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高一级求数列通项的八种方法

时间:2016-06-08


紧扣难点,方法至上!

教研员:陈老师

高一级求数列通项的八种方法(**为难度系数)
一、公式法* 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ? an?1 ? 1(n ? 1) ,求数列 {an } 的通项公式;

2. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2,

1 a n

?1

?

1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; an

3. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ? 3an?1 (n ? 1) ,求数列 {an } 的通项公式;

4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2,a2 ? 4且an?2 ? an ? an?1 公式;

2

(n? N?) ,求数列 ?an ? 的通项

二、两式相减法*** 若已知数列的前 n 项和 S n 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解。此种类型,往往先求 n=1 的情况,得到基本的分数。并 an ? ? ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 ?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 a 且利用公式 an ? ? 求解时,要注意对 n 分类讨论,观察 1 是否满足通 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2


an ,不满足就分开写,但若能合写时一定要合并.

例:已知数列 {an } 的前 n 项和 sn ? 2n 2 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式

1、 (珠海市 2013 届高三上学期期末) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ?

an (an ? 2) 4

(n ? N* ) .(1)求 a1 的值及数列 ?an ? 的通项公式; an ? 2n .

1

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2、 (江门市 2013 届高三上学期期末)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且对任意正 整数 n ,点 (an?1 , S n ) 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上. ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; 解:因为点 (an?1 , S n ) 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上,所以 2an ?1 ? Sn ? 2 ? 0 ……1 分, 当 n ? 1 时, 2an ? S n?1 ? 2 ? 0 ……2 分,两式相减得

2an?1 ? 2an ? S n ? S n?1 ? 0 ,即 2an?1 ? 2an ? an ? 0 , a n ?1 ?
又当 n ? 1 时, 2a2 ? S1 ? 2 ? 2a2 ? a1 ? 2 ? 0 , a 2 ? 所以 ?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ?

1 a n ……3 分 2

1 1 ? a1 ……4 分 2 2

1 的等比数列……5 分, 2

?an ?的通项公式为 an

1 ? ( ) n ?1 ……6 分. 2

三 . 累 加 法 ** : 适 合 an ?1 ? an ? f (n) 型 的 递 推 数 列 。 若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) , 则

a2 ? a1 ? f (1) a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)
基础题: 1、已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 将式子列出后, 两边分别相加得 an ?1 ? a1 ?

? f ( n)
k ?1

n

2、已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

3、设数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 2

2 n?1

,求数列 {an } 的通项公式

2

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中档题: 1.(2008 江西文、理)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? ln ?1 ? A. 2 ? ln n B. 2 ? ? n ?1? ln n

? ? C. 2 ? n ln n

1? ? ,则 an =( A ) n? D. 1 ? n ? ln n

四.累乘法**:适合 an?1 ? f (n)an 型的递推数列。



an?1 a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ??,n ?1 ? f (n) an a1 a2 an
n an?1 ? a1 ? ? f (k ) a1 k ?1

两边分别相乘得,

基础题: 1、 在数列 ?an ? 中,a1 ?

1 n ?1 1 , an ? ? an ?1 (n ? 2) , 求数列 {an } 的通项公式。an = 2 n ?1 n(n ? 1)

2、 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

3、已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

4、已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

3

紧扣难点,方法至上! 五、待定系数法 解题基本步骤: 1、确定 f ( n) 2、设等比数列 ?an ? ?1 f (n)? ,公比为 适用于 an?1 ? qan ? f (n) 型的递推数列

教研员:陈老师

3、列出关系式 an?1 ? ?1 f (n ? 1) ? ?2 [an ? ?2 f (n)] 4、比较系数求 ?1 , ?2 5、解得数列 ?an ? ?1 f (n)? 的通项公式 6、解得数列 ?an ? 的通项公式

为了方便同学们更好地掌握待定系数法求通项,以下再进行分类。 类型一:常数型***。可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地,形如 a n?1 =p a n +q (p≠1,pq≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数 q 分解法:设 a n?1 +k=p(a n +k) 与原式比较系数可得 pk-k=q,即 k= 学会对应系数就行。 1.数列{a n }满足 a 1 =1, 3an?1 ? an ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。

q ,从而构造出等比数列{a n +k}。不用硬记公式, p ?1

7 3 1 k 7 7 设 a n ?1 ? k ? ? (a n ? k ) ,比较系数得 ? k ? ? 解得 k ? ? 3 3 3 4 7 1 7 7 3 ∴{ a n ? }是以 ? 为公比,以 a1 ? ? 1 ? ? ? 为首项的等比数列 4 3 4 4 4 7 3 1 n ?1 7 3 1 n ?1 ∴ a n ? ? ? ? (? ) ? a n ? ? ? (? ) 4 4 3 4 4 3
解:由 3an?1 ? an ? 7 ? 0 得 a n ?1 ? ? a n ? 2. ( 2006 ,重庆 , 文 ,14 )在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项

