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数学 立体几何基础题题库(六)(有详细答案)


立体几何基础题题库(六) (有详细答案)
251. 已知点 P 是正方形 ABCD 所在的平面外一点,PD ? 面 AC,PD=AD= l ,设点 C 到面 PAB 的距离为 d1,点 B 到平面 PAC 的距离为 d2,则( )

(A) l <d1 <d2(B)d1< d2< l (C)d1< l < d2(D

)d2<d1< l

解析:

d1 ?

2 3 l d2 ? l 2 , 3 ,故 d2<d1< l ,选 D。

252.如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN= a (0 ? a ?

2 ). (1)求 MN 的长;

C

(2)当 a 为何值时,MN 的长最小; (3)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 ? 的大小。 D 解析: (1)作 MP∥AB 交 BC 于点 P,NQ∥AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ, M 依题意可得 MP∥NQ,且 MP=NQ,即 MNQP 是平行四边形。∴MN=PQ, 由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1,
B

P

Q N

E

CP a BQ a a ? , ? CP ? BQ ? 2 1 2, 即 2, ∴ AC ? BF ? 2 , 1


A

F

MN ? PQ ? (1 ? CP ) 2 ? BQ 2 ?

(1 ?

a 2

)2 ? (

a 2

) 2 ? (a ?

2 2 1 ) ? (0 ? a ? 2 ) 2 2

当a ?
(2)由(1)知:
MN的长最小,最小值为

2 2 时,MN ? 2 2 , 即M , N分别移动到AC, BF的中点时,

2 2 (3)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG,∵AM=AN,BM=BN,∴AG⊥MN,BG⊥MN,

AG ? BG ?
∴∠AGB 即为二面角α 的平面角。又
( 6 2 6 ) ? ( )2 ?1 1 4 4 ?? 3 6 6 ? 2? ? 4 4 。故所求二面角

6 4 ,所以由余弦定理有

cos? ?

1 ? arccos( ? ) 3 。

? (0 ? ? ?
253. 如图,边长均为 a 的正方形 ABCD、ABEF 所在的平面所成的角为 点 N 在 BF 上,若 AM=FN ,(1)求证:MN//面 BCE ; (2)求证:MN ? AB; (3)求 MN 的最小值. 解析:(1)如图,作 MG//AB 交 BC 于 G, NH//AB 交 BE 于 H, MP//BC 交 AB 于 P, 连 PN, GH , 易证 MG//NH,且 MG=NH, 故 MGNH 为平行四边形,所 以 MN//GH , 故 MN//面 BCE ; C

?

) 2 。点 M 在 AC 上,
D

G B H E N

M P F A

(2)易证 AB ? 面 MNP, 故 MN ? AB ; (3)

?MPN 即为面 ABCD 与 ABEF 所成二面角的平面角,即 ?MPN ? ? ,设 AP=x , 则 BP=a-x , NP=a

-x , 所以:

MN ?

x 2 ? (a ? x) 2 ? 2 x(a ? x) cos ?

a 1 ? 2(1 ? cos? )(x ? ) 2 ? (1 ? cos? )a 2 2 2 ,
x?
故当

1 a (1 ? cos? )a 2 时,MN有最小值 2 .

254.如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若 CM=x ,BN=y, (0 ? x, y ?

2 ).(1)求 MN 的长(用 x,y 表示); (2)求 MN 长的最

小值,该最小值是否是异面直线 AC,BF 之间的距离。

2 x 解析: 在面 ABCD 中作 MP ? AB 于 P, PN, MP ? 面 ABEF, 连 则 所以 MP ? PN, PB=1-AP= 2 在 ? PBN 2 2 x) ? y 2 ? ? 2 xy cos 450 中,由余弦定理得:PN2= 2 (
D M B ,
2

C

1 ? x 2 ? y 2 ? xy 2
2



Rt?P

M

中N

E N F

, A

P

2 2 1 2 MP ? PN ? (1 ? x) ? x ? y 2 ? xy 2 2 MN=

? x 2 ? y 2 ? xy ? 2 x ? 1 (0 ? x, y ? 2 ). ; ? x 2 ? y 2 ? xy ? 2 x ? 1

(2)MN

x 3 2 2 2 1 2 2 2 ( y ? )2 ? (x ? ) ? x? y? 2 4 3 3 ,故当 3 , 3 时,MN

3 有最小值 3 。且该最小值是异面直线 AC,BF 之间的距离。
255.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,点 P 是 DD1 的中点,且截面 EAC 与底面 ABCD 成 450 角, AA1=2a,AB=a, (1)设 Q 是 BB1 上一点,且 BQ ?

2 a,求证:DQ ? 面 EAC; (2)判断 BP 与面 EAC

是否平行,并说明理由?(3)若点 M 在侧面 BB1C1C 及其边界上运动,并 且总保持 AM ? BP,试确定动点 M 所在的位置。 解析: (1)证:首先易证 AC ? DQ,再证 EO ? DQ(O 为 AC 与 BD 的交 点)在矩形 BDD1B1 中,可证 ? EDO 与 ? BDQ 都是直角三角形,由此易证 A 1 D 1 B 1 Q N C 1

P E D A O

C B

EO ? DQ,故 DQ ? 面 EAC 得证; (2)若 BP 与面 EAC 平行,则可得 BP//EO,在三角形 BPD 中,O 是 BD 中点,则 E 也应是 PD 中点,但

1 1 1 2 PD= 2 DD1=a,而 ED=DO= 2 BD= 2 a,故 E 不是 PD 中点,因此 BP 与面 EAC 不平行;
(3)易知,BP ? AC,要使 AM ? BP,则 M 一定在与 BP 垂直的平面上,取 BB1 中点 N,易证 BP ? 面 NAC,故 M 应在线段 NC 上。

? 256.如图, 已知平行六面体 ABCD? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是菱形, C1CB ? ?C1CD ? ?BCD ? 60 ,
0

(1)证明: C1C ? BD ;

(II)假定 CD=2,

CC1 ?

