nbhkdz.com冰点文库

高考数学专题三十---文科导数综合题型经典解法


高考数学专题三十----文科函数与导数综合题
题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开) ,极值,最值;不 等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ' ( x) ? 0 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关

于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元) ;第二种: 分离变量求最值(请同学们参考例 5) ;第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值 ----题型特征 f ( x) ? g ( x) 恒成立

? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立;参考例 4; 1 3 2 例 1.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? 2 x ? a , x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点. 3 (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; 2 2 (Ⅱ)若当 x ? [1, 3] 时, f ( x ) ? a ? 恒成立,求 a 的取值范围. 3 ' 2 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? 2bx ? 2 . ∵ x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点, 3 2 ∴ x ? 2 是方程 x ? 2bx ? 2 ? 0 的一个根,解得 b ? . 2 2 ' 令 f ( x) ? 0 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 2 . ∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 (??, 1) , (2, +?) .
(Ⅱ)∵当 x ? (1, 2) 时 f ' ( x) ? 0 , x ? (2,3) 时 f ' ( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在(1,2)上单调递减, f ( x ) 在(2,3)上单调递增. ∴ f (2) 是 f ( x ) 在区间[1,3]上的最 小值, 且 f (2) ?

2 ?a . 3

若当 x ? [1, 3] 时, 要使 f ( x ) ? a 2 ?

2 2 恒成立, 只需 f (2) ? a 2 ? , 即 3 3

2 2 ? a ? a 2 ? ,解得 0 ? a ? 1 . 3 3 3 2 2.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? ax ? b 的图象过点 P(0 , 2) . (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? ?1 处的切线斜率为 6 ,求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 a ? 3 ,求函数 y ? f ( x) 的单调区间. ? f (0) ? b ? 2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a . 由题意知 ? ,得 ? f ?(?1) ? 3 ? 2a ? a ? 6
∴ f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2 .
2 (Ⅱ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a ? 0 . ∵ a ? 3 ,∴ ? ? 4a ? 12a ? 0 .

?a ? ?3 . ? ?b ? 2

? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a 或x ? , 3 3 ? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a 由 f ?( x) ? 0 解得 . ?????10 ?x? 3 3 ? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a ∴ f ( x) 的单调增区间为: (??, )和( ,??) ; 3 3 ? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a f ( x) 的单调减区间为: ( , ) .??12 分 3 3 2 x2 , g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) 。 3.设 f ( x) ? x ?1 (1)求 f ( x ) 在 x ? [0,1] 上的值域; (2)若对于任意 x1 ? [0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围。
由 f ?( x) ? 0 解得 x ?
1

解:(1)法一:(导数法) f ?( x) ?

4 x( x ? 1) ? 2 x 2 2 x 2 ? 4 x ? ? 0 在 x ? [0,1] 上恒成立. ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 ∴ f ( x ) 在[0,1]上增,∴ f ( x ) 值域[0,1]。 ?0, x ? 0 2 ? 2x ? ? ? 2 , x ? (0,1] , 复合函数求值域. 法二: f ( x) ? x ?1 ? 1 1 ? ? ? x x2 2 x 2 2( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 2 2 ? ? 2( x ? 1) ? ? 4 用双勾函数求值域. 法三: f ( x) ? x ?1 x ?1 x ?1 (2) f ( x ) 值域[0,1], g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) 在 x ? [0,1] 上的值域 [5 ? 2a,5 ? a] . ?5 ? 2a ? 0 5 由条件,只须 [0,1] ? [5 ? 2a,5 ? a] ,∴ ? ? ?a?4. 5 ? a ? 1 2 ?

特别说明:要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路,联想 2008 年全国一卷第 21 题,那是单调区间的 子区间问题; 4.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1, b) 的切线斜率为 ?3 ,

t ?6 2 x ? (t ? 1) x ? 3 (t ? 0) 2 (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)当 x ? [?1, 4] 时,求 f ( x ) 的值域; (Ⅲ)当 x ? [1, 4] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。 g ( x) ? x 3 ?

? f / (1) ? ?3 ?a ? ?3 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3x ? 2ax ∴ ? , 解得 ? ?b ? ?2 ?b ? 1 ? a ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 , f ( x ) 在 [?1, 0] 上 单 调 递 增 , 在 [ 0, 2 ]上 单 调 递 减 , 在 [ 2, 4 ] 上单调递减又 f (?1) ? ?4, f (0) ? 0,{ f ( x)}min ? f (2) ? ?4,{ f ( x)}max ? f (4) ? 16 ∴ f ( x ) 的值域是 [?4,16] t 2 x ? [1, 4] (Ⅲ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ? (t ? 1) x ? 3 2 2 ∴要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只需 h( x) ? 0 ,即 t ( x ? 2x) ? 2x ? 6 2x ? 6 , 解得 t ? ?1 ; (1)当 x ? [1, 2) 时 t ? 2 x ? 2x (2)当 x ? 2 时 t ? R ; 2x ? 6 (3)当 x ? (2, 4] 时 t ? 2 解得 t ? 8 ;综上所述所求 t 的范围是 (??, ?1] [8, ??) x ? 2x
/ 2

特别说明:分类与整合,千万别忘了整合即最后要写“综上可知” ,分类一定要序号化;
3 2

(a ? 0) 5.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? b 在区间 ? ?2,1? 上的最大值是 5,最小值是-11.
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;

? tx ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. (Ⅱ)若 t ? [?1,1] 时, f ?( x)
解: (Ⅰ)

f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b,? f ' ( x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4) 4 ' 令 f ( x) =0,得 x1 ? 0, x2 ? ? ? ?2,1? 3 因为 a ? 0 ,所以可得下表:

x
f ' ( x)

??2,0?
+

0 0
2

? 0,1?
-

f ( x)



极大



因此 f (0) 必为最大值,∴ f(0) ? 5 因此 b ? 5 ,

f (?2) ? ?16a ? 5, f (1) ? ?a ? 5,? f (1) ? f (?2) ,
2

即 f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11,∴ a ? 1 ,∴ f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? 5.

? tx ? 0 等价于 3x ? 4 x ? tx ? 0 , 令 g (t ) ? xt ? 3x 2 ? 4x , (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 3x 2 ? 4 x ,∴ f ?( x)
则 问 题 就 是 g(t ) ? 0 在 t ? [?1,1] 上 恒 成 立 时 , 求 实 数 x 的 取 值 范 围 , 为 此 只 需 ?

? g (?1) ? 0 ,即 1) ? 0 ? g(

?3x 2 ? 5 x ? 0 , ? 2 ? x ? x?0 解得 0 ? x ? 1 ,所以所求实数 x 的取值范围是[0,1]. 6.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3mx2 ? nx ? m 2 ,在 x ? ?1 时有极值 0,则 m ? n ?

11 。 特别说明:通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点,但极值点一定是“导数等于 零”方程的根;

x3 3bx2 2 10 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ,函数 g ( x ) ? f ( x ) ? ? 3. 5 a2 a2 (1) 若函数 g ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 g ( x) 的解析式;
7.已知函数 f ( x) ? (2) 若函数 g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上为增函数, 且 b ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上都成立, 求实数 m 的 取值范围.
2

3 3 ? x 2 ,∴由 2 ? x 2 ? 3 有 x ? ? a ,即切点坐标为 ( a, a ) , (?a,?a) 2 a a ∴切线方程为 y ? a ? 3( x ? a) ,或 y ? a ? 3( x ? a) ????????2 分 整理得 3x ? y ? 2a ? 0 或 3x ? y ? 2a ? 0
解:∵ f ?( x) ? ∴

| ?2 a ? 2 a | 3 ? (?1)
2 2

?

