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2014福建高考文科数学第二轮专题复习专题7 三角函数的图象与性质(教师版)


2014 福建高考文科数学第二轮专题复习 专题 7
★★★高考在考什么
【考题回放】 1.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 取得最小值,则函数 y ? f (

三角函数的图象与性质

?
4

>处

3? ? x) 是( D ) 4 (A)偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 3? (B)偶函数且它的图象关于点 ( ,0) 对称 2 3? (C)奇函数且它的图象关于点 ( ,0) 对称 2 (D)奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 2. 定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数, f (x) 的最小正周期是 ? , 若 ? 5? 且当 x ? [0, ( D ) ] 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( ) 的值为 3 2 3 3 1 1 (A) ? (B) (C) ? (D) 2 2 2 2
3.函数 y = -x· 的部分图象是( D ) cosx

4.① 存在 ? ? (0,

?
2

) 使 sin a ? cos a ?

② 存在区间(a,b)使 y ? cos x 为减函数而 sin x <0 ③ y ? tan x 在其定义域内为增函数 ④ y ? cos 2 x ? sin( ⑤ y ? sin | 2 x ?

1 3

?
2

? x) 既有最大、最小值,又是偶函数

?
6

| 最小正周期为 π

以上命题错误的为____________.①②③⑤
《专题 7 三角函数的图象与性质》第 1 页(共 10 页)

5.把函数 y=cos(x+ 则 φ 的最小正值为

4? )的图象向右平移 φ 个单位,所得的图象正好关于 y 对称, 3

? 3

6.设函数 f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)的最小正周期为 π,并且当 x= 最大值 f(

π 时,有 12

π )=4. 12 (1)求 a、b、ω 的值; (2)若角 ? 、β 的终边不共线,f( ? )=f(β)=0,求 tan( ? +β)的值. 2π 【专家解答】(1)由 =π,ω>0 得 ω=2. ∴f(x)=asin2x+bcos2x.

?

? a2 ? b2 ? 4 ?a ? 2, ? π ? ?? 由 x= 时,f(x)的最大值为 4,得 ? a 3 12 ?b ? 2 3. ? ? ? b?4 2 ?2 π π π (2)由(1)得 f(x)=4sin(2x+ ), 依题意 4sin(2α+ )=4sin(2β+ )=0. 3 3 3 π π π ∴sin(2α+ )-sin(2β+ )=0. ∴cos(α+β+ )sin(α-β)=0 3 3 3 ∵α、β 的终边不共线,即 α-β≠kπ(k∈Z) 故 sin(α-β)≠0. ,

∴α+β=kπ+

3 π (k∈Z).∴tan(α+β)= . 3 6

★★★高考要考什么
【考点透视】 本专题主要涉及正弦函数、 余弦函数、 正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法: “五点法”和变换作图(平移、对称、伸缩) ;三角函数的性质包括定义域、值域(最值) , 单调性、奇偶性和周期性. 【热点透析】 三角函数的图象和性质是高考的热点,在复习时要充分运用数形结合的思想,把图 象和性质结合起来 1 2 加强
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本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 常见题型:
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考查三角函数的图象和性质的基础题目,此类题目要求考生在熟练掌握三角函
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数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用
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三角函数与其他知识相结合的综合题目,此类题目要求考生具有较强的分析能
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力和逻辑思维能力
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在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点, 并可以逐渐

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3

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三角函数与实际问题的综合应用

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此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力, 要注意数形结合思想在解 题中的应用
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《专题 7

三角函数的图象与性质》第 2 页(共 10 页)

★★★突破重难点
【范例 1】右图为 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象的一段,求其解析式。 解析 法 1 以 M 为第一个零点,则 A= 3 ,

? ? 2 所求解析式为 y ? 3 sin(2 x ? ? ) ? 2? 点 M( ,0) 在图象上,由此求得 ? ? ?
2? ) 3 法 2. 由题意 A= 3 , ? ? 2 ,则 y ? 3 sin(2 x ? ? ) 7 7 ? 3 ? 3 s i n ( ?? ) ? ?图像过点 ( ? , 3) 12 6 7 7 ? 2? 2? ? 3 ? 3 sin( ? ? ? ) 即 ? ? ? ? ? 2k? . ? ? ? ? ? 2k? . 取 ? ? ? . 6 6 2 3 3 2? ?所求解析式为 y ? 3 sin(2 x ? ) 3

?

3

3

所求解析式为 y ?

3 sin(2 x ?

【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使 A 取正值. 2. 由图象求解析式 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 或由代数条件确定解析式时,应注意: (1) 振幅 A=

1 ( y max ? y min ) 2 1 2

(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为 T , 由此推出 ? 的值. (3) 确定 ? 值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定.

