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圆锥曲线中的最值问题和范围问题


第二十讲 圆锥曲线中的最值和范围问题(一)
★★★高考在考什么 【考题回放】 1.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲 a2 b2
D.(2,+∞)

线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2)

B. (1,2) C. [2, ??)
2 2

2. P 是双曲线

x y ? ? 1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 9 16

上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( D ) A. 6 B.7 C.8 D.9 2 3.抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A ) A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

x2 y 2 4. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 点 P 在双曲线的右支上, a b
且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为: ( B) (A)

4 3
2

(B)

5 3

(C) 2

(D)

7 3
2 2

5.已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 +y2 的 最小值是 32 . 2 6.对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是( B ) (A) (-∞,0) (B) (-∞,2 ] (C) [0,2] (D) (0,2)

★★★高考要考什么 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适 合的不等式(组) ,通过解不等式组得出参数的变化范围; (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表 示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的 构思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个 共同特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于: ① 通过参数θ 简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题; (6)构造一个二次方程,利用判别式 ??0。 ★★★突破重难点 【例 1】已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 .记动点 P 的 轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值.
用心 爱心 专心 -1-

??? ? ??? ?

解: (Ⅰ)依题意,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支, 所求方程为:

x 2 y2 - =1 (x?0) 2 2
2

(Ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x=x0, 此时 A(x0, x 0-2 ) ,B(x0,- x 0-2 ) ,O AO B ?
2

?? ?? ?

=2

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b, 代入双曲线方程

x 2 y2 - =1 中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0 2 2

依题意可知方程 1?有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?? ? 4k 2b 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? (?b 2 ? 2) ? 0 ? 2kb ? 解得|k|?1, ?0 ? x1 ? x2 ? 1? k 2 ? ? b2 ? 2 x x ? ?0 ? 1 2 k 2 ?1 ? ??? ? ??? ? 又 OA ? OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b) (kx2+b) 2k 2+2 4 2 2 =2+ 2 ?2 =(1+k )x1x2+kb(x1+x2)+b = 2 k -1 k -1 ??? ? ??? ? 综上可知 OA ? OB 的最小值为 2 x2 y 2 5 ? ? 1 上的动点, 【例 2】 给定点 A(-2,2), 已知 B 是椭圆 F 是右焦点, 当 AB ? BF 3 25 16
取得最小值时,试求 B 点的坐标。 解:因为椭圆的 e ?

3 5 1 1 ,所以 AB ? BF ? AB ? BF ,而 BF 为动点 B 到左准线 3 e e 5

的距离。故本题可化为,在椭圆上求一点 B,使得它到 A 点和左准线的距离之和最小,过点 B 作 l 的垂线,垂点为 N,过 A 作此准线的垂线,垂点为 M,由椭圆定义 | BF | | BF | 5 ? e ?| BN |? ? | BF | | BN | e 3 于是 AB ?

5 BF ?| AB | ? | BN |?| AN |? AM 为定值 3

其中,当且仅当 B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立,此时 B 为 ( ? 所以,当 AB ?

5 3 , 2) 2

5 5 3 BF 取得最小值时,B 点坐标为 (? , 2) 3 2
2 2

【例 3】已知 P 点在圆 x +(y-2) =1 上移动,Q 点在椭圆

x2 ? y 2 ? 1上移动,试求|PQ|的最 9

大值。 解:故先让 Q 点在椭圆上固定,显然当 PQ 通过圆心 O1 时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大 2 2 2 值,只要求|O1Q|的最大值.设 Q(x,y),则|O1Q| = x +(y-4) ① 2 2 因 Q 在椭圆上,则 x =9(1-y ) ②

1? ? 将②代入①得|O1Q| = 9(1-y )+(y-4) ? ?8 ? y ? ? ? 27 2? ?
2 2 2

2

用心

爱心

专心

-2-

因为 Q 在椭圆上移动,所以-1?y?1,故当 y ? 此时 PQ max ? 3 3 ? 1

1 时, O1Q max ? 3 3 2

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二 次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视 。 ....................... 【例 4】已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ?

9 2 ,且离心率 4

e 满足: , e,

2 3

4 成等差数列。 3 1 平 2

(1)求椭圆方程; (2)是否存在直线 l,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 分,若存在,求出 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。 (1)解:依题意 e ?

2 2 a2 9 2 2 ,? ?c ? ?2 2 ? 3 c 4 4
9 2 4

∴a=3,c=2 2 ,b=1, 又 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ?
2 ∴椭圆中心在原点,所求方程为 x ?

1 2 y ?1 9
1 平分 2

(2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x ? ? ∴直线 l 的斜率存在。 设直线 l:y=kx+m

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? 2 y2 消去 y,整理得 (k +9)x +2kmx+m -9=0 ?1 ?x ? 9 ?
∵l 与椭圆交于不同的两点 M、N, 2 2 2 2 2 2 ∴Δ =4k m -4(k +9)(m -9)>0 即 m -k -9<0 设 M(x1,y1),N(x2,y2) ? ①

k2 ? 9 x1 ? x2 ?km 1 ? 2 ?? ?m ? ② 2 k ?9 2 2k (k 2 ? 9) 2 ? (k 2 ? 9) ? 0 , 把②代入①式中得 2 4k ∴k> 3 或 k<- 3 ? ? ? 2? ∴直线 l 倾斜角 ? ? ( , ) ? ( , ) 3 2 2 3 【例 5】长度为 a ( a ? 0 )的线段 AB 的两个端点 A 、 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点 P
??? ? ??? ? 在线段 AB 上,且 AP ? ? PB ( ? 为常数且 ? ? 0 ) .
(1)求点 P 的轨迹方程 C ,并说明轨迹类型;

用心

爱心

专心

-3-

(2)当 ? =2 时,已知直线 l1 与原点 O 的距离为 的斜率 k 的取值范围.

a ,且直线 l1 与轨迹 C 有公共点,求直线 l1 2

答案:(1)设 P( x , y) 、 A( x0 , 0) 、 B(0 , y0 ) ,则

? x0 ? (1 ? ? ) x ??? ? ??? ? ? x ? x0 ? ?? x ? 2 2 2 AP ? ? PB ? ? ?? 1 ? ? ,由此及 | AB |? a ? x0 ? y0 ? a ,得 y ? ? ( y ? y ) y ? y 0 ? 0 ? ? ?

? 1? ? ? ? y2 ? a ? 2 2 ?(1 ? ? ) x? ? ?? ? ? y ? ? a ,即 x ? ? 2 ? ? 1 ? ? ? (*) ? ? ?? ? ? ?
2

2

2

①当 0 ? ? ? 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为 (?

1? ? 2 a 的椭圆. a,0) ,长轴长为 1? ? 1? ? ?1? ? 2? a 的椭圆. a) ,长轴长为 1? ? 1? ?
a 为半径的圆. 2

②当 ? ? 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为 (0,?

③当 ? ? 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为以 O 点为圆心,

(2)设直线 l1 的方程: y ? kx ? h ,据题意有

h 1? k
2

?

a a 1? k 2 . ,即 h ? 2 2

? y ? kx ? h k2 2 9 9 ? 9 ( 1 ? ) x ? khx ? h 2 ? a 2 ? 0 . 由? 2 9 2 得 2 4 2 4 9x ? y ? a ? 4 ?
2 因为直线 l1 与椭圆 9 x ?

9 2 y ? a 2 有公共点,所以 ? ? 9(4 ? k 2 )a 2 ? 81h 2 ? 0, 4

又把 h ?

a 7 35 35 1 ? k 2 代入上式得 : k 2 ? ,? ? . ?k? 2 5 5 5

用心

爱心

专心

-4-


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