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2014年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)


2014 年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

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2014 年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?合肥一模)已知复数 z=3+4i, 表示复数 z 的共轭复数,则| |

=( A . B 5 . C . D 6 . ) )

2. (5 分) (2014?合肥一模)设集合 S={0,a},T={x∈Z|x2 <2},则“a=1”是“S?T ”的( A 充分不必要 B 必要不充分 . 条件 . 条件 C 充分必要条 D 既不充分也 . 件 . 不必要条件

3. (5 分) (2014?合肥一模)过坐标原点 O 作单位圆 x +y =1 的两条互相垂直的半径 OA、OB,若在该圆上存在一 点 C,使得 =a +b (a、b∈R) ,则以下说法正确的是( )

2

2

A 点 P(a,b) . 一定在单位 圆内 B 点 P(a,b) . 一定在单位 圆上 C 点 P(a,b) . 一定在单位 圆外 D 当且仅当 . ab=0 时, 点P (a,b)在单 位圆上

4. (5 分) (2014?合肥一模)过双曲线

=1(a>0,b>0)的一个焦点作实轴的垂线,交双曲线于 A,B 两 ) D . )

点,若线段 AB 的长度恰等于焦距,则双曲线的离心率为( A . B . C .

5. (5 分) (2014?合肥一模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(

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A 18+2 .

B 24+2 .

C 24+4 .

D 36+4 .

6. (5 分) (2014?合肥一模)已知函数 f(x)=| f (﹣x) ) B (x, ﹣f (x) ) C A (x, ( . . .

﹣sinx|﹣| ﹣x, ﹣f ) )

+sinx|,则一定在函数 y=f(x)图象上的点是( D ( . ( +x,﹣f ﹣x) ) )



(x﹣

7. (5 分) (2014?合肥一模)执行如图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的结果是(

A 5 .

B 6 .

C 7 .

D 8 .
2

8. (5 分) (2014?许昌三模)在△ ABC 中,已知 2acosB=c ,sinAs inB(2﹣cosC)=sin A 等边三角形 . C 锐角非等边 . 三角形 B 等腰直角三 . 角形 D 钝角三角形 .

+ ,则△ ABC 为(



9. (5 分) (2014?合肥一模)已知实数 x,y 满足 为( )

时,z=

(a≥b>0)的最大值为 1,则 a+b 的最小值

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A 7 .

B 8 .

C 9 .

D 10 .

10. (5 分) (2015?赤峰模拟)对于函数 f(x) ,若?a,b,c ∈R,f(a) ,f(b) ,f(c )为某一三角形的三边长,则 称 f(x)为“可构造三角形函数”.已知函数 f(x)= A [ ,2] . B [0,1] . C [1,2] . 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取值范围是( D [0,+∞) . )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分) (2014?合肥一模)若随机变量 ξ~N(2,1) ,且 P(ξ>3)=0.1587,则 P(ξ>1)= 12. (5 分) (2014?合肥一模)已知数列{an }满足 an+1 =2an (n∈N+)且 a2 =1,则 log2 a2014 = 13. (5 分) (2014?合肥一模)若 _________ .

_________ .



_________

展开式的各项系数绝对值之和为 1024,则展开式中 x 项的系数为

14. (5 分) (2014?合肥一模)某办公室共有 6 人,组织出门旅行,旅行车上的 6 个座位如图所示,其中甲、乙两人 的关系较为亲密,要求在同一排且相邻,则不同的安排方法有 _________ 种.

15. (5 分) (2014?合肥一模)已知直线: 成的集合为 S,给出下列命题: ① 当 θ= 时,S 中直线的斜率为 ;

x+

y=1(a,b 为给定的正常数,θ 为参数,θ∈[0,2π) )构

② S 中所有直线均经过一个定点; ③ 当 a=b 时,存在某个定点,该定点到 S 中的所有直线的距离均相等; ④ 当 a>b 时,S 中的两条平行直线间的距离的最小值为 2b; ⑤ S 中的所有直线可覆盖整个平面. 其中正确的是 _________ (写出所有正确命题的编号) .

三、解答题:本大题共六个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) (2014?合肥一模)已知 cos ( (Ⅰ )sin2α; (Ⅱ )tanα﹣ . +α)?cos ( ﹣α)=﹣ ,α∈( , ) ,求:

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17. (12 分) (2014?合肥一模)如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是梯形,且 AD=DC=CB= AB.直角梯 形 ACEF 中, (Ⅰ )求证:BC⊥ AF; (Ⅱ )若直线 DE 与平面 ACEF 所成的角的正切值是 ,试求∠ FAC 的余弦值. ,∠ FAC 是锐角,且平面 ACEF⊥ 平面 ABCD.

