 1 0
y

4. 若 2.5 ? 1000 , (0.25) ? 1000 ,则
1 2
2

等于(



A.

B.

1 3

C.
2

1 4

D.

5. 如果方程 x ? ( m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 的两个实根一个小于 ? 1 , 另一个大于 1 , 那么实数 m

的取值范围是( ) A. ( ? 2, 2 ) B. ( ? 2, 0) C. ( ? 2, 1) D. (0, 1) ( ) D、由增加的长度决定 ) D. ? ?
? ? 3 1? , 4 4? ?

6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为

A、锐角三角形

B、直角三角形
?

C、钝角三角形

7. 在 △ A B C 中,若 B ? 30 ,则 co s A sin C 的取值范围是(

A. [ ? 1, 1]

B. ? ?
?

?

1 1? , 2 2? ?

C. ? ?
?

?

1 3? , 4 4? ?

8. 已知数列 ? a n ? , ? bn ? 的前 n 项和分别为 S n, Tn ,且 S 100 =8, T100 ? 251 ,记

c n ? a n ? Tn ? bn ? S n ? a n ? bn , ? n ? N ? ? , 则数列 ? c n ? 的前 100 项和为(



A、2012

B、2010

C、2008 )

D、2006

? 1 2 9. 不等式 log a x ? x 对 x ? ? 0, ? 2

? ? 恒成立,则 a 的取值范围是( ?

A. ?1, ∞ ? ?

B. ? 0, ? 16
?

?

1 ? ?

C. ?

? 1

? ,? 1 ?16 ?

D. ?

? 1

? ,? 1 ? 16 ?

2 2 10. 已知实数 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 , ( a ? 1) ? b ? 1) 的取值范围为 则 (

(

)

5 A. [ ,] 2

9

B. [ , + ? )
2

9

C. [0, ]
2

9

D. [0, 5]

二、填空题
11. 若函数 y ? f

? x ? 图象上每一点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,然后向左平
1 2
2



π 2

,再向下平移 1 个单位得到 y ?

sin 2 x 的图象,则 f

? x ? ? ____________.

12. 函数 y ? x 1 ? x 的最大值为 13. 已 知 关 于 x 的 不 等 式



( x ? a ) ( x? b ) ≥ 0 的 解 为 ?1 ≤ x ? 2 或 x ≥ 3 , 则 不 等 式 x?c

≤ 0 的解集为 ( x ? a ) (x ? b )
14.

x?c



已知数列:

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 , , , , , , , , , ,? ? , 依它的前 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4

10 项的规律,这

个数列的第 2010 项 a 2010 =________ 15.
是 ① ab ? 1 ④a ? b ? 3
3 3

若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 , 则 下 列 不 等 式 对 一 切 满 足 条 件 的 a , b 恒 成 立 的 。 ② a? ⑤
1 a ? 1 b

b ?
? 2

2

③ a2 ? b2 ? 2

三.解答题
16.已知角 A、 C 是 ? ABC 的内角, , b , c 分别是其对边长, B、 向量 m ? ( 2 3 sin a
?? ? ? A n ? (cos ,? 2 ) , m ? n 。 2
? A 2 , cos
2

A 2

),

(1)求角 A 的大小;

(2)若 a ? 2 , cos B ?

3 3

, 求 b 的长。

17.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 已知 a sin A ? c sin C ? (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求 a 与 c 。
0

2 a sin C ? b sin B ,

18.围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维 修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口, ,已 知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x,修建 总费用为 y (单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。

2

19.已知集合 A ? ? x ( x ? 2)( x ? 1) ? 0? , B ? ? x ( ax ? 1)( x ? a ) ? 0? ,且 A ? B , 求 a的 范 围.

20. 对于函数 f(x) ? 0 )恒有 f(ab)=f(a)+f(b)且 x>1 时 f(x)>0 ,f(2)=1 (x
(1)求 f(4) 、f(1) 、f(-1)的值; (2)求证 f(x)为偶函数; (3)求证 f(x)在(0,+ ? )上是增函数; (4)解不等式 f(x 2 -5)<2.

21.已知数列{an}的前 n 项和 Sn = 2an – 3×2n + 4 (n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设 Tn 为数列{Sn – 4}的前 n 项和,试比较 Tn 与 14 的大小.

赣州中学高一年级 2011-2012 学年度第二学期数学解题大赛试题 参考答案
一.ACBBD 二.11. 1 ? 14.
7 57

ACCCA
1 2 sin 4 x

12.

1 2

13. { x | x ? ? 1或 2 ≤ x ? 3}

15.①③○ 5

三.解答题

?? ? 16.解:(1)? m ? n
?? ? ? A A ? 2 A ? ? ? m ? n ? ? 2 3 sin , cos ? ? ? cos , ? 2 ? ? 2 2 ? ? 2 ? ?
? 3 sin A ? cos A ? 1 ……4 分

3 sin A ? ? cos A ? 1 ? ? 0

? ? 1 ? ? sin ? A ? ? ? ……6 分 6? 2 ? ? ? 5? ? ? ? ,? A ? ? , ……8 分 ∵ 0 ? A ? ? ,? ? ? A ? 6 6 6 6 6

? A ?

?
3

.……9 分

(2)在 ? ABC 中, A ?
? sin B ? 1 ? cos
2

?
3

, a ? 2 , cos B ?
1?
b sin B

3 3

B ?
?

1 3

?