2 10 3 3 ,解得 a ? ?1 ,∴ f ( x) ? x ,∴ g ( x) ? x ? 3bx ? 3 5

(1)∵ g ?( x) ? 3x 2 ? 3b , g ( x) 在 x ? 1 处有极值,∴ g ?(1) ? 0 ,
2 即 3 ? 1 ? 3b ? 0 ,解得 b ? 1 ,∴ g ( x) ? x 3 ? 3x ? 3 ????????8 分

(2)∵函数 g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上为增函数,∴ g ?( x) ? 3x 2 ? 3b ? 0 在区间 [ ?1,1] 上恒成立,∴ b ? 0 , 又∵ b 2 ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上恒成立,∴ b 2 ? mb ? 4 ? g (1) ,
2 即 b ? mb ? 4 ? 4 ? 3b ,∴ m ? b ? 3 在 b ? (??,0] 上恒成立,∴ m ? 3

∴ m 的取值范围是 ?3,??? 题型二:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与 x 轴即方程根的个数问题; (1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种: 第一种:转化为恒成立问题即 f ( x) ? 0或f ( x) ? 0 在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立问题; 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在 0 的同侧) ,如果是同侧则不必分类讨论;若在 0 的 两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀!有时分离变量解不出来, 则必须用另外的方法; 第二种:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区 间的子集;参考 08 年高考题; 第三种方法:利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间的位置;可参考 第二次市统考试卷; 特别说明:做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b) ” ,要弄清楚两句 话的区别;请参考资料《高考教练》83 页第 3 题和清明节假期作业上的第 20 题(金考卷第 5 套) ; (2)函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
' '

3

减再增”还是“先减后增再减” ; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ;主要看极大值和极小值与 0 的关系; 第三步:解不等式(组)即可; 8.已知函数 f ( x) ?

1 3 (k ? 1) 2 1 x ? x , g ( x) ? ? kx ,且 f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数. 3 2 3

(1) 求实数 k 的取值范围; (2) 若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. 解: (1)由题意 f ?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ∵ f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数, ∴ f ?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? 0 在区间 (2,??) 上恒成立 即 k ? 1 ? x 恒成立,又 x ? 2 ,∴ k ? 1 ? 2 ,故 k ? 1 ∴ k 的取值范围为 k ? 1

x 3 (k ? 1) 2 1 ? x ? kx ? , 3 2 3 2 h?( x) ? x ? (k ? 1) x ? k ? ( x ? k )(x ? 1) 令 h ?( x) ? 0 得 x ? k 或 x ? 1 由(1)知 k ? 1 , ①当 k ? 1 时, h?( x) ? ( x ? 1) 2 ? 0 , h( x) 在 R 上递增,显然不合题意?②当 k ? 1 时, h( x) , h ?( x )
(2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 随 x 的变化情况如下表:

x

(??, k )

h ?( x ) h( x)

?

k 0
极大值

(k ,1)
— ↘
2

1

(1,??)

0
极小值

?





?
由于

k ?1 ? 0 ,欲使 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,即方程 h( x) ? 0 有三个不同的实根,故 2 ?k ? 1 k3 k2 1 ? ? ? 0 ,即 (k ? 1)(k 2 ? 2k ? 2) ? 0 ∴ ? 2 需? ,解得 k ? 1 ? 3 6 2 3 ?k ? 2k ? 2 ? 0
综上,所求 k 的取值范围为 k ? 1 ? 3 9.已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 ?
3 2

k k 1 ? ? 6 2 3

3

k ?1 2

3 . a

(I)讨论函数 f ( x) 的单调性。 (II)若函数 y ? f ( x) 在 A、B 两点处取得极值,且线段 AB 与 x 轴有公共点,求实数 a 的取值范围。 解: (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x, f ?( x) ? 0得x1 ? 0或x 2 ? 当 a>0 时, (?? ,0)递增, (0, )递减 , ( ,?? ) 递增; 当 a<时, (?? , )递减 , ( ,0)递减 , (0,?? ) 递减??????????5 分 (2)当 a>0 时

2 a

2 a

2 a

2 a

2 a

x
f ?( x) f ( x)

(??,0)
+ 增

0 0 极大值

2 (0, ) a
- 减

2 a
0 极小值

2 ( ,?? ) a
+ 增

此时,极大值为 f (0) ? 1 ? 当 a<0 时

3 2 4 3 , 极小值为 f ( ) ? ? 2 ? 1 ? . ????7 分 a a a a

4

x
f ?( x) f ( x)

2 (?? , ) a
- 减

2 a
0 极小值

2 ( ,0) a
+ 增

0 0 极大值

(0,??)
- 减

10.已知函数 f(x)=x3-ax2-4x+4a,其中 a 为实数. (Ⅰ)求导数 f ? (x); (Ⅱ)若 f ? (-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (Ⅲ)若 f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 (Ⅱ)由 f ?(?1) ? 0得a ?

2 4 3 3 ? 1 ? , 极小值为 f (0) ? 1 ? . 因为线段 AB 与 x 轴有公共点所以 2 a a a a 2 (a ? 3)( a ? 4)( a ? 1) f (0) ? f ( ) ? 0即 ? 0, 解得 a ? [?1,0) ? [3,4] a a3
此时,极大值为 f ( ) ? ?

1 1 ,? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 4 x ? 2. f ?( x) ? 3x 2 ? x ? 4 , 2 2 4 4 50 9 , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 或 x= ?1 又 f ( ) ? ? 3 3 27 2 9 50 ..……………………………8 分 ? f ( x) 在[-2,2]上最大值 ,最小值 ? 2 27 ? ? f ?(?2) ? 0, ?4a ? 8 ? 0, ? ? 2 (Ⅲ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4 , 由题意知 ? f ?(2) ? 0, ? ?8 ? 4a ? 0, ? ?2 ? a ? 2. ? ??6 ? a ? 6, 2a ??2 ? ? 2, ? 6 ? 3 2 11.已知:函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c (I)若函数 f ( x) 的图像上存在点 P ,使点 P 处的切线与 x 轴平行,求实数 a , b 的关系式; (II)若函数 f ( x) 在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值且图像与 x 轴有且只有 3 个交点,求实数 c 的取值范围.
解: (I)设切点 P ( x? , y? ) ?

f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b | x?x? ? 0 , ? 3x? 2 ? 2ax? ? b ? 0 ,
2

? 12b ? 0 ,即 a 2 ? 3b -------(4 分) 2 (II)因为 x ? ?1 , x ? 3 是方程 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 0 的根, 3 2 所以 a ? 3, b ? ?9 ,? f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ? c .----------------------(6 分) 2 ? f ?( x) ? 3x ? 6x ? 9 ? 3( x ? 1)(x ? 3) , ? f ?( x) ? 0, x ? 3, x ? ?1 ;? f ?( x) ? 0,?1 ? x ? 3 ? f ( x)
在 x ? ?1 处取得极大值,在 x ? 3 处取得极小值.