【文】设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直 线x ?

?
8



(Ⅰ)求 ? ;(Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f (x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。 解析(Ⅰ)? x ?

?
8

是函数y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin(2 ?
? ?? ? ? ? 0, ? ? ? 3? . 4

?
8

? ? ) ? ?1,

?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ? 由题意得

3? 3? ,因此y ? sin(2 x ? ). 4 4 ? 3? ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z . 2 4 2
《专题 7

三角函数的图象与性质》第 3 页(共 10 页)

3? ? 5? )的单调增区间为 k? ? , k? ? ], k ? Z . [ 4 8 8 3? (Ⅲ)由 y ? sin(2 x ? )知 4 ? 3? 5? 7? ? x 0 8 8 8 8 2 2 y 0 1 0 -1 ? ? 2 2 [ 故函数 y ? f ( x)在区间 0, ? ]上图像是
所以函数 y ? sin(2 x ?

【点晴】此题主要考查三角函数性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力. 【范例 2】已知函数 f ( x) ? log 1 (sin x ? cos x) ,
2

(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调区间;(3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期。 解析 (1)由题意得 sinx-cosx>0 即 2 sin(x ? 从而得 2k? ? x ?

?
4

) ? 0,

?
4

? 2k? ? ? ,

∴函数的定义域为 2k? ? ( ∵ 0 ? sin(x ?

?
4

,k? ? 2

1 ) ? 1 ,故 0<sinx-cosx≤ 2 ,所有函数 f(x)的值域是 [? ,??) 。 4 2 3? 5? (2)单调递增区间是 [2k? ? ,k? ? 2 ) ?Z k 4 4 ? 3? 单调递减区间是 2k? ? ,k? ? ( 2 ) ?Z , k 4 4
(3)因为 f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称,故 f(x)是非奇非偶函数。 (4)∵ f ( x ? 2? ) ? log 1 [sin(x ? 2? ) ? cos(x ? 2? )] ? f ( x)
2

?

5? ) ?Z , k 4

∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π。 【点睛】此题主要是考察对数函数与三角函数复合而成的复合函数的性质
《专题 7 三角函数的图象与性质》第 4 页(共 10 页)

2 【文】已知向量 a = ( 3 ,2), b =( sin 2?x,? cos ?x) ,( ? ? 0) 。

?

?

(1) f ( x) ? a ? b , f (x) 的最小正周期为 ? , f (x) 的最大值, 若 且 求 并求 f (x) 取 得最大值时 x 的集合; ? ? (2)在(1)的条件下, f (x) 沿向量 c 平移可得到函数 y ? 2 sin 2 x, 求向量 c 。 解析 f ( x) ? a ? b = 3 sin 2?x ? 2 cos2 ?x ? 2 sin(2?x ?

? ?

? ?

f (x) ? = 2 sin(2 x ? ) ? 1 , y max 6
(2)? f (x) 的图象向左平移 所以向量 c = ( ?

?

?

?
12

? ,再向上平移 1 个单位可得 y ? 2 sin 2 x 的图象, 12

) ? 1 ,T= ? , ? ? 1 6 ? ? ? ? 1 ,这时 x 的集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? 3 ? ?

?

,1) 。

【点晴】此题是三角函数与向量的综合题,主要考查三角函数的基本公式、三角恒 等变换、三角函数的图象平移等基本知识. 【范例 3】设函数 f ( x) ? a ? b cos x ? c sin x 的图象经过两点(0,1), ( 且在 0 ? x ?

?
2

,1 ),

?
2

内 | f ( x) |? 2 ,求实数 a 的的取值范围.
?

解析 由图象过两点得 1=a+b,1=a+c,

? b ? 1 ? a, c ? 1 ? a, f ( x) ? a ? (1 ? a)(sin x ? cos x) ? a ? 2 (1 ? a) sin(x ? ) 4 ? ? ? 3 2 ? ? 0 ? x ? , 则 ? x ? ? ? ,? ? sin(x ? ) ? 1 2 4 4 4 2 4
当 a<1 时, 1 ? f ( x) ? 2 ? (1 ? 2 )a, 要使 | f ( x) |? 2 , 只须 2 ? (1 ? 2 )a ? 2 解得 a ? ? 2 当 a ? 1时, 2 ? (1 ? 2 )a ? f ( x) ? 1 要使 | f ( x) |? 2只须 2 ? (1 ? 2 )a ? ?2 解得 a ? 4 ? 3 2 , 故所求 a 的范围是 ? 2 ? a ? 4 ? 3 2 【点睛】 此题是恒成立问题在三角函数中的应用。恒大于问题,大于最大值;恒 小于问题,恒小于最小值. 【变式】若函数 f ( x) ? 试确定常数 a 的值. 解析

1 ? cos 2 x 2 sin( ? x) 2

?