3 2 ,记面 C1 BD 为α ,面 CBD 为 β,求二面角 α -BD -β

的平面角的余弦值;

CD CC1 的值为多少时,能使 A1C ? 平面C1 BD ?请给出证明. (III)当
解析: (I)证明:连结 A1C1 、AC,AC 和 BD 交于.,连结 C1O , ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, BC=CD, ? ?BCC1 ? ?DCC1 , 可证 ?C1 BC ? ?C1 DC ,? C1 B ? C1 D , 故 C1O ? BD ,但 AC⊥BD,所以 BD ? 面AC1 ,从而 CC1 ? BD ; (II)解:由(I)知 AC⊥BD, C1O ? BD ,

?C1OC 是二面角α —BD—β 的平面角,在 ?C1 BC 中,

C1 C ?
BC=2,

3 0 2 , ?BCC1 ? 60 ,

∵∠OCB=60°,

? OB ?

1 13 9 3 BC ? 1 ? C1O 2 ? C1 B 2 ? OB 2 ? ? 1 ? 2 4 4 ,故 C1O= 2 ,即 C1O=C1C,作 C1 H ? OC , ,

OH ?
垂足为 H,∴点 H 是.C 的中点,且

OH 3 3 cos?C1OC ? ? C1O 3 ; 2 ,所以

CD ?1 CC1 (III)当 时,能使 A1C ? 平面C1 BD CD ?1 CC1 证明一:∵ ,所以 BC ? CD ? C1C ,又 ?BCD ? ?C1CB ? ?C1CD ,
由此可得 BD ? C1 B ? C1 D ,∴三棱锥 C ? C1 BD 是正三棱锥.

1 257.设 A1C与C1O 相交于 G.,? A1C1 // AC ,且 A1C1:OC ? 2: ,所以 C1O : 如图,已知正方体 ABCD

—A1B1C1D1 的棱长为 a,求异面直线 A1C1 与 BD1 的距离. 解析: 本题的关键是画出 A1C1 与 BD1 的公垂线, B1D1 交 A1C1 于 O, 连 在平面 BB1D1 内作 OM⊥BD1, 则 OM 就是 A1C1 与 BD1 的公垂线,问题得到解决. 解 连 B1D1 交 A1C1 于 O,作 OM⊥BD1 于 M. ∴ A1C1⊥B1D1,BB1⊥A1C1,BB1∩B1D1=B1. ∴ A1C1⊥平面 BB1D1. ∴ A1C1⊥OM,又 OM⊥BD1. ∴ OM 是异面直线 A1C1 与 BD1 的公垂线. 在直角Δ BB1D1 中作 B1N⊥BD1 于 N.

6 ∵ BB1· B1D1=B1N· BD1, a· 2 a=B1N· 3 a, ∴ B1N= 3 a,OM
1 6 = 2 B1N= 6 a.

6 故异面直线 A1C1 与 BD1 的距离为 6 a.
评析:作异面直线的公垂线一般是比较困难的,只有熟练地掌握线、线垂直,线、面垂直的关系后才能根 据题目所给条件灵活作出.本题在求 OM 的长度时,主要运用中位线和面积的等量关系. 258. 已知:A1、B1、C1 和 A2、B2、C2 分别是两条异面直线 l1 和 l2 上的任意三点,M、N、R、T 分别 是 A1A2、B1A2、B1B2、C1C2 的中点.求证:M、N、R、T 四点共面. 证明 如图,连结 MN、NR,则 MN∥l1,NR∥l2,且 M、N、R 不在同一直线上(否则,根据三线平行公 理,知 l1∥l2 与条件矛盾).∴ MN、NR 可确定平面β ,连结 B1C2,取其中点 S.连 RS、ST,则 RS∥l2, 又 RN∥l2,∴ N、R、S 三点共线.即有 S∈β ,又 ST∥l1,MN∥l1,∴MN∥ST,又 S∈β ,∴ ST ? β . ∴ M、N、R、T 四点共面. GO =2:1

又 C1O 是正三角形 C1 BD 的 BD 边上的高和中线,∴点 G 是正三角形 C1 BD 的中心.故 CG ? 面C1 BD , 即

A1C ? 面C1 BD 。
证明二:由(I)知, BD ? 面AC1 ,? BD ? A1C ,

CD ?1 CC1 当 时, 平行六面体的六个面是全等的菱形.同 BD ? A1C 的
证法可得 BC1 ? A1C , 又 BD ? BC1 ,所以 A1C ? 面C1 BD 。 )

259. 如果把两条异面直线看成“一对” ,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线共有( A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对

