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2014-2016年高考理科数列真题汇编含答案解析

时间:2017-02-17


高考数列选择题部分
(2016 全国 I) (3)已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27, a10 =8 ,则 a100 = (A)100 (B)99 (C)98 (D)97

(2016 上海)已知无穷等比数列 ?an ?的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,且 lim S n ? S .下列条
n??

件中,使得 2Sn ? S n ? N ? 恒成立的是() (A) a1 ? 0,0.6 ? q ? 0.7 (B) a1 ? 0,?0.7 ? q ? ?0.6 (C) a1 ? 0,0.7 ? q ? 0.8 (D) a1 ? 0,?0.8 ? q ? ?0.7

?

?

(2016 四川)5.【题设】某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015
年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则 该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg2≈0.30) ( A)2018 年(B)2019 年(C)2020 年(D)2021 年

(2016 天津) (5)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q<0”是“对任意的正整
数 n,a2n?1+a2n<0”的() (A)充要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件

( 2016 浙 江 ) 6. 如 图 , 点 列 {An} , {Bn} 分 别 在 某 锐 角 的 两 边 上 , 且

An An?1 ? An?1 An?2 , An ? An?2 , n ? N* , Bn Bn?1 ? Bn?1Bn?2 , Bn ? Bn?2 , n ? N* , ( P ? Q表示点P与Q不重合 ).
若 dn ? An Bn ,Sn为△An Bn Bn?1的面积,则

A. {Sn } 是等差数列 C. {dn } 是等差数列

B. {Sn } 是等差数列 D. {dn } 是等差数列 ( D、6 )
2

2

1.【2015 高考重庆,理 2】在等差数列 ?an ? 中,若 a2 =4, a4 =2,则 a6 = A、-1 B、0
2

C、1

2.【2015 高考福建,理 8】若 a, b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0 ? 的两个不同的零

点, 且 a, b, ?2 这三个数可适当排序后成等差数列, 也可适当排序后成等比数列, 则 p?q 的值等于() A.6 B.7 C.8 D.9

3.【2015 高考北京,理 6】设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是() A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3 B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

4.【2015 高考浙江,理 3】已知 {an } 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 S n ,若 a3 ,

a4 , a8 成等比数列,则()
A. a1d ? 0, dS 4 ? 0 B. a1d ? 0, dS 4 ? 0 C. a1d ? 0, dS 4 ? 0 D.

a1d ? 0, dS 4 ? 0
1.【2014 年重庆卷(理 02) 】对任意等比数列 {an } ,下列说法一定正确的是( )

A.a1 , a3 , a9 成等比数列 C.a2 , a4 , a8 成等比数列

B.a2 , a3 , a6 成等比数列 D.a3 , a6 , a9 成等比数列

2.【2014 年全国大纲卷(10) 】等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an} 的前 8 项 和等于( A.6 ) B.5 C.4 D.3

5.【2014 年福建卷(理 03) 】等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于 ( ) A.8 B.10 C.12 D.14

高考数列填空题部分
(2016 全国 I) (15)设等比数列 ?an ? 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 …an 的最大值为.

(2016 上海) 无穷数列 ?an ?由 k 个不 同的数组成, Sn 为 ?an ?的前 n 项和.若对任意 n ? N ? ,

Sn ??2,3?,则 k 的最大值为________.

(2016 北京) 12.已知 {an } 为等差数列,Sn 为其前 n 项和, 若 a1 ? 6 ,a3 ? a5 ? 0 , 则 S6 =
_______..

(2016 江苏)8.已知{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和.若 a1+a22=- 3,S5=10, 则 a9 的值
是 ▲ .

(2016 浙江)13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则 a1=,S5=.
5.【2015 高考安徽,理 14】已知数列 {an } 是递增的等比数列, a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8 ,则数 列 {an } 的前 n 项和等于. 6.【2015 高考新课标 2,理 16】设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an ?1 ? S n S n ?1 , 则 S n ? ________. 7.【2015 高考广东,理 10】在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 =. 8.【2015 高考陕西,理 13】中位数 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数 列的首项为. 9.【2015 江苏高考,11】数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an ?1 ? an ? n ? 1( n ? N * ) ,则数列 { 的前 10 项和为 3.【2014 年广东卷(理 13) 】若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e ,
5

1 } an

则 ln a1 ? ln a2 ? ? ? ln a20 ? 。 4. 【2014 年江苏卷 (理 07) 】 在各项均为正数的等比数列 {an } 中, 若 a2 ? 1,a8 ? a6 ? 2a2 , 则 a 6 的值是 .

6.【2014 年天津卷(理 11) 】设 {an } 是首项为 a1 ,公差为 ?1的等差数列, Sn 为其前 n 项 和,若 S1 、 S2 、 S4 成等比数列,则 a1 的值为____________. 7. 【2014 年北京卷 (理 12) 】 若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 ,a7 ? a10 ? 0 , 则当 n ? ________时 ?an ? 的前 n 项和最大.

高考数列简答题部分
(2016 全国 II)17.(本题满分 12 分)

,S7 ? 28. 记 bn = ?lg an ? ,其中 ? x ? 表示不超 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 =1
过 x 的最大整数,如 ?0.9? =0, ?lg99? =1 . (Ⅰ)求 b1,b11,b101 ; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 1 000 项和.

(2016 全国 III) (17) (本小题满分 12 分)
已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 1 ? ? an ,其中 ? ? 0 . (I)证明 {an } 是等比数列,并求其通项公式; (II)若 S5 ?

31 ,求 ? . 32

(2016 北京)20.(本小题 13 分)
设数列 A: a1 , a2 ,… aN ( N ? ).如果对小于 n ( 2 ? n ? N )的每个正整数 k 都有 ak < an , 则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻”.记“ G ( A) 是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合. (1)对数列 A:-2,2,-1,1,3,写出 G ( A) 的所有元素; (2)证明:若数列 A 中存在 an 使得 an > a1 ,则 G( A) ? ? ;学. 科网

[来源:学§科§网]

(3)证明:若数列 A 满足 an - an ?1 ≤1(n=2,3, …,N),则 G ( A) 的元素个数不小于 aN - a1 .

(2016 四川)19.【题设】 (本小题满分 12 分)
n? N 已知数列{ an }的首项为 1, 其中 q>0, Sn?1 ? qSn ? 1 , Sn 为数列{ an }的前 n 项和,
(I)若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求 an 的通项公式; (ii)设双曲线 x ?
2
*

.

4n ? 3n 5 y2 e ? e ? e ? ??? ? e ? 的离心率为 ,且 ,证明: e ? 1 2 1 2 n n 2 3 3n ?1 . an

(2016 天津)(18)已知 ?an ? 是各项均为正数的等差数列,公差为 d ,对任意的 n ? N ?, bn
是 an 和 an ?1 的等比中项.
2 2 * (Ⅰ)设 cn ? bn ?1 ? bn , n ? N ,求证: ?cn ? 是等差数列;
2n

(Ⅱ)设 a1 ? d , Tn ?