6 3

……10 分

由正弦定理知:

a sin A

, ……11 分

?b ?

a sin B sin A

2?

6 3 3 2 ? 4 2 3
a 2R c 2R
2

=?

.? b ?

4 2 3

……12 分

17.(Ⅰ)由正弦定理得 sin A ?
?a?
2

,

sin B ? ? b? b 2R

b 2R

,

sin C ?

c 2R

a 2R

? c?

c 2R

? 2a

a ?c ?
2

2 ac ? b , 由 余 弦 定 理 得 : b ? a ? c ? 2 ac cos B
2 2 2

? 2 cos B ?

2,

即 cos B ?

2 2

, 又 ? B ? (0,180 ) ,
0

故 B ? 45 …………….6 分
0

(Ⅱ)法一 A=75 ,? C ? 180 ? A ? B ? 180 ? 75 ? 45 ? 60
0 0 0 0

0

0

由正弦定理得:
2 2 2

b sin B

?

c sin C


2

2 sin 4 5
0

?

c sin 6 0
0

,则 c ?
2

6 ………8 分

由 b ? a ? c ? 2 ac cos B 得 4= a ? 2 3 a ? 6 ,即 a ? 2 3 a ? 2 ? 0
?a ? 3 ? 1或 a ? 3 ? 1( 舍 去 ) …………………………12 分

法二(Ⅱ)首先 sin A ? sin(45 ? 30 ) ?
? ?

2? 4
2? 4 2 2

6

. sin C ? sin 60 ?
?

3 2

. …………8 分

由正弦定理 a ?

b sin A sin B

2? ?

6 ? 3 ? 1. ……………………10 分

同理 c ?

b sin C sin B

2? ?

3 2 ? 2 2 6 . ………………………………………12 分

18.解: (1)设矩形的另一边长为 a m 则 y -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=
360 x
2
2

360 x

,

所以 y=225x+

? 360 ( x ? 0 )

w x.jty jy.com

………………5 分

(II)? x ? 0 ,? 225 x ?

360 x

2

? 2 225 ? 360

2

? 10800

? y ? 225 x ?

360 x

2

? 360 ? 10440 ………………8 分

当且仅当 225x=

360 x

2

时,等号成立………………10 分

即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元…..12 分
19.解: A ? x ? 2 ? x ? ? 1

?

?…………………………………………………………………2 分 ?
满足 A ? B ;…………………………………………4 分

① a ? 0 时, B ? x x ? 0

?

② a ? 0 时, B ? ? x x ?

? ?

? 或 x ? ?a? , a ? 1

∵ A ? B , ∴?

?? a ? ?1 ?a ? 0

? 0 ? a ? 1 ………………………………………8 分

③ a ? 0 时, B ? ? x

? ?

? ? x ? ?a? , ∵ A ? B a ? 1

?1 ? a ? ?2 ? ∴ ?? a ? ?1 ?a ? 0 ? ?

? ?

1

1 ? ? ? a ? 0 .综合①②③可知: a 的取值范围是: ? a ? ? a ? 1? 2 2 ? ?

20. 解: (1)f(4)=2

f(1)=0

f(-1)=0

(2)令 a=x,b=-1 得 f(-x)=f(x)+f(-1)即 f(-x)=f(x)
? f(x)是偶函数

(3)设 0< x 1 < x 2 且 x 1 , x 2 任意令 a ?
x2 x1 x2 x1

x2 x1

, b ? x 1 则 f( x 2 )= f(

x2 x1

)+f( x 1 )

由 0< x 1 < x 2 得

>1 ? f(

)>0 ? f( x 2 )-f( x 1 )>0

? f(x)在(0,+ ? )上是增函数

(4)由 f(4)=2 得 f(x 2 -5)<f(4) ? -4<x 2 -5<4 且 x ? 5 ? 0
2

2 ? 不等式 f(x -5)<2 的解集为 ? 3, ? 5 ? ? 5 , ? 1 ? 1, 5 , ?

?

? ?

? ?

? ?

5,3

?

21.解: (1)由 a1 = S1 = 2a1 – 3×2 + 4 得 a1 = 2,……1 分 由已知, Sn + 1 – Sn = 2 (an + 1 – an) – (2n + 1 – 2n) 即 an + 1 = 2an + 3×2n 两边同除以 2n + 得
1



a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

3 2


a1 2

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

3 2 3 2 3 2

∴数列{ ∴
an 2
n

an 2
n

}是以

= 1 为首项,
3 2

为公差的等差数列.……4 分 n–
1 2

= 1 + (n – 1) ×

即 an = (

)2n,n∈N*.……6 分

(2)∵Sn – 4 = 2an – 3×2n = (3n – 4)·2n. ∴Tn = –1×2 + 2·22 + 5·23 + …+ (3n – 4)·2n① 2Tn = –1×22 + 2×23 + … + (3n – 7)·2n + (3n – 4)·2n + 1 ① – ②得 –Tn = –2 + 3(22 + 23 + …+2n) – (3n – 4)·2n + 1 = –2 + 3×
2 (2
2 n ?1



? 1)

2 ?1

– (3n – 4)·2n + 1 = –14 + (14 – 6n)·2n ……10 分

∴Tn = 14 – (14 – 6n)·2n.∵当 n = 1,2 时,14 – 6n>0

∴Tn<14.当 n≥3 时,14 – 6n<0 ∴Tn>14.……14 分