解析:本题以六棱锥为依托,考查异面直线的概念及判断,以及空间想象能力. 解法一:如图,任何两条侧棱不成异面直线,任何两条底面上的棱也不成异面 直线,所以,每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱,每条侧 棱,可以且只有与 4 条底面上的棱组成 4 对异面直线,又由共 6 条侧棱,所以 异面直线共 6×4=24 对. 解法二:六棱锥的棱所在 12 条直线中,能成异面直线对的两条直线,必定一条 在底面的平面内,另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共 6 条,侧棱所在直线也有 6 条,各取一条配成

一对,共 6×6=36 对,因为,每条侧棱所在的直线,与底面内的 6 条直线有公共点的都是 2 条,所以, 在 36 对中不成异面直线的共有 6×2=12 对.所以, 六棱锥棱所在的 12 条直线中, 异面直线共有 36-12=24 对. 260. 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A.平行 B.异面 C.平行或异面 D.相交或异面 解析:本题考查两条直线的位置关系,异面直线的概念,以及空间想象能力.

解法一:设两条异面直线分别为 l1,l2,则与它们分别相交的两条直线有可能相交,如图 1,也可能异面, 如图 2,它们不可能平行,这是由于:假设这两条直线平行,则它们确定一个平面α ,两条平行线与两条 异面直线 l1 与 l2 的四个交点均在α 内,则两异面直线 l1 与 l2 也在α 内,这是不可能的.∴应选 D. 解法二:利用排除法,容易发现,分别和两条异面直线都相交的两条直线可以是相交的位置关系,由于这 点可以排除选择选 A、B、C.故选 D. 261. 已知两平面α ,β 相交于直线 a,直线 b 在β 内与直线 a 相交于 A 点,直线 c 在平面α 内与直线 a 平行,请用反证法论证 b,c 为异面直线. 解析:这题规定用反证法,提出与结论相反的假定后,要注意分可能的几种情况讨论. 证:用反证法. 假设 b,c 共面,则 b∥c 或 b,c 相交. (1)若 b∥c,∵ c∥a, ∴ a∥b 这与 b∩a=A 的已知条件矛盾; (2)若 b∩c=P,∵ b ? β ,∴ P∈β . 又∵ c ? α ,∴ P∈α . ∴ P∈α ∩β 而α ∩β =a. ∴ P∈a,这样 c,a 有了公共点 P,这与 a∥c 的已知条件矛盾. 综上所述,假设不成立,所以 b、c 为异面直线. 说明 本题如不指明用反证法,也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.

262. 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,异面直线 AA1 和 BD1 的中点分别是 E、F. (1)证明 EF 是 AA1 与 BD1 的公垂线段; (2)求异面直线 AA1 和 BD1 间的距离. 解析:(1)连接 ED1、EB,

5 则显然 ED1=EB= 2 a
又 F 为 BD1 之中点. ∴ EF⊥BD1; 连接 FA1,FA. ∵ F 为正方体的中心, ∴ FA=FA1,又 E 为 AA1 之中点, ∴ EF⊥A1A. 故 EF 为 AA1 与 BD1 的公垂线段. (2)在 RtΔ EFD1 中

5 2 3 2 2 a ? a ? a ED ? FD 4 4 2 . EF= =
2 1 2 1

2 a 故 AA1 到 BD1 间的距离是 2 .
评析:今后学习了线面的位置关系之后,可以利用“转化”的思想求距离. 263. 如图所示,正三棱锥 S—ABC 的侧棱与底面的边长相等,如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点,求异 面直线 EF 与 SA 所成的角.

解析:计算 EF、SA 所成的角,可把 SA 平移,使其角的顶点在 EF 上.为此取 SB 之中点 G,连 GE、GF、

1 1 BE、AE,由三角形中位线定理:GE= 2 BC,GF= 2 SA,且 GF∥SA,所以∠GFE 就是 EF 与 SA 所成

1 1 3 2 EA2 ? ( AB) 2 2 的角.若设此正三棱锥棱长为 a, 那么 GF=GE= 2 a,EA=EB= 2 a,EF= = 2 a, 因为
Δ EGF 为等腰直角三角形.∠EFG=45°,所以 EF 与 SA 所成的角为 45°. 说明 异面直线所成角的求法: 利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上,通 过证明所作的角就是所求的角或者补角,解三角形,可求.

AQ CP AM CN 264. 在空间四边形 ABCD 中,M、N、P、Q 分别是四边上的点,且满足 MB = NB = QD = PD =k.
(1)求证:M、N、P、Q 共面. (2)当对角线 AC=a,BD=b,且 MNPQ 是正方形时,求 AC、BD 所成的角及 k 的值(用 a,b 表示)

解析:(1)∵

AQ AM MB = QD =k

AM k ∴ MQ∥BD,且 AM ? MB = k ? 1 AM k MQ BD = AB = k ? 1



k ∴ MQ= k ? 1 BD CN CP NB = PD =k



CN k ∴ PN∥BD,且 CN ? NB = k ? 1 NP CN k k BD = CB = k ? 1 从而 NP= k ? 1 BD
MQ∥NP,MQ,NP 共面,从而 M、N、P、Q 四点共面.