因为存在极值点,所以 ? ? 4a

? 函数图像与 x 轴有 3 个交点,? ?

? f (?1) ? 0 ,? c ? (?5,27) ? f (3) ? 0
1 时, f ( x ) 的极小值为 ?1 . 2

12.设 y ? f ( x) 为三次函数,且图像关于原点对称,当 x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;

(Ⅱ)证明:当 x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 图像上任意两点的连线的斜率恒大于 0. 解: ( Ⅰ ) 设 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0)
3 2

其 图 像 关 于 原 点 对 称 , 即 f (? x) ? ? f ( x)



?ax ? bx ? cx ? d ? ?ax ? bx ? cx ? d ∴ b ? 0
3 2 3 2

d ? 0,
, 依题意得
5

则有

f ( x) ? ax3 ? cx

由 f ?( x) ? 3ax ? c
2

?1? f ?? ? ? 0 ?2?

1 ?1? 1 ② f ? ? ? a ? c ? ?1 2 ?2? 8 由①②得 a ? 4, c ? ?3 故所求的解析式为: f ( x) ? 4 x 3 ? 3x . ---------------8 分 1 1 (Ⅱ)由 f ?( x) ? 12 x 2 ? 3 ? 0 解得: x ? 或 x ? ? -------------------------------10 分 2 2 1 (1, ? ?) ? ( , ? ?) ∴ x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 单调递增; ---------------12 分 2 设 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? 是 x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 图像上任意两点,且 x2 ? x1 ,则有


3 a?c ?0 4



y2 ? y1 ∴过这两点的直线的斜率 k ?

y2 ? y1 ?0. x2 ? x1

13. (本小题满分 12 分) 在函数 f ( x) ? ax3 ? bx(a ? 0) 图像在点 (1, ( f 1) ) 处的切线与直线 6 x ? y ? 7 ? 0. 平行,导函数 f ' ( x) 的最小值为-12。 (1)求 a、b 的值; (2)讨论方程 f ( x) ? m 解的情况(相同根算一根) 。 解: (1)? f ' ( x) ? 3ax2 ? b的最小值为? 12,?b ? ?12, 且a ? 0. 又直线 6 x ? y ? 7 ? 0的斜率为? 6,因此f ' (1) ? 3a ? b ? ?6,

(3' )

? a ? 2, b ? ?12.

(6' )

(2)由(1)知 f ( x) ? 2x 3 ? 12x,? f ' ( x) ? 6x 2 ? 12 ? 6( x ? 2 )(x ? 2 ) ,列表如下: x ? 2 2 (??,? 2 ) (? 2 , 2 ) ( 2 ,??) + 0 0 + f′ - f(x) 极大值 极小值 所以,函数 f(x)的单调增区间是 (??,? 2 ) 和 ( 2 ,??)

? f (?1) ? 10, f ( 2 ) ? ?8 2 , f (3) ? 18, f ( x)在x ? ? 2上的极大值是 f (? 2 ) ? 8 2 , f ( x)在x ? 2上的极小值是 f ( 2 ) ? ?8 2. ?当m ? 8 2 , 或m ? ?8 2时, 方程有一根 ;当m ? 8 2 , 或m ? ?8 2时, 方程有二根 ;
14. 已 知 定

当 ? 8 2 ? m ? 8 2时, 方程有三根 . (12' ) 3 义在 R 上的函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) ,当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极大值 3, f (0) ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)已知实数 t 能使函数 f (x)在区间(t, t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,记所有的实数 t 组 f ( x) ( x ? M ) 的零点个数. 成的集合为 M.请判断函数 g ( x) ? x
解: (1)由 f (0) ? 1 得 c=1 f ' ( x) ? 3ax2 ? b, ?

? f ' (?1) ? 3a ? b ? 0 , ? f (?1) ? ?a ? b ? 1 ? 3



a ? 1, b ? ?3 ∴ f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1
' ( 2 ) f ( x) ? 3( x ? 1)(x ? 1) 得 x ? ?1 , x ? 1 时 取 得 极 值 . 由 ? 1 ? (t , t ? 3) , 1 ? (t , t ? 3)



? 2 ? t ? ?1. ∴ M ? (?2,?1) .
'

g ( x) ?

时, g ( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在 M 上递减.

1 f ( x) 1 g ' ( x) ? 2 x ? 2 , ? x2 ? ? 3 , ∴当 x ? M x x x 1 又 g (?2) ? , g (?1) ? ?3 ∴ 函 数 2

f ( x) , x ? M 的零点有且仅有 1 个 x 3 2 2 15.已知函数 f ( x) ? kx ? 3(k ? 1) x ? 2k ? 4, 若f ( x) 的单调减区间为(0,4) g ( x) ?
6

(I)求 k 的值; (II)若对任意的 t ? [?1,1],关于x的方程2 x 2 ? 5x ? a ? f (t ) 总有实数解,求实数 a 的取值范围。 解: (I) f ?( x) ? 3kx2 ? 6(k ? 1) x 又? f ?(4) ? 0,? k ? 1????4 分 (II)? f ?(t ) ? 3t 2 ? 12t ? ?1 ? t ? 0时f ?(t ) ? 0;0 ? t ? 1 时f ?(t ) ? 0 且 f (?1) ? ?5, f (1) ? ?3, ? f (t ) ? ?5 ? 2 x ? 5 x ? a ?
2

8a ? 25 15 ? ?5解得 a ? ? ????12 分 8 8 3 2 16.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? x( x ? R, a, b 是常数 ) ,且当 x ? 1 和 x ? 2 时,函数 f ( x) 取得极值. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与 g ( x) ? ?3x ? m(?2 ? x ? 0) 有两个不同的交点,求实数 m 的取值范围. ? 3a ? 2b ? 1 ? 0, 解 :( Ⅰ ) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 1 , 依 题 意 f ?(1) ? f ?(2) ? 0 , 即 ? 解得 ?12a ? 4b ? 1 ? 0, 1 3 1 3 a ? ? , b ? ∴ f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? x 6 4 6 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线 y ? f ( x) 与 g ( x) ? ?3x ? m(?2 ? x ? 0) 有两个不同的 1 3 3 2 交点,即 x ? x ? 2 x ? m ? 0 在 ?? 2,0? 上有两个不同的实数解?5 分 6 4 1 3 3 2 1 2 3 设 ? ( x) ? x ? x ? 2 x ? m ,则 ? ?( x) ? x ? x ? 2 , 由 ? ?( x) ? 0 的 x ? 4 或 x ? ?1 6 4 2 2 当 x ? (?2,?1) 时 ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 ?? 2,?1? 上递增; 当 x ? (?1,0) 时 ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 ?? 1,0? 上递减. 1 ? m ? ? ? 3 ?? (?2) ? 0 ? 13 13 13 ? ? ? 0 ? m ? ∴实数 m 的取值范围是 0 ? m ? . 依题意有 ?? ( ?1) ? 0 ? ? m ? 12 12 12 ? ? ( 0) ? 0 ? m ? 0 ? ? ? ? a n ?1 a n ?1 5 17. 已知函数正项数列满足: a0 ? 0 , a1 ? 1 ,点 Pn ( , ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 上, (n ? N ) 2 an an ?