18. (12 分) (2014?合肥一模)已知函数 f(x)=x3 +ax2 +bx+4, (x∈R)在 x=2 处取得极小值. (Ⅰ )若函数 f(x)的极小值是﹣4,求 f(x) ; (Ⅱ )若函数 f(x)的极小值不小于﹣6,问:是否存在实数 k,使得函数 f(x)在[k,k+3]上单调递减.若存在, 求出 k 的范围;若不存在,说明理由.

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19. (13 分) (2014?合肥一模)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,设左顶点为 A,上顶点

为 B,且 (Ⅰ )求椭圆 C 的方程;

,如图.

(Ⅱ )若 F(1,0) ,过 F 的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,试确定

的取值范围.

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20. (13 分) (2014?合肥一模)某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检,现将 9 个进口品牌奶粉的样品编号为 1, 2,3,4,…,9;6 个国产品牌奶粉的样品编号为 10,11,12,…,15,按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样, 从其中抽取 5 个样品进行首轮检验,用 P(i,j)表示编号为 i, j(1≤i< j≤15)的样品首轮同时被抽到的概率. (Ⅰ )求 P(1,15)的值; (Ⅱ )求所有的 P(i,j) (1≤ i< j≤15)的和.

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21.(13 分) (2014?合肥一模)已知函数 fn (x)=x+ , (x>0,n≥1,n∈Z) ,以点(n,fn (n) )为切点作函数 y=fn (x)图象的切线 ln ,记函数 y=fn (x)图象与三条直线 x=n,x=n+1,ln 所围成的区域面积为 an . (Ⅰ )求 an ; (Ⅱ )求证:an < ;

(Ⅲ )设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,求证:Sn < .

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2014 年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?合肥一模)已知复数 z=3+4i, 表示复数 z 的共轭复数,则| |=( A . 考点: 专题: 分析: 解答: B 5 . 复数求模. 数系的扩充和复数.
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C .

D 6 .

首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,写出复数的共轭 复数,求出共轭复数的模长. 解:复数 z=3+4i, =3﹣4i, = | |=|﹣4﹣3i|= 故选:B. = =5. =﹣4﹣3i,

点评:

本题考查复数的乘除运算,考查复数的共轭复数,考查复数求模长,实际上一个复数和它的共轭复 数模长相等,本题是一个基础题.

2. (5 分) (2014?合肥一模)设集合 S={0,a},T={x∈Z|x <2},则“a=1”是“S?T ”的( A 充分不必要 B 必要不充分 . 条件 C 充分必要条 . 件 考点: 专题: 分析: 解答: . 条件 D 既不充分也 . 不必要条件

2



必要条件、充分条件与充要条件的判断.

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简易逻辑. 求出集合 T ,根据集合元素关系,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 解:T={x∈Z|x <2}={﹣1,0,1},当 a=1 时,S={0,1},满足 S?T .若 S?T ,则 a=1 或 a=﹣1, ∴ “a=1”是“S?T ”的充分不必要条件. 故选:A. 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用集合元素和集合之间的关系是解决本题的关键.
2

点评:

3. (5 分) (2014?合肥一模)过坐标原点 O 作单位圆 x2 +y2 =1 的两条互相垂直的半径 OA、OB,若在该圆上存在一 点 C,使得 =a +b (a、b∈R) ,则以下说法正确的是( )

A 点 P(a,b)一定在单位圆内 . B 点 P(a,b)一定在单位圆上 .
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C 点 P(a,b)一定在单位圆外 . D 当且仅当 ab=0 时,点 P(a,b)在单位圆上 . 考点: 专题: 分析: 解答: 平面向量的基本定理及其意义. 平面向量及应用. 根据点 P 到圆心 O 的距离判断点 P 与圆的位置关系. 解:易知| ∵ ∴ | |= =1 |= ,| |= =1

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∴ OP= 又圆的半为 1

∴ 点 P 一定在单位圆上 故选:B 点评: 本题主要考察了向量的求模运算,以及点与圆的位置关系的判断,属于中档题.

4. (5 分) (2014?合肥一模)过双曲线

=1(a>0,b>0)的一个焦点作实轴的垂线,交双曲线于 A,B 两 ) D .