1 3

an ? _______________
3.(2006. 福建.理 )已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公 式;
4

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类型二、指数型***** an?1 ? pan ? q n 对于这种类型,方法往往是两边同时除以该指数幂, 至于除以多少,则是根据下标同步的原则来决定。 (其中 p,q 均为常数,

( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) 。

(或 an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数) 。解法:一

般地,要先在原递推公式两边同除以 q n?1 ,得:

an?1 p an 1 ? ? ? 引入辅助数列 ?bn ? (其 q n?1 q q n q

中 bn ?

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再待定系数法解决。 n q q q

1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 3n ? 2an?1 (n ? 2) ,求 an .

an 2a ?1 an 2 a n ?1 ? 1? n ? 1? ? n n n 3 3n ?1 3 3 3 an 2 2 2 1 设 bn ? n ,则 bn ? 1 ? bn ?1 .令 bn ? t ? (bn ?1 ? t ) ? bn ? bn ?1 ? t 3 3 3 3 3 a 2 8 条件可化成 bn ? 3 ? (bn ?1 ? 3) , 数列 ? bn ? 3? 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 3 ? ? 为首项, ?t ? 3. 3 3 3 an 2 8 2 n ?1 为公比的等比数列. bn ? 3 ? ? ? ( ) .因 bn ? n , 3 3 3 3 8 2 ? a n ? bn 3n ? 3n (? ? ( ) n ?1 ? 3) ? an ? 3n?1 ? 2n?2 . 3 3 n ?1 点评:递推式为 an?1 ? pan ? q n?1 (p、q 为常数)时,可同除 q ,得 an?1 p an a 从而化归为 an?1 ? pan ? q (p、q 为常数)型. ? ? n ? 1 ,令 bn ? n n ?1 q q q qn
解:将 an ? 3n ? 2an?1 两边同除 3 ,得
n

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 4 1 n ?1 2 ? ?求首项 a1 与通项 an ; 2、设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? a n ? ? 2 ? , n ? 1, 2,3,? 3 3 3
1 、已知数列 ?an ? 中, a1 ?

5

紧扣难点,方法至上! 类型三、一次函数、二次函数或者混合型 ******

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、 0,a ? 0) an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1

解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 , 即 令

an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) , 与 已 知 递 推 式 比 较 , 解 出 x, y , 从 而 转 化 为

?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。而对于更普遍的 an?1 ? qan ? f (n)

型的递推数列,

都可以设等比数列 ?an ? ?1 f (n)? ,列出关系式 an?1 ? ?1 f (n ? 1) ? ?2 [an ? ?2 f (n)] 比较系数求 ?1 , ?2 ,解得数列 ?an ? ?1 f (n)? 的通项公式,再解得数列 ?an ? 的通项公式 例:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

1、已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n )

2. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)

3、已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1,a1 ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式。

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4、已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x(n ? 1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z)

六、连续迭代型******形如 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。先把原递推公式转 化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q

例、数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, an?2 ? 3an?1 ? 2 an =0,求数列{a n }的通项公式。 分析:递推式 an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合,即把中 间一项 a n ?1 的系数 分解成 1 和 2,适当组合,可发现一个等比数列 {an ? an?1} 。 解:由 an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 得 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? 0 即 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an) ,且 a2 ? a1 ? 5 ? 2 ? 3 ∴ {an?1 ? an }是以 2 为公比,3 为首项的等比数列 ∴ an?1 ? an ? 3 ? 2 n?1 利用累加法可得 an?1 ? (an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 = 3? 2
n ?1

? 3 ? 2 n?2 ? ? ? 3 ? 2 0 ? 2

= 3 ? (2 =3?

n?1

? 2 n?2 ? ? ? 2 ? 1) ? 2

1 ? 2n ?2 1? 2
n

= 3? 2 ?1

∴ an ? 3 ? 2n?1 ? 1

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1、已知数列 {an } 满足 an?2 ? 5an?1 ? 6an , a1 ? ?1, a2 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

2、 (2006.福建.文.22)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式;

r 七、幂迭代型*****形如 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0) 型的递推形式

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。 1、 (东莞市 2013 届高三上学期期末)设数列 ?an ? ?bn ? 的各项都是正数, Sn 为数列 ?an ? 的 前 n 项和,且对任意 n ? N 。都有 an 2 ? 2Sn ? an , b1 ? e , bn?1 ? bn 2 , cn ? an ? ln bn (e 是 自然对数的底数,e=2.71828……) (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; 解: (1)因为 an ? 0 , an ? 2Sn ? an ,① 当 n ? 1 时, a1 ? 2S1 ? a1 ,解得 a1 ? 1 ; 当 n ? 2 时,有 an?1 ? 2Sn?1 ? an?1 ,②
2 2
?