8a ? 25 8

(n ? N ? ) ks5u
5 an ; 2 (Ⅱ)若 bn ? an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,求证: {bn } 是等比数列;
(Ⅰ)求证: a n ?1 ? a n ?1 ? (Ⅲ)求和: b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ? ? nbn

a n?1 a n ?1 5 5 ? ? ∴ a n ?1 ? a n ?1 ? a n ?????4 分 2 an an 2 5 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: bn ? a n ?1 ? 2a n ? a n ? a n ?1 ? 2a n ? (a n ? 2a n ?1 ) ? bn ?1 (n ? 1) 2 2 2 1 n 数列 {bn } 满足: b0 ? a1 ? 3a0 ? 1 ,故 bn ? ( ) ?????8 分 2 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n (Ⅲ)令 S n ? ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? (n ? 1)( ) ? n ? ( ) 2 2 2 2 2
解: (Ⅰ)由题意:
7

1 1 1 1 1 1 S n ? ( ) 2 ? 2 ? ( ) 3 ? 3 ? ( ) 4 ? ? (n ? 1)( ) n ? n ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 1 n 1 ? 1 ? ( ) ? n( ) n ?1 相减得: S n ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 n 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ? ( ) n ∴ S n ? 2 ? (n ? 2) ? ( ) n ?????12 分 2 2 2
18.函数 f ( x) ? x 3 ? 3t 2 x ? m ( x ? R, t ? 0, m 、 t 为常数)是奇函数。ks5u (Ⅰ)求实数 m 的值和函数 f ( x) 的图像与 x 轴交点坐标; (Ⅱ)设 g ( x) ?| f ( x) | , x ? ?0,1? ,求 g ( x) 的最大值 F (t ) . 解: (Ⅰ) m ? 0 , y ? f ( x) 与 x 轴交点为 (0,0) , (? 3t ,0) ?????4 分 (Ⅱ) g ( x) ?| x ? 3t x |?| x | ? | x ? 3t |? ?
3 2 2 2 3 2 ? ?? x ? 3t x,0 ? x ? 3t ???6 分 3 2 ? x ? 3 t x , x ? 3 t ?

当 0 ? x ? 3t 时,由 g ( x) ? ?3( x ? t )(x ? t ) ? 0 ,得 x ? t 或 x ? ?t (舍) ∴ g ( x) 在 ?0, t ? 上单调递增,在 t , 3t 上单调递减。 当 x ? 3t 时,由 g ?( x) ? 3( x ? t ) ? 0 得 g ( x) 在
2 2

?

?

如图所示,为 y ? g ( x) 在 ?0,??? 上的图像。?????10 分 ∵当 0 ? x ? 3t 时, g ( x)极大 ? g (t ) ? 2t
3 2 3

? 3t,???上单调递增。

3

∴当 x ? 3t 时,由 x ? 3t x ? 2t ? x ? 2t 故 g (t ) 的最大值 F (t ) 的情形如下:
2 当 0 ? 2t ? 1 时, F (t ) ? g (1) ? 1 ? 3t 2 当 t ? 1 时, F (t ) ? g (1) ? 3t ? 1 3 当 1 ? 2t ? 2 时, F (t ) ? g (t ) ? 2t

1 ? 2 ?1 ? 3t ,0 ? t ? 2 ? ? 3 1 ∴ F (t ) ? ?2t , ? t ? 1 2 ? 2 ?3t ? 1, t ? 1 ? ?
19.已知 f (x)=x +bx +cx+2. ⑴若 f(x)在 x=1时有极值-1,求 b、c 的值;
3 2

k ?2 的图象恰有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. x 2 解:⑴f '(x)=3x +2bx+c,由题知 f '(1)=0 ? 3+2b+c=0,f(1)=-1 ? 1+b+c+2=-1∴b=1,
⑵若函数 y=x +x-5的图象与函数 y=
3 2 2

c=-5,f(x)=x +x -5x+2,f'(x)=3x +2x-5

2

5 ,1]为减函数,f (x)在(1,+∞)为增函数∴b=1,c=-5符合题意 3 k ?2 3 2 ⑵即方程: x 2 ? x ?5 ? 恰有三个不同的实解:x +x -5x+2=k(x≠0) x
f(x)在[- 即当 x≠0时,f (x)的图象与直线 y=k 恰有三个不同的交点,由⑴知 f (x)在 [??, ? ] 为增函数,f (x) 在 [? ,1] 为减函数,f (x)在(1,+∞)为增函数,又 f (? ) ? k≠2 20. 设函数 f ( x) ?

5 3

5 3

5 3

229 229 ,f (1)=-1,f (2)=2∴ ?1? k ? 且 27 27

1 3 x ? x 2 ? ax , g ( x) ? 2 x ? b ,当 x ? 1 ? 2 时, f ( x) 取得极值. 3
8

(1)求 a 的值,并判断 f (1 ? 2 ) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)当 x ? [?3,4] 时,函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有两个公共点,求 b 的取值范围. 解: (1)由题意

? 1? 2

?

?

2

? 21? 2 ? a ? 0

?

f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? a ? 当 x ? 1 ? 2 时, f ( x) 取得极值, ? 所以 f ?(1 ? 2 ) ? 0

?

?即

a ? ?1

此时当 x ? 1 ?

2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,

f (1 ? 2 ) 是函数 f ( x) 的最小值。 1 3 1 x ? x 2 ? 3x ? b ? 0 , b ? x 3 ? x 2 ? 3x ??8 分 (2)设 f ( x) ? g ( x) ,则 3 3 1 3 2 设 F ( x) ? x ? x ? 3x , G ( x) ? b F ?( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,令 F ?( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 解得 x ? ?1 或 x ? 3 列表 3
如下: ? 函 数

x
F ?( x)
F ( x)

(?3,?1)
上是增函 (?1,3) 上 数。 当 x ? ?1

?3

(?3,?1)

?1

(?1,3)
__

3
0

(3,4)
+

4

?
?9

0
5 3

F ( x) 在 和 (3,4)
数 , 在 是 减 函 时, F ( x)

?9

?

20 3

5 ;当 x ? 3 时, F ( x) 有极小值 F (3) ? ?9 3 ? 函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有两个公共点,? 函数 F ( x) 与 G ( x) 的图象有两个公共点 20 5 20 5 ?? ?b? ? b ? (? , ) ? ?? 9? 或 b ? ?9 3 3 3 3 3 2 21.已知 f ( x) ? kx ? x ? x ? 5 在 R 上单调递增,记 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c, 33 2 2 2 2 若 a ? c ? b ? ac 时,不等式 f m ? sin B ? cos( A ? C ) ? f (2 m ? ) 恒成立. 4 (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)求角 cos B 的取值范围; (Ⅲ)求实数 m 的取值范围。 3 2 2 解: (1)由 f ( x) ? kx ? x ? x ? 5 知 f ?( x) ? 3kx ? 2 x ? 1 , ? f ( x) 在 R 上单调递增, ? f ?( x) ? 0 恒成立, ? 3k ? 0 1 且 ? ? 0 ,即 k ? 0 且 4 ? 12 k ? 0 ,? k ? . 3 a 2 ? c 2 ? b 2 ac 1 ? 2 2 2 ? ? ,? 0 ? B ? , (2)? a ? c ? b ? ac ,由余弦定理: cos B ? 3 2ac 2ac 2
有极大值 F ( ?1) ?

?

?