点,若线段 AB 的长度恰等于焦距,则双曲线的离心率为( A . 考点: 专题: 分析: 解答: 解:不妨设 A(c ,y0 ) ,代入双曲线 ∵ 线段 AB 的长度恰等于焦距, ∴
2 2

B .

C .

双曲线的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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先求出 AB 的长,进而可得

,从而可求双曲线的离心率.

=1,可得 y0 =±





∴ c ﹣a =ac , ∴ e2 ﹣e﹣1=0, ∵ e>1, ∴ e= .

故选:A. 点评: 本题考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题. )

5. (5 分) (2014?合肥一模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(

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A 18+2 . 考点: 专题: 分析:

B 24+2 . 由三视图求面积、体积.

C 24+4 .

D 36+4 .

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空间位置关系与距离. 根据三视图判断几何体是直四棱柱,且四棱柱的底面为等腰梯形,棱柱的高为 2,底面梯形的上 底边长为 2,下底边长为 4,高为 2,利用勾股定理求出腰为 公式计算. = ,代入棱柱的表面积

解答:

解:由三视图知几何体是直四棱柱,且四棱柱的底面为等腰梯形,棱柱的高为 2, 底面梯形的上底边长为 2,下底边长为 4,高为 2,腰为 ∴ 几何体的表面积 S=(2+4+2 )×2+2× ×2=24+4 . = ,

点评:

故选:C. 本题考查了由三视图求几何体的表面积,判断三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键.

6. (5 分) (2014?合肥一模)已知函数 f(x)=| f (﹣x) ) B (x, ﹣f (x) ) C A (x, ( . . .

﹣sinx|﹣| ﹣x,﹣f ) )

+sinx|,则一定在函数 y=f(x)图象上的点是( D ( . ( +x,﹣f ﹣x) )



(x﹣

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的图象. 函数的性质及应用. 在函数 y=f(x)图象上的点只需把点的坐标代入方程,满足表达式即可.
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解:对于 A,f(﹣x)=| 确; 对于 B,﹣f(x)=﹣| 对于 C,﹣f(x﹣ = ﹣| +sin(

﹣sin(﹣x)|﹣|

+sin(﹣x)|=|

+sinx|﹣|

﹣sinx|≠f(x) ,∴ A 不正

﹣sinx|+|

+sinx|≠f(x) ,∴ B 不正确; )|+| +sin(x﹣ )| +sin( ﹣x)|=f( ﹣x) ,

)=﹣|

﹣sin(x﹣

﹣x)|+|

﹣sin(

﹣x)|=|

﹣sin(

﹣x)|﹣|

∴ C 正确; 对于 D,﹣f(x﹣ )=﹣| ﹣sin(x﹣ )|+| +sin(x﹣ )|

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= ﹣| ≠f (

+sin(

﹣x)|+|

﹣sin(

﹣x)|=|

﹣sin(

﹣x)|﹣|

+sin(

﹣x)|=f(

﹣ x)

+x) ,∴ D 不正确;

故选:C. 点评: 本题考查函数的定义,函数的图象的应用,考查计算能力. )

7. (5 分) (2014?合肥一模)执行如图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的结果是(

A 5 . 考点: 专题: 分析: 解答:

B 6 .

C 7 .

D 8 .

程序框图. 算法和程序框图. 根据框图的流程依次计算运行的结果,直到满足条件 n>117 时,确定输出 i 的值.
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解:由程序框图知:程序第一次运行 n=12﹣4=8,i=1+1=2; 第二次运行 n=4×8+1=33,i=2+1=3; 第三次运行 n=33﹣4=29,i=3+1=4; 第四次运行 n=4×29+1=117,i=4+1=5; 第五次运行 n=117﹣4=113,i=5+1=6; 第六次运行 n=113×4+1=452,i=6+1=7. 此时满足条件 n>117,输出 i=7. 故选:C. 本题考查了选择结果与循环结构相结合的程序框图, 根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此 类问题的常用方法.

