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2012年新课标版高考题库考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型


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考点 49
一、选择题

随机事件的概率、古典概型、几何概型

1.(2012·湖北高考理科·T8)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆。在扇形

OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的 概率是( )

(A) 1 ?

2 ?

(B) ?

1 2

1 ?

(C)

2 ?

(D)

1 ?

【解题指南】本题考查几何概型,解答本题的关键是充分利用图形的特征,求 出阴影部分的面积,再代入概率公式求解. 【解析】选 A. 设 OA=2, 则扇形 OAB 的面积为π .阴影部分的面积为:
? ?2 1 1 1 1 ( ? ? ) ? 2 ? ? ? [? ? ( ? ? ) ? 2] ? ? ? 2 ,由p P? 可知结果. ? 4 2 4 2

2.(2012·湖北高考文科·T10)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别 以 OA,OB 为直径作两个半圆。在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分 的概率是( )

(A) ?

1 2

1 ?

(B)

1 ?

(C)1 ?
-1-

2 ?

(D)

2 ?

【解题指南】本题考查几何概型,解答本题的关键是充分利用图形的特征,求 出阴影部分的面积,再代入概率公式求解. 【解析】选 C. 设 OA=2, 则扇形 OAB 面积为π .阴影部分的面积为:
1 1 1 1 ( ? ? ) ? 2 ? ? ? [? ? ( ? ? ) ? 2] ? ? ? 2 ? ?2 4 2 4 2 ,由 p P? 可知结果.

?

3.(2012·北京高考文科·T3)与(2012·北京高考理科·T2)相同

设不等式组

表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点 )
4 ?? (D) 4

到坐标原点的距离大于 2 的概率是(
? (A) 4

? ?2

(B) 2

? (C) 6

【解题指南】分别求出平面区域 D 及到原点距离大于 2 的点所对应区域的面积, 作比即可求出概率. 【解析】选 D.平面区域 D 的面积为 4,到原点距离大于 2 的点位于图中阴影部
4 ?? 分(不含圆弧边界) ,其面积为 4- ? ,所以所求概率为 4 .

y

2

O

2

x

4.(2012·辽宁高考文科·T11)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一 矩形, 邻边长分别等于线段 AC,CB 的长, 则该矩形面积大于 20cm2 的概率为(
1 (A) 6 1 (B) 3
2 (C) 3

)

4 (D) 5

【解题指南】设其中一段长为 x cm,则另一段长为 (12 ? x) cm,其中 0 ? x ? 12 ,
-2-

利用 x(12 ? x) ? 20 求得 x 的取值范围,利用几何概型求得概率. 【解析】选 C. 设其中一段 AC 长为 x cm,则另一段 BC 长为 (12 ? x) cm,其中 0 ? x ? 12 由题意 x(12 ? x) ? 20 ? 2 ? x ? 10 ,则点 C 的取值长度为
8 2 ? 12 3. 8cm,故概率为

5.(2012·辽宁高考理科·T10)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一 矩形, 领边长分别等于线段 AC, CB 的长, 则该矩形面积小于 32cm2 的概率为 ( )
1 (A) 6 1 (B) 3 2 (C) 3 4 (D) 5

【解题指南】设其中一段长为 x cm,则另一段长为 (12 ? x) cm,其中 0 ? x ? 12 , 利用 x(12 ? x) ? 32 求得 x 的取值范围,利用几何概型求得概率. 【解析】 选 C. 设其中一段 AC 长为 x cm, 则另一段 BC 长为 (12 ? x) cm, 其中 0 ? x ? 12 ,
8 2 ? x (12 ? x ) ? 32 ? 0 ? x ? 4 或 8 ? x ? 12 由题意 , 则点 C 的取值长度为 4+4=8cm, 故概率为 12 3 .