2

…………1 分

2 n ? 2 ). 由①-②得, an ? an ?1 ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? (an ? an?1 ) ? an ? an?1 (

2

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2 而 an ? 0 , 所以 an ? an?1 ? 1 (n ? 2) , 即数列 {an } 是等差数列, 且 an ? n .又因为 bn ?1 ? bn ,

且 bn ? 0 ,取自然对数得 ln bn ?1 ? 2 ln bn ,由此可知数列 {ln bn } 是 以 ln b1 ? ln e ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,所以 ln bn ? ln b1 ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,所以

bn ? e2 .
1、已知数列{ an }中, a1 ? 1, a n ?1 ?

n?1

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 . a

2、 (2006,山东,理,22)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,…。 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (提示:注意代入后,右边进行配方。 )

八、压轴难点之分式型递推公式 类型一:********* a n?1 ?

f ( n) a n 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转 g ( n) a n ? h( n)

化为 an?1 ? pan ? q 型求解。 1:已知 an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求通项。 3 ? an?1 ? 1

? an ?

1 3n ? 2

2、 (2006,江西理)已知数列{an}满足:a1= 求数列{an}的通项公式;

3 3na n-1 (n ? 2,n ? N?) ,且 an= 2 2a n-1+n- 1

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解:将条件变为:1-

1 n-1 n n =( ,因此{1- }为一个等比数列,其首项为 1- ) a n-1 an 3 an

1 1 n ? 3n 1 1 n 1- = ,公比 ,从而 1- = ,据此得 an= n (n?1) 3 3 -1 a1 3 a n 3n

3.(2011 广东理)设 b ? 0, 数列 ?an ? 满足 a1 =b, an ?
解:(1)方法一:由an ? 当b ? 2时, nban ?1 n 2 n ?1 1 可得 ? ? ? , an ?1 ? 2n ? 2 an b an ?1 b

nban ?1 (n ? 2) , an ?1 ? 2n ? 2

n n ?1 1 n 1 1 1 n n ? ? , 则数列{ }是以 ? 为首项, 为公差的等差数列,? ? , 从而an ? 2. an an ?1 2 an a1 2 2 an 2

n 1 2 n ?1 1 当b ? 2时, ? ? ( ? ), an 2 ? b b an ?1 2 ? b 则数列{ ? n 1 1 1 2 2 ? }是以 ? ? 为首项, 为公比的等比数列, an 2 ? b a1 2 ? b b(2 ? b) b

2、

n 1 2 2 1 2 nb n (2 ? b) ? ? ? ( ) n ?1 ? ? ( ) n ,? an ? n , an 2 ? b b(2 ? b) b 2?b b 2 ? bn

(b ? 2) ?2, ? n 综上an ? ? nb (2 ? b) . (b ? 0, b ? 2) ? n n ? 2 ?b

练习 1、已知数列{ a n }满足 a1 ? 1, n ? 2 时, a n?1 ? a n ? 2a n?1 a n ,求通项公式。

2、已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? 以式子右边的

an an?1 ,求 an

(答: an ?

1 )两边同时除 n2

an an?1

,得到等差数列)

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紧扣难点,方法至上! 类型二:******** a n ?1 ?

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pan ? q (可以用不动点法求通项) ra n ? h

1、不动点的定义:一般的,设 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? x0 成立, 则称 x0 为 f ( x ) 的不动点,或称 ( x0 , x0 ) 为 f ( x ) 图像的不动点。 2 、不动点求通项解法:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有

an?1 ?

pan ? q h (其中 p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? ) ,那么,可作特 r ra n ? h
? 1 ? px ? q ,当特征方程有且仅有一根 x0 时,则 ? ? 是等差数列;当特征方程有 rx ? h ? an ? x0 ? ? an ? x1 ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?

征方程 x ?

两个相异的根 x1 、 x2 时,则 ?

例 1 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? ?

a n ?4 ,求 ?an ? 通项公式. an ? 3

解 法 1 特征方程 x ? ?

a ?4 a ?2 x?4 ,得 x1 ? x2 ? ?2 . a n ?1 ? 2 ? ? n .两 ?2= n x?3 an ? 3 an ? 3

边取倒数,有 解得 a n ?