? sin x ? a 2 sin(x ?

?
4

) 的最大值为 2 ? 3 ,

f ( x) ?

1? 2c o 2 x ?1 s 2 s i n ( ? x) 2

?

? s i n ? a 2 s i nx(? x

?
4

)

《专题 7

三角函数的图象与性质》第 5 页(共 10 页)

?

2 cos2 x ? ? ? sin x ? a 2 sin(x ? ) ? sin x ? cos x ? a 2 sin(x ? ) 2 cos x 4 4

? 2 sin(x ?

?

4

) ? a 2 sin(x ?

?

4

) ? ( 2 ? a 2 ) sin(x ?

?

因为 f (x) 的最大值为 2 ? 3, sin(x ?

?
4

4

)

) 的最大值为 1,则 2 ? a 2 ? 2 ? 3,

所以 a ? ? 3 【点晴】 此题是三角函数“合一变换”求最值的应用 【范例 4】已知二次函数 f (x) 对任意 x ? R ,都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立,设向 量 a ? (sinx,2), b ? (2sinx,

? ? ? 1 ), c ? (cos2x,1), d ? (1,2),当 x ? [0, ? ? ? 2? ? π ]时,求不等式 f( a ? b )>f( c ? d )的解集. 解析 设 f(x)的二次项系数为 m,其图象上两点为(1-x, y1 )、B(1+x, y 2 ) (1 ? x) ? (1 ? x) 因为 ? 1 , f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,所以 y1 ? y2 , 2
由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 若 m>0,则 x≥1 时,f(x)是增函数,若 m<0,则 x≥1 时,f(x)是减函数. ∵

?

?

? ? ? ? ? 1 a ? b ? (sin x ,2) ? (2 sin x , ) ? 2 sin 2 x ? 1 ? 1 ,c ? d ? (cos 2x ,1) ? (1 ,2) 2 ? cos 2x ? 2 ? 1 , ? ? ? ? ? 2 ∴ 当 m ? 0 时, f (a ? b) ? f (c ? d ) ? f (2sin x ? 1) ? f (cos 2 x ? 1)

? 2 sin 2 x ? 1 ? cos2x ? 2 ? 1 ? cos2x ?1 ? cos2x ? 2 ? 2 cos2x ? 0 π 3π , k ?Z. ? cos2x ? 0 ? 2kπ ? ? 2 x ? 2kπ ? 2 2 π 3π ∵ 0? x? π, ∴ . ?x? 4 4 π 3π 当 m ? 0 时,同理可得 0 ? x ? 或 ? x ? π. 4 4 ? ? ? ? ? π 3π 综上 f (a ? b) ? f (c ? d ) 的解集是当 m ? 0 时,为 {x | ? x ? }; 4 4 π 3π 当 m ? 0 时,为 {x | 0 ? x ? ,或 ? x ? π} . 4 4
【点晴】此题是三角函数与平面向量的综合问题。利用函数的单调性解不等式是该 题的重点和难点. 【变式】试判断方程 sinx= 解析 方程 sinx=

x 实数解的个数. 100?

x x 实数解的个数等于函数 y=sinx 与 y= 的图象交点个数 100? 100?
《专题 7 三角函数的图象与性质》第 6 页(共 10 页)

∵|sinx|≤1∴|

x |≤1, |x|≤100л 100?
100л

当 x≥0 时,如右图,此时两线共有

x 100 个交点,因 y=sinx 与 y= 都是奇函数,由对称性知当 x≥0 时,也有 100 100?
个交点,原点是重复计数的所以只有 199 个交点。 【点睛】 此题主要考察数形结合解题的能力。该题在统计根的个数时,要注意原 点的特殊性.

★★★自我提升
1.右图是周期为 2? 的三角函数 y=f(x) 的图象,那么 f (x)可以写成( D ) (A)sin(1+x) (B) sin(-1-x) (C)sin(x-1) (D)sin(1-x) 2. 为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( B )

? 个单位长度 6 ? (C)向左平移 个单位长度 6
(A) 向右平移

? 个单位长度 3 ? (D) 向左平移 个单位长度 3 1 3.(理)函数 y=sinx 的定义域为[a,b],值域为 [?1, ],则 b-a 的最大值和最小值 2
(B)向右平移 之和为( B ) (A)

? 6

4? 3

(B)2 ?

(C)

(文)函数 f(x)=cos2x+sin(

? +x)是( D ) 2

8? 3

(D) 4?