∴ ∴

(2)∵

1 BN 1 BM MA = k , NC = k BN 1 BM BM 1 MA = NC = k , BM ? MA = k ? 1



∴ MN∥AC,又 NP∥BD. ∴ MN 与 NP 所成的角等于 AC 与 BD 所成的角. ∵ MNPQ 是正方形,∴ ∠MNP=90° ∴ AC 与 BD 所成的角为 90°,

MN BM 1 又 AC=a,BD=b, AC = BA = k ? 1 1 ∴ MN= k ? 1 a 1 又 MQ= k ? 1 b,且 MQ=MN, k a 1 k ? 1 b= k ? 1 a,即 k= b .
说明:公理 4 是证明空间两直线平行的基本出发点. 265.已知:直线 a 和直线 b 是异面直线,直线 c∥a,直线 b 与 c 不相交,求证:b、c 是异面直线. 证:因为 b,c 不相交,b、c 的位置关系有 b∥c 或 b、c 异面两种可能. 假设 b∥c,∵ c∥a,∴ a∥b,这与已知 a,b 是异面直线矛盾. 所以 b 与 c 不能平行,又 b、c 不相交 所以 b,c 是异面直线. 266.分别和两条异面直线 AB、CD 同时相交的两条直线 AC、BD 一定是异面直线,为什么? 证明:假设 AC、BD 不异面,则它们都在某个平面α 内,这时 A、B、C、D 四点都在α 上,由公理 1 知 A、B、C、D ? α ,这与已知 AB 与 CD 异面矛盾,所以 AC、BD 一定是异面直线.

A1 B1 267. 如图, ABCD—A1B1C1D1 是正方体, B1E1=D1F1= 4 , BE1 与 DF1 所成角的余弦值是( 则 15 A. 17 1 B. 2 8 C. 17

)

D.

3 2

解析:过 A 点在平面 ABB1A1 内作 AF,使 A1F=D1F1,则 ADF1F 是平行四边形,∴FA∥DF1,再过 E1

A1 B1 在平面 ABB1A1 内作 E1E∥FA, 则∠BE1E 即是 BE1 与 DF1 所成的角, 由已知 BE1=DF1= 4 , ABCD

17 —A1B1C1D1 是正方体,∴ E1E= 4 A1B1,
又 DF1=AF=E1E,DF1=BE1.

1 17 ∴ E1E= 4 A1B1,EB= 2 A1B1

E1 E 2 ? BE12 ? BE 2 15 2 ? E1 E ? BE1 在Δ BE1E 中,cos∠BE1E= = 17 .
∴ 应选 A.

268. 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是( )

3 A. 2

10 B. 10

3 C. 5

2 D. 5

解析: 由图所示, AM 与 CN 是异面直线, N 作平行于 AM 的平行线 NP, AB 于 P, 过 交 由定义可知∠PNC

1 1 就是 AM 与 CN 所成的角.因Δ PBC,Δ PBN,Δ CBN 皆为直角三角形,且 BP= 4 ,BN= 2 ,BC=1,故 1 1 5 1 5 1 17 PN2=( 4 )2+( 2 )2= 16 ,CN2=( 2 )2+12= 4 ,PC2=( 4 )2+12= 16 ,在Δ PCN 中 cos∠PNC= 2 PN 2 ? CN 2 ? PC 2 2 PN ? CN ,所以 cos∠PNC= 5 ,因此应选 D.
269. 已知异面直线 a 与 b 所成的角为 50°,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b 所成的角都是 30°的 直线有且仅有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析: 过 P 点分别作直线 a′∥a,b′∥b,则 a′与 b′的夹角为 50°,由异面直线所成的角的定义可知,

过 P 点与 a′,b′成 30°角的条数,就是所求的条数. 画图可知,过 P 点与 a′、b′成 30°角的直线只有两条. ∴ 应选 B.

? 270. .若 a、b 为异面直线,P 为空间一点,过 P 且与 a、b 所成角均为 3 的直线有(
A.二条 C.二条或四条 解析:D B.二条或三条 D.二条、三条或四条

)

271. 已知空间四边形 ABCD,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、DC 的三等分点. 求证:①对角线 AC、BD 是异面直线, ②EF 和 HG 必交于一点,且交点在 AC 上. 解析:①提示:用反证法,或者用判定定理. ②提示:先证 EH∥FG,EH<FG,设 FE∩GH=0 又 0∈GH.GH ? 平面 ADC.∴O∈平面 ADC.同理 O∈平面 ABC. ∴O 在平面 ADC 和平面 ABC 的交线 AC 上. 272.如果直线 a 垂直于直线 b,那么直线 a 与平行于直线 b 的任意一条直线 b′互相垂直 解析:在 a 上任取一点 A,过 A 作 b1∥b,则 a 与 b1 垂直. ∵b∥b′,b∥b1 ∴b1∥b′ ∴直线 a 与 b1 和 a 与 b′所成的角相等. ∴a⊥b′ 273. 在一块长方形木块的面上有一点 P,木匠师傅要用锯子从 P 和 CD 将木块分成两块,问怎样画线. 解析:过 P 作 C1D1 的平行线 EF,连 DE、CF.

? 274.异面直线 l1、 它们之间的距离为 1, l2, 所成角是 3 , 它们的公垂线是 AB, A∈l1,B∈l2.E∈l1,F∈l2,AE
=BF=1,求 EF 的长.

解析:如图,用异面直线 l1、l2 作为长方体的上、下底面的对角线,公垂线 AB 为高. ①EF 的长即是正方形 PEE′F 的对角线长,为 2 . ②侧面 EE ' F ' G 的对角线 F ' E ,用勾股定理得 F ' E =2,即为所求.