点评:

8. (5 分) (2014?许昌三模)在△ ABC 中,已知 2acosB=c ,sinAs inB(2﹣cosC)=sin2 + ,则△ ABC 为( A 等边三角形 . C 锐角非等边 B 等腰直角三 . 角形 D 钝角三角形
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. 三角形 考点: 专题: 分析:

. 正弦定理. 三角函数的求值. 已知第一个等式利用正弦定理化简,再利用诱导公式及内角和定理表示,根据两角和与差的正弦
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函数公式化简,得到 A=B,第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形,右边利用二倍角 的余弦函数公式化简,将 A+B=C,A﹣ B=0 代入计算求出 cosC 的值为 0,进而确定出 C 为直角, 解答: 即可确定出三角形形状. 解:将已知等式 2acosB=c ,利用正弦定理化简得:2sinAcosB=s inC, ∵ sinC=sin( A+B)=s inAcosB+cosAsinB, ∴ 2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即 sinAcosB﹣cosAsinB=sin( A﹣ B)=0, ∵ A 与 B 都为△ABC 的内角, ∴ A﹣ B=0,即 A=B, 已知第二个等式变形得:sinAsinB(2﹣cosC)= (1﹣cosC)+ =1﹣ cosC, ﹣ [cos (A+B)﹣cos (A﹣ B)](2﹣cosC)=1﹣ cosC, ∴ ﹣ (﹣cosC﹣1) (2﹣cosC)=1﹣ cosC, 即(cosC+1) (2﹣cosC)=2﹣cosC, 整理得:cos C﹣2cosC=0,即 cosC(cosC﹣2)=0, ∴ cosC=0 或 cosC=2(舍去) , ∴ C=90°, 则△ ABC 为等腰直角三角形. 点评: 故选:B. 此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,积化和差公式,二倍角的余弦函数公式,熟 练掌握正弦定理是解本题的关键.
2

9. (5 分) (2014?合肥一模)已知实数 x,y 满足 为( A 7 . 考点: 专题: 分析: 解答: ) B 8 . 简单线性规划. 不等式的解法及应用.
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时,z=

(a≥b>0)的最大值为 1,则 a+b 的最小值

C 9 .

D 10 .

作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的最大值,确定最优解,然后利用基本不等式进行判断. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z= 则斜率 k= 则由图象可知当直线 y= 直线 y= 的截距最大, (a≥b>0)得 y= , 经过点 B(1,4)时, ,

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此时

, )=1+4+ ,

则 a+b=(a+b) ( 当且仅当 设 t= , ∵ a≥b>0,

,即 b=2a 取等号此时不成立,故基本不等式不成立.

∴ 0< ≤1,即 0<t≤1, 则 1+4+ ∴ 当 t=1 时, 1+4+ =5+t+ 取得最小值为 =5+t+ 在(0,1]上单调递减,

5+1+4=10. 即 a+b 的最小值为 10, 故选:D.

点评:

本题主要考查线性规划和基本不等式的应用,先利用条件确定最优解是解决本题的关键,本题使 用基本不等式时,条件不成立,利用 t+ 的单调性是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.

10. (5 分) (2015?赤峰模拟)对于函数 f(x) ,若?a,b,c ∈R,f(a) ,f(b) ,f(c )为某一三角形的三边长,则 称 f(x)为“可构造三角形函数”.已知函数 f(x)= A [ ,2] . 考点: 专题: 分析: B [0,1] . C [1,2] . 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取值范围是( D [0,+∞) . )

指数函数综合题. 函数的性质及应用. 因对任意实数 a、b、c,都存在以 f(a) 、f(b) 、f(c )为三边长的三角形,则 f(a)+f(b)>f
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(c )恒成立,将 f(x)解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,整个式 子的取值范围由 t﹣1 的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数的值域,然后讨 解答: 论 k 转化为 f(a)+f(b)的最小值与 f(c )的最大值的不等式,进而求出实数 k 的取值范围. 解:由题意可得 f(a)+f(b)>f(c )对于?a,b,c ∈R 都恒成立,
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由于 f(x)=

=1+



① 当 t﹣1=0,f(x)=1,此时,f(a) ,f(b) ,f(c )都为 1,构成一个等边三角形的三边长, 满足条件. ② 当 t﹣1>0,f(x)在 R 上是减函数,1<f(a)<1+t﹣1=t, 同理 1<f(b)<t,1<f(c )<t, 由 f(a)+f(b)>f(c ) ,可得 2≥t,解得 1<t≤2. ③ 当 t﹣1<0,f(x)在 R 上是增函数,t<f(a)<1, 同理 t<f(b)<1,2<f(c )<1, 由 f(a)+f(b)>f(c ) ,可得 2t≥1,解得 1>t≥ . 综上可得, ≤t≤2, 故选:A. 点评: 本题主要考查了求参数的取值范围,以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域, 同时考查了分类讨论的思想,属于难题.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分) (2014?合肥一模)若随机变量 ξ~N(2,1) ,且 P(ξ>3)=0.1587,则 P(ξ>1)= 考点: 专题: 分析: 解答: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

0.8413



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计算题;概率与统计. 根据随机变量 ξ~N(2,1) ,得到正态曲线关于 x=2 对称,由 P(ξ>1)=P(ξ<3) ,即可求概率. 解:∵ 随机变量 ξ~N(2,1) , ∴ 正态曲线关于 x=2 对称, ∵ P(ξ>3)=0.1587, ∴ P(ξ>1)=P(ξ<3)=1﹣0.1587=0.8413. 故答案为:0.8413. 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态曲线的对称性,考查根据对称性求 区间上的概率,本题是一个基础题.

