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2.3等差数列的前n项和(1)

时间:2012-11-10


2.3 等差数列的 前n项和 (一)

复习引入
1. 等差数列定义:

即an-an-1 =d (n≥2).

复习引入
1. 等差数列定义:

即an-an-1 =d (n≥2).
2. 等差数列通项公式: (1) an=a1+(n-1)d (n≥1).

(2) an=am+(n-m)d .
(3) an=pn+q (p、q是常数)

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3. 几种计算公差d的方法:

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3. 几种计算公差d的方法:
d ? a n ? a n ?1
d? an ? a1 n?1
an ? am n?m

d?

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4. 等差中项

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4. 等差中项
A? a?b 2 ? a , A, b 成等差数列.

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5. 等差数列的性质

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5. 等差数列的性质

m+n=p+q ? am+an=ap+aq. (m,n,p,q∈N)

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6. 数列的前n项和:

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6. 数列的前n项和: 数列{an}中,
a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

称为数列{an}的前n项和,记为Sn.

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小故事”1、2、3 高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时, 有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家 在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时, 高斯站起来回答说:“1+2+3+…+100=5050.” 教师问:“你是如何算出答案的?” 高斯回答说:“因为1+100=101;2+99=101;… 50+51=101,所以101×50=5050”.

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“倒序相加”法

讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一

讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一

Sn ?

n(a1 ? an ) 2

讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二

讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
S n ? na1 ? n( n ? 1)d 2

讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
S n ? na1 ? n( n ? 1)d 2

还可化成
Sn ? d 2 n ? (a1 ?
2

d 2

)n

讲解范例:
例1. (1)已知等差数列{an}中,a1=4, S8=172,求a8和d; (2)等差数列-10,-6,-2,2, …前多少项的和是54?

讲解范例:
例 2. 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关 于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标: 从 2001 年起用 10 年的时间,在全市中小 学建成不同标准的校园网. 据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万 元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投 入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 起的未来 10 年内,该市在“校校通” 工程中的总投入是多少?

讲解范例:
例3. 求集合
M ? {m | m ? 7n, n ? N * 且m ? 100}

的元素个数,并求这些元素的和.

讲解范例:
例4. 等差数列{an}的前n项和为Sn,若
S12=84,S20=460,求S28.

练习:
1. 在等差数列{an}中,已知a3+a99=200, 求S101. 2. 在等差数列{an}中,已知a15+a12+a9 +a6 =20,求S20.

讲解范例:
例5. 已知等差数列{an}前四项和为21,
最后四项的和为67,所有项的和为

286,求项数n.

讲解范例:
例6. 已知一个等差数列{an}前10项和为 310,前20项的和为1220,由这些条件 能确定这个等差数列的前n项的和吗?

思考:
1. 等差数列中,S10,S20-S10,S30-S20 成等差数列吗?
2. 等差数列前m项和为Sm,则Sm, S2m-Sm,S3m-S2m是等差数列吗?

练习:
教材P.45练习第1、3题.

课堂小结
1. 等差数列的前n项和公式一:

Sn ?

n(a1 ? an ) 2
n( n ? 1)d 2

2. 等差数列的前n项和公式二:
S n ? na1 ?


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