275.试证:两两相交且不全过同一点的四条直线共面. 解析:(1)设 a、b、c、d 四条直线两两相交,且不过同一点,并且无三线共点. 记 a∩b=A,a∩c=C,c∩b=B, ∵ a∩b=A,∴ a、b 确定平面α . ∴ B∈b,C∈a. ∴ B、C∈α . ∴ BC ? α ,即 c ? α ,同理 d ? α 从而 a、b、c、d 共面 (2)若有三线共点,不妨设 b、c、d 相交于 A, a∩b=B,a∩c=C,a∩d=D. ∴ a 与 A 可确定平面α . ∵ B∈a. ∴B∈α ,于是 b ? α . 同理,c ? α ,d ? α . 从而 a、b、c、d 共面.

276. 正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为______________。

解析:易知 即为所成的角。



两条体对角线相交,设交点为 O(如图) ,则

设正方体棱长为 1,则

,所以

,而

,故

,即



277.长方体

中,



所成角的大小为______________。

解析:如图所示,将

平移到

,则在



278. 根据叙述作图,指出二面角?? 的平面角,并证明. -l-?? (1)已知?? ∩?? =l,A∈l(图 9-39) .在?? 内作 PA⊥l 于 A,在?? 内作 QA⊥l 于 A.

图 9-39 (2)已知?? ∩?? =l,A∈?? A ? l (图 9-40) , .作 AP⊥?? P,在?? 于 内作 AQ⊥l 于 Q,连结 PQ.

图 9-40 (3)已知?? ∩?? =l, A ? ? , A ? ? ?(图 9-41) .作 AP⊥?? P,AQ⊥?? Q,l∩平面 PAQ=H,连 于 于 结 PH、QH.

解析: (1)PA

?? ,QA

?? ,PA⊥l,QA⊥l,∴ ∠PAQ 为二面角的平面角.

(2)∵ AP⊥?? ,∴ PQ 为 AQ 在平面?? 内的射影,∵ AQ⊥l,根据三垂线定理,有 PQ⊥l,∴ ∠AQP 为二面角的平面角(如图答 9-35) . (3)∵ AP⊥?? ,∴ AP⊥l,∵ AQ⊥?? ,∴ AQ⊥l,∴ l⊥平面 PAQ,∵ PH·QH 面 PAQ,∴ l⊥PH,l⊥QH,∴ ∠PHQ 为二面角的平面角(如图答 9-36) . 279. 如图 9-42,立体图形 A-BCD 中,AC=AD,BC=BD.求作二面角 A-CD-B 的平面角,并说明理由. 平

解析:取 CD 中点 E,连结 AE、BE,∵ AC=AD,∴ AE⊥CD.∵ BC=BD,∴ BE⊥CD,∴ ∠ AEB 为二面角 A-CD-B 的平面角.

280. 若二面角?? 的一个半平面?? -l-?? 上有一个点 A,点 A 到棱 l 的距离是它到另一个平面?? 的距离的 2 倍, 则这个二面角的大小为( ) . A.90° B.60° C.45° D.30° 解析:D.作 AH⊥?? 交?? H,作 HB⊥l 于 B,连结 AB,由三垂线定理,HB⊥l,∴ ∠ABH 为二面角 于 ?? 的平面角,由已知在 Rt△ABH 中,AB=2AH,∴ ∠ABH=30°. -l-?? 281. 下列命题中正确的是( ) . A.平面?? 和?? 分别过两条互相垂直的直线,则?? ⊥?? B.若平面?? 内的一条直线垂直于平面?? 内的两条平行直线,则?? ⊥?? C.若平面?? 内的一条直线垂直于平面?? 内的两条相交直线,则?? ⊥?? D.若平面?? 内的一条直线垂直于平面?? 内的无数条直线,则?? ⊥?? 解析:C.?? 内的直线 l 垂直?? 内的相交直线 a、b,则 l⊥?? .∵ l ?? ,∴ ?? ⊥?? .

282. 设两个平面互相垂直,则( ) . A.一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面 B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上 C.过交线上一点垂直于交线的直线,必垂直于另一个平面 D.分别在两个平面内的两条直线互相垂直
1 解析:B.如图答 9-38,在正方体 ABCD? A1B1C1D1 中,平面 AA D1D ⊥平面 ABCD,其中 A1D

平面

AA D1D ,但 A1D 不垂直平面 ABCD,故 A 不正确.点 D 在交线 AD 上, C1D ? AD ,但 C1D 不垂直平 1
面 ABCD,故 C 不正确. AD1
1 平面 AA D1D ,AC

平面 ABCD,但 AD1 与 AC 不垂直,故 D 不正确.

283. 如图 9-43,∠AOB 是二面角?? -CD-?? 的平面角,AE 是△AOB 的 OB 边上的高,回答下列问题,并 说明理由: (1)CD 与平面 AOB 垂直吗? (2)平面 AOB 与?? 、?? 垂直吗? (3)AE 与平面?? 垂直吗?

解析: (1)∵ ∠AOB 是二面角?? -CD-?? 的平面角,∴ OB⊥CD,OA⊥CD,∴ CD⊥平面 AOB. (2)∵ CD⊥平面 AOB,CD ?? ,∴ ?? ⊥平面 AOB.同理?? ⊥平面 AOB.

(3)∵ CD⊥平面 AOB,∵ AE ? 平面 AOB,∴ CO⊥AE,又∵ AE⊥OB,CD∩OB=O, ∴ AE⊥平面 BCD,即 AE⊥?? . 284. 如图 9-44,以等腰直角三角形的斜边 BC 上的高 AD 为折痕,使△ABD 和△ACD 折成相垂直的两个 面.求证:BD⊥CD,∠BAC=60°.

图 9-44 解析:∵ AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的高线,∴ AD⊥BD,AD⊥DC,∴ ∠BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角,∵ 平面 ABD⊥平面 ACD,∴ ∠BDC=90°,即 BD⊥DC.连结 BC,设 AD=a,则 BD=DC=AD=a, AB ?

2a , AC ? 2a , BC ? 2a ,∴ △ABC 是正三角形,∴ ∠BAC=60°

285. 直线 a、b 是异面直线,a⊥平面α ,b⊥平面β ,a⊥b,求证:α ⊥β . 证明 过 b 上任意一点作直线 a′,使 a∥a′.∵a⊥b,∴a⊥b. 设相交直线 a′、b 确定一个平面 , ∩β =c.∵b⊥β ,c ? β ,∴b⊥c. 在平面 内,b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α ,∴c⊥α ,c ? β ,∴β ⊥α

? ?

?

286. 在三棱锥 S—ABC 中,∠ASB=∠BSC=60°,∠ASC=90°,且 SA=SB=SC,求证:平面 ASC ⊥平面 ABC. 证明 取 AC 的中点 O,连 SO、BO,由已知,得Δ SAB、Δ SBC 都是正三角形.∴BC=AB=a,SA=SC= a,又 SO⊥AC, BO⊥AC, ∴∠SOB 就是二面角 S—AC—B 的平面角.又∵SA=AB=a,SC=BC=a,AC=AC, ∴Δ ACS≌Δ ACB.

2 ∴SO=BO= 2 a.在Δ SOB 中,∵SB=a,∴∠SOB=90°.
即平面 SAC⊥平面 ABC. 另证:过 S 作 SO⊥平面 ABC,垂足是 O.∵SA=SB=SC,∴S 在平面内的射影 是Δ ABC 的外心,同前面的证明,可知Δ ABC 是直角三角形,∴O 在斜边 AC

上.又∵平面 SAC 经过 SO,∴平面 SAC⊥平面 ABC 说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是 90°,或利用判定定理证明一个平面经过另 一个平面的垂线.

287. 如图,四面体 ABCD 的棱 BD 长为 2,其余各棱的长均是 2 ,求:二面角 A—BD—C、A—BC—D、 B—AC—D 的大小. 解析:(1)取 BD 的中点 O,连 AO、OC.在Δ ABD 中,∵AB=AD= 2 ,BD=2, ∴Δ ABD 是等腰直角三角形,AO⊥BD,同理 OC⊥BD. ∴∠AOC 是二面角 A—BD—C 的平面角 又 AO=OC=1,AC= 2 ,∴∠AOC=90°.即二面角 A—BD—C 为直二面角. (2)∵二面角 A—BD—C 是直二面角,AO⊥BD,∴AO⊥平面 BCD. ∴Δ ABC 在平面 BCD 内的射影是Δ BOC.

1 3 3 3 ∵SΔ OCB= 2 ,SΔ ABC= 2 ,∴cosθ = 3 .即二面角 A—BC—D 的大小是 arccos 3 .
(3)取 AC 的中点 E,连 BE、DE.∵AB=BC,AD=DC, ∴BD⊥AC,DE⊥AC,∴∠BED 就是二面角的平面角.

1 6 在Δ BDE 中,BE=DE= 2 ,由余弦定理,得 cosα =- 3 1 ∴二面角 B—AC—D 的大小是π -arccos 3 .
评析 本例提供了求二面角大小的方法:先作出二面角的平面角,再利用其所在的三角形算出角的三角函 数值,或利用面积的射影公式 S′=S·cosθ 求得. 288. 如图所示,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC、SC 于 D、E.又 SA=AB,SB=SC.求以 BD 为棱,以 BDE 与 BDC 为面的二面角的度数. 解法一:由于 SB=BC,且 E 是 SC 中点,因此 BE 是等腰三角形 SBC 的底边 SC 的中线,所以 SC⊥BE.又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E, ∴SC⊥平面 BDE,∴SC⊥BD, 又∵SA⊥底面 ABC,BD 在底面 ABC 上,∴SA⊥BD. 而 SA∩SC=S,所以 BD⊥平面 SAC. ∵DE=平面 SAC∩平面 BDE,DC=平面 SAC∩平面 BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC 是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面 ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设 SA=a,则 AB=a,BC=SB= 2 a.

1 SA 又 AB⊥BC,所以 AC= 3 a.在 RtΔ SAC 中 tg∠ACS= AC = 3 ,所以∠ACS=30°.
又已知 DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于 60°. 解法二:由于 SB=BC,且 E 是 SC 的中点,因此 BE 是等腰Δ SBC 的底边 SC 的中线,所以 SC⊥BE.又已 知 SC⊥DE,BE∩DE=E.∴SC⊥平面 BDE,SC⊥BD. 由于 SA⊥底面 ABC,且 A 是垂足,所以,AC 是 SC 在平面 ABC 上的射影,由三垂线定理的逆定理得 BD ⊥AC;又 E∈SC,AC 是 SC 在平面内的射影,所以 E 在平面 ABC 内的射影在 AC 上,由于 D∈AC,所

以 DE 在平面 ABC 内的射影在 AC 上,根据三垂线定理得 BD⊥DE. ∵DE ? 平面 BDE,DC ? 平面 BDC.∴∠EDC 是所求二面角的平面角.以下解法同解法一. 289. 在直三棱柱 ABC—A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直线 B′C 与平面 ABC 成 30° 的角.(如图所示) (1)求点 C′到平面 AB′C 的距离;(2)求二面角 B-B′C—A 的余弦值. 解析:(1)∵ABC—A′B′C′是直三棱柱,∴A′C′∥AC,AC ? 平面 AB′C,∴ A′C′∥平面 AB′C,于是 C′到平面 AB′C 的距离等于点 A′到平面 AB′C 的 距离,作 A′M⊥AB′于 M.由 AC⊥平面 AB′A′得平面 AB′C⊥平面 AB′A′, ∴A′M⊥平面 AB′C,A′M 的长是 A′到平面 AB′C 的距离. ∵AB=B′B=1,⊥B′CB=30°,∴B′C=2,BC= 3 ,AB′= 2 ,A′M=

A?B? ? A?A 2 2 A?A = 2 .即 C′到平面 AB′C 的距离为 2 ;
(2)作 AN⊥BC 于 N,则 AN⊥平面 B′BCC′,作 NQ⊥B′C 于 Q,则 AQ⊥B′C,∴∠AQN 是所求二

AN AB ? AC AC ? AB ? 6 6 3 B?C =1.∴sin∠AQN= AQ = 3 ,cos∠AQN= 3 . BC = 3 , 面角的平面角, AN= AQ=
说明 利用异面直线上两点间的距离公式, 也可以求二面角的大小, 如图, AB=BB′=1, ∴AB′= 2 , 又∠B′CB=30°,

3 ∴BC= 3 ,B′C=2,AC= 2 .作 AM⊥B′C 于 M,BN⊥B′C 于 N,则 AM=1,BN= 2 ,
3 1 CN= 2 ,CM=1,∴MN= 2 .∵BN⊥B′C,AM⊥B′C,∴BN 与 AM 所成的角
等于二面角 B—B′C—A 的平面角.设为θ .由 AB2=AM2+BN2+MN2-2AM×BN

1 3 ×cosθ 得 cosθ = 3 = 3 .
280 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠A=60°,PC⊥平面 ABCD,PC=a,E 是 PA 的中点. (1)求证平面 BDE⊥平面 ABCD.(2)求点 E 到平面 PBC 的距离.(3)求二面角 A—EB—D 的平面角大小. 解析:(1)设 O 是 AC,BD 的交点,连结 EO. ∵ABCD 是菱形,∴O 是 AC、BD 的中点, ∵E 是 PA 的中点,∴EO∥PC,又 PC⊥平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD,EO ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABCD. (2)EO∥PC,PC ? 平面 PBC, ∴EO∥平面 PBC,于是点 O 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离. 作 OF⊥BC 于 F, ∵EO⊥平面 ABCD,EO∥PC,PC ? 平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 ABCD,于是 OF⊥平面 PBC,OF 的 长等于 O 到平面 PBC 的距离.

a a 3 3 3 由条件可知,OB= 2 ,OF= 2 × 2 = 4 a,则点 E 到平面 PBC 的距离为 4 a.
(3)过 O 作 OG⊥EB 于 G,连接 AG ∵OE⊥AC,BD⊥AC ∴AC⊥平面 BDE

∴AG⊥EB(三垂线定理)

∴∠AGO 是二面角 A—EB—D 的平面角

1 1 3 ∵OE= 2 PC= 2 a,OB= 2 a

OE ? OB 1 3 ∴EB=a.∴OG= EB = 4 a 又 AO= 2 a.

AO 2 3 2 3 ∴tan∠AGO= OG = 3 ∴∠AGO=arctan 3 .
评析 本题考查了面面垂直判定与性质,以及利用其性质求点到面距离,及二面角的求法,三垂线定理及 逆定理的应用. 291. 如图, 矩形 ABCD 中, AB=2, BC=2 3 , AC 为轴翻折半平面, 以 使二平面角 B—AC—D 为 120°, 求:(1)翻折后,D 到平面 ABC 的距离;(2)BD 和 AC 所成的角.

解析:研究翻折问题,通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形,对应点的字母要相同. 解 分别过 B、D 作 AC 的垂线,垂足是 E、F,过 F 作 FB′∥BE,过 B 作 BB′∥AC,交点 B′,则四 边形 EFB′B 是矩形. ∵AC⊥DF, AC⊥B′F, ∴AC⊥平面 B′FD, 即∠DF′B 就是二面角 B—AC—D 的平面角, 亦即∠DFB′ =120°. 过 D 作 DO⊥B′F,垂足为 O.∵DO ? 平面 DFB′,AC⊥平面 DFB′.∴DO⊥AF,DO⊥平面 ABC.

3 在 RtΔ ADC 中,CD=2,AD=2 3 ,∴DF= 3 ,OD=DF·sin60°= 2 .

