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高考大题第六讲 函数综合题(自己整理的,很值得收藏)


考点一:求函数的定义域与值域 (1)求定义域 (2)求值域的常用解题方法:均值不等式,导数(如复杂通过换元化简) ★ 函数 f ( x) ?

3x 2 1? x

? lg(3 x ? 1) 的定义域是

★ 函数 y ?

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x
x ? 1 的值域


x

★★函数 y ? 2 x ?

★★函数 y ? 16 ? 4 的值域是( (A) [0, ??) (C) [0, 4)

) (B) [0, 4] (D) (0, 4)

★★函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为 A
x

?

?

A.

? 0, ?? ?

B.

? 0, ?? ? ?

C.

?1, ?? ?

D. ?1, ?? ? ?

考点二:判断函数奇偶性的步骤 第一步: 求出定义域,判断定义域是否关于原点对称 第二步: 比较 f (? x)与f ( x) 或 f (? x)与 ? f ( x) 的关系

若有f ( x) ? f (? x) ? 0,则奇函数 若有f ( x) ? f (? x) ? 0,则偶函数
常用的结论:若 f (x) 是奇函数,且 0 ? 定义域 ,则 f (0) ? 0 ;

1 __。 , 若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ___ z ?1 ★★如果奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f (x) 在区间 ?? 7,?3? 上是 A. 增函数且最小值是 ? 5 B. 增函数且最大值是 ? 5 C. 减函数且最大值是 ? 5 D. 减函数且最小值是 ? 5 2 2 ★★已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? (m ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( ) A. B. C. D. 3 2 4 1 ★★设 f (x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是( )
★ 已知函数 f ? x ? ? a ?
x

A. C.

奇函数 既是奇函数又是偶函数

B. 偶函数 D. 非奇非偶函数

考点三:判断函数单调性 (定义法和导数法) 定义法步骤:1)设 x1 , x2 ? A且x1 ? x2 ;2)作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (结果一般因式分解来判 断符号)

★下列函数中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0, ?? ) ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是 ( )

A. f ( x) =

1 x

B. f ( x) = ( x ? 1)

2

C . f ( x) = e

x

D f ( x) ? ln( x ? 1)

考点四:复合函数的单调性法则:同增异减 ★下列函数中,在区间 (??,0] 上是增函数的是(
2



(A) y ? x ? 4 x ? 8 (B) y ? log 1 (? x) (C) y ? ?
2

2 (D) y ? 1 ? x x ?1
2

★ 已 知 y=f(x) 是 偶 函 数 , 且 在 [0,??) 上 是 减 函 数 , 则 f(1 - x ) 是 增 函 数 的 区 间 是 . . ★★已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 考点五.分段函数解析式的应用: ★★定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x)= ?

x?0 ?log 2 (4 ? x), ,则 f(3)的值为 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

★★设函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ? x ? 6, x ? 0

则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是

考点六:指数运算与对数运算公式 (1) log a

M ? log a N ? log a MN
loga N

(2)

n log a b ? log a m b n m
n m

log b N (3) l og a N= log b a

(4)

a

?N

(5) a

? m an

★★方程 log 3 ( x 2 ? 10) ? 1 ? log 3 x 的解是___ ____. ★★已知函数 f ( x ) ? ? A.4 B.

?log 3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ? (

1 9



1 4

C.-4

D-

1 4

考点七:常见函数的导数公式与四则运算 ①C ? 0;
'

( x n ) ' ? nx n?1 (cos x) ' ? ? sin x (e x ) ' ? e x

② (sin x) ? cos x ;
'

③ (a ) ? a ln a ;
x ' x

④ (log a x) ?
'

1 ; x ln a

(ln x) ' ?

1 x
u u ?v ? uv ? ( )? ? ; v v2

四则运算法则: (u ? v) ? ? u ? ? v ?; 考点八:导数的几何意义

(uv) ? ? u ?v ? uv ?;

曲 线 y = f ( x ) 在 点 P ( x0,y0 ) 处 的 切 线 的 斜 率 k= f ?( x 0 ). 相 应 地 , 切 线 方 程 是

y ? y 0 ? f ?( x0 )( x ? x0 );
★曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
x

★★已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为 __
2

___ )

★★过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( (A) 2 x ? y ? 2 ? 0
2

(B) 3x ? y ? 3 ? 0

(C) x ? y ? 1 ? 0

(D) x ? y ? 1 ? 0

★★若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 (A) a ? 1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ?1 考点九:函数与方程(零点问题) (1) 根的存在定理 ★若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 ( (A) (0,1).
x

(B) a ? ?1, b ? 1 (D) a ? ?1, b ? ?1



(B) (1,1.25).