点评:

12. (5 分) (2014?合肥一模)已知数列{an }满足 an+1 =2an (n∈N+)且 a2 =1,则 log2 a2014 = 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列.
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2012



由 an+1 =2an (n∈N+)且 a2 =1,得到数列{an }是等比数列,求出{an }的通项公式,即可得到结论. 解:∵ 数列{an }满足 an+1=2an (n∈N+)且 a2 =1, ∴ 数列{an }是等比数列,公比 q=2, ∴ an = 即 a2014 =22014 ∴ log2 a2014 = 故答案为:2012
﹣2

, =22012 , =2012,

点评:

本题主要考查对数的基本运算,利用条件确定数列{an }是等比数列,求出{an }的通项公式是解决 本题的关键.

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13. (5 分) (2014?合肥一模) 若 15 . 二项式系数的性质. 二项式定理. 根据

展开式的各项系数绝对值之和为 1024, 则展开式中 x 项的系数为 ﹣

考点: 专题: 分析:

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展开式的各项系数绝对值之和为 4n =1024,求得 n=5.在

展开

式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 1,求得 r 的值,可得 解答: 解:在 可得 ∴ n=5. 故 令 展开式的通项公式为 Tr+1= =1,求得 r=1,故 ? . 的展开式中,令 x=1, 展开式的各项系数绝对值之和为 4n =22n=1024=210 ,

的展开式中 x 项的系数.

的展开式中 x 项的系数为﹣15,

故答案为:﹣15. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某 项的系数,属于中档题. 14. (5 分) (2014?合肥一模)某办公室共有 6 人,组织出门旅行,旅行车上的 6 个座位如图所示,其中甲、乙两人 的关系较为亲密,要求在同一排且相邻,则不同的安排方法有 144 种.

考点: 专题: 分析: 解答:

计数原理的应用.

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计算题;排列组合. 分类讨论:甲、乙两人在后排,甲、乙两人在中间一排,利用分类计数原理可得结论. 解:分类讨论:甲、乙两人在后排,可得 甲、乙两人在中间一排,可得 =48 种; =96 种.

点评:

∴ 不同的安排方法有 48+96=144 种. 故答案为:144. 本题考查分类计数原理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. y=1(a,b 为给定的正常数,θ 为参数,θ∈[0,2π) )构

15. (5 分) (2014?合肥一模)已知直线: 成的集合为 S,给出下列命题:

x+

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① 当 θ=

时,S 中直线的斜率为 ;

② S 中所有直线均经过一个定点; ③ 当 a=b 时,存在某个定点,该定点到 S 中的所有直线的距离均相等; ④ 当 a>b 时,S 中的两条平行直线间的距离的最小值为 2b; ⑤ S 中的所有直线可覆盖整个平面. 其中正确的是 ③ ④ (写出所有正确命题的编号) . 考点: 专题: 分析: 命题的真假判断与应用;圆锥曲线的共同特征. 综合题;直线与圆. ① 当 θ=

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时,sinθ=cos θ,S 中直线的斜率为﹣ , ;

② S 中所有直线均经过一个定点,不正确; ③ 当 a=b 时,方程为 xsinθ+ycos θ=a,存在定点(0,0) ,该定点到 S 中的所有直线的距离均相等; ④ 当 a>b 时,S 中的两条平行直线间的距离为 d= ≥2b,可得最小值为 2b;

⑤ (0,0)不满足方程. 解答: 解:① 当 θ= ② 根据 时,sinθ=cos θ,S 中直线的斜率为﹣ ,故不正确; x+ y=1,可知 S 中所有直线不可能经过一个定点,不正确;

③ 当 a=b 时,方程为 xsinθ+ycos θ=a,存在定点(0,0) ,该定点到 S 中的所有直线的距离均相等; ④ 当 a>b 时,S 中的两条平行直线间的距离为 d= ≥2b,即最小值为 2b;

⑤ (0,0)不满足方程,所以 S 中的所有直线不可覆盖整个平面. 故答案为:③ ④ . 点评: 本题考查直线系方程的应用,要明确直线系中直线的性质,结合图形,判断各个命题的正确性.