? ? ?1? bn2 , n ? N * ,求证: ?
n k ?1

1 1 ? 2. 2d k ?1 Tk

n

(2016 山东) (18) (本小题满分 12 分)
已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n2+8n, ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1. (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式;

(an ? 1)n?1 (Ⅱ)令 cn ? . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn. (bn ? 2)n
(2016 江苏)
20. (本小题满分 16 分)

100? .对数列 ?an ? n ? N * 和 U 的子集 T,若 T ? ? ,定义 ST ? 0 ; 记 U ? ?1,2,…,


?

?

T ? ?t1, t2 ,…,tk ? , 定 义 ST ? at1 ? at2 ? …+atk . 例 如 : T = ?1,3,66? 时 ,
ST ? a1 ? a3 +a66 . 现设 ?an ? ? n ? N * ? 是公比为 3 的等比数列,且当 T = ?2, 4? 时, ST =30 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

k? ,求证: ST ? ak ?1 ; (2)对任意正整数 k ?1 ? k ? 100? ,若 T ? ?1,2,…,
(3)设 C ? U , D ? U , SC ? SD ,求证: SC ? SC?D ? 2SD .

(2016 浙江)20.(本题满分 15 分)设数列 ?an ? 满足 an ?
n ?1 a1 ? 2 , n ? ? ; (I)证明: an ? 2

an?1 ? 1 , n ? ?? . 2

?

?

?

(II)若 an ? ?

?3? ? ? ? , n ? ? ,证明: an ? 2 , n ? ? . ?2?

n

10.【2015 江苏高考,20】 (本小题满分 16 分)

设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d (d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列; (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 2 , a33 , a4 4 依次成等比数列,并说明理由;
n?k n?2k n ?3k (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1n , a 2 依次成等比数列,并说 , a3 , a4

a

a

a

a

明理由. 11.【2015 高考浙江,理 20】已知数列 ?an ? 满足 a1 = (1)证明:1 ?

1 2 且 an ?1 = an - an ( n? N* ) 2

an ; ? 2( n? N* ) an ?1

2 (2)设数列 an 的前 n 项和为 S n ,证明

? ?

S 1 1 ( n ? N * ). ? n ? 2(n ? 2) n 2(n ? 1)

12.【2015 高考山东,理 18】设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 2 S n ? 3n ? 3 . (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 an bn ? log 3 an ,求 ?bn ? 的前 n 项和Tn . 13. 【2015 高考安徽,理 18】设 n ? N * , xn 是曲线 y ? x 轴交点的横坐标. (Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式;
2 2 (Ⅱ)记 Tn ? x12 x3 ? x2 n ?1 ,证明 Tn ?

2n?2

? 1 在点 (1, 2) 处的切线与 x

1 . 4n

14.【2015 高考天津,理 18】 (本小题满分 13 分)已知数列 {an } 满足

an ? 2 ? qan ( q为实数,且q ? 1),n ? N *, a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列.
(I)求 q 的值和 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

log 2 a2 n , n ? N * ,求数列 {bn } 的前 n 项和. a2 n ?1
2

15.【2015 高考重庆,理 22】在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an ?1an ? ? an ?1 ? ? an ? 0 ? n ? N ? ?

(1)若 ? ? 0, ? ? ?2, 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 ? ?

1 1 1 ? ak0 ?1 ? 2 ? ? k0 ? N ? , k0 ? 2 ? , ? ? ?1, 证明: 2 ? k0 3k0 ? 1 2k0 ? 1

16.【2015 高考四川,理 16】设数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差 数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {

1 1 成立的 n 的最小值. } 的前 n 项和 Tn ,求得 | Tn ? 1|? 1000 an

17.【2015 高考湖北,理 18】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的 公比为 q .已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ?
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

18.【2015 高考陕西,理 21】 (本小题满分 12 分)设 f n ? x ? 是等比数列 1 , x , x 2 ,??? , x n 的各项和,其中 x ? 0 , n ? ? , n ? 2 . ( I ) 证 明 : 函 数 Fn ? x ? ? f n ? x ? ? 2 在 ?

?1 ? ,且 ,1? 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 ( 记 为 xn ) ?2 ?

xn ?

1 1 n ?1 ? xn ; 2 2

(II) 设有一个与上述等比数列的首项、 末项、 项数分别相同的等差数列, 其各项和为 g n ? x ? , 比较 f n ? x ? 与 g n ? x ? 的大小,并加以证明.
2 19. 【2015 高考新课标 1, 理 17】S n 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0,an ? an = 4 S n ? 3 .

(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和. an an ?1
n?2 n? N* ? , n ?1 ? 2

20.【2015 高考广东,理 21】数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? nan ? 4 ? (1) 求 a3 的值;

(2) 求数列 ?an ? 前 n 项和 Tn ; (3) 令 b1 ? a1 , bn ?

Tn ?1 ? 1 1 1? ? ?1 ? ? ? ??? ? ? an ? n ? 2 ? ,证明:数列 ?bn ? 的前 n 项 n ? 2 3 n?

和 S n 满足 S n ? 2 ? 2 ln n . 【2015 高考上海,理 22】已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 an ?1 ? an ? 2 ? bn ?1 ? bn ? , n ? ? ? . (1)若 bn ? 3n ? 5 ,且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 ?an ? 的第 n0 项是最大项,即 an0 ? an ( n ? ? ? ) ,求证:数列 ?bn ? 的第 n0 项是最大 项; (3)设 a1 ? ? ? 0 , bn ? ? n ( n ? ? ? ) ,求 ? 的取值范围,使得 ?an ? 有最大值 ? 与最小 值 m ,且

? ? ? ?2, 2 ? . m

8.【2014 年湖南卷(理 20) 】(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , | an?1 ? an |? p n , n ? N * . (1)若 {an } 是递增数列,且 a 1 , 2 a 2 , 3a 3 成等差数列,求 p 的值; (2)若 p ?

1 ,且 {a 2 n?1} 是递增数列,是 {a 2 n } 递减数列,求数列 {an } 的通项公式. 2

9.【2014 年全国大纲卷(18) 】 (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 10 , a 2 为整数,且 Sn ? S4 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

10.【2014 年山东卷(理 19) 】(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {a n } 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列。 (I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)令 bn = (?1) n ?1

4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

11.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 17) 】(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,

a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数.
(Ⅰ)证明: an?2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

高考数列选择题部分
(2016 全国 1) 【答案】C 【解析】 试题分析:由已知, ?

?9a1 ? 36d ? 27 , 所以 ? a1 ? 9d ? 8

a1 ? ?1, d ? 1, a100 ? a1 ? 99d ? ?1 ? 99 ? 98, 故选 C.
考点:等差数列及其运算

(2016 上海) 【答案】B

(2016 四川)答案】B

(2016 天津) 【答案】C 【解析】
试题分析:由题意得,

a2n?1 ? a2n ? 0 ? a1 (q2n?2 ? q2n?1 ) ? 0 ? q2( n?1) (q ?1) ? 0 ? q ? (??, ?1) ,故是必要不
充分条件,故选 C.