(C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2)

★函数 f(x)= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1) (B) (-1,0) (2)作图(转化为图像交点)
x

(C) (0,1)

(D) (1,2)

★函数 f(x)= 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) (3)直接求解

f ★函数 (x)= ?
A.3

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0

的零点个数为 ( D.0

)

B.2

C.1

考点十:导数应用---求单调区间和极值

★★已知函数 f(x)=kx -3x +1(k>0). (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)的极小值大于 0, 求 k 的取值范围. ★★★ 已知函数 f(x)=x 3 -3ax 2 +3x+1。 (Ⅰ)设 a=2,求 f(x)的单调期间; (Ⅱ)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。 ★★★设函数 f ( x) ?

3

2

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24 a ,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高考真题演练 1(2012)设 a ? 1 ,集合 A ? {x ? R x ? 0}, B ? {x ? R 2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0} , D ? A ? B . (Ⅰ) 求集合 D (用区间表示) ; (Ⅱ) 求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3(1 ? a) x 2 ? 6ax 在 D 内的极值点. 解析】(Ⅰ)由方程 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 得判别式 ? ? 9(1 ? a) ? 48a ? 3(a ? 3)(3a ? 1)
2 2

因为 a ? 1 ,所以 a ? 3 ? 0

1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时 B ? R ,所以 D ? A ? ? 0, ?? ? ; 3 1 当 a ? 时, ? ? 0 ,此时 B ? {x | x ? 1} ,所以 D ? (0,1) ? (1, ??) ; 3 1 2 当 a ? 时, ? ? 0 ,设方程 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 的两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 , 3
当 则

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 4 B ? {x | x ? x1或x ? x2 } x1 ?
当 0?a? 时

x2 ?

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 4

,

1 时 , 3

x1 ? x2 ?

3 (1 ? a) ? 0 , x1 x2 ? 3a ? 0 , 所 以 x1 ? 0, x2 ? 0 2 D ? ( x, x1 ) ? ( x2 , ??) ,

? (0,

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) )?( , ??) 4 4 当 a ? 0 时, x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0
此时, D ? ( x2 , ??) ? (

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , ??) . 4



1 ? ?(0, ??), 3 ? a ? 1 ? ? 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 1 上, D ? ?(0, )?( , ??), 0 ? a ? 4 4 3 ? ? 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 , ??), a ? 0 ?( 4 ?
(Ⅱ) f ?( x) ? 6 x ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ? 1)( x ? a) , a ? 1
2

所以函数 f ( x) 在区间 [ a,1] 上为减函数,在区间 (??, a ] 和 [1, ??) 上为增函数

1 ? a ? 1 时,因为 D ? ? 0, ?? ? ,所以 f ( x) 在 D 内的极值点为 a,1 ; 3 1 1 当 a ? 时, D ? (0,1) ? (1, ??) ,所以 f ( x) 在 D 内有极大值点 a ? ; 3 3 1 0?a? 3 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 时, D ? (0, )?( , ??) 4 4


3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) ?1? 4 4 (可以用作差法,也可以用分析法),所以 f ( x) 在 D 内有极大值点 a ; a?
当 a ? 0 时, D ? (

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , ??) 4 [来源:学*科*网 Z*X*X*K]

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) ? 1 ,此时 f ( x) 在,内 没有极值点. 4 1 1 综上,当 ? a ? 1 时,极值点为 a,1 ; 0 ? a ? 时,极值点为 a ; a ? 0 时,无极值点. 当 当 3 3
由 a ? 0 ,很容易得到 2(2011?广东)在平面直角坐标系 xoy 上,给定抛物线 L:y= x .实数 p,q 满足 p ﹣4q≥0, x1,x2 是方程 x ﹣px+q=0 的两根,记 φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}. (1)过点,A(p0, p0 ) 0≠0) (p ,作 L 的切线交 y 轴于点 B.证明:对线段 AB 上的任一 点 Q(p,q) ,有 φ(p,q)= ;
2 2 2 2 2

(2)设 M(a,b)是定点,其中 a,b 满足 a ﹣4b>0,a≠0.过 M(a,b)作 L 的两条切 线 l1,l2,切点分别为 E(p1, ) ,E′(p2, p2 ) 1,l2 与 y 轴分别交于 F,F′.线段 ,l .
2