? (2)在Δ DFB′中,DB′= DF ? B?F ? 2 ? DF ? B?F ? cos120 =3.
2

又由(1)可知,AC∥BB′,AC⊥平面 DFB′⊥平面 DFB′.∴BB′⊥平面 DFB′,∴Δ DB

B′是直

3 角三角形,又 BB′=EF=2.∴tan∠DBB′= 2 . 3 ∵AC∥BB′,∴AC 与 BD 所成的角就是∠DBB′,即为 arctan 2 .
说明 处理翻折问题,只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段,就可以化成基本题型处理,本题也可 以 这 样 考 虑 , 即 利 用 异 面 直 线 DF 、 BE 上 两 点 B 、 D 间 的 距 离 , 先 求 出 BD2 =

2 EF2+DF2+BE2-2DF·BE·cos120°=13,从而得出∠DBB′=arccos 13 .
292. 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合; (2)在一个平面内有三条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行; (3)若两个平面相交,那么分别在这两个平面内的两条直线也相交; (4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线也平行; (5)一条直线与两个平行平面所成的角相等; (6)一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么一定平行于另一个平面.

解析: (1)不正确.两个平面还可能相交于一条直线; (2)不正确.两个平面可能相交,这三条直线均与交线平行; (3)不正确.分别在两个相交平面内的两条直线也可能平行,它们都平行于交线; (4)不正确.两条直线还可能异面; (5)正确.无论直线与两个平面相对位置如何,直线与两个平面所成的角都相等; (6)不正确.直线可能在另一个平面上.

293. 平面?? ∥平面? ,a

?? ,b

? ,则 a、b 一定是( ) .

A.两条平行直线 B.异面直线 C.相交直线 D.无公共点的两条直线 解析:D.?? ∥?? ,则平面?? 与?? 无公共点,a、b 一定无公共点. 294. 下列命题中,不正确的是( ) . A.一直线和两个平面? 、?? 所成的角相等,那么?? ∥? B.平面?? ∥平面?? ,则?? 内的任意直线平行于平面? C.一个三角形有两条边所在直线平行一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行 D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线 解析:A.直线与两平面所成的角相等,这两个平面可能相交,故 A 命题不正确.三角形两边必相交,这 两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行,所以 C 命题正确,分别在两个平行 平面内的两条直线一定没有公共点,它们的位置关系是平行或异面. 295. 若 a∥b,a⊥?? ,b⊥?? ,则?? 、?? 这两个平面的位置关系是________.

a ??? ? ? b ? ? ? ? // ? . a // b ? ?? b ? ?? 解析:平行.
296. 夹在两平行平面?? 间的线段 AB=8,AB 与?? 、?? 所成的角为 45°,那么?? 间的距离等于________. 、?? 解析: 4 2 .如图答 9-27,过 A 作 AH⊥?? ,交?? H,AH 为平面?? 于 与?? 间的距离.连结 BH,则 BH 是 AB 在平面?? 内的射影,∴ ∠ABH=45°.∵ AB=8,∴

AH ? AB ? sin 45 ?

? 8?

2 ? 4 2. 2

297. .三个不同平面?? ,?? ,?? 满足?? ∥?? ∩?? ,?? =l,则?? 与?? 的位置关系是________;若三个平面满足?? ∥ ?? ,?? ∥?? ,则?? 与?? 的位置关系是________. 解析:相交;平行.作直线 l⊥?? ,∵ ?? ∥?? ,∴ l⊥?? ,∵ ?? ∥?? , ∴ l⊥?? .∴ ?? ∥?? .当?? ∥?? ,?? ∩?? =l,假设?? 与?? 不相交,则?? ∥ ?? ,∵ ?? ∥?? ,由前面证明可知?? ∥?? ,这与?? 相交矛盾.∴ ?? 、?? 与 ?? 相交.

298. 已知直线 a

平面?? ,直线 b

平面?? ,?? b,a∥?? ,b∥?? .求

证:?? ∥?? . 解析: 如图 9-29, b 上任取一点 P, 在 由点 P 和直线 a 确定的平面?? 与 平面?? 交于直线 c,则 c 与 b 相交于点 P.

a // ? ? ? ?? a? ? ? a // c ? ? ? ? c ? a ?? ? ? c ?? ?

? ? ? ? ? c // ? ? ? b // ? ? ? a // ? . ? b ? c ? P? ?

图 9-29 299.B.A 不正确是因为直线 b 可以在平面?? 内,也可能与?? 平行,还可能与?? 相交但不成直角,C 中的直 线 b 只与?? 内的直线 a 垂直,不能得出垂直?? 的结论.D 中?? 、?? 可能相交,?? 内的两条直线均与交线平行 300. 给出以下命题: ①平行于同一条直线的两条直线平行; ②垂直于同一条直线的两条直线平行; ③平行于同一个平面的两条直线平行; ④垂直于同一个平面的两条直线平行; ⑤平行于同一条直线的两个平面平行; ⑥垂直于同一条直线的两个平面平行; ⑦平行于同一个平面的两个平面平行. 其中正确的命题是________(把你认为正确的命题的序号都写上) . 解析:①、④、⑥、⑦.由公理 4 知①正确.由直线与平面垂直的性质定理知④正确.由两个平面平行判 定定理可以推导出⑥、⑦正确.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面;平行于 同一个平面的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面;平行于同一条直线的两个平面的位置关系是平 行或相交.


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