6.(2012·安徽高考文科·T10)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其 中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的 概率等于(
1 (A) 5

)
2 (B) 5 3 (C) 5 4 (D) 5

【解题指南】先将所有结果一一列出,再根据古典概型即可求出两球颜色为一 白一黑的概率. 【解析】选 B .1 个红球,2 个白球和 3 个黑球分别记为 a1 , b1 , b2 , c1 , c2 , c3 , 从袋中任取两球有 ,共 15 种;
6 2 ? 满足两球颜色为一白一黑的有 6 种,概率等于 15 5 .

-3-

二、填空题 7. (2012·江苏高考·T6)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为 公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率 是 .

【解题指南】从等比数列的通项公式和等可能事件的概率两方面处理.
2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】这十个数是 1, ?3, (?3) , (?3) , (?3) , (?3) , (?3) , (?3) , (?3) , ( ?3) ,所以它小于 8

6 3 ? 的概率等于 10 5 . 3 【答案】 5

8.(2012·浙江高考文科·T12)从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,
2 随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为 2 的概率是___________. 2 【解题指南】古典概型问题, 该两点间的距离为 2 的事件可列举得出. 2 【解析】若使两点间的距离为 2 ,则为对角线一半,选择点必含中心,概率为
1 C4 4 2 ? ? 2 C5 10 5 .

2 【答案】 5

9.(2012·新课标全国高考理科·T15)某一部件由三个电子元件按下图方式连 接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设 三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1 000, 50 ) ,且 各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概 率为
-42

【解题指南】由正态分布的意义求得三个元件使用寿命超过 1 000 小时的概率, 然后将部件的使用寿命超过 1 000 小时的可能情况列出,利用相互独立事件的 概率公式求解. 【解析】设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A,B,C,显 然
P ? A? ? P ? B ? ? P ? C ? ? 1 2,

?该部件的使用寿命超过 1000 小时的事件为

? AB ? AB ? AB ? C ,

?1 1 1 1 1 1? 1 3 p ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?2 2 2 2 2 2? 2 8. ?该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为

3 【答案】 8

三、解答题 10.(2012·江西高考文科·T18)如图所示,从 A1(1,0,0) ,A2(2,0,0) , B1(0,1,0,) ,B2(0,2,0) ,C1(0,0,1) ,C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点.

(1)求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率. (2)求这 3 点与原点 O 共面的概率.
-5-

【解题指南】把从 6 个点中取 3 个点的情况全部列举出来,然后找出(1) (2) 情况中所包含的基本事件的个数,把比值求出来得所求概率. 【解析】从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果是:
x 轴上取 2 个点的有 A1 A2 B1 , A1 A2 B2 , A1 A2C1 , A1 A2C2 ,共 4 种;
y 轴上取 2 个点的有 B1B2 A1 , B1B2 A2 , B1B2C1 , B1 B2C2 ,共 4 种;

z 轴上取 2 个点的有 C1C2 A1 , C1C2 A2 , C1C2 B1 , C1C2 B2 ,共 4 种;

所选取的 3 个点在不同坐标轴上的有 A1B1C1 , A1B1C2 , A1B2C1 , A1B2C2 , A2 B1C1 , A2 B1C2 ,
A2 B2C1 A2 B2C2

,共 8 种.因此,从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果共

20 种. (1)选取的这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有:
A1 B1C1 , A2 B2C2
p1 ?

,共 2 种,因此,这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的

概率为 P1

2 1 ? 20 10 .

(2)选取的这 3 个点与原点 O 共面的所有可能结果有:
A1 A2 B1 , A1 A2 B2 , A1 A2C1 , A1 A2C2 , B1B2 A1 , B1B2 A2

, B1B2C1 , B1B2C2 , C1C2 A1 , C1C2 A2 , C1C2 B1 , C1C2 B2 ,

共 12 种,因此,这 3 个点与原点 O 共面的概率为
p2 ?

P2

12 3 ? 20 5 .