2 3n ? 2 1 1 1 1 . ? ? 1 .故 ? ? ?n ? 1? ? 1= n ? ? 3 3 a n?1 ? 2 a n ? 2 a n ? 2 a1 ? 2

7 ? 6n . 3n ? 2

例 2(2012 高考全国卷)已知数列 ?xn ? 满足 x1 ? 2, x n ?1 ?

4 xn ? 3 ,求 ?xn ? 通项公式. xn ? 2

解 法 1 特征方程为 t ?

x ?3 4t ? 3 ,解得 t ? 3或t ? ?1 ,所以 xn?1 ? 3 ? n , t?2 x n ?2

xn?1 ? 1 ?

5( xn ? 1) x ? 3 1 xn ? 3 x ?3 2 ? 3 1 ,两式相除有 n?1 .而 1 ? ? ? ? ? ,所以有 xn ? 2 xn?1 ? 1 5 x n ?1 x1 ? 1 2 ? 1 3
n ?1

xn ? 3 1?1? ?? ? ? xn ? 1 3?5?
练习

,解得 x n ?

9 ? 5 n ?1 ? 1 3 ? 5 n ?1 ? 1

1、已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ?

an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3

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2、已知数列 {an } 满足:对于 n ? N, 都有 an?1 ?

13an ? 25 . an ? 3

ax 2 ? b (a ? 0) ,且 x1 、x2 是 f ( x ) 的不动点,数列 {a n } 满 类型三:********* 设 f ( x) ? 2ax ? d
足递推关系 an ? f (an?1 ) , n ? 2,3,? ,则有

an ?1 ? x1 a ? x1 2 a ?x ?( n ) ;若 1 1 ? 0 ,则 a1 ? x2 an ?1 ? x 2 an ? x 2

? an ? x1 ? ?ln ? 是公比为 2 的等比数列。 ? a n ? x2 ?
2 2 证 : ∵ x1 、x 2 是 f ( x ) 的 不 动 点 , ∴ dx1 ? b ? ax1 , dx2 ? b ? ax2 。

an?1 ? x1 a ? an 2 ? b ? (2a ? an ? d ) x1 a ? an 2 ? b ? 2a ? an ? x1 ? ax12 ? b ? ? an?1 ? x2 a ? an 2 ? b ? (2a ? an ? d ) x2 a ? an 2 ? b ? 2a ? an ? x2 ? ax2 2 ? b ?
2 a ?x a(an ? 2an ? x1 ? x12 ) a ?x a ?x ? ( n 1 )2 ,又 1 1 ? 0 ,则 n 1 ? 0 , 2 2 a1 ? x2 an ? x2 a(an ? 2an ? x2 ? x2 ) an ? x2

∴ ln

? a ?x ? an?1 ? x1 a ?x ? 2ln n 1 ,故 ?ln n 1 ? 是公比为 2 的等比数列。 an?1 ? x2 an ? x2 ? a n ? x2 ?
2 xn ?3 .⑴求证: xn ? 3 ; 2 xn ? 4

例4 (2010 东城区二模试题)已知数列 {xn } 满足 x1 ? 4 , xn ?1 ? ⑵求证: xn?1 ? xn ;⑶求数列 {xn } 的通项公式. 证:⑴、⑵证略;⑶依题 xn ?1 ?

2 xn ?3 x2 ? 3 ,记 f ( x) ? ,令 f ( x) ? x ,求出不动 2 xn ? 4 2x ? 4 2 xn ?3 ( x ? 1)2 ?1 ? n 2 xn ? 4 2 xn ? 4



x1 ? 1, x2 ? 3 ; 由 定 理
2 xn ?3 ( x ? 3)2 ?3? n , 2 xn ? 4 2 xn ? 4

3





xn ?1 ? 1 ?



xn ?1 ? 3 ?

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x1 ? 1 4 ? 1 x ?1 x ?1 xn ?1 ? 1 ? xn ? 1 ? ? ? 3 ,所以 log3 n ?1 ? 2log 3 n ?? 所以 . ? ,又 x1 ? 3 4 ? 3 xn ?1 ? 3 xn ? 3 xn ?1 ? 3 ? xn ? 3 ?
又 log 3

x1 ? 1 x ?1 ? 1 ,令 an ? log3 n ,则数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列.所 x1 ? 3 xn ? 3
n ?1

xn ? 1 3an ?1 ? 1 32 ?1 ? 1 xn ? 1 an n ?1 ? 3 .所以 xn ? a ? 2n?1 以 an ? 2 .由 an ? log 3 ,得 . xn ? 3 3 n ?1 xn ? 3 3 ?1

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