nbhkdz.com冰点文库

第3章


考什么 1.理解同角三角函数的

怎样考

基 本 关 系式 : sin2x + 1.利用同角三角函数的 sin x 2 cos x=1, =tan x.基本关系及诱导公式求 cos x 2.能利用单位圆中的三 值或化简三角函数式是 考查重点. π 角函数线推导出 ± α, 2 2.主要以选择题、填空 π±α 的正弦、余弦、正 题的形式考

查. 切的诱导公式.

1.同角三角函数的基本关系式
2 2 2

(1)平方关系:sin α+cos α=1,其等价形式为:sin α=1 -cos α,cos α=
2 2
1-sin2α

.

(2)商数关系: =
cos_αtan_α

sin α cos α=tan α

,其等价形式为:sin α

sin α ,cos α= . tan α

2.角的对称

相关角的终边 α 与 π+α

对称性 关于 原点 对称 关于 y轴 对称 关于 x 轴对称 关于直 线
y=x

α 与 π-α α 与-α(或 2π-α) π α 与 -α 2

对称

3.六组诱导公式

组数

角 正弦
余弦 正切 口诀

一 2kπ+ α (k ∈ Z )











π+α
-sin_α

-α
-sin α
cos_α

π-α sin α

π- α π + α 2 2
cos_α

sin α

cos α
-sin_α

cos α -cos α tan α tan α

-cos sin α α
-tan_α

-tan α

函数名不变符号看象限

函数名改变 符号看象限

1 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin α

?1? 1 2 ? ?2 [解析] (1)∵sin α+cos α= ,∴(sin α+cos α) =? ? , 5 ?5?

1 24 即 1+2sin αcos α= , ∴2sin αcos α=- , 25 25

24 49 ∴(sin α-cos α) =1-2sin αcos α=1+ = . 25 25
2

12 ∵sin αcos α=- <0 且 0<α<π,∴sin α>0,cos α<0, 25 7 ∴sin α-cos α>0,∴sin α-cos α= , 5

? ?sin ? 由? ? sin ? ?

α+cos α-cos

1 α= , 5 7 α= , 5

? ?sin ? 得? ? cos ? ?

4 α= , 5 3 α=- , 5

4 ∴tan α=- . 3

2 2 sin α + cos α 1 (2) 2 = 2 2 cos α-sin α cos α-sin2 α sin 2α+cos2 α 2 2 tan α+1 cos α 4 = 2 = , ∵tan α=- , 2 2 3 cos α-sin α 1-tan α cos2 α

? 4? ? ?2 2 - ? +1 tan α+1 ? 3 1 25 ? ? ∴ 2 = = ? 4? =- 7 . 2 2 cos α-sin α 1-tan α 1-?- ?2 ? 3? ? ?

小结 (1)对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个 式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化

的公式为(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;(2)关于sin α,
cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子.

sin α+3cos α 2 1.(1)(2013· 潍坊模拟)已知 =5,则 sin α-sin αcos 3cos α-sin α α 的值是( D.2 cos α (2)(2013· 长沙模拟)若角 α 的终边落在第三象限,则 2 + 1-sin α 2 )A. 5 2 B.- 5 C.-2

2sin α 2 的值为( 1-cos α

)A.3

B.-3

C.1

D.-1

sin α+3cos α tan α+3 解析:(1)由 =5 得 =5,∴tan α=2, 3cos α-sin α 3-tan α sin α - sin α cos α tan α - tan α 2 2 则 sin α-sin αcos α= 2 = =. 2 2 sin α+cos α tan α+1 5
2 2

(2)由条件知 sin α<0,cos α<0, 则 + = + =-3. 2 2 1-sin α 1-cos α -cos α -sin α cos α 2sin α cos α 2sin α

? π? 5 ? ? (2013· 肥城模拟)已知 sin?α+ ?=- ,α∈(0,π), 5 ? 2? ?π α? ?π α? ? ? 2? 2? cos ? + ?-cos ? - ? ?4 2 ? ?4 2 ?

? ? 3π ? ? (1)求 的值;(2)求 cos?2α- ?的值. 4? sin?π-α?+cos?3π+α? ?

[解析]

? π? ? (1)∵sin?α+ ? =- 2? ? ?

5 5 ,∴cos α=- 、又 α∈(0,π), 5 5

2 5 ∴sin α= . 5
? ? ? π α α? α? α? ? ? ? 2?π 2?π 2?π cos ? + ?-cos ? - ? cos ? + ?-sin ? + ? 4 2 2? 2? 2? ?4 ?4 ?4 = sin? π-α?+cos?3π+α? sin α-cos α
2

2 = = =- . 3 sin α-cos α sin α-cos α 5 2 5 4 (2)∵cos α=- ,sin α= ,α∈(0,π)? sin 2α=- , 5 5 5 3 cos 2α=- , 5
? 3π? ? cos?2α- ? ? =- 4 ? ?

?π ? ? cos? +α? ? ?2 ?

-sin α

2 2 2 cos 2α+ sin 2α=- . 2 2 10

小结 (1)诱导公式的应用原则:负化正、大

化小,化到锐角为终了.
(2)化简前,注意分析角的结构特点, 选择恰当的公式和化简顺序.

?31π? sin?π-α?cos?2π-α? ? ? 2.已知 f(α)= ? ? ,求 f? ?. ? 3 ? ?π ? sin? +α?tan?π+α? ?2 ?

sin αcos α 解析:f(α)= =cos α, cos αtan α
?31π? ? ? 31 π π 1 ? ? ? ? ∴f? ?=cos π=cos?10π+ ?=cos = 3 3? 3 2 ? 3 ? ?

.

? ? 1 1 1 ? ? 求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ?1+ ?= + . ? tan θ? sin θ cos θ

[证明]

? ? sin θ ? ? 左边=sin θ?1+ ?+cos cos θ? ?

? ? cos θ ? ? θ?1+ ? sin θ ? ?

2 ? ? 2 ? sin2θ cos2θ ? cos θ sin θ? ? ? ? =sin θ+ +cos θ+ =?sin θ+ ?+?cos θ+ cos θ sin θ ? sin θ ? ? cosθ ? ?

sin θ+cos θ cos θ+sin θ 1 1 = + = + =右边. sin θ cos θ sin θ cos θ
2 2 2 2

小结 证明三角恒等式的原则是由繁到简,常用的方 法有: ①从一边开始证明等于另一边,即化简左边, 使左边=右边; ②证明左、右等于同一个式子; ③变更论证,即通过化除为乘、左右相减等转 化成与原结论等价的式子.

3.已知sin(α+β)=1, 求证:tan(2α+β)+tan β=0.
π 证明:∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+ (k∈Z). 2 π ∴α=2kπ+ -β(k∈Z),∴tan(2α+β)+tan β 2 π =tan[2(2kπ+ -β)+β]+tan β 2
=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(π-β)+tan β =tan(4kπ+π-β)+tan β=-tan β+tan β=0,

∴tan(2α+β)+tan β=0得证.

课堂练习

?π ? ? ? 1.(1)已知 cos? +α?= ?6 ?

3 5π ,则 cos( -α)=________. 3 6
?π ? 2 ? ? cos ? -α? = ,则 ?6 ? 3

(2)(2013· 淮北调研 ) 已知 ________.
?π ? ? 解析:(1)cos? +α? ?= ?6 ?

? ? 2π ? ? sin ?α- ? = 3? ?

3 , 3 3 . 3

? ?π ?? ?5π ? ?π ? ? