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立体几何


用心教育 028-87809051——对学生负责,让家长放心——高三数学

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第 1 课时--空间几何体的表面积与体积
重要知识
1、空间几何体的表面积
圆柱: 圆锥:

2、空间几何体的体积
柱体: 锥体:

3、球的体积和表面积
球的表面积: 球的体积:

4、常见空间几何体的三视图
三视图为三个三角形则对应的是三棱锥 三视图为两个三角形一个四边形则对应的是四棱锥 三视图为两个三角形一个圆则对应的是圆锥 三视图为一个三角形两个四边形则对应的是三棱柱 三视图为两个四边形一个圆则对应的是圆柱

经典例题
1.(2014?河南)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图, 则这个几何体是( )

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱 )

2.(2014?福建)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱

3. (2012?湖南) 某几何体的正视图和侧视图均如图所示, 该几何体的俯视图不可能是 (



今日之事

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2

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A.

B.

C.

D. )

4.(2011?浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(

A.

B.

C.

D. )

5.(2011?浙江)几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(

A.

B.

C.


D.

6.(2009?宁波模拟)三视图如图的几何体是(

A 三棱锥 .

B 四棱锥 .

C 四棱台 .

D 三棱台 .

7.(2014?安徽模拟)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体 的俯视图的是( )

今日之事

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A.

B.

C.

D.

8.(2014?揭阳模拟)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧 视图为( )

A.

B.

C.

D. )

9.(2014?文登市三模)空间几何体的三视图如图所示,则此空间几何体的直观图为(

A.

B.

C.

D. )

10.(2015?咸阳一模)若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是(

今日之事

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A.

B.

C.

D.

题型二、空间几何体的表面积与体积
11.(2014?陕西)将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的 侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.Π

12.(2013?上海)若两个球的表面积之比为 1:4,则这两个球的体积之比为( ) A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16
13.(2015?青岛一模)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是( )

A 2 .

B .

C .

D 3 .

14.(2013?湖南)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一 个面积为 的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( ) A. B.1 C. D.

15.(2013?山东)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该 四棱锥侧面积和体积分别是( ) A.4 ,8 B. C. D . 8 ,

8

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用心教育 028-87809051——对学生负责,让家长放心——高三数学 16.(2014?蒙城县模拟)已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图 所示,则其侧视图的面积为( ) A. B. C. D.1

17. (2014 浙江文) 某几何体的三视图 (单位:cm ) 如图所示, 则该几何体的的体积是 ( ) . A. 72cm3
4 4 3 正视图 3 3 俯视图 侧视图

B. 90cm3
3 3

C. 108cm3

D. 138cm 3

18.(2014 辽宁文 7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ?



? 4

B. 8 ?

? 2

C. 8 ? ?

D. 8 ? 2 ? ).

19.(2014 四川文 4)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( A. 3 B. 2
2

C.

3

D. 1

1 2 2 1 1 1 侧视图

2 俯视图

20.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为
2

m3 .

4

2 4

2 4

正视图

侧视图

俯视图

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用心教育 028-87809051——对学生负责,让家长放心——高三数学 21.【2015 高考福建,文 9】某几何体的三视图如图所示,则该几何
2

体的表面积等于( A. 8 ? 2 2

) C. 14 ? 2 2 D. 15
1 1 1

B. 11 ? 2 2

22.一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视 图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸(单位: cm ), 可得这个几何体的体积是( ) A. ? B. ?
4 3
1 1 1 2 2

C. ?

5 3

D.2 ? )

1

23.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( A. 112 3 4 4 正视图 4 俯视图 24.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 C. 2? ? B. 4? ? 2 3 D. 4? ? ). 侧视图 B. 80 C. 72 D. 64

2 3 3

2 3 3

ABC ,其 25.如图,三棱柱 ABC ? A 1 ? 底面 1B 1C1 的侧棱长和底面边长均为 2 ,且侧棱 AA
正(主)视图是边长为 2 的正方形,则此三棱柱侧(左)视图的面积为( A. 3 B. 2 3 C1 A1 C A B
正(主)视图



C. 2 2
1 1

D. 4

B1

2

26、已知正方体外接球的体积是 方体的棱长等于( A.2 )

32 ? ,那么正 3

2

B.

2 3 3
7

今日之事

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C.

4 2 3

D.

4 3 3
) C. 1∶3 3 D. 1∶9

27、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 B. 1∶3

第 2 课时-空间点 直线 平面之间的位置关系
重要知识点
点.线.面.之间的位置关系 1.空间两直线的位置关系有且只有三种:
平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理: 异面直线所成的角:

2.空间中直线与平面有三种位置关系: 3.空间中两个平面之间有两种位置关系:

经典例题
1. (2012?雁江区校级模拟)已知异面直线 a 与 b 所成的角为 50° ,P 为空间一点,则过点 P 与 a、b 所成的角都是 30 的直线有且仅有( ) A 1条 B 2条 C 3条 . . .
0

D 4条 . )条.

2. (2009?重庆)三个互不重合的平面把空间分成六个部份时,它们的交线有 ( A 1 B 2 C 3 D 1或2 . . . .

3. (2006)已知平面 α 外不共线的三点 A,B,C 到 α 的距离都相等,则正确的结论是( ) A. 平面 ABC 必平行于 α B. 平面 ABC 必与 α 相交 C. 平面 ABC 必不垂直于 α D. 存在△ ABC 的一条中位线平行于 α 或在 α 内 4. (2005?陕西)不共面的四个定点到平面 α 的距离都相等,这样的平面 α 共有( A 3个 B 4个 C 6个 D 7个 . . . . 今日之事 勿拖到明日 )

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用心教育 028-87809051——对学生负责,让家长放心——高三数学 5. (2013 秋?秀英区校级期末)下列说法中正确的是( A. 平行于同一直线的两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两个平面平行 C. 平行于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两个平面平行 6. (2014 秋?吉安期末)下列条件中,能判断两个平面平行的是( A. 一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B. 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D. 一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面 ) )

7. (2014 秋?瓯海区校级期中)给出下列命题: (1)平行于同一直线的两个平面平行 (2)平行于同一平面的两个平面平行 (3)垂直于同一直线的两直线平行 (4)垂直于同一平面的两直线平行 其中正确命题的序号为( ) A (1) B (3) C (2) (2) (4) (4) . . . 8. (2011 春?工农区校级期末)下列说法正确的是( ) A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 梯形一定是平面图形 D. 过平面外一点只有一条直线与该平面平行

D (1) (3) .

9. 【 . 2015 高考浙江, 文 4】 设 ? ,? 是两个不同的平面, 且l ? ? , l ,m 是两条不同的直线,

m?? (

) B.若 ? ? ? ,则 l ? m D.若 ? //? ,则 l //m

A.若 l ? ? ,则 ? ? ? C.若 l //? ,则 ? //?

10. (2008?四川)一个正方体的展开图如图所示,B,C,D 为原正方体的顶点,A 为原正 方体一条棱的中点.在原来的正方体中,CD 与 AB 所成角的余弦值为( )

A .

B .

C .

D .

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用心教育 028-87809051——对学生负责,让家长放心——高三数学 11. (2008?四川)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 A1B1 的中点,则 A1B 与 D1E 所 成角的余弦值为( ) A B C D . . . .

12. (2014?辽宁)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α



13. (2013?广东)设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β C.若 l⊥α,l∥β,则 α∥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β



14. (2015?梅州)已知两个不同的平面 α、β 和两条不重合的直线,m、n,有下列四个命题: ①若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ③若 m⊥α,m∥n,n?β,则 α⊥β; ④若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n, 其中不正确的命题的个数是( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 . . . . 15.以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? 其中正确命题的个数是 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ④若 a∥?,b??,则 a∥b ( )

16、(江西省五校 2008 届高三开学联考)已知直线 m 、 n ,平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? ③若 m ? ? , n // ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? 其中正确的命题是 A .①③ B .②④ ②若 m // ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? ④若 m ? ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ?

C .③④

D .①

17.已知 ? , ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题中不正确的是( A.若 m ∥ n, m ? ? ,则 n ? ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ?



B.若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ?

18.(湖北省三校联合体高 2008 届 2 月测试)关于直线 m , n 与平面 ? , ? ,有以下四个命 今日之事 勿拖到明日 10

用心教育 028-87809051——对学生负责,让家长放心——高三数学 题:①若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ;③ 若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ; 题的序号是( ) ④若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? , 则 m // n . 其中真命

A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 19. (2010?内江二模)如图,A1B1C1﹣ABC 是直三棱柱,∠BCA=90° ,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点,若 BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( ) A . B . C . D .

第 3 课时--立体几何中线、面平行的证明问题
重要知识
1、直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

今日之事

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用心教育 028-87809051——对学生负责,让家长放心——高三数学 数学语言:a ? α ,b ? α ,且 a∥b, 则 a∥α 线面平行的判定定理可概括为有“线线平行”则“线面平行”

2、直线和平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行。 数学语言:a∥α ,a ? β ,α ∩β =b,求证 a∥b 线面平行的性质定理也可概括为有“线面平行”则“线线平行”

3、平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 数学语言: a ? ? , b ? ? , a ? b ? M ?

a // ? , b // ?

? ? ? // ? ?

面面平行的判定定理可概括为有“线面平行”则“面面平行” 推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条直线, 那么这 两个平面平行。

4、平面和平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 数学语言: ?∥?,? ∩? ? a,? ∩? ? b,则a∥b 注:面面平行的性质定理可概括为有“面面平行”则“线面平行” 推论:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.

重要方法
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行, 而证明线线平行一般有以下 的一些方法: (1)通过“平移” 。 (2)利用三角形中位线的性质。 (3)利用平行四边形的性质 (4)利用线面平行和面面平行的性质

常考题型
今日之事 勿拖到明日 12

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题型一、通过“平移”
例 1、变式 1、四棱锥 S-ABCD 底面为平行四边形,E、F 分别为边 AD、SB 中点求证:EF∥平 面 SDC。

变式 1、如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形, BA ? AD, CD ? AD, CD=2AB, E 为

PC 的中点, 证明: EB // 平面PAD ;

题型二、利用三角形中位线的性质
例 2、如图,已知 E 、 F 、 G 、 M 分别是四面体的棱 AD 、 CD 、 BD 、 BC 的中点, 求证: AM ∥平面 EFG 。

A E B G M C F D

变式 2、 如图, ABCD 是正方形, O 是正方形的中心, E 是 PC 的中点。 求证: PA ∥平面 BDE.

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题型三、利用平行四边形的性质

例 3、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 O 为正方形 ABCD 的中心,M 为 BB1 的中点, 求证: D1O//平面 A1BC1;

变式 3、在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB=

1 DC, E为PD中点 .求证:AE∥平面 PBC; 2
D A E B P C

题型四、利用面面平行
例 5、如图,三棱锥 P ? ABC 中, E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上, 且 AF ? 2FP .求证: CM / / 平面 BEF ;

变式 4.如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,M、N 分别是 BC 和 A1B1 的中点. 求证:MN∥平面 AA1C1.

今日之事

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课堂练习
1. (2014 秋?桐乡市校级期中)下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N, P 分别为其所在棱的中点,则能得出 AB∥平面 MNP 的图形个数是( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中, D 为 AC 的中点.求证:AB1//面 BDC1;

3.如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, E 、F 分别为 AB,SC 的中点. 证 S 明: (1) EF ∥平面 SAD (2) BF ∥平面 SDE . F

D A E B

C

4. (2014 秋?辽宁期末)在三棱锥 S﹣ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,BC⊥SA,AS=AB, 过 A 作 AP⊥SB,垂足为 F,点 E、G 分别是棱 SA,SC 的中点 求证: (1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)AB⊥BC.

今日之事

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5. (2012 秋?龙岗区期末)如图,E,F,G,H 分别是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 BC, CC1,C1D1,AA1 的中点,求证: (1)GE∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H.

第 4 课时--立体几何中线、面平行的专题训练
1、 (2015?重庆一模)如图,已知三棱锥 A﹣BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△PMB 为正三角形. 今日之事 勿拖到明日 16

用心教育 028-87809051——对学生负责,让家长放心——高三数学 (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC;

2、 (2015?北京)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,AB⊥BC,D,E 分别是 AB,AC 的中点,且 PE ⊥平面 ABC.求证: (1)BC∥平面 PDE; (2)AB⊥平面 PDE.

3、 (2015?泉州模拟)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥平面 A1B1C1,A1B1=A1C1,点 D、F 分别是棱 BC、CC1 上的中点,点 E 是 CC1 上的动点 (Ⅰ)证明:A1F∥平面 ADE;

4、 (2014?孝感) 如图, 已知四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, AB∥DC, ∠ABC=45°, DC=1,AB=2,PA⊥平面 ABCD,PA=1. (Ⅰ)求证:AB∥平面 PCD; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 PAC;

今日之事

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5、(2014 新课标Ⅱ18)如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平 面 ABCD , E 为 PD 的中点. (1)求证: PB∥ 平面 AEC ; (2)设 AP ? 1 , AD ? 3 ,三棱锥 P ? ABD 的体积 V ?

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

P
E

A

D

B

C

6、 (2014?湖北)在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,E 为 PC 中点,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2. (Ⅰ)求证:BE∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 PBD;

7、 (2014?宜春模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧棱 PA 丄底面 ABCD 底面 ABCD 为矩形, E 为 PD 上一点,AD=2AB=2AP=2,PE=2DE. (I)若 F 为 PE 的中点,求证 BF∥平面 ACE; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣ACE 的体积. 今日之事 勿拖到明日 18

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8、 (2014?锦州二模)如图所示,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AC=3,BC=4, AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1.

9、 (2014?安徽模拟)如图:已知四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,ABCD 是正方形,E 是 PA 的中点, 求证: (1)PC∥平面 EBD.

10.(2014?广东模拟)在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°, ,PA=PD,E,F 为 AD,PC 的中点. (Ⅰ)求证:PA∥平面 BEF;

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第 5 课时--立体几何中线、面垂直的证明问题
重要知识
1、直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

l?a

l ?b

a ??
b??

a?b ? A

? ? ? ?? l ?? ? ? ?

线面垂直的判定定理可概括为有“线线垂直”则“线面垂直”. 推论:一条直线与一个平面垂直,则这条直线垂直于平面内的任意一条直线。

2、直线与平面垂直的性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行。 数学语言: a⊥α ,b⊥α ? a∥b 两个重要结论: (1)垂直于同一条直线的两个平面平行。 (2)如果两条平行线中有一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。

3、平面与平面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 数学语言: a ? ? , a ? 面?

? ???
勿拖到明日 20

今日之事

用心教育 028-87809051——对学生负责,让家长放心——高三数学 面面垂直的判定定理可概括为有“线面垂直”则“面面垂直” 。

4、平面与平面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

? b ??? ?? b ? ? ? ?? ?l ? ? b?l
面面垂直的判定定理可概括为由“面面垂直”则“线面垂直” 。

? ??

重要方法
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直, 而证明线线垂直一般有以下 的一些方法: (1)通过“平移” 。 (2)利用等腰三角形底边上的中线的性质。 (3)利用勾股定理。 (4)利用直径所对的圆周角是直角。 (5)利用面面垂直的性质

重要题型
且b⊥平面α, 则a⊥平面α) 题型一、通过“平移”.(根据若 a / /b,
例 1、 在四棱锥 P-ABCD 中, △PBC 为正三角形, AB⊥平面 PBC, AB∥CD, AB= 求证:AE⊥平面 PDC. A E B 变式 1、如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,
P

1 E为PD中点 . DC, 2
D

C P

∠PDA=45°,点 E 为棱 AB 的中点.求证:平面 PCE⊥平面 PCD;
F

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勿拖到明日
B

E

A C

21

D

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题型二、利用等腰三角形底边上的中线的性质(三线合一)
? 例 2、三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB , PC ? AC .

求证: PC ? AB ;

P

A

B

C

题型三、利用勾股定理
例 3、如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA ? CD, PA ? 1, PD ? 2. 求证: PA ? 平面 ABCD ;
P _

A _

D _

B _

C _

变式 2、如图,四面体 ABCD 中, CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? BD、BC 的中点,求证: AO ? 平面 BCD;
A

2. O、E 分别是

D O B E C

变式 3、 如图 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形 BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2 AB, PA ? 底 面 ABCD, E 为 PC 的中点, PA=AD。证明: BE ? 平面PDC .

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题型四、利用直径所对的圆周角是直角
例 4、如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC.求证:平面 PAC⊥平面 PBC;

P

C B A O 2 PO PO D AB ? 2 变式 4、如图,在圆锥 中,已知 = ,⊙O 的直径 ,C 是狐 AB 的中点, 为 D AC 的中点.证明:平面 POD ? 平面 PAC ;

.

题型五、利用面面垂直的性质 例 5.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面 ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 求证:(1) PA ? 底面 ABCD (2) BE / / 平面 PAD (3)平面 BEF ? 平面 PCD 今日之事 勿拖到明日 23

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变式 5、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点。求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

课后作业:
1. [2011·课标全国卷] 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行 四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. 证明:PA⊥BD;

?ABC ? 90 ? , 2. 如图, P 为 ?ABC 所在平面外一点,PA ? 平面 ABC , 于F AE ? PB 于 E ,
求证: (1)BC ? 平面 PAB; (2)AE ? 平面 PBC ; (3)PC ? 平面 AEF

P F

今日之事

勿拖到明日

A

E

24
B

C

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0 3 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 , ?ADC ? 45 ,

AD ? AC ? 1 , O 为 AC 中点, PO ? 平面 ABCD , PO ? 2 , M 为 PD 中点.
(Ⅰ)证明: PB //平面 ACM ; (Ⅱ)证明: AD ? 平面 PAC ;
P

M

D O A

C

B

4.如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中,AB ? AC ,PA ? 面ABCD , 点E 是 PD 的中点。 (Ⅰ)求证: AC ? PB (Ⅱ)求证: PB // 平面AEC

5.如图所示,四边形 ABCD 为矩形,BC⊥平面 ABE,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 的中点.求证:MN∥平面 DAE; (2)求证:AE⊥BE.

今日之事

勿拖到明日

25

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第 6 课时--立体几何中线、面垂直的专题训练
1、 (2014?福建)如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A﹣MBC 的体积.

2、 (2014?山东)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F 分 别为线段 AD,PC 的中点. (Ⅰ)求证:AP∥平面 BEF; (Ⅱ)求证:BE⊥平面 PAC.

3、 (2014?四川)在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形 (Ⅰ)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1; (Ⅱ)设 D、E 分别是线段 BC、CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥平面 A1MC?请证明你的结论.

今日之事

勿拖到明日

26

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4、 (2014?开封二模)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

5、 (2014?陕西)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面体 的棱 AB、BD、DC、CA 于点 E、F、G、H. (Ⅰ)求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ)证明:四边形 EFGH 是矩形.

6、 (2014?河南)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O,且 AO ⊥平面 BB1C1C. (1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高. 今日之事 勿拖到明日 27

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7、 (2014?江苏)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证: (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

8、 (2013?辽宁)如图,AB 是圆 O 的直径,PA⊥圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)若 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC.

9、 (2013?安徽)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,已知 PB=PD=2,PA= . (Ⅰ)证明:PC⊥BD (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P﹣BCE 的体积. 今日之事 勿拖到明日 28

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10、 (2014?潍坊模拟)如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点, 且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求证;AE∥平面 BFD; (Ⅲ)求三棱锥 C﹣BGF 的体积.

11、 (2014?漳州模拟)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 CD 上的点且 ,PH 为△PAD 中 AD 边上的高.

(Ⅰ)证明:PH⊥平面 ABCD; (Ⅱ)若 PH=1, ,FC=1,求三棱锥 E﹣BCF 的体积.

12、 (2014?梅州一模) 如图, 在直角梯形 ABEF 中, 将四边形 DCEF 沿 CD 折起, 使∠FDA=60°, 得到一个空间几何体如图所示. (1)求证:BE∥平面 ADF; (2)求证:AF⊥平面 ABCD; 今日之事 勿拖到明日 29

用心教育 028-87809051——对学生负责,让家长放心——高三数学 (3)求三棱锥 E﹣BCD 的体积.

13. 【2015 高考北京, 文 18】 (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 V ? ??C 中, 平面 V?? ? 平面 ??C , ?V?? 为等边三角形,

?C ? ?C 且 ?C ? ?C ? 2 , ? , ? 分别为 ?? , V? 的中点.
(I)求证: V? // 平面 ??C ; (II)求证:平面 ??C ? 平面 V?? ; (III)求三棱锥 V ? ??C 的体积.

14.【2015 高考山东,文 18】 如图,三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE,G,H 分别为

AC,BC 的中点.
(I)求证: BD / / 平面 FGH ; (II)若 CF ? BC,AB ? BC, 求证:平面 BCD ? 平面 EGH .

15.【2015 高考四川,文】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母 F,G,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)

今日之事

勿拖到明日

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用心教育 028-87809051——对学生负责,让家长放心——高三数学 (Ⅱ)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明:直线 DF ? 平面 BEG

D E

C

G E

A

B F D A B C

H

16.【2015 高考新课标 1,文 18】 (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD , (I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120? , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为 积.

6 ,求该三棱锥的侧面 3

今日之事

勿拖到明日

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