三、解答题:本大题共六个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) (2014?合肥一模)已知 cos ( (Ⅰ )sin2α; (Ⅱ )tanα﹣ . +α)?cos ( ﹣α)=﹣ ,α∈( , ) ,求:

考点: 专题: 分析:

三角函数中的恒等变换应用. 计算题;三角函数的求值.

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(Ⅰ )利用二倍角的正弦可求得 sin(2α+ (2α+ )=﹣

)=﹣ ,α∈(



)?2α+

∈(π,

)?cos

,利用两角差的正弦即可求得 sin2α 的值; ,π) ,sin2α= ,可求得 cos2α 的值,从而可求得 tanα﹣ 的值.

(Ⅱ )结合(Ⅰ )2α∈(

- 17 -

解答:

解: (Ⅰ )∵ cos ( 即 sin(2α+ 故 2α +

+α)?cos (

﹣α)=cos ( , ) ,

+α)?sin(

+α)=﹣ ,…(2 分)

)=﹣ ,α∈( ) ,

∈ (π , )=﹣

∴ cos (2α+

,…(5 分) )﹣ ]=sin(2α+ )cos ﹣cos (2α+ )sin = …(7 分)

∴ sin2α=sin[(2α+ (Ⅱ )∵ 2α ∈ ( ∴ cos2α=﹣

,π) ,sin2α= , ,…(9 分)

∴ tanα﹣ (12 分) 点评:

=



=

=

=﹣2?

=2





本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查二倍角的正弦,两角差的正弦的综合应用,考查运 算求解能力,属于中档题.

17. (12 分) (2014?合肥一模)如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是梯形,且 AD=DC=CB= AB.直角梯 形 ACEF 中, (Ⅰ )求证:BC⊥ AF; (Ⅱ )若直线 DE 与平面 ACEF 所成的角的正切值是 ,试求∠ FAC 的余弦值. ,∠ FAC 是锐角,且平面 ACEF⊥ 平面 ABCD.

考点: 专题: 分析:

异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的性质. 空间位置关系与距离;空间角. (Ⅰ )取 AB 得中点 H,连 CH,由题意知四边形 ADCH 为菱形,从而昨到△ACB 为直角三角形,
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BC⊥ AC,进而得到 BC ⊥ 平面 ACEF,由此能证明 BC⊥ AF. (Ⅱ )连结 DH,交 AC 于 MD,再连结 EM、FM.由题意知四边形 ADCH 为菱形,由已知条件 解答: 推导出∠ DEM 即为直线 DE 与平面 ACEF 所成的角,由此能求出∠ FAC 的余弦值. (Ⅰ )证明:在等腰梯形 ABCD 中,
- 18 -

∵ AD=DC=CB= AB,∴ AD、 BC 为腰, 取 AB 得中点 H,连 CH,由题意知四边形 ADCH 为菱形, 则 CH=AH=BH,故 △ACB 为直角三角形,∴ BC⊥ AC,…(3 分) ∵ 平面 ACEF⊥ 平面 ABCD,且平面 ACEF∩ 平面 ABCD=AC, ∴ BC⊥ 平面 ACEF,∵ AF ?平面 ACEF,故 BC⊥ AF. …(6 分) (Ⅱ )解:连结 DH,交 AC 于 MD,再连结 EM、FM.由题意知四边形 ADCH 为菱形, ∴ DM⊥ AC,∵ 平面 ACEF⊥ 平面 ABCD,∴ DM⊥ 平面 ACEF. ∴ ∠ DEM 即为直线 DE 与平面 ACEF 所成的角.…(9 分) 设 AD=DC=BC=a,则 MD= 依题意, 在 Rt△ ECM 中,cos ∠ EMC= ∴ ,

=

=





=AM,∴ 四边形 AMEF 为平行四边形,

∴ ME∥ AF,∴ ∠ FAC=∠ EMC, ∴ .…(12 分)

点评:

本题考查异面直线垂直的证明,考查角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力 的培养.

18. (12 分) (2014?合肥一模)已知函数 f(x)=x3 +ax2 +bx+4, (x∈R)在 x=2 处取得极小值. (Ⅰ )若函数 f(x)的极小值是﹣4,求 f(x) ; (Ⅱ )若函数 f(x)的极小值不小于﹣6,问:是否存在实数 k,使得函数 f(x)在[k,k+3]上单调递减.若存在, 求出 k 的范围;若不存在,说明理由. 考点: 专题: 利用导数研究函数的极值. 导数的综合应用.

