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(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月11日)

时间:2014-07-08


【教师典型例题专讲】2014 届高三数学一轮提能一日一讲(11 月 11 日)
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内. 1.如图所示,下列长方体中由 如图所示的平面图形围成的是( )

解析 实际进行操作,D 成立. 答案 D 2.将长方体截去一个四棱

锥后,得到的 几何体的直观图如下图所示,则该几何体的俯 视图为( )

解析 如图所示,当俯视时,P 与 B,Q 与 C,R 与 D 重合,故选 C. 答案 C 3.(2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

560 3

B.

580 3

C.200

D.240

解析 该几何体是上、下底面均为矩形,左、右侧面均为等腰梯形的多面体,求体积时 1 把等腰梯形作为上、 下底面, 则几何体为一个高为 10 的四棱柱, 于是 V= ×(2+8)×4×10 2 =200. 答案 C 4.已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABCD,AB⊥BC,SA=AB=1,BC= 2, 则球 O 的表面积等于( )

A.4π C.2π

B.3π D.π

解析 如图所示,由 AB⊥BC 知,AC 为过 A,B,C,D 四点小圆直径, 所以 AD⊥DC. 又 SA⊥平 面 ABCD, 设 SB1C1D1-ABCD 为 SA,AB,BC 为棱长构造的长方体, 得体对角线长为 1 +1 +
2 2

2

2

=2R,
2

所以 R=1,球 O 的表面积 S=4π R =4π .故选 A. 答案 A 5.(2013·湖南卷)已知 棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正 方体的正视图的面积不可能 等于( ... )

A.1 C.
2-1 2

B. 2 D.
2+1 2

解析 由俯视图的面积为 1 可得底面与 水平面平行,当正方体正放时,正视图的面积 最小为 1,正方体旋转其正视图为其对角面时,面积最大为 2, 答案 C 6.(2013·唐山一模)点 A,B,C,D 均在同一球面上,其中△ABC 是正三角形,AD⊥平 面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为( ) 2-1 <1,故不可能. 2

A.32 3π C.64 3π

B.48π D.16 3π

解析 如图所示,O1 为三角形 ABC 的外心,过 O 做 OE⊥AD,∴OO1⊥面 ABC, ∴AO1= 3 AB= 3.∵OD=OA, 3

∴E 为 DA 的中点.∵AD⊥面 ABC, ∴AD∥OO1,∴EO=AO1= 3. ∴DO= DE +OE =2 3. ∴R=DO=2 3. 4 3 ∴V= π (2 3) =32 3π . 3 答案 A 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.将答案填在题中横线上. 7.(2013·陕西卷)某几何体的三视图如图所示,则其体积为________.
2 2

1 解析 由三视图可知,该几何体为底面半径为 1,高为 2 的圆锥的一半,则体积 V= 3 1 π π ×2× = . 2 3 答案 π 3

8.(2013·安徽江南十校联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所 示(图中三个四边形都是边长为 2 的正方形),则该几何体外接球的体积为________.

解析 由三视图可知,直观图为正方体 ABCD-A1B1C1D1 去掉三棱锥 B1-A1BC1,所以其外 接球的直径为正方体的体对角线的长度: 2 +2 +2 =2 3, 4π 3 V 球= ·( 3) =4 3π . 3 答案 4 3π 9. 如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, F 为线段 BC1 的中点, E 为线段 A1C1 上的动点, 则下列结论中正确的为________.
2 2 2

①存在点 E 使 EF∥BD1

②不存在点 E 使 EF⊥平面 AB1C1D ③EF 与 AD1 所成的角不可能等于 90° ④三棱锥 B1-ACE 的体积为定值 解析 ①中,若存在点 E 使 EF∥BD1, 则 BD1 ∥平面 A1BC1. 而 BD1∩平面 A1BC1=B,故①错; 当 E 为 A1C1 的中点时,EF∥A1B. 由 A1B⊥平面 AB1C1D 知,EF⊥平面 AB1C1D,故②错; 当 E 与 A1 重合时,△A1BC1 为等边三角形,此时 EF⊥BC1 而 BC1∥AD1,所以 EF⊥AD1,故 ③错; 因为 B1 到平面 ACE 的距离为定值,△ACE 的面积也为定值, 所以三棱锥 B1-ACE 的体积为定值,故④正确. 答案 ④ 三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10.(本小题 10 分)(2013·山西晋城一模)如图所示,在边长为 5+ 2的正方形 ABCD 中,以 A 为圆心画一个扇形,以 O 为圆心画一个圆,M,N,K 为切点,以扇形为圆锥的侧面, 以圆 O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.



设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,高为 h, + 2 2,

? ?l+r+ 2r= 由已知条件得?2π r π = , ? 2 ? l
解得 r= 2 ,l=4 2.

所以 S=π rl+π r =10π ,h= l -r = 30, 1 2 30π 2 V= π r h= . 3 3 11.(本小题 10 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,

2

2

2

E 分别是 AA1 和 B1C 的中点.

(1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 E-BCD 的体积.



(1)证明:取 BC 中点 G,连接 AG,EG,

因为 E 是 B1C 的中点, 1 所以 EG∥BB1,且 EG= BB1. 2 由直棱柱知,AA1 綊 BB1. 而 D 是 AA1 的中点,所以 EG 綊 AD. 所以四边形 EGAD 是 平行四边形. 所以 ED∥AG. 又 DE?平面 ABC,AG? 平面 ABC, 所以 DE∥平面 ABC. (2)解:因为 AD∥ BB1,所以 AD∥平面 BCE. 所以 VE-BCD=VD-BCE=VA-BCE=VE-ABC. 由(1)知,DE∥平面 ABC, 1 1 1 所以 VE-ABC=VD-ABC= AD· BC·AG= ×3×6×4=12. 3 2 6

12. (本小题 1 0 分)下图是一个几何体的直观图、 正(主)视图、 侧(左)视图、 俯视图. 其 中俯视图为正方形,正(主)视图为直角梯形,侧(左)视图为等腰直角三角形,且 CE 是中线.

(1)若 F 为 PD 的中点,求证:AF⊥面 PCD; (2)证明:BD∥面 PEC. 解 (1)由几何体的三视图可知, 底面 ABCD 是正方形, PA⊥面 ABCD, PA∥EB, PA=2EB.

∵PA=AD,F 为 PD 的中点,∴PD⊥AF. 又∵CD⊥DA,CD⊥PA,∴CD⊥AF,∴AF⊥面 PCD. (2)取 PC 的中点 M,连接 AC,BD 交于点 N,连接 MN,EM. 1 1 ∴MN= PA,MN∥PA,又由已知得 BE 綊 PA. 2 2 ∴MN=EB,MN∥EB,故 BEMN 为平行四边形. ∴EM∥BN,EM? 面 PEC,BD?面 PEC. ∴BD∥面 PEC.


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