(3) ? f ( x) 在 R 上单调递增,且 f m ? sin 2 B ? cos( A ? C ) ? f (2 m ? 33 ) , 4

?

?

33 4 1 33 33 29 ? sin 2 B ? cos( A ? C ) ? ? ? sin 2 B ? cos B ? ? cos 2 B ? cos B ? ? (cos B ? ) 2 ? 7 ? 8 , 4 4 4 2 2 故 m ? 2 m ? 8 ,即 ( m ? 1) ? 9 , ? 3 ? m ? 1 ? 3 ,即 0 ? m ? 4 ,即 0 ? m ? 16 .
所以

m ? sin 2 B ? cos( A ? C ) ? 2 m ?

题型三:函数的切线问题; 问题 1:在点处的切线,易求; 问题 2:过点作曲线的切线需四个步骤; 第一步:设切点,求斜率;第二步:写切线(一般用点斜式) ;第三步:根据切点既在曲线上又在切 线上得到一个三次方程;第四步:判断三次方程根的个数;
3 2 22.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其导数 f '( x) ? 0 的 x 的取值范围为

(1,3) ,求:
9

(1) f ( x ) 的解析式; (2)若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围. (1)由题意得: f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a( x ?1)( x ? 3),(a ? 0) ∴ 在 (??,1) 上 f '( x) ? 0 ;在 (1,3) 上 f '( x) ? 0 ;在 (3, ??) 上 f '( x) ? 0 因此 f ( x ) 在 x0 ? 1 处取得极小值 ?4 ∴a ? b ? c ? ?4 ① , f '(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ② , f '(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0 ③

? a ? ?1 ? 由① ② ③ 联立得: ?b ? 6 ,∴ f ( x) ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? c ? ?9 ?
(2)设切点 Q (t , f (t )) , y ? f (t ) ? f , (t )( x ? t )

y ? (?3t 2 ? 12t ? 9)( x ? t ) ? (?t 3 ? 6t 2 ? 9t ) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (3t 2 ?12t ? 9) ? t (t 2 ? 6t ? 9) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (2t 2 ? 6t ) 过 (?1, m) m ? (?3t 2 ? 12t ? 9)(?1) ? 2t 3 ? 6t 2 g (t ) ? 2t 3 ? 2t 2 ?12t ? 9 ? m ? 0 令 g '(t ) ? 6t 2 ? 6t ?12 ? 6(t 2 ? t ? 2) ? 0 , 求得: t ? ?1, t ? 2 ,方程 g (t ) ? 0 有三个根。 ? g (?1) ? 0 ??2 ? 3 ? 12 ? 9 ? m ? 0 ?m ? 16 需: ? ?? ?? ? g (2) ? 0 ?16 ? 12 ? 24 ? 9 ? m ? 0 ?m ? ?11 故: ?11 ? m ? 16 ;因此所求实数 m 的范围为: (?11,16) 23. 已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 4x ( a 为常数)在 x ? 2 时取得一个极值, (1)确定实数 t 的取值范围,使函数 f ( x ) 在区间 [t , 2] 上是单调函数; (2)若经过点 A(2,c) ( c ? ?8 )可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求 c 的取值范围. 2 (1)解:∵函数 f ( x ) 在 x ? 2 时取得一个极值,且 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4 , ? f ?(2) ? 12 ? 4a ? 4 ? 0 ,? a ? 2 ? f ?( x) ? 3x2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2) . 2 2 2 ? x ? ? 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0, x ? ? 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0, ? ? x ? 2 时, 3 3 3 2 2 f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (??, ? ],[2, ??) 上都是增函数,在 [ ? , 2] 上是减函数. ∴ 使 f ( x) 3 3 2 在区间 [t , 2] 上是单调函数的 t 的取值范围是 [? , 2) 3 3 2 2 (2) 由 (1) 知 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x . 设切点为 P( x0 , y0 ) , 则切线的斜率 k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 4x0 ? 4 ,
3 2 2 所以切线方程为: y ? ( x0 ? 2x0 ? 4x0 ) ? (3x0 ? 4x0 ? 4)( x ? x0 ) .

将 点 A( 2,c )代 人 上 述 方 程 , 整 理 得 :

2x ? 8x ? 8x0 ? 8 ? c ? 0 .
3 0 2 0 3 2 ∵经过点 A(2, c)(c ? ?8) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线, ∴方程 2x0 ? 8x0 ? 8x0 ? 8 ? c ? 0 有三个不

同的实根.

3 2 设 g ( x0 ) ? 2x0 ? 8x0 ? 8x0 ? 8 ? c ,则

2 2 2 2 g ?( x0 ) ? 6 x0 ? 16 x0 ? 8 ? 0 ? x0 ? 或x0 ? 2 ,g ( x0 ) 在 (??, ) 上单调递增, 在 ( , 2) 上单调递减, 3 3 3 2 ? 280 ? g极大 ? g ( ) ? 0, ? c ? ?8 . 在 (2, ??) 上单调递增, 故 ? 得: ? 3 27 ? g极小 ? g (2) ? 0, ?
题型四:函数导数不等式线性规划精彩交汇;
10

24.设函数 g ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx(a, b ? R) ,在其图象上一点 F ( x, y) 处的切线的斜率记为 f ( x) . 3 2 (1)若方程 f ( x ) 有两个实根分别为-2 和 4,求 f ( x ) 的表达式;
(2)若 g ( x) 在区间 ? ?1,3? 上是单调递减函数,求 a ? b 的最小值。
2 2

解: (1)根据导数的几何意义知 f ( x) ? g`( x) ? x2 ? ax ? b 由已知-2,4 是方程 x ? ax ? b ? 0 的两个实根由韦
2

达定理, ?

(2) g ( x) 在区间 ? ?1,3? 上是单调递减函数,所以在 ? ?1,3? 区间上恒有

??2 ? 4 ? ?a ??2 ? 4 ? ?b

∴?

?a ? ?2 , f ( x) ? x2 ? 2x ? 8 ?b ? 8

f ( x) ? g`( x) ? x2 ? ax ? b ? 0 ,即 f ( x) ? x2 ? ax ? b ? 0 在 ? ?1,3? 区间上恒成立

? f (?1) ? 0 ?a ? b ? 1 ?a ? b ? 1 2 2 即可,也即 ? 而 a ? b 可视为平面区域 ? 内的点到原点距离 ? f (3) ? 0 ?b ? 3a ? 9 ?b ? 3a ? 9 ?a ? ?2 的平方由图知当 ? 时, a 2 ? b2 有最小值 13; ?b ? 3 1 3 2 25.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx (a, b ? R) 3 11 (1)若 y ? f ( x) 图象上的是 (1,? ) 处的切线的斜率为 ? 4, 求y ? f ( x) 的极大值。 3 (2) y ? f ( x) 在区间 [?1,2] 上是单调递减函数,求 a ? b 的最小值。 1 3 2 解: (1)? f ( x ) ? x ? ax ? bx ? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b 由题意得 3 4 11 ? ? 1 ? 2a ? 4 ? ? 11 ? a ? ?1, b ? 3 f ?( x) ? ?4且f (1) ? ? ? ?1 3 ? ?a ?b ? ? 3 ?3 1 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3x f ?( x) ? ( x ? 1)(x ? 3) 令 f ?( x) ? 0得x1 ? ?1, x2 ? 3 3
这只需满足 ? 由此可知

x f ?( x )
f ( x)

(??,?1)
+ ↗

-1 0 极大值

(?1,3)


3 0 极小值- y 9

(3,??)
+ ↗

5 3



?当x ? ?1 时 f ( x) 取极大值

5 3

P 1 O 1 x

(2)? y ? f ( x)在[?1,2] 上是减函数

? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b ? 0在[?1,2] 上恒成立 ? f ?(?1) ? 0 ?1 ? 2a ? b ? 0 ? 2a ? b ? 1 ? 0 ?? ?? 即? ? f ?(2) ? 0 ?4 ? 4a ? b ? 0 ?4a ? b ? 4 ? 0
作出不等式组表示的平面区域如图 当直线 z ? a ? b 经过点 P(?