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- 19 -

分析: (Ⅰ )根据已知条件: 而求出 f(x) . (Ⅱ )先假设存在实数 k,并设方程 f′ (x)=3x +2ax+b=0 的两根为 x1 ,x2 且 x1 <x2 ,则 , ,并且函数 f(x)在[ ]单调递减,所以根据
2

即可建立关于 a,b 的两个方程,解方程即可求出 a,b,从

已知条件及假设可得到:

解不等式便可求出 a=﹣2,b=﹣6,所以函数 f

(x)在[﹣1,2]上单调递减,这时候得限制 k 为: 解答: 解: (Ⅰ )f ′ (x)=3x2 +2ax+b; 由已知条件得:
3 2

,这样求出 k 即可.?

,解得:a=﹣2,b=﹣4;

∴ f(x)=x ﹣2x ﹣4x+4. (Ⅱ )假设存在实数 k,使得函数 f(x)在[k,k+3]上单调递减; 设方程 f′ (x)=3x2+2ax+b=0 的两根为 x1 ,x2 ,且 x1 <x2 ,则 x2 =2; ∴ , ; ; ]上单调递减;

∴ 解 3x2 +2ax+b<0 得: ∴ 函数 f(x)在[

由已知条件及 f(x)在[k,k+3]上单调递减得:

,解得



∴ 函数 f(x)在[﹣1,2]单调递减; ∴ ,解得 k=﹣1.

点评:

∴ 存在实数 k=﹣1,使得函数 f(x)在[k,k+3]上单调递减. 考查函数的极值和导数的关系,及极值的概念,函数导数符号和函数单调性的关系,一元二次方 程根与系数的关系.

19. (13 分) (2014?合肥一模)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,设左顶点为 A,上顶点

为 B,且 (Ⅰ )求椭圆 C 的方程;

,如图.

(Ⅱ )若 F(1,0) ,过 F 的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,试确定

的取值范围.

- 20 -

考点: 专题: 分析:

直线与圆锥曲线的综合问题. 圆锥曲线中的最值与范围问题.
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(Ⅰ )由已知条件得 A (﹣ a,0) ,B(0,b) ,F(1 ,0) ,由 由此能求出椭圆方程. (Ⅱ )若直线 l 斜率不存在,则 l:x=1, =

,推导出 b2 ﹣a﹣1=0,

;若直线 l 斜率存在,设 l:y=k(x﹣1) , 的取值范围.

M(x1 ,y1 ) ,N(x2 ,y2 ) ,利用韦达定理能求出 解答: 解: (Ⅰ )∵ 椭圆 C: +

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,

设左顶点为 A,上顶点为 B, ∴ A(﹣a,0) , B(0,b) ,F(1,0) , ∵
2


2 2 2

∴ b ﹣a﹣1=0,∵ b =a ﹣1,∴ a ﹣a﹣2=0,解得 a=2, 2 2 ∴ a =4,b =3, ∴ 椭圆 .…(4 分)

(Ⅱ )① 若直线 l 斜率不存在,则 l:x=1, 此时 , , = ;

② 若直线 l 斜率存在,设 l:y=k(x﹣1) ,M(x1 ,y1 ) ,N(x2 ,y2 ) , 则由 消去 y 得: (4k2 +3)x2 ﹣8k2 x+4k2 ﹣12=0,








2

=(x1 ﹣1,y1 )?(x2 ﹣1,y2 )

=(1+k )[x1 x2 ﹣(x1 +x2 )+1] =

∵ k2 ≥0,∴



- 21 -

∴ ∴ 综上, 点评:

, , 的取值范围为 . …(13 分)

本题考查椭圆的方程的求法,考查线段乘积取值范围的求法,解题时要认真审题,注意分类讨论 思想的合理运用.

20. (13 分) (2014?合肥一模)某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检,现将 9 个进口品牌奶粉的样品编号为 1, 2,3,4,…,9;6 个国产品牌奶粉的样品编号为 10,11,12,…,15,按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样, 从其中抽取 5 个样品进行首轮检验,用 P(i,j)表示编号为 i, j(1≤i< j≤15)的样品首轮同时被抽到的概率. (Ⅰ )求 P(1,15)的值; (Ⅱ )求所有的 P(i,j) (1≤ i< j≤15)的和. 考点: 专题: 分析: 排列、组合及简单计数问题;收集数据的方法;古典概型及其概率计算公式. 概率与统计.