(2016 浙江) 【答案】A
【解析】 Sn 表示点 An 到对面直线的距离(设为 hn )乘以 Bn Bn?1 长度一半,即

Sn ?

1 hn Bn Bn ?1 , 由题目中条件可知 Bn Bn?1 的长度为定值, 那么我们需要知道 hn 的关系 2

式,过 A1 作垂直得到初始距离 h1 ,那么 A 1, A n 和两个垂足构成了等腰梯形,那么

hn ? h1 ? An A n?1 ? tan ? ,其中 ? 为两条线的夹角,即为定值,那么
Sn ? 1 1 (h1 ? A1 A n ? tan ? ) Bn Bn ?1 , S n ?1 ? ( h1 ? A1 A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,作差后: 2 2 1 ( An A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,都为定值,所以 Sn?1 ? Sn 为定值.故选 A. 2

Sn ?1 ? Sn ?

1.【2015 高考重庆,理 2】 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得 a6 ? 2a4 ? a2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 0 ,选 B. 2.【2015 高考福建,理 8】 【答案】D 【解析】由韦达定理得 a ? b ? p , a ? b ? q ,则 a ? 0, b ? 0 ,当 a, b, ?2 适当排序后成等比

4 .当适当排序后成等差数列时, ?2 必 a 4 4 不是等差中项, 当 a 是等差中项时,2a ? ? 2 , 解得 a ? 1 ,b ? 4 ; 当 是等差中项时, a a 8 ? a ? 2 ,解得 a ? 4 , b ? 1 ,综上所述, a ? b ? p ? 5 ,所以 p ? q ? 9 ,选 D. a
数列时, ?2 必为等比中项,故 a ? b ? q ? 4 , b ? 3.【2015 高考北京,理 6】 【答案】C 【解析】先分析四个答案支,A 举一反例 a1 ? 2,a2 ? ?1,a3 ? ?4 , a1 ? a2 ? 0 而 A 错误, B 举同样反例 a1 ? 2,a2 ? ?1,a3 ? ?4 ,a1 ? a3 ? 0 , 而 a1 ? a2 ? 0 , a2 ? a3 ? 0 , B 错误,下面针对 C 进行研究, ?an ? 是等差数列,若 0 ? a1 ? a2 ,则 a1 ? 0,设公差为 d , 则 d ? 0 ,数列各项均为正,由于 a2 ?
2

a1a5 ? (a1 ? d )2 ? a1(a1 ? 2d )
a1a3 ,选 C.

? a12 ? 2a1d ? d 2 ? a12 ? 2a1d ? d 2 ? 0 ,则 a12 ? a1a3 ? a1 ?
4.【2015 高考浙江,理 3】 【答案】B.

1.【2014 年重庆卷(理 02) 】 【答案】D 【解析】设 {an } 公比为 q ,因为

a6 a ? q 3 , 9 ? q 3 ,所以 a3 , a6 , a9 成等比数列,选择 D a3 a6

2.【2014 年全国大纲卷(10) 】 【答案】C 【解析】∵等比数列{an}中 a4=2,a5=5,∴a4?a5=2×5=10,∴数列{lgan}的前 8 项和 4 S=lga1+lga2+?+lga8=lg(a1?a2?a8)=lg(a4?a5) =4lg(a4?a5)=4lg10=4 故选:C 5.【2014 年福建卷(理 03) 】 【答案】C 【解析】由题意可得 S3=a1+a2+a3=3a2=12,解得 a2=4,∴公差 d=a2﹣a1=4﹣2=2, ∴a6=a1+5d=2+5×2=12,故选:C. (2016 全国 I) 【答案】 64

(2016 上海)答案】4
【解析】试题分析: 要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为 2,1, ?1, 0, 0, 0, ??? ,所以最多由 4 个不同 的数组成.

(2016 北京) 【答案】6
【解析】

d ? ?2 , 试题分析: ∵ {an } 是等差数列, ∴ a3 ? a5 ? 2a4 ? 0 , a4 ? a1 ? 3d ? ?6 , a4 ? 0 ,
∴ S6 ? 6a1 ? 15d ? 6 ? 6 ? 15 ? (?2) ? 6 ,故填:6.

(2016 江苏) 【答案】 20.
2 【解析】由 S5 ? 10 得 a3 ? 2 ,因此 2 ? 2d ? (2 ? d) ? ?3 ? d ? 3, a9 ? 2 ? 3 ? 6 ? 20.

(2016 浙江) 【答案】 1 121

5.【2015 高考安徽,理 14】 答案】 2 ? 1
n

【解析】由题意, ?

?a1 ? a4 ? 9 ,解得 a1 ? 1, a4 ? 8 或者 a1 ? 8, a4 ? 1 ,而数列 {an } ?a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 8
a4 ? 8 ,所以 q ? 2 ,因而数列 {an } 的 a1

是递增的等比数列,所以 a1 ? 1, a4 ? 8 ,即 q 3 ? 前 n 项和

a1 (1 ? q n ) 1 ? 2n Sn ? ? ? 2n ? 1 . 1? q 1? 2
6.【2015 高考新课标 2,理 16】 【答案】 ?

1 n

【解析】由已知得 an ?1 ? S n ?1 ? S n ? S n ?1 ? S n ,两边同时除以 S n ?1 ? S n ,得

1 1 ? ? ?1 , S n ?1 S n

故数列 ?

?1? 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? ? n ,所以 ? 是以 ?1 为首项, ?1 为公差的等差数列,则 Sn ? Sn ?

Sn ? ?

1 . n

7.【2015 高考广东,理 10】 【答案】 10 . 【 解 析 】 因 为

?an ?

是 等 差 数 列 , 所 以 a3 ? a7 ? a4 ? a6 ? a2 ? a8 ? 2 a5 ,

a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 5a5 ? 25 即 a5 ? 5 ,所以 a2 ? a8 ? 2a5 ? 10 ,故应填入 10 .
8.【2015 高考陕西,理 13】 【答案】 5 【解析】设数列的首项为 a1 ,则 a1 ? 2015 ? 2 ?1010 ? 2020 ,所以 a1 ? 5 ,故该数列的首 项为 5 ,所以答案应填: 5 . 9.【2015 江苏高考,11】 【答案】
20 11

3.【2014 年广东卷(理 13) 】 【答案】 50 【解析】由题意得, a10 a11 ? a9 a12 ? a1a20 ? e5 ,又∵ an ? 0 , ∴ ln a1 ? ln a2 ? ? ? ln a20 = ln(a1a2 ? a20 ) = ln(a1a20 )10 = 10 ? ln e5 = 50 . 4.【2014 年江苏卷(理 07) 】 【答案】4 【解析】根据等比数列的定义, a8 ? a2q6 , a6 ? a2 q 4 , a4 ? a2q 2 ,所以由 a8 ? a6 ? 2a2 得

a2 q 6 ? a2 q 4 ? 2a2 q 2 ,消去 a2 q 2 ,得到关于 q 2 的一元二次方程 (q 2 )2 ? q 2 ? 2 ? 0 ,解得 q 2 ? 2 , a6 ? a2q 4 ? 1? 22 ? 4
6.【2014 年天津卷(理 11) 】 【答案】 -

1 2
2

【解析】依题意得 S22 = S1S4 ,所以 (2a1 - 1) = a1 (4a1 - 6) ,解得 a1 = -

1 . 2

7.【2014 年北京卷(理 12) 】 【答案】8 【解析】由等差数列的性质可得 a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0,又 a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0, ∴等差数列{an}的前 8 项为正数,从第 9 项开始为负数,∴等差数列{an}的前 8 项 和最大,故答案为:8

高考数列简答题
(2016 全国 II) 【答案】 (Ⅰ) b1 ? 0 , b11 ? 1 , b101 ? 2 ; (Ⅱ)1893.