1 3 ,2) 时 z ? a ? b 取最小值 2 2 3 2 26. 已知函数 f ( x) ? mx ? nx ( m , n ? R , m ? n 且 m ? 0 )的图象在 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平
行. (I) 试确定 m 、 n 的符号; 2 (II) 若函数 y ? f ( x) 在区间 [n, m] 上有最大值为 m ? n ,试求 m 的值. 解:(I)由图象在 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行,
11

0 3 n 2

知 f ?(2) ? 0 ,∴ n ? ?3m ① ????3 分 又 n ? m ,故 n ? 0 , m ? 0 . ???? 4分 (II)令 f ?( x) ? 3mx2 ? 2nx ? 3mx2 ? 6mx ? 0 , 得 x ? 0或 x ? 2 ???????? 6 分 易证 x ? 0 是 f ( x) 的极大值点, x ? 2 是极小值点(如图). ???? 7 分 令 f ( x) ? f (0) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 3 . ????????????????8 分 分类:(I)当 0 ? m ? 3 时, f ( x) max ? f (0) ? 0 ,∴ m ? n 2 ? 0 . ② 1 由①,②解得 m ? ,符合前提 0 ? m ? 3 . 9 (II)当 m ? 3 时, f ( x) max ? f (m) ? m 4 ? m 2 n ,∴ m 4 ? m 2 n ? m ? n 2 . ③ 由①,③得

m 3 ? 3m 2 ? 9m ? 1 ? 0 . 记 g (m) ? m3 ? 3m 2 ? 9m ? 1,

∵ g ?(m) ? 3m 2 ? 6m ? 9 ? 3(m ? 1) 2 ? 6 ? 0 , ∴ g ( m) 在 R 上是增函数,又 m ? 3 ,∴ g (m) ? g (3) ? 26 ? 0 , ∴ g (m) ? 0 在 3, ?? 上无实数根.综上, m 的值为 m ? 题型五:函数导数不等式数列的精彩交汇 27.已知函数 f ( x) ?

?

?

1 . 9

x (a, b为常数且 a ? 0) 满足 f (2) ? 1 且 f ( x) ? x 有唯一解。 ax ? b

(1) 求 f ( x) 的表达式; (2)记 xn ? f ( xn?1 )(n ? N且n ? 1) ,且 x1 = f (1) ,求数列 {xn } 的通项公式。 (3)记 y n ? xn ? xn?1 ,数列{ y n }的前n项和为 S n ,求证 S n ? 解:(1)由 f ? x ? ?

4 3

x ? x 即 ax2 ? ?b ?1? x ? 0 有唯一解? b ? 1 ax ? b 2 1 x 2x ? 1 ? a ? ? f ? x? ? 又 f ? 2? ? 2 ? 1 ax ? 1 2 x ?1 x ? 2 2 2 xn?1 1 1 1 1 3 (2)由 xn ? f ? xn?1 ? ? 又 x1 ? f ?1? ? ? ? ? ? ? 1 3 xn xn ?1 2 x1 2 xn?1 ? 1 2 ?1? 3 1 1 3 2 1 n?2 ? xn ? ? 数列 ? ? 是以首项为 ,公差为 ? ? ? ? n ?1? ? ? 2 2 xn 2 n?2 2 2 ? xn ?

2 2 1 1 ? ? 4( ? ) n?2 n?3 n?2 n?3 ? Sn ? y1 ? y2 ? y3 ? ... ? yn = x1 x2 ? x2 x3 ? ?? ? xn xn?1
(3)由 y n ? x n ? x n ?1 ?

1 ? 4 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? 1 ? 4 ?? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ?? ?? ? 4 ? ? ?3 n?3? 3 ? n ? 2 n ? 3 ?? ?? 3 4 ? ? 4 5 ? a 28.已知函数 f ? x ? ? x ? ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R . x (Ⅰ)若曲线 y ? f ?x ?在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)讨论函数 f ?x ? 的单调性; ?1 ? ?1 ? (Ⅲ)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ?x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. ?2 ? ?4 ?
12

a ,由导数的几何意义得 f ?(2) ? 3 ,于是 a ? ?8 .由切点 P(2, f (2))在直线 x2 y ? 3x ? 1 上可得 ?2 ? b ? 7 ,解得 b ? 9 . 8 所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? x ? ? 9 . x a (Ⅱ)解: f ?( x ) ? 1 ? 2 . x 当 a ? 0 时,显然 f ?( x) ? 0 ( x ? 0 ) .这时 f ( x ) 在 ( ??, 0) , (0, ??) 上内是增函数.
(Ⅰ)解: f ?( x ) ? 1? 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a . 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x f ?( x ) f ( x)

(??, ? a )
+ ↗

? a
0 极大值

(? a ,0)
- ↘

(0, a )
- ↘

a
0 极小值

( a , ??)
+ ↗

所以 f ( x ) 在 (??, ? a ) , ( a , ??) 内是增函数,在 (? a ,0) , (0, ??) 内是减函数. (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 f ( ) 与 f (1) 的较大者,对于任意的 a ? [ , 2] ,不

1 4

1 4

1 2

39 ? 1 ? 1 1 ? f ( ) ? 10 ?b ? ? 4a 等式 f ( x) ? 10 在 [ ,1] 上恒成立,当且仅当 ? 4 ,即 ? ,对任意的 a ? [ , 2] 成立.从 4 4 2 ? ? ? f (1) ? 10 ?b ? 9 ? a 7 7 而得 b ? ,所以满足条件的 b 的取值范围是 (??, ] . 4 4 1 * 3 29.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a2 ? 8 ,且已知函 f ( x) ? (an ? 2 ? an ?1 ) x ? (3an ?1 ? 4an ) x ( n ? N )在 3

x ? 1 时取得极值. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ;
学科网

学科网

(Ⅱ)设 3n bn ? (?1) n an ,且 b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? m ? 3n( )
学科网

2 3

n ?1

对于 n ? N 恒成立,求实数 m 的取值
*

范围. 解: (Ⅰ ) ∵ f ? (1)=0∴(an+2-an+1)-(3a n+1-4an)=0 即 an+2-2an+1=2(an+1-2an) 又 a2-2a1=4 n-1 ∴数列{ an + 1 - 2an }是以 2 为公比,以 4 为首项的等比数列。∴ an + 1 - 2an = 4 × 2 = 2

n+1



an ?1 an a a a a ? n ?1 且 1 ? 1 ∴数列{ n }是首项为 1,公差为 1 的等差数列,∴ n = 1 +(n-1)× n ?1 n n 2 2 2 2 2 2 n 1=n∴ an ? n ? 2 2 n n (Ⅱ)由 3n bn ? (?1) n an ,? bn ? (?1) n( ) 3
2 2 2 2 3 2 n 令 Sn=|b1|+|b2|+?+|bn|= +2( ) +3( ) +?+n( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 n 2 n+1 Sn=( ) +2( ) +?+(n-1)( ) +n( ) 3 3 3 3 3 2 2 n [1-( ) ] 3 1 2 2 2 2 3 2 n 2 n+1 3 2 n+1 2 n 2 n+1 得 Sn= +( ) +( ) +?+( ) -n( ) = -n( ) =2[1-( ) ]-n( ) 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 1- 3