EF 上异于两端点的点集记为 X.证明:M(a,b)∈X? 1|<|P2|? |P φ(a,b)=

(3)设 D={ (x,y)|y≤x﹣1,y≥ (x+1) ﹣ }.当点(p,q)取遍 D 时,求 φ(p,q) 的最小值 (记为 φmin)和最大值(记为 φmax) 3. (2010?广东)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是平面直角坐标系 xOy 上的两点,现定义由 点 A 到点 B 的一种折线距离 ρ(A,B)为 ρ(A,B)=|x2﹣x1|+|y2﹣y1| 对于平面 xOy 上给定的不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , (1)若点 C(x,y)是平面 xOy 上的点,试证明 ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B) ; (2)在平面 xOy 上是否存在点 C(x,y) ,同时满足 ①ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)②ρ(A,C)=ρ(C,B)若存在,请求出所有符合条 件的点,请予以证明。

2

4. (2008?广东)设 k∈R,函数

,F(x)=f(x)﹣kx,x∈R,

试讨论函数 F(x)的单调性. 2 5(2007?广东)已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax +2x﹣3﹣a,如果函数 y=f(x)在区间[﹣1, 1]上有零点,求 a 的取值范围. 6(2006 广东) A 是定义在 [2, 4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合:①对任意的

x ?[1, 2] ,都有 ? (2x ) ? (1, 2) ;②存在常数 L(0 ? L ? 1) ,使得对任意的 x1 , x2 ?[1, 2] ,都有
| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 | .
(I)设 ? (2 x) ? 3 1 ? x , x ?[2,4] ,证明: ? ( x) ? A ( II)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (III)设 ? ( x) ? A ,任取 x1 ? (1, 2) ,令 xn?1 ? ? (2 xn) , n ? 1,2,? ,证明:给定正整数 k ,对任 意的正整数 p ,成立不等式 | xk ? p ? xk |?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

7(2005 广东)设函数 f ( x)在(??,??)上满足f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) , 且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. (Ⅰ) 试判断函数 y ? f (x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论. 8(2004 广东) 设函数 f ( x) ? 1 ?

1 ,x ?0 x

(I)证明:当 0 ? a ? b 且 f (a) ? f (b) 时, ab ? 1

(II)点 P( x0 , y0 ) (0<x0<1)在曲线 y ? f ( x) 上,求曲线上在点 P 处的切线与 x 轴, y 轴正 向所围成的三角形面积的表达式. (用 x0 表示) 9(2004 广东)设函数 f ( x) ? x ? ln( x ? m) ,其中常数 m 为整数 (I)当 m 为何值时, f ( x) ? 0 (II)定理:若函数 g ( x) 在 [a, b] 上连续,且 g (a ) 与 g (b) 异号,则至少存在一点 x0 ? (a, b) , 使得 g ( x0 ) ? 0 试用上述定理证明:当整数 m ? 1 时,方程 f ( x) ? 0 在 ? e ?
x
?m

? m, e 2 m ? m ? 内有两个实根 ?
王新敞
奎屯 新疆

10. (2003 广东)已知 c>0,设 P:函数 y ? c 在 R 上单调递减 Q:不等式 x+|x-2c|>1 的解 集 为 R.如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 c 的取值范围 11(2002 广东)已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx
2
王新敞
奎屯 新疆

(I)当 b >0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明 a≤2 b ; (II)当 b>1 时,对任意 x∈[0,1], f (x) ≤1 的充要条件是 b-1≤a≤ 2 b ; (III)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0,1], f (x) ≤1 的充要条件.

12 (2010年广州一模理科)已知 a ?R , 函数 f ( x) ? 中 e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f ( x) 在区间 ? 0, e ? 上的最小值;

a ? ln x ? 1 ,g ( x) ? ? ln x ? 1? e x ? x(其 x

(2)是否存在实数 x0 ? ? 0, e? ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直? 若存在, 求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

此时 f ( x) 在区间 ? 0, e ? 上的最小值为 ln1 ? 0 ,即 当 x0 ? ? 0, e? , e 0 ? 0 ,
x

1 ? ln x ? 1≥0 . x

1 ? ln x0 ? 1≥0 , x0

∴ g ?( x0 ) ? ?

?1 ? ? ln x0 ? 1? e x0 ? 1≥1 ? 0 . ? x0 ?

曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g ?( x0 ) ? 0 有实数解. 而 g ? ? x0 ? ? 0 ,即方程 g ?( x0 ) ? 0 无实数解. 故不存在 x0 ? ? 0, e? ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直.

13. (惠州第三次调研理科) 已知函数 f ( x) ?

1? x ? ln x ax

(1)若函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 (3)当 a ? 1 时,求证:对大于 1 的任意正整数 n ,都有 ln n ?

?1 ?

? ?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 3 4 n

(3)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1? x x ?1 ? ln x , f ?( x) ? 2 ,故 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数。 x x n 当 n ? 1 时,令 x ? ,则 x ? 1 ,故 f ( x) ? f (1) ? 0 ………………11 分 n ?1



? n ? f? ?? ? n ?1?

1?

n n ? 1 ? ln n ? ? 1 ? ln n ? 0 ,即 ln n ? 1 n n ?1 n n ?1 n ?1 n n ?1

……12

分 ∴

ln

2 1 3 1 4 1 n 1 ? , ln ? , ln ? , ???, ln ? 1 2 2 3 3 4 n ?1 n
………………13 分

2 3 4 n 1 1 1 1 ln ? ln ? ln ? ??? ? ln ? ? ? ? ??? ? 1 2 3 n ?1 2 3 4 n 1 1 1 1 ∴ ln n ? ? ? ? ??? ? 2 3 4 n 1 1 1 1 即对大于 1 的任意正整数 n ,都有 ln n ? ? ? ? ??? ? 2 3 4 n
∴ 14. (揭阳市一模理科) 设函数 f ( x) ? x | x ? 1| ?m, g ( x) ? ln x. (1)当 m ? 1 时,求函数 y ? f ( x) 在 [0, m] 上的最大值;

………………14 分

(2)记函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 p ( x) 有零点,求 m 的取值范围. 解: (1)当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x(1 ? x) ? m = ? x ? x ? m ? ?( x ? ) ? m ?
2 2

1 2

1 4

∴当 x ? 分

1 1 时, f ( x)max ? m ? ---------------------------------- -------------------------------2 2 4

当 x ? (1, m] 时, f ( x) ? x( x ? 1) ? m = x ? x ? m ? ( x ? ) ? m ?
2 2
2

1 2

1 4

∵函数 y ? f ( x) 在 (1, m] 上单调递增 ∴ f ( x) max ? f (m) ? m ------------------------4 分 由m ? m?
2

1? 2 1 1 2 得 m ? m ? ? 0 又 m ?1 ? m ? 2 4 4

∴当 m ? 分

1? 2 1? 2 1 2 时, f ( x) max ? m ,当 1 ? m ? 时, f ( x)max ? m ? .-------6 2 2 4

, 15(江门市理科 3 月质量检测试题)已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? n 的图像过点 ?1 3 ? ,且
2

f ? ?1 ? x ? ? f ? ?1 ? x ? 对任意实数都成立,函数 y ? g ? x ? 与 y ? f ? x ? 的图像关于原点对
称。

f ? ?1 ? x ? ? f ? ?1 ? x ?,f ?1? ? 3

(Ⅰ)求 f ? x ? 与 g ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 F ( x ) = g ( x )— ?

f ? x ? 在[-1,1]上是增函数,求实数λ
2

的取值范围;

解:⑴由题意知: a ? 1,b ? 0 ,? f ? x ? ? x ? 2 x ??? 2' 设函数 y ? f ? x ? 图象上的任意一点 Q ? x0,y0 ? 关于原点的对称点为 P(x,y), 则 x0 ? ? x,y0 ? ? y , 因为点 Q ? x0,y0 ? 在y ? f ? x ? 的图像上, ……………………4 分

?? y ? x 2 ? 2 x,? y ? ? x 2 ? x,? g ? x ? ? ? x 2 ? 2 x ??7 '
⑵ F ? x ? ? ? x ? 2 x ? ? x ? 2 x ? ? ?1 ? ? ? x ? 2 ?1 ? ? ? x
2 2 2

?

?