考点:等差数列的的性质,前 n 项和公式,对数的运算.

(2016 全国 III)
【答案】 (Ⅰ) an ? 【解析】

1 ? n ?1 ( ) ; (Ⅱ) ? ? ?1 . 1? ? ? ?1

考点:1、数列通项 an 与前 n 项和为 Sn 关系;2、等比数列的定义与通项及前 n 项和为 Sn .

(2016 北京)
【答案】 (1) G ( A) 的元素为 2 和 5 ; (2)详见解析; (3)详见解析.

如果 Gi ? ? ,取 mi ? minGi ,则对任何 1 ? k ? mi , ak ? ani ? ami . 从而 mi ? G( A) 且 mi ? ni ?1 . 又因为 n p 是 G ( A) 中的最大元素,所以 Gp ? ? .

考点:数列、对新定义的理解.

(2016 四川)
【答案】 (Ⅰ) an =q n- 1 ; (Ⅱ)详见解析.

试题解析: (Ⅰ)由已知, Sn+ 1 = qSn + 1, Sn+ 2 = qSn+ 1 + 1, 两式相减得到 an+ 2 = qan+ 1 , n ? 1 . 又由 S2 = qS1 + 1 得到 a2 = qa1 ,故 an+ 1 = qan 对所有 n ? 1 都成立. 所以,数列 {an } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. 从而 an =q n- 1 . 由 2a2,a3,a2 +2 成等比数列,可得 2a3 =3a2 + 2 ,即 2q2 =3q + 2, ,则 (2q +1)(q - 2) = 0 , 由已知, q > 0 ,故 q =2 . 所以 an = 2n- 1 (n ? N* ) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, an = qn- 1 . 所以双曲线 x 2 y2 = 1 的离心率 en = 1 + an2 = 1 + q2( n- 1) an 2

.

由 q = 1 + q2 =

5 4 解得 q = . 3 3

1 因为 1+q2( k - 1) > q2( k - 1) ,所以 1+q2(k- 1) > qk-( . k ? N*)

? en > 1+q + 鬃 ? q n- 1 = 于是 e1 + e2 + 鬃

qn - 1 , q- 1

4n - 3n . 3n- 1 考点:数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.
故 e1 + e2 + 鬃 ? e3 >

(2016 天津)(18)
【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析

考点:等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和

(2016 山东)
【答案】 (Ⅰ) bn ? 3n ? 1; (Ⅱ) Tn ? 3n ? 2 n?2 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ?

(6n ? 6)n?1 ? 3(n ? 1) ? 2n?1 , n (3n ? 3)

又 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? ? ? cn , 得 Tn ? 3?[2 ? 2 ? 3? 2 ? 4 ? 2 ???? ? (n ? 1) ? 2
2 3 4 n?1

],

2Tn ? 3?[2 ? 23 ? 3? 24 ? 4 ? 25 ???? ? (n ?1) ? 2n?2 ] ,
两式作差,得

?Tn ? 3 ? [2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ??? ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n? 2 ]
4(2n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n ? 2 ] 2 ?1

? 3 ? [4 ?

? ?3n ? 2n ? 2
所以 Tn ? 3n ? 2 n?2 考点:数列前 n 项和与第 n 项的关系;等差数列定义与通项公式;错位相减法
[来源:学.科.网]

(2016 江苏)
n ?1 【答案】 (1) an ? 3 (2)详见解析(3)详见解析
[来源:学科网]

(3)下面分三种情况证明. ①若 D 是 C 的子集,则 SC ? SC ?D ? SC ? SD ? SD ? SD ? 2SD . ②若 C 是 D 的子集,则 SC ? SC ?D ? SC ? SC ? 2SC ? 2SD . ③若 D 不是 C 的子集,且 C 不是 D 的子集.

考点:等比数列的通项公式、求和

(2016 浙江)
【试题分析】 (I)先利用三角形不等式得 an ?

a a ?1 1 1 an ?1 ? 1 ,变形为 n ? n ? n ,再用 n n ?1 2 2 2 2

累加法可得

a1 an an am 1 n ?1 ? n ?1, 进而可证 an ? 2 ? a1 ? 2 ? ; (II) 由 (I) 可得 n ? m ? n ?1 , 2 2 2 2 2
m

?3? n 进而可得 an ? 2 ? ? ? ? 2 ,再利用 m 的任意性可证 an ? 2 . ?4?

(II)任取 n ? ? ,由(I)知,对于任意 m ? n ,
?

an 2
?
n

?

?a a ?1 ?? n ? n n 2 2n?1 ?2 am
m

? ? an ?1 an ? 2 ? ? ? n?1 ? n? 2 2 ? ?2

? ? am?1 am ? ? ? ??? ? ? m?1 ? m ? 2 ? ? ?2

1 1 1 ? n ?1 ? ??? ? m ?1 n 2 2 2 1 , 2 n ?1

?


? 1 a ? n an ? ? n ?1 ? m ??2 2m ? ?2
? 1 1 ? ? n ?1 ? m 2 ?2 ?
m
m ?3? ? n ?? ? ? ? 2 ?2? ? ?

