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多项式的零点高中和奥数讲义


第十讲 多项式的零点
一、多项式的零点和性质 1、多项式函数定义: 设 f ( x) ? an x n ? ...... ? a1 x ? a0 ? D[ x], ?? ? D, 则 f (? ) ? D , 即 对 每 个
? ? D ,由 f (x) 对应了一个属于 D 的值, f (x) 称为 D 上的多项式

函数。 2、多项式的零

点定义: 如果 D 中的数 ? 使 f (? ) =0,则称 ? 是 f (x) 的零点,或 f (x) 的根。 3、性质: 1) (因式定理) 设 f ( x) ? D[ x] , x ? ? 是 f (x) 的零点的充分必要条件是 f (x) 被 x ? ? 则 整除。即: x ? ? | f (x) 2)推论 设 f ( x) ? D[ x] , ? 1 , ? 2 ,..., ? k ? D 是 f (x) 的 不 同 的 零 点 , 则 f (x) 被
( x ? ? 1 )...( x ? ? k ) 整除。即: ( x ? ? 1 )...( x ? ? k ) | f (x)

例 4 给定 2n 个互不相同的复数 a1 ,..., an , b1 ,..., bn ,将它们按下列规则填 入 n×n 方格表中:第 i 行和第 j 列相交处的方格内填
ai ? b j (i,j=1,…,n).

证明:若各列数的乘积相等,则各行数的乘积也相等. 分析:由题意规则得以下 n×n 方格表

a1 ? b1

a1 ? b2

… … … …

a1 ? bn

a2 ? b1

a2 ? b2

a2 ? bn


an ? b1


an ? b2


an ? bn
令 g(x)=( a1 ? x )( a 2 ? x )…( a n ? x ) 当 x ? bi ,i=1,…,n

令: ( a1 ? b1 )( a2 ? b1 )…( an ? b1 ) =( a1 ? b2 )( a2 ? b2 )…( an ? b2 ) =… =( a1 ? bn )( a2 ? bn )…( an ? bn ) =C 证明:设各列数的乘积等于 C,考虑多项式

g (bi ) ? C

bi 是 g ( x) ? C 的根,
也是 g ( x) ? C ? 0 的根 因此设 f ( x) ? g ( x) ? C

f ( x) ? (a1 ? x)( a2 ? x)...( an ? x) ? C

由已知条件得

f (bi ) ? 0

(i=1,…,n)

bi 是 f (x) 的零点

因为 bi 是互不相等的, n 次多项式 f (x) 有 n 个不同的根 由性质推论可得:
f (x) 被 ( x ? b1 )......( x ? bn ) 整除

即: ( x ? b1 )......( x ? bn ) | f (x)

又因为 f (x) 的首项系数为 1 所以
f (x) = ( x ? b1 )......( x ? bn )
(a1 ? x)( a 2 ? x)...( a n ? x) ? C = ( x ? b1 )......( x ? bn )

令 x ? ?ai

(i=1,…,n)
? C ? (?1) n (ai ? b1 )......( ai ? bn )

所以

(ai ? b1 )......( ai ? bn ) ? (?1) n?1 C

因此各行数的乘积也相等

二、模为素数的同余方程 1、同余方程定义: 设 f ( x) ? a n x n ? ...... ? a1 x ? a0 是一个整系数多项式,p 为一个素数,称
f ( x) ? 0( m o p) d

1 ○

为同余方程,如果整数 a 满足 f (a) ? 0(mod p) ,则 a 是 f (x) 模 p 的一个 1 零点或是同余方程○的一个解。 2、拉格朗日定理: 设 f ( x) ? a n x n ? ...... ? a1 x ? a0 是整系数多项式, p 的次数为 n,则同余 模 1 方程○至多有 n 个互不相同的解。 3、推论: 设 f ( x) ? a n x n ? ...... ? a1 x ? a0 是整系数多项式,p 是素数,且 n<p,如果 1 同余方程○至少有 n+1 个互不相同的解,则 f (x) 模 p 恒为零,即所 有系数 a i (i=1,…,n)均被 p 整除 4、费马小定理: 当 p 为素数时,对任意的 a , (a, p) ? 1 ,有
a p ? a(mod p) 或 a p ?1 ? 1(mod p)

5、威尔逊定理: 若 p 为素数,则
( p ? 1)!?1 ? 0( m o p) d

例 5 用推论及 费马小定理证明威尔逊定理 证明:设 p 是素数,要证 ( p ? 1)!?1 ? 0(mod p) 当 p=2 时, 2 ? 0(mod 2) 显然成立

当 p ? 3 时,考虑 p-2 次多项式

f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)......( x ? p ? 1) ? x p ?1 ? 1

只需证明同余方程 f ( x) ? 0(mod p) 有 n-1 个不同的根,就 能运用推论证得结论。
f (1) ? 0
f (2) ? ?2 p ?1 ? 1

f (1) ? 0(mod p)

1 是同余方程的一个根

由费马小定理得

d 2 p ?1 ? 1( m o p) ? 1 ? 2 p ?1 ? 0( m o p) d

f (2) ? 0(mod p) 2 是同余方程的一个跟

… 同理可得 与 P 互素的模 p 值都是同余方程的根 因此,同余方程 f ( x) ? 0(mod p) 的根为
x ? 1,2,......, p ? 1(mod p)

共 p-1 个根

那么由推论得 f (x) 的系数都被 p 整除, 特别地,常数项 (?1) p ?1 ( p ? 1)!?1也被 p 整除,p-1 是偶数 因此
( p ? 1)!?1 ? 0(mod p)

推广:此外还能顺便证明 1,2,…,p-1 的和,两两乘积 之和也能被 p 整除


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