2 n ?1 2 n 2 n+1 * ∴ Sn=6[1-( ) ]-3n( ) < m ? 3n ( ) 要使得|b1|+|b2|+?+|bn|<m 对于 n∈N 恒成立,只须 3 3 3
13

m ? 6 ,所以实数 m 的取值范围是 m ? 6 .
30.如图,正五边形 ABCDE 中,若把顶点 A、B、C、D、E 染上红、黄、绿、三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜 色不相同,则不同的染色方法共有 30 种 31.已知函数 f ( x) ? 1 x ? ax ? bx ? 1( x ? R, a , b 为实数)有极
3 2

3 切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行.

值,且在 x ? 1 处的

(1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使得函数 f ( x) 的极小值为 1,若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理 由;

f ( x) ? 1 x3 ? ax 2 ? bx ? 1, ? f ?( x) ? x2 ? 2ax ? b, 由题意? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 1, 3 ? b ? 2a. ① ? f ( x)有极值,?方程f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b ? 0有两个不等实根 . 2 2 ② ?? ? 4a ? 4b ? 0, ?a ? b ? 0. 2 由①、②可得, a ? 2a ? 0. ? a ? ?2或a ? 0. 故 a ? (??,?2) ? (0,??) (2)存在 a ? ? 8 . 由(1)可知 f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b, 令f ?( x) ? 0 , 3 ? x1 ? ?a ? a 2 ? 2a , x2 ? ?a ? a 2 ? 2a .
(1)

x
f ?( x) f ( x)

(??, x1 )
+ 单调增

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
- 单调减

x2
0 极小值

( x 2 ? ?)
+ 单调增

? x ? x 2时, f ( x)取极小值 , 则f ( x 2 ) ?
2 ? x2 ? 0或x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0 .

1 3 2 x 2 ? ax 2 ? 2ax 2 ? 1 ? 1 , 3

若x2 ? 0, 即 ? a ? a 2 ? 2a ? 0, 则a ? 0(舍).

2 2 若x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0, 又f ?( x2 ) ? 0,? x2 ? 2ax2 ? 2a ? 0,? ax2 ? 4a ? 0.

a ? 0,

? x2 ? 4,

??a ? a 2 ? 2a ? 4

? a ? ? 8 ? ?2. 3

8 ? 存在实数 a ? ? , 使得函数 f ( x) 的极小值为 1. 3 1 3 1 2 32.已知函数 f ( x) ? ax ? x ? cx ? d (a、c、d∈R)满足 f (0) ? 0, f ' (1) ? 0 且 f ' ( x) ? 0 在 R 上恒 3 4
成立。 (1)求 a、c、d 的值; (2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4 (3)是否存在实数 m,使函数 g ( x) ? f ' ( x) ? mx 在区间[m,m+2]上有最小值-5?若存在,请求出实数
m 的值,若不存在,请说明理由。
2

解: (1) f '( x) ? ax ?
2

1 x?c , 2

f (0) ? 0, f '(1) ? 0 ,? ? ? f

?d ? 0 ?d ? 0 ? ? 1 1 ,即 , a? ?c ?0 c ? ?a ? ? ? 2 ? 2

1 1 从而 f '( x) ? ax ? x ? ? a 。 2 2
?a ? 0 ?

?a ? 0 ? ? '( x) ? 0 在 R 上恒成立, ? , 1 1 ? ? ? 4a ( ? a ) ? 0 ? ? 4 2

即? ?(a ? 1 ) 2 ? 0 ,解得 a ? , c ? , d ? 0 。 ? 4 4 ? 4 (2)由(1)知, f '( x) ?

1

1

1 2 1 1 3 b 1 x ? x ? , h( x) ? x 2 ? bx ? ? , 4 2 4 4 2 4
14

∴不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 化为 x ? x ? ? x ? bx ? ? ? 0 , 4 2 4 4 2 4
2 2

1

1

1

3

b

1

即 x ? ( ? b) x ?
2

1 2

b 1 ? 0 ,∴ ( x ? )( x ? b) ? 0 2 2

1 1 ,则不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 解为 ? x ? b ; 2 2 1 (b)若 b ? ,则不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 解为空集; 2 1 1 (c)若 b ? ,则不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 解为 b ? x ? 。 2 2 1 2 1 1 (3) g ( x) ? f '( x) ? mx ? x ? ( ? m) x ? 。该抛物线开口向上,对称轴为 x ? 1 ? 2m 。 4 2 4 1 2 1 1 若 1 ? 2m ? m ,即 m ? ?1 时, g ( x) ? x ? ( ? m) x ? 在[m,m+2]上为增函数。 4 2 4 ? m ? ?1 1 2 1 1 ? 当 x ? m 时, g ( x) min ? m ? ( ? m) m ? 由已知得 ? 1 m ? ( 1 ? m)m ? 1 ? ?5 ,解得 m ? ?3 。 ? 4 2 4 ?4 2 4 2 若 m ? 1 ? 2m ? m ? 2 ,即 ?1 ? m ? 1 时,当 x ? 1 ? 2m 时, g ( x)min ? ?m ? m 。
(a)若 b ?
2

由已知得 ?

? ?1 ? m ? 1
2 ? ? m ? m ? ?5

,无解。

若 1 ? 2m ? m ,即 m ? ?1 时, g ( x) ? 当 x ? m ? 2 时, g ( x) min

1 2 1 1 x ? ( ? m) x ? 在[m,m+2]上为减函数。 4 2 4 1 1 1 3 3 1 ? (m ? 2) 2 ? ( ? m)(m ? 2) ? ? ? m 2 ? m ? 。 4 2 4 4 2 4

?m ? ?1 ? 由已知得 ? 3 2 3 ,解得 m ? 2 2 ? 1 。 1 ? m ? m ? ? ?5 ? ? 4 2 4
综上所述, 存在实数 m ? ?3 或 m ? 2 2 ? 1 , 使函数 g ( x) ? f ' ( x) ? mx 在区间[m, m+2]上有最小值-5。 33.设函数 f ( x) ? ? x( x ? a) ( x ? R ) ,其中 a ? R (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(2, f (2) )处的切线方程;
2

(2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极大值和极小值; (3)当 a ? 3 时,证明存在 k ? [?1,0] ,使得不等式 f (k ? cos x) ? f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒成立。 (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x( x ?1)2 ? ? x3 ? 2 x2 ? x ,得 f (2) ? ?2 ,且

f ?( x) ? ?3x2 ? 4x ?1, f ?(2) ? ?5 . ? 2) 处的切线方程是 y ? 2 ? ?5( x ? 2) ,整理得 所以,曲线 y ? ? x( x ? 1)2 在点 (2, 5x ? y ? 8 ? 0 . 2 3 2 2 2 2 (Ⅱ)解: f ( x) ? ? x( x ? a) ? ? x ? 2ax ? a x f ?( x) ? ?3x ? 4ax ? a ? ?(3x ? a)( x ? a) . a 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? a .由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论. 3 (1)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表: a? a ? ?a ? x a (a,∞ ? ) ? ,a ? ? ?∞, ? 3? 3 ?3 ? ?
f ?( x )
因此,函数 f ( x ) 在 x ?