?3? ? 2 ? ? ? ? 2n . ?4?
从而对于任意 m ? n ,均有

10.【2015 江苏高考,20】 【答案】 (1)详见解析(2)不存在(3)不存在 【解析】 试题分析(1)根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数 即可(2)本题列式简单,变形较难,首先令 t ?

d 将二元问题转化为一元,再分别求解两 a1

个高次方程,利用消最高次的方法得到方程: 7t 2 +4t ? 3 ? 0 ,无解,所以不存在(3)同 (2)先令 t ?

d 将二元问题转化为一元,为降次,所以两边取对数,消去 n,k 得到关于 t a1

的一元方程 4 ln(1 ? 3t ) ln(1 ? t ) ? ln(1 ? 3t ) ln(1 ? 2t ) ? 3ln(1 ? 2t ) ln(1 ? t ) ? 0 ,从而将方程 的解转化为研究函数 g (t ) ? 4 ln(1 ? 3t ) ln(1 ? t ) ? ln(1 ? 3t ) ln(1 ? 2t ) ? 3ln(1 ? 2t ) ln(1 ? t ) 零 点情况,这个函数需要利用二次求导才可确定其在 (0, ??) 上无零点

试题解析: (1)证明:因为

2an?1 ? 2an?1 ? an ? 2d ( n ? 1 , 2 , 3 )是同一个常数, 2an

所以 2a1 , 2a2 , 2a3 , 2a4 依次构成等比数列.

a2 ,a3 ,a4 分别为 a ? d ,a ,a ? d ,a ? 2d( a ? d ,a ? ?2d , (2) 令 a1 ? d ? a , 则 a1 ,
. d ? 0) 假设存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列,
2 3 4

则 a 4 ? ? a ? d ?? a ? d ? ,且 ? a ? d ? ? a 2 ? a ? 2d ? .
3 6 4

令t ?

d 1 3 6 4 ,则 1 ? ?1 ? t ??1 ? t ? ,且 ?1 ? t ? ? ?1 ? 2t ? ( ? ? t ? 1 , t ? 0 ) , a 2

化简得 t 3 ? 2t 2 ? 2 ? 0 ( ? ) ,且 t 2 ? t ? 1 .将 t 2 ? t ? 1 代入( ? )式,

1 t ? t ? 1? ? 2 ? t ? 1? ? 2 ? t 2 ? 3t ? t ? 1 ? 3t ? 4t ? 1 ? 0 ,则 t ? ? . 4 1 显然 t ? ? 不是上面方程得解,矛盾,所以假设不成立, 4
因此不存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列. (3)假设存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2
n n?k 2 3 4

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列,
2? n ? 2 k ?

则 a1n ? a1 ? 2d ?

n?2k

? ? a1 ? d ?

2? n ? k ?

,且 ? a1 ? d ? 及 a1
n?k

n?k

? a1 ? 3d ?

n ?3k

? ? a1 ? 2d ?



分别在两个等式的两边同除以 a1 则 ?1 ? 2t ?
n?2k

2? n ? k ?

2? n ? 2 k ?

,并令 t ?
n ?3k

d 1 (t ? ? ,t ? 0) , a1 3
2? n ? 2 k ?

? ?1 ? t ?

2? n ? k ?

,且 ?1 ? t ?

?1 ? 3t ?

? ?1 ? 2t ?



将上述两个等式两边取对数,得 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? ? 2 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? , 且 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? ? ? n ? 3k ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? . 化简得 2k ? ?ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ? 2 ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 2t ? ? ?, 且 3k ? ?ln ?1 ? 3t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ?3ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ? ?.

? ?t ? ? ? ? t ? ,则 ?2 令 ? 2 ? t ? ? ?1

12 ? 0. ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ?

? ?t ? ? 0 , 由 g ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? 2 ? 0 ? ? 0 , ? 2
知 ? 2 ? t ? , ?1 ? t ? , ? ? t ? , g ? t ? 在 ? ? , 0 ? 和 ? 0, ?? ? 上均单调. 故 g ? t ? 只有唯一零点 t ? 0 ,即方程( ?? )只有唯一解 t ? 0 ,故假设不成立. 所以不存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2
n n?k

? 1 ? 3

? ?

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列.

11.【2015 高考浙江,理 20】 【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 试题分析: (1)首先根据递推公式可得 an ?

1 ,再由递推公式变形可知 2

an an a a 1 1 1 (2)由 ? ? ? [1, 2] ,从而得证; ? = n 和 1 ? n ? 2 得, 2 an ?1 an ? an 1 ? an an ?1 an an ?1 an ?1 1?

1 1 1 1 ? an ?1 ? (n ? N * ) ,即可得证. ? ? 2 ,从而可得 an ?1 an 2(n ? 1) n?2
1 , 由 an ? (1 ? an ?1 )an ?1 2

试题解析: (1) 由题意得,an ?1 ? an ? ? an 2 ? 0 , 即 an ?1 ? an ,an ? 得 an ? (1 ? an ?1 )(1 ? an ? 2 ) ??? (1 ? a1 )a1 ? 0 ,由 0 ? an ?

1 得, 2

an an a 1 (2)由题意得 an 2 ? an ? an ?1 , ? ? ? [1, 2] ,即 1 ? n ? 2 ; 2 an ?1 an ? an 1 ? an an ?1
∴ S n ? a1 ? an ?1 ①,由

a a 1 1 1 1 ? = n 和 1 ? n ? 2 得, 1 ? ? ? 2, an ?1 an an ?1 an ?1 an ?1 an

∴n ?

1 1 1 1 ? an ?1 ? (n ? N * ) ②,由①②得 ? ? 2n ,因此 an ?1 a1 2(n ? 1) n?2

S 1 1 . ? n ? 2(n ? 2) n 2(n ? 1)
12.【2015 高考山东,理 18】 【答案】 (I) an ? ?

?3, n ? 1, ?3 , n ? 1,
n ?1

; (II) Tn ?

13 6n ? 3 . ? 12 4 ? 3n

所以 T1 ? b1 ? 当 n ? 1 时,

1 3

1 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ? ? ?1? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ? ? ? n ? 1? 31? n ? 3
所以 3Tn ? 1 ? 1? 30 ? 2 ? 3?1 ? ? ? ? n ? 1? 32? n 两式相减,得

?

?

2Tn ?
?

2 1 ? 31? n 2 ? ? n ? 1? ? 31? n ? ? 30 ? 3?1 ? 32? n ? ? ? n ? 1? ? 31? n ? ? 3 1 ? 3?1 3

13 6n ? 3 ? 6 2 ? 3n 13 6n ? 3 所以 Tn ? ? 12 4 ? 3n
经检验, n ? 1 时也适合, 综上可得: Tn ?

13 6n ? 3 ? 12 4 ? 3n

13. 【2015 高考安徽,理 18】 【解析】 试题分析: (Ⅰ)对题中所给曲线的解析式进行求导,得出曲线 y ? x
2n?2

? 1 在点 (1, 2) 处

的切线斜率为 2n ? 2 .从而可以写出切线方程为 y ? 2 ? (2n ? 2)( x ? 1) .令 y ? 0 .解得

切线与 x 轴交点的横坐标 xn ? 1 ? (Ⅱ)要证 Tn ?

1 n . ? n ?1 n ?1

1 ,需考虑通项 x2 n ?12 ,通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思 4n 1 2 3 2 2n ? 1 2 2 2 路如下: 先表示出 Tn ? x12 x3 求出初始条件当 n ? 1 时, ? x2 ) , n ?1 ? ( ) ( ) ? ( 2 4 2n 1 . 当 n ? 2 时 , 单 独 考 虑 x2 n ?12 , 并 放 缩 得 T1 ? 4

x2 n ?12 ? (

2n ? 1 2 (2n ? 1) 2 (2n ? 1) 2 ? 1 4n 2 ? 4n n ? 1 ) ? ? ? ? ,所以 2n (2n) 2 (2n) 2 (2n) 2 n

1 1 2 n ?1 1 1 ,综上可得对任意的 n ? N * ,均有 Tn ? . Tn ? ( ) 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n 4n 4n
试题解析: (Ⅰ)解: y ' ? ( x 线斜率为 2n ? 2 . 从而 切线 方程 为 y ? 2 ? (2n ? 2)( x ? 1) . 令 y ? 0 , 解 得切 线与 x 轴 交 点 的横 坐 标
2n?2

? 1) ' ? (2n ? 2) x 2 n ?1 ,曲线 y ? x 2 n ? 2 ? 1 在点 (1, 2) 处的切

xn ? 1 ?