11.(2012·山东高考文科·T18)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号 分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为 1,2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的 概率. (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这 两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率.
-6-

【解题指南】 (I)本题考查古典概型,要将基本事件都列出,然后找两张卡片 颜色不同且标号之和小于 4 所含的基本事件的个数,由古典概型概率公式求得 结果.(II)再放入一张标号为 0 的绿色卡片,列出基本事件,然后找出这两张 卡片颜色不同且标号之和小于 4 所含的基本事件的个数,由古典概型概率公式 求得结果. 【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2, 红 1 红 3,红 1 蓝 1,红 1 蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1, 红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况, 故所求的概率为
P? 3 10 .

(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种 情况外,多出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0, 即共有 15 种情况,其中颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为

P?

8 15 .

12.(2012·天津高考文科·T15)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所, 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (II)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, (1)列出所有可能的抽取结果; (2)求抽取的 2 所学校均为小学的概率. 【解题指南】按抽取的比例计算抽取的学校数目;用列举法、古典概率公式计 算概率. 【解析】 (I)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1.
-7-

(II) (1)在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1 , A2 , A3 ,2 所中 学分别记为 A4 , A5 ,1 所大学记为 A6 ,则抽取 2 所学校的所有可能结果为
{ A1 , A2 },{ A1 , A3},{A1 , A4 },{A1 , A5 },{A1 , A6 }, { A2 , A3},{ A2 , A4 },{ A2 , A5},{ A2 , A6 } { A3 , A4 },{ A3 , A5},{ A3 , A6 }



, { A4 , A5 },{ A4 , A6 } , { A5 , A6 } ,共 15 种.

(2)从这 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结 果为
{ A1 , A2 },{ A1 , A3},{ A2 , A3}
3 1 P( B) = = 15 5 . ,共 3 种,所以

13. (2012·新课标全国高考文科·T18)某花店每天以每枝 5 元的价格从农 场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完,剩下的 玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求 量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10

(1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位: 元)的平均数; (2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求 量发生的概率,求当天的利润不少于 75 元的概率. 【解题指南】 (I)根据题意建立利润与需求量的分段函数; (II) (1)由表中数据,每一段上的(天数 ? 利润)求和后再取平均值,即得平 均数; (2)通过表格求得各段上的频率,然后利用互斥事件的概率加法公式求 得不少于 75 元的概率. 【解析】(I)当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 85 ,
-8-

当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10n ? 85 , 所以 y 关于 n 的函数解析式为

(II)(1)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元.16 天的日 利润为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的日利润的平均数为
1 ? 55 ?10 ? 65 ? 20 ? 75 ?16 ? 85 ? 54 ? ? 76.4 100 .

(2)利润不低于 75 元当且仅当日需求量不少于 16 枝,故当天的利润不少于 75 元 的概率为 p P ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7 . 14.(2012·陕西高考文科·T19) 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使 用寿命,现从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下:

(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率. (Ⅱ)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品 牌的概率. 【解析】 (Ⅰ) 甲品牌产品寿命小于 200 所以,甲品牌产品寿命小于 200
5 ? 20 1 ? 小时的频率为 100 4 , 用频率估计概率,

1 小时的概率为 4 .
-9-

(Ⅱ)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个,其中甲品牌 产品是 75 个,所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是
75 15 15 ? 145 29 , 用频率估计概率, 所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 29 .

15.(2012·福建高考文科·T17)
s10 ? 55 在等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 中, a1 ? b1 ? 1 , b4 ? 8 , {an } 的前 10 项和 S . 10

(Ⅰ)求 an 和 bn . (Ⅱ)现分别从 {an } 和 {bn } 的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件, 并求这两项的值相等的概率. 【解析】 (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q .依题意得,
S10 ? 10 ? 10 ? 9 d ? 55 b ? q 3 ? 8 2 , 4 ,

解得 d ? 1 , q ? 2 , 所以 an ? n , bn ? 2 . (Ⅱ)分别从 {an } 和 {bn } 的前 3 项中各随机抽取一项,得到的基本事件有 9 个:
(1,1) , (1, 2) , (1, 4) , (2,1) , (2, 2) , (2, 4) , (3,1) , (3, 2) , (3, 4) .
n ?1

符合题意的基本事件有 2 个: (1,1) , (2, 2) . 故所求的概率
P? 2 9.

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