?
a 处取得极小值 3

0

?
4 ?a? f ? ? ? ? a3 ; 27 ?3?

0

?

?a? f ? ? ,且 ?3?

15

函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极大值 f ( a ) ,且 f (a) ? 0 . (2)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

a ? a? ?a ? ? ∞? ? a, ? ? , 3 ? 3? ?3 ? ? ? f ?( x ) 0 0 ? 因此,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 f ( a ) ,且 f (a) ? 0 ; a 4 3 ?a? ?a? 函数 f ( x ) 在 x ? 处取得极大值 f ? ? ,且 f ? ? ? ? a . 3 27 ?3? ?3? a (Ⅲ)证明:由 a ? 3 ,得 ? 1 ,当 k ?? ?1 , 0? 时, k ? cos x ≤ 1, k 2 ? cos2 x ≤1 . 3 由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 ? ?∞, 1? 上是减函数,要使 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) , x ? R

x

? ?∞,a ?

a

只要 k ? cos x ≤ k 2 ? cos2 x( x ? R) 即 cos2 x ? cos x ≤ k 2 ? k ( x ? R)
2



设 g ( x) ? cos2 x ? cos x ? ? cos x ? 1 ? ? 1 ,则函数 g ( x) 在 R 上的最大值为 2 . ? ? 2? 4 ? 2 要使①式恒成立,必须 k ? k ≥ 2 ,即 k ≥ 2 或 k ≤ ?1 .所以,在区间 ? ?1 , 0? 上存在 k ? ?1 ,使得

f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒成立.
34. 已知函数 f ( x) ? 1 x 3 ? 1 ( p ? 1) x 2 ? qx ( p, q 为常数)
3 2

(Ⅰ)若 f ( x)在( x1 , x2 )上单调递减,在 (??, x1 )和( x2 ,??)上单调递增,且

x2 ? x1 ? 1, 求证 : p 2 ? 2( p ? 2q); (Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处取得极值,且在 x ? ?? 6,6?时,函数 y ? f ( x) 的图象在直线 l : 15x ? y ? c ? 0 的下方,求 c 的取值范围? 1 3 1 2 ' 2 解: (1)? f ( x) ? x ? ( p ? 1) x ? qx ,? f ( x) ? x ? ( p ? 1) x ? q 3 2 2 又 x1,x2 是函数 f(x)的两个极值点,则 x1,x2 是 x ? ( p ? 1) x ? q ? 0 的两根,
? x1 ? x 2 ? 1 ? p, x1 x 2 ? q.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..2分 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? (1 ? p ) 2 ? 4q,......... .......... .......... .....4分 ? x 2 ? x1 ? 1? ( x 2 ? x1 ) 2 ? 1,? (1 ? p ) 2 ? 4q ? 1 即p 2 ? 2 p ? 4q ? 0,? p 2 ? 2( p ? 2q )
' ? f (1) ? 0 ? p ? q ? 0 (2)由题意, ? 即? ? ' ? ? f (3) ? 0

?3 p ? q ? ?6

? p ? ?3 ?? .......... .......... .......... 7分 ?q ? 3

? f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x, 3

1 3 x ? 2 x 2 ? 12x ? c,? F ' ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 12 3 令F ' ( x ) ? 0,? x 2 ? 4 x ? 12 ? 0 ? x1 ? ?2, x 2 ? 6 令F ( x ) ? f ( x ) ? (15x ? c ) ? 当x ? ( ?6,?2)时,F ' ( x ) ? 0, F ( x )在[ ?6,?2]上递增, 当x ? ( ?2,6)时,F ' ( x ) ? 0, F ( x )在[ ?2,6]上递减
40 ? c.......... .......... .......... .......... .......... .......... ...... 10分 3 40 40 令F (?2) ? 0, 即 ? c ? 0,? c ? .......... .......... .......... .......... .......... ...11 分 3 3 40 ? 所求c的取值范围为 ( ,??)......... .......... .......... .......... .......... ......... 12分 3 ? F ( x) max ? F (?2) ?

【高考加油站之美句赏析----精神的力量】
16

1.惜光阴百日犹短,看众志成城拼搏第一;细安排一刻也长,比龙争虎斗谁为争锋? 2. 我努力,我坚持,我一定能成功! 3. 勇者,必以决斗之勇气与四张试卷一决雌雄;懦夫,概以鼠目之寸光量人生此战必输无疑! 4. 不要回避哪怕是一个简单得不好意思的问题,其实它对你很重要,其实它对别人也是一个了不起的难 题。 5. 你想是怎样的人,你就是怎样的人;你想成为怎样的人,你离这个目标就不会太远。 6. 惜光阴百日犹短,看众志成城拼搏第一;细安排一刻也长,比龙争虎斗谁为争锋? 7. 为六月最后统考拼搏,稳做王者看谁与争锋? 8. 抢时间,抓基础,勤演练定有收获;树自信,誓拼搏,升大学回报父母。 9. 进更理想大学,铸更辉煌人生。——须更刻苦的奋斗。 10. 摒弃侥幸之念,必取百炼成钢;厚积分秒之功,始得一鸣惊人。

17


高考数学专题三十---文科导数综合题型经典解法

高考数学专题三十---文科导数综合题型经典解法_数学_高中教育_教育专区。名师倾力奉献 精校版高考数学专题三十---文科函数与导数综合题题型一:关于函数的单调区间...

高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用1

高中数学高考综合复习专题三十导数及其应用1_数学_...四、经典例题 例 1、设函数 在点 处可导,且 ,...这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法, 突出...

高中数学导数经典综合题

34页 2财富值 高中数学导数经典习题 5页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用 打印

高中数学高考综合复习专题三十导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用; 2、求导公式与运算法则的运用; 3、导数的几何意义; 4、导数在...

高考数学专题 导数题的解题技巧

高考,高三,导数解题技巧第十讲 导数题的解题技巧 ...典型例题3.(2007 年湖南文)已知函数 f ( x...考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学...

2015年高考文科函数、导数专题题型复习

2015年高考文科函数、导数专题题型复习_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015年...基本工具:导数、含参不等式解法、均值定理等 【例题 4】已知函数 f ( x) ?...

2015高考数学(文科)试题汇编及答案----10导数及其应用

2015高考数学(文科)试题汇编及答案---10导数及其应用_高考_高中教育_教育专区。2015高考文科数学试题汇编及其答案 2015 高考数学(文科---导数及其应用)试题汇编及答...

高考数学导数题型归纳(文科)

文科导数题型归纳请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法...?a ? 1 三、题型二:根的个数问题 题 1 函数 f(x)与 g(x)(或与 x ...

高考数学导数题型归纳(文科)_(1)

高考数学导数题型归纳(文科)_(1) 暂无评价|0人阅读...关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离...?a ? 1 三、题型二:根的个数问题 题 1 函数 ...