(A)非奇非偶函数 (B)仅有最小值的奇函数 (C)仅有最大值的偶函数 (D)既有最大值又有最小值的偶函数 4.给出四个命题,则其中正确命题的序号为 ( B ) ① 存在一个△ ABC,使得 sinA+cosA=-1; ② △ ABC 中,A>B 的充要条件为 sinA>sinB; 5? ? ③ 直线 x= 是函数 y=sin(2x+ )图象的一条对称轴; 4 8 ④ △ ABC 中,若 sin2A=sin2B,则△ ABC 一定是等腰三角形. (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④ 5.函数 y = -2sin(4x+

2? )的图象与 x 轴的交点中, 离原点最近的一点的坐标是___ 3
(

? , 0) 12

《专题 7

三角函数的图象与性质》第 7 页(共 10 页)

6. 如果图象 x2+y2≤k2 至少覆盖函数 y ? 则正整数 k 的最小值为 2.

3 sin

?x 的一个最大值点和一个最小值点, k

? 2 7.已知定义在区间 [ ? ? , ? ] 上的函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ? 对称,当 6 3 ? 2 ? ? x ?[ ? , ? ] 时,函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) ,其图象如图. 6 3 2 2
(1)求函数 y ? f (x) 在 [ ? ? , (2)求方程 f ( x) ? 2 的解.
2

2 ? ] 的表达式; 3

, 2 ? ] 时, 6 3 ? ? 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) ,观察图象易得: 2 2
解析

(1)当 x ?[ ? ?

A ? 1, ? ? 1, ? ? ? ,即函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,由函数 y ? f ( x) 的图象关于直 3 3

线 x ? ? ? 对称得, x ?[ ? ?

?sin( x ? ? ) x ? [ ? ? , 2? ] ? 3 6 3 ∴ f ( x) ? ? . ?? sin x x ? [ ?? , ? ? ) 6 ? (2)当 x ?[ ? ? , 2 ? ] 时, 6 3 2 得, x ? ? ? ? 或 3? ? x ? ? ? 或x ? 5? ; 由 sin( x ? ? ) ? 3 2 3 4 4 12 12 当 x ?[ ? ? , ? ? ] 时,由 ? sin x ? 2 得, x ? ? 3? 或x ? ? ? . 2 4 4 6 2 的解集为 { ? 3? , ? ? , ? ? , 5? } ∴方程 f ( x) ? 4 4 12 12 2

6

, ? ? ] 时,函数 f ( x) ? ? sin x . 6

《专题 7

三角函数的图象与性质》第 8 页(共 10 页)

? ) 的图象在 y 轴上的截 2 距为 1,它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 ( x0 ,2) 和 ( x0 ? 3? ,?2) . (1)试求 f ( x ) 的解析式; 1 (2)将 y ? f ( x ) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),然后再将 3 ? 新的图象向 x 轴正方向平移 个单位,得到函数 y ? g( x ) 的图象.写出函数 y ? g( x ) 的 3
【文】已知函数 f ( x ) ? A sin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 解析式. 解析 (1)由题意可得:

T ? 6? , A ? 2 ,

?函数图像过(0,1), ? sin ? ?
x ? ? f ( x) ? 2 sin( ? ) ; 3 6
(2) g ( x) ? 2 sin(x ?

1 ? ? , ? ? ? ,?? ? 6 2 2

1 ? f ( x) ? 2 s i n ( x ? ? ) , 3


?

6

)

x x x cos ? 3 cos2 . 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方
8.已知函数 f ( x) ? sin 程 (Ⅱ)如果△ ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范 围及此时函数 f(x)的值域. 解析 (1) f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin(2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 3 3 2 3k ? 1 即对称中心的横坐标为 ?, k ? z 2
由 sin( (Ⅱ)由已知 b2=ac, cos x ?

k?z

1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1 , 0? x? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? ?| ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1 , 3 2 9 2 3 3 3 ? 3 ? sin( 2x ? 3 ? ) ? 1? , 3 3 2 3 ]. 即 f (x) 的值域为 ( 3 ,1 ? 2
《专题 7

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2

三角函数的图象与性质》第 9 页(共 10 页)

【文】 f ( x) ? 2 3 sin(3?x ?

?
3

) (ω>0)

(1)若 f (x +θ)是周期为 2π 的偶函数,求 ω 及 θ 值 (2)f (x)在(0,

1 ? ,? ? k? ? 3 6 ? 1 (2)因为 f (x)在(0, )上是增函数,故 ω 最大值为 6 3
又 f (x +θ)是周期为 2π 的偶函数, 故 ? ?

? )上是增函数,求 ω 最大值。 3 ? 解析(1)因为 f (x +θ)= 2 3 sin(3?x ? 3? ? ) 3

k? Z

文章来源: 福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分, 就上福州五佳教育)

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三角函数的图象与性质》第 10 页(共 10 页)


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