? F ? x ? 在 ? ?11? ,上是增函且 连续, F ' ? x ? ? ?2 ?1 ? ? ? x ? 2 ?1 ? ? ? ? 0 恒成立……9 分
即? ? 由

1? x 2 ? ? 1在 ? ?1,? 上恒成立 ,………………..10 分 1 1? x 1? x

2 ? 1在 ? -1,? 上为减函数,………………..12 分 1 1? x 当 x ? 1 时取最小值 0,………………..13 分
故 ? ? 0, 所求?的取值范围是 ? ??,????14' 0

? ? 另解: F ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数 , F ' ? x ? ? ? ?2 ? 2? ? x ? ? 2 ? 2? ? 在 ? ?1,1? 上非负
? ? ?2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 0 ? ?? ,解得 ? ? 0 ?? ?2 ? 2? ?? ?1? ? ? 2 ? 2? ? ? 0 ?
16(深圳高级中学 2010 届高三一模理科)设函数 f(x) = x2 + bln(x+1), (1)若对定义域的任意 x,都有 f(x)≥f(1)成立,求实数 b 的值; (2)若函数 f(x)在定义域上是单调函数,求实数 b 的取值范围; (3) b = - 1,, 若 证明对任意的正整数 n, 不等式

? f ( k )<1 ? 2
k ?1

n

1

1
3

?

1 1 ? ...... ? 3 33 n



成立 解: (1)由 x + 1>0 得 x> – 1∴f(x)的定义域为( - 1,+ ∞), 对 x∈( - 1,+ ∞),都有 f(x)≥f(1), ∴f(1)是函数 f(x)的最小值,故有 f/ (1) = 0,

f / ( x) ? 2 x ?
解得 b= - 4.

b b ,? 2 ? ? 0, x ?1 2

b 2x 2 ? 2x ? b ? , (2)∵ f ( x) ? 2 x ? x ?1 x ?1
/

又函数 f(x)在定义域上是单调函数, ∴f/ (x) ≥0 或 f/(x)≤0 在( - 1,+ ∞)上恒成立。 若 f/ (x) ≥0,∵x + 1>0,∴2x2 +2x+b≥0 在( - 1,+ ∞) 上恒成立, 即 b≥-2x2 -2x = ? 2( x ? ) 2 ?

1 2

1 1 恒成立,由此得 b≥ ; 2 2

若 f/ (x) ≤0, ∵x + 1>0, ∴2x2 +2x+b≤0,即 b≤-(2x2+2x)恒成立, 因-(2x2+2x) 在( - 1,+ ∞)上没有最小值, ∴不存在实数 b 使 f(x) ≤0 恒成立。 综上所述,实数 b 的取值范围是 ? ,?? ? 。

?1 ?2

? ?

17.(2010 年 3 月深圳市高三年级第一次调研考试理科) 已知 f (x) 是二次函数, f ?(x) 是它的导函数,且对任意的 x ? R ,

f ?( x) ? f ( x ? 1) ? x 2
恒成立. (1)求 f (x) 的解析表达式; (2)设 t ? 0 ,曲线 C : y ? f (x) 在点 P(t , f (t )) 处的切线为 l ,l 与坐标轴围成的三 角形面积为 S (t ) .求 S (t ) 的最小值. 解: (Ⅰ)设 f ( x) ? ax ? bx ? c (其中 a ? 0 ) ,则
2

f ' ( x) ? 2ax ? b ,

………………2 分

f ( x ? 1) ? a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c ? ax 2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c .
由已知,得 2ax ? b ? (a ? 1) x ? (2a ? b) x ? a ? b ? c ,
2

?a ? 1 ? 0 ? ∴ ?2 a ? b ? 2 a , 解 之 , 得 ?a ? b ? c ? b ? f ( x) ? ? x 2 ? 1 . ………………5 分

a ? ?1 , b ? 0 , c ? 1 , ∴

(2)由(1)得, P(t , 1 ? t ) ,切线 l 的斜率 k ? f ' (t ) ? ?2t ,
2

∴切线 l 的方程为 y ? (1 ? t ) ? ?2t ( x ? t ) ,即
2

y ? ?2tx ? t 2 ? 1 .
2

………………7 分

从而 l 与 x 轴的交点为 A(

t ?1 , 0) , l 与 y 轴的交点为 B(0 , t 2 ? 1) , 2t
………9

(t 2 ? 1) 2 ∴ S (t ) ? (其中 t ? 0 ) . 4t


(t 2 ? 1)( 3t ? 1)( 3t ? 1) . 4t 2 3 当0 ? t ? 时, S ' (t ) ? 0 , S (t ) 是减函数; 3 3 当t ? 时, S ' (t ) ? 0 , S (t ) 是增函数. 3 ? 3? 4 3 ? ∴ [ S (t )] min ? S ? ? 3 ?? 9 . ? ?
∴ S ' (t ) ?

……………11 分

……13 分 …………14 分

说明:本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识,以及运算求解能力.


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