1 n . ? n ?1 n ?1

(Ⅱ)证:由题设和(Ⅰ)中的计算结果知

1 2 3 2 2n ? 1 2 2 2 Tn ? x12 x3 ? x2 ) . n ?1 ? ( ) ( ) ? ( 2 4 2n 1 当 n ? 1 时, T1 ? . 4
当 n ? 2 时,因为 x 所以 Tn ? ( ) 2 ?
2 2 n ?1

2n ? 1 2 (2n ? 1) 2 (2n ? 1) 2 ? 1 4n 2 ? 4n n ? 1 ?( ) ? ? ? ? , 2n (2n) 2 (2n) 2 (2n) 2 n

1 2 n ?1 1 . ? ?? ? ? 2 3 n 4n 1 综上可得对任意的 n ? N * ,均有 Tn ? . 4n 1 2
14.【2015 高考天津,理 18】
?1 ? n2 2 , n为奇数, n?2 ? 【答案】(I) an ? ? n ; (II) Sn ? 4 ? n ?1 . 2 ?2 2 , n为偶数. ?

(II) 由(I)得 bn ?

log 2 a2 n n ? n ?1 ,设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,则 a2 n ?1 2

Sn ? 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 , 0 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? n 2 2 2 2 2

两式相减得

1 1 1 1 1 1 n 1 ? 2n n 2 n Sn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? ? n ? 2? n ? n , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?2 整理得 Sn ? 4 ? n ?1 2 n?2 所以数列 ?bn ? 的前 n 项和为 4 ? n ?1 , n ? N * . 2
15.【2015 高考重庆,理 22】 【答案】 (1) an ? 3 ? 2n ?1 ; (2)证明见解析. 【解析】
2 试题分析: (1) 由于 ? ? 0, ? ? ?2 , 因此把已知等式具体化得 an ?1an ? 2an , 显然由于 a1 ? 3 ,

则 an ? 0 (否则会得出 a1 ? 0 ) ,从而 an ?1 ? 2an ,所以 {an } 是等比数列,由其通项公式可 得结论; (2)本小题是数列与不等式的综合性问题,数列的递推关系是

an +1an +

? 1? 1 an +1 - an 2 = 0, 可变形为 an ?1 ? an ? ? ? an 2 ? n ? N ? ? , k0 ? k0 ?

由于 k0 ? 0 , 因此

an 1 an ? k0

于是可得 an ?1 ? an , 即有 3 = a1 > a2 > ? > an > an +1 > ? > 0 , ? 1,



an +1 =

an

2

an 2 =

an +

1 k0

1 1 + 2 2 k0 k0 1 1 1 = an + ? 1 k0 k0 k0 an +1 an + k0









ak0 +1 = a1 + ( a2 - a1) +? + ak0 + 1- ak0

(

)

? a1 ? k0 ?

? 1 1 ? 1 1 1 ? ?? ? ??? ? ? k0 k0 ? k a ? 1 k a ? 1 k a ? 1 0 1 0 2 0 k 0 ? ?

? 2?

1 ? 1 1 1 ? ?? ? ?? ? ? k0 ? 3k0 ? 1 3k0 ? 1 3k0 ? 1 ?
1 ,这里应用了累加求和的思想方法,由这个结论可知 an ? 2(n ? N *) ,因此 3k0 ? 1

? 2?

ak0 +1 =

? a1 ? k0 ?

? 1 1 ? 1 1 1 ? ?? ? ??? ? ? k0 k0 ? k a ? 1 k a ? 1 k a ? 1 0 1 0 2 0 k 0 ? ?

? 2?

1 ? 1 1 1 ? 1 ?? ? ?? ? ,这样结论得证,本题不等式的 ? ? 2? k0 ? 2k0 ? 1 2k0 ? 1 2k0 ? 1 ? 2k0 ? 1

证明应用了放缩法.(1)由 ? ? 0,? ? ?2 ,有 an ?1an ? 2an 2 , (n ? N ? ) 若存在某个 n 0 ? N ? ,使得 an 0 = 0 ,则由上述递推公式易得 an 0 +1 = 0 ,重复上述过程可得

a1 = 0 ,此与 a1 = 3 矛盾,所以对任意 n ? N ? , an ? 0 .
从而 an +1 = 2an ? n ? N ? ? ,即 {an } 是一个公比 q = 2 的等比数列. 故 an = a1q n - 1 = 3?2n - 1 .

求和得 ak0 +1 = a1 + a2 - a1 +? + ak0 +1 - ak0

(

)

(

)

? 1 1 ? 1 1 1 ? ?? ? ??? ? k0 k0 ? k 0 ak0 ? 1 ? ? k0 a1 ? 1 k0 a2 ? 1 ? 1 ? 1 1 1 ? 1 ? 2 ? ?? ? ?? ? ? ? 2? k0 ? 3k0 ? 1 3k0 ? 1 3k0 ? 1 ? 3k0 ? 1 ? a1 ? k0 ?
另一方面,由上已证的不等式知 a1 > a2 > ? > ak0 > ak0 +1 > 2 得

ak0 ?1 ? a1 ? k0 ?

? 1 1 ? 1 1 1 ? ?? ? ??? ? k0 k0 ? k 0 a k0 ? 1 ? ? k0 a1 ? 1 k0 a2 ? 1 ?

? 2?
1

1 ? 1 1 1 ? 1 ?? ? ??? ? ? 2? k0 ? 2k0 ? 1 2k0 ? 1 2k0 ? 1 ? 2k0 ? 1
< ak0 +1 < 2 + 1 2k0 +1

综上: 2 +

3k0 +1

16.【2015 高考四川,理 16】 【答案】 (1) an ? 2n ; (2)10. 【解析】 (1)由已知 S n ? 2an ? a1 ,有 an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 (n ? 1) , 即 an ? 2an ?1 (n ? 1) . 从而 a2 ? 2a1 , a3 ? 4a1 . 又因为 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,即 a1 ? a3 ? 2(a2 ? 1) . 所以 a1 ? 4a1 ? 2(2a1 ? 1) ,解得 a1 ? 2 .

所以,数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an ? 2n . (2)由(1)得

1 1 ? n. an 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 2 ? 1? 1 . 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 1 2 2 2 2 2n 1? 2
由 | Tn ? 1|?
9

1 1 1 n ,得 |1 ? n ? 1|? ,即 2 ? 1000 . 1000 2 1000
10

因为 2 ? 512 ? 1000 ? 1024 ? 2 , 所以 n ? 10 . 于是,使 | Tn ? 1|?