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(Ⅰ )由分层抽样的方法从洋奶粉样品中抽取 3 个,国产奶粉样品中抽取 2 个,计算出 P(1,15) 的值; (Ⅱ )分情况求出 1≤i<j≤9,10≤ i< j≤15 和 1≤i≤9< j≤15 时,P(i, j)的个数是多少,从而求出它 们的和.

解答:

解: (Ⅰ )由分层抽样可知: 首轮检验从编号为 1,2,3,…,9 的洋品牌奶粉的样品中抽取 3 个, 从编号为 10,11,…,15 的国产品牌奶粉的样品中抽取 2 个, ∴ P(1,15)= = ;

(Ⅱ )① 当 1≤i<j≤9 时,P( i, j)= 而这样的 P(i,j)有 =36 个;

=



② 当 10≤i<j≤15 时,P( i,j)=



而这样的 P(i,j)有

=15 个;

③ 当 1≤i≤9<j≤15 时,P( i,j)= 而这样的 P(i,j)有 =54 个;

= ,

所以,所有的 P(i,j) (1≤ i< j≤15)的和为 ×36+ 点评: ×15+ ×54=10.

本题考查了分层抽样法的应用以及概率与数学期望的问题,解题的关键是理解题中 P(i,j)的含 义,以及(Ⅱ )中 i、j 的适当分情况计算问题,是易错题.

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21. (13 分) (2014?合肥一模)已知函数 fn (x)=x+ , (x>0,n≥1,n∈Z) ,以点(n,fn (n) )为切点作函数 y=fn (x)图象的切线 ln ,记函数 y=fn (x)图象与三条直线 x=n,x=n+1,ln 所围成的区域面积为 an . (Ⅰ )求 an ; (Ⅱ )求证:an < ;

(Ⅲ )设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,求证:Sn < .

考点: 专题: 分析:

数列与不等式的综合;定积分.

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综合题;压轴题;点列、递归数列与数学归纳法. (Ⅰ )求出原函数的导函数,求出切点坐标,由直线方程的点斜式求得切线方程,由定积分求得函 数 y=fn (x)图象与三条直线 x=n,x=n+1,ln 所围成的区域面积为 an ; (Ⅱ )要证明 an < ,即证明 < ,可设想构造函数 h(x)=ln(1+x)

(x≥0) , 由其导函数确定原函数的单调性, 进一步得到 ln (1+x) < 成立,取 x= ,然后不等式两边同时乘以 n,则可证得 an < (Ⅲ )法一、由(Ⅱ )中不等式进一步放缩得到 an < 数列 {an }求和后正负项相消可证明不等式; 法二、把数列{an }的前 n 项和的前两项作和,然后由 放大 n≥3 的项,可证明 n≥3 时 Sn < ,单 独验证 S1 ,S2 后可得答案. 解答: (Ⅰ )解:由 fn (x)=x+ ,得 切点为(n,n+1) ,则切线 ln 方程为 即 ∴ (Ⅱ )证明:构造函数 h(x)=ln(1+x) , = (x≥0) , ; , , < ; ,把

则 h′ (x)= 即函数 h(x)=ln(1+x) ∴ h(x)≤0,等号在 x=0 时取得, ∴ 当 x>0 时,ln(1+x)< 成立, (x≥0)单调递减,而 h(0)=0,

- 23 -

∴ 知 ∴ an = (Ⅲ )证明: 法一、 ∵ an < <

< < ;



∴ 当 n=1 时,Sn =a1 = < ;

当 n≥2 时, = 方法二、 由(Ⅱ )知 an < ∴ Sn =a1 +a2 +a3+…+an = = , < .



, (n≥3,n∈N* )



∴ = 又 , = ,

∴ 综上所述:对一切 n∈N* ,都有 Sn < . 点评: 本题考查了数列与不等式的综合,考查了定积分,训练了裂项相消法求数列的和,考查了放缩法求 证不等式, 对于(Ⅱ )的证明,构造函数 h(x)=ln(1+x) 键是对每一项的放缩,是难度较大的题目. (x≥0)是难点,证明(Ⅲ )的关

- 24 -

参与本试卷答题和审题的老师有:qiss ;maths ;清风慕竹;837357642;刘长柏;sllwyn;caoqz;wfy814;zlzhan; wkl197822;742048;sxs123(排名不分先后)
菁优网 2015 年 1 月 4 日

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