1 成立的 n 的最小值为 10. 1000

17.【2015 高考湖北,理 18】

1 ? ?an ? 9 (2n ? 79), ? 2n ? 3 ?an ? 2n ? 1, ? 【答案】 (Ⅰ) ? 或? ; (Ⅱ) 6 ? n ?1 . n ?1 2 ? ?bn ? 2 . ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . n ? 9 ?

1 1 3 5 7 9 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n . 2 2 2 2 2 2 2



1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ①-②可得 Tn ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ? 3 ? , 2 2 2 2 2 2n

故 Tn ? 6 ?

2n ? 3 . 2n ?1

18.【2015 高考陕西,理 21】

【答案】 (I)证明见解析; (II)当 x = 1 时, f n ( x) = g n ( x) ,当 x ? 1 时, f n ( x) < g n ( x) , 证明见解析. 【解析】 试题分析: (I)先利用零点定理可证 Fn ? x ? 在 ? 单 调 性 可 证 Fn ? x ? 在 ?

?1 ? ,1? 内至少存在一个零点,再利用函数的 ?2 ?

?1 ? ,1? 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 , 进 而 利 用 xn 是 Fn ? x ? 的 零 点 可 证 ?2 ?

xn ?

1 1 n ?1 (II) 先设 h ? x ? ? f n ? x ? ? g n ? x ? , 再对 x 的取值范围进行讨论来判断 h ? x ? ? xn ; 2 2

与 0 的大小,进而可得 f n ? x ? 和 g n ? x ? 的大小. 试题解析: (I) Fn ( x) ? f n ( x) ? 2 ? 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n ? 2 ,则 Fn (1) = n - 1 > 0,

?1? 1? ? ? 2 n 1 1 ?1? 2 ?1? Fn ( ) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 1 2 2 ?2? ?2? 1? 2
所以 Fn ( x) 在 ?

n ?1

?2? ?

1 ? 0, 2n

?1 ? ,1? 内至少存在一个零点 xn . ?2 ? ?1 ? ,1? 内单调递增, ?2 ?

又 Fn? ( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nx n ?1 ? 0 ,故在 ?

所以 Fn ( x) 在 ?

?1 ? ,1? 内有且仅有一个零点 xn . ?2 ?

因为 xn 是 Fn ( x) 的零点,所以 Fn ( xn )=0 ,即
n

1 - xn n +1 1 1 - 2 = 0 ,故 xn = + xn n +1 . 1 - xn 2 2

(II)解法一:由题设, g n ( x) =

( n +1) (1 + x ) .
2

所以 h( x) < h(1) = 0 ,即 f n ( x) < g n ( x) . 综上所述,当 x = 1 时, f n ( x) = g n ( x) ;当 x ? 1 时 f n ( x) < g n ( x) 解法二 由题设, f n ( x) ? 1 ? x ? x ? ? ? x , g n ( x) ?
2 n

? n ? 1? ?1 ? x n ?
2

, x ? 0.

当 x = 1 时, f n ( x ) = g n ( x ) 当 x ? 1 时,用数学归纳法可以证明 f n ( x) < g n ( x) . 当 n = 2 时, f 2 ( x) - g 2 ( x) = -

1 (1 - x) 2 < 0, 所以 f 2 ( x) < g 2 ( x) 成立. 2

假设 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 f k ( x) < g k ( x) . 那么,当 n = k +1 时,

f k+1 ( x) = f k ( x) + x

k +1

< g k ( x) + x

k +1

( k +1) (1 + x ) + x =
k

k +1

2

=

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 2

.

又 g k+1 ( x) 令

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 2

=

kx k +1 - ( k +1) x k +1 2
, 则

hk ( x) ? kx k ?1 ? ? k ? 1? x k ? 1( x ? 0)

hk ? ( x) ? k (k ? 1) x k ? k ? k ? 1? x k ?1 ? k ? k ? 1? x k ?1 ( x ? 1)
? ( x) ? 0 , hk ( x) 在 (0,1) 上递减; 所以当 0 < x < 1 , hk

? ( x) ? 0 , hk ( x) 在 (1, ??) 上递增. 当 x > 1 , hk
所以 hk ( x) > hk (1) = 0 ,从而 g k+1 ( x) >

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 2

故 f k +1 ( x) < g k +1 ( x) .即 n = k +1 ,不等式也成立. 所以,对于一切 n ? 2 的整数,都有 f n ( x) < g n ( x) . 解法三 : 由已知,记等差数列为 {ak } , 等比数列为 {bk } , k ? 1, 2,? , n ? 1. 则 a1 = b1 = 1 ,

an +1 = bn +1 = x n ,
所以 ak ? 1+ ? k ? 1? ?

xn ?1 (2 ? k ? n) , bk ? x k ?1 (2 ? k ? n), n

令 mk (x) ? ak ? bk ? 1 ?

? k ? 1? ? x n ? 1?
n

? x k ?1 , x ? 0(2 ? k ? n).

当 x = 1 时, ak =bk ,所以 f n ( x) = g n ( x) . 当 x ? 1 时, mk ? ( x) ?

k ? 1 n ?1 nx ? (k ? 1) x k ? 2 ? ? k ? 1? x k ? 2 ? x n ? k ?1 ? 1? n

而 2 ? k ? n ,所以 k - 1 > 0 , n ? k ? 1 ? 1 . 若 0 < x < 1 , x n - k +1 < 1 , mk ? ( x) ? 0 ,

? ( x) ? 0 , 当 x > 1 , x n - k +1 > 1 , mk
从而 mk ( x) 在 (0,1) 上递减, mk ( x) 在 (1, ??) 上递增.所以 mk ( x) > mk (1) = 0 , 所以当 x ? 0且x ? 1时,ak ? bk (2 ? k ? n), 又 a1 = b1 , an +1 = bn +1 ,故 f n ( x) < g n ( x) 综上所述,当 x = 1 时, f n ( x) = g n ( x) ;当 x ? 1 时 f n ( x) < g n ( x) . 19.【2015 高考新课标 1,理 17】 【答案】 (Ⅰ) 2n ? 1 (Ⅱ)

1 1 ? 6 4n ? 6

所以 an = 2n ? 1 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn =

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 2 3 5 1 5 1 7 1 1 ? )] = 2n ? 1 2n ? 3

所以数列{ bn }前 n 项和为 b1 ? b2 ? ? ? bn = [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 1 . ? 6 4n ? 6
20.【2015 高考广东,理 21】 【答案】 (1)

1 ?1? ; ( 2) 2 ? ? ? 4 ?2?

n ?1

; (3)见解析.

【解析】 (1)依题 3a3 ? ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? a1 ? 2a2 ? ? 4 ? ∴ a3 ? (

3? 2 ? 2?2? 3 ? ? 4 ? 2?1 ? ? , 3?1 2 2 ? 4 ?

1 ; 4
2 ) 依 题 当

n ?1





n?2 ? n ?1? n nan ? ? a1 ? 2a 2 ? ? nan ? ? ? ? a 1? 2a 2? ?? n ? 1? an ? ? ?1 ? 4 ? 2n ?1 ? ? 4 ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 1 , ? ?
∴ an ? ? ?

?1? ?2?

n ?1

,又 a1 ? 4 ?
n ?1

1? 2 ? 1 也适合此式, 20

?1? ∴ an ? ? ? ?2?



?1? 1? ? ? n ?1 1 2? ?1? ? ∴ 数列 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 的等比数列,故 Tn ? ? 2?? ? ; 1 2 ?2? 1? 2
( 3 )依题由 bn ?

n

a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 1 a ? 1? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? an 知 b1 ? a1 , b2 ? 1 ? ?1 ? ? a2 , n n? 2 ? 2? ? 2

b3 ?

a1 ? a2 ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? a3 , 3 ? 2 3?

【2015 高考上海,理 22】 【答案】 (1) an ? 6n ? 5 (2)详见解析(3) ? ?

? 1 ? ,0? ? 2 ?

【解析】解:(1)由 bn ?1 ? bn ? 3 ,得 an ?1 ? an ? 6 , 所以 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 6 的等差数列, 故 ?an ? 的通项公式为 an ? 6n ? 5 , n ? ? ? . 证明: (2)由 an ?1 ? an ? 2 ? bn ?1 ? bn ? ,得 an ?1 ? 2bn ?1 ? an ? 2bn .

所以 ?an ? 2bn ? 为常数列, an ? 2bn ? a1 ? 2b1 ,即 an ? 2bn ? a1 ? 2b1 . 因为 an0 ? an , n ? ? ? ,所以 2bn0 ? a1 ? 2b1 ? 2bn ? a1 ? 2b1 ,即 bn0 ? bn . 故 ?bn ? 的第 n0 项是最大项. 解: (3)因为 bn ? ? n ,所以 an ?1 ? an ? 2 ? n ?1 ? ? n , 当 n ? 2 时, an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ??? ? ? a2 ? a1 ? ? a1

?

?

? 2 ? ? n ? ? n ?1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? ? n ? 2 ? ? ??? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?
? 2? n ? ? .
当 n ? 1 时, a1 ? ? ,符合上式. 所以 an ? 2? n ? ? . 因为 ? ? 0 ,所以 a2 n ? 2 ?
2n

? ? ? ?? , a2 n ?1 ? 2 ?

2 n ?1

? ? ? ?? .

①当 ? ? ?1 时,由指数函数的单调性知, ?an ? 不存在最大、最小值; ②当 ? ? ?1 时, ?an ? 的最大值为 3 ,最小值为 ?1 ,而

3 ? ? ?2, 2 ? ; ?1

③当 ?1 ? ? ? 0 时,由指数函数的单调性知, ?an ? 的最大值 ? ? a2 ? 2? 2 ? ? ,最小值

m ? a1 ? ? ,由 ?2 ?

2? 2 ? ?

?

1 ? 2 及 ?1 ? ? ? 0 ,得 ? ? ? ? 0 . 2

综上, ? 的取值范围是 ? ?

? 1 ? ,0? . ? 2 ?

8.【2014 年湖南卷(理 20) 】 解: (1)因为 {an } 是递增数列,所以 an?1 ? an ?| an?1 ? an |? p n ,而 a1 ? 1 ,因此

a2 ? 1 ? p , a3 ? 1 ? p ? p 2 ,又 a1 , 2 a 2 , 3a 3 成等差数列,所以
4a2 ? a1 ? 3a3 ,因而 3 p 2 ? p ? 0 ,解得 p ?

1 或 p ? 0, 3 1 . 3

但当 p ? 0 时, a n?1 ? a n ,与 {an } 是递增数列相矛盾,故 p ?

(2) 由于 {a 2 n?1} 是递增数列,因而 a2n?1 ? a2n?1 ? 0 ,于是

(a2n?1 ? a2n ) ? (a2n ? a2n?1 ) ? 0




1 1 ? 2 n ?1 ,所以 | a2n?1 ? a2n |?| a2n ? a2n?1 | 2n 2 2



则①②可知, a2n ? a2 n?1 ? 0 ,因此 a 2 n ? a 2 n ?1 ? 因为是 {a 2 n } 递减数列,同理可得 a2n?1 ? a2n ? 0 , 故 a 2 n ?1 ? a 2 n ? ?

1 2 2 n ?1

(?1) 2 n ? 2 n ?1 , 2



1 (?1) 2 n ?1 ? , 2 2n 2 2n



由③④即得 a n ?1 ? a n ?

(?1) n ?1 . 于是 2n an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 )

1 1 (?1) n ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 2 2 2 1 1 n ?1 [(1 ? (? ) ] 4 1 (?1) n 2 2 ? 1? ? ? ? n ?1 . 1 3 3 2 1? 2 4 1 (?1) n 故数列 {an } 的通项公式为 a n ? ? ? n ?1 3 3 2
9.【2014 年全国大纲卷(18) 】

(n ? N *).

解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,而 a1 ? 10 ,从而有 an ? 10 ? (n ?1)d 若 d ? 0 , Sn ? 10n ,此时 S n ? S 4 不成立 若 d ? 0 ,数列 {an } 是一个单调递增数列, Sn 随着 n 的增大而增大,也不满足 S n ? S 4 当 d ? 0 时,数列 {an } 是一个单调递减数列,要使 S n ? S 4 ,则须满足 ?

?a5 ? 0 即 ?a4 ? 0

?10 ? 4d ? 0 10 5 ? ? ? d ? ? ,又因为 a2 ? a1 ? d 为整数,所以 d ? Z ,所以 d ? ?3 ? 3 2 ?10 ? 3d ? 0 此时 an ? 10 ? 3(n ?1) ? 13 ? 3n
(2)由(1)可得

1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? )? an an ?1 (13 ? 3n)(10 ? 3n) (3n ? 13)(3n ? 10) 3n ? 13 3n ? 10 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (? )) ? (? ? (? )) ? ? ? ( ? )? 所以 Tn ? (? 3 10 7 3 7 4 3n ? 13 3n ? 10 3 bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ( ? ) ? (? ) ? (? ) ? ? ? ? ) ? (? ? )?? 3 10 7 7 4 3n ? 13 3n ? 10 3 10 3n ? 10 10(3n ?10)
. 10.【2014 年山东卷(理 19) 】 解: (I) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (II) bn ? (?1) n ?1

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1

11.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 17) 】 【解析】 :(Ⅰ)由题设 an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 ,两式相减

an?1 ? an?2 ? an ? ? ?an?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?

????6 分

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an? 2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2 m?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2 m?1 ? 4m ? 3

令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 ?a2 m ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?

n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2

∴ an ? 2n ? 1( n ? N * ) , an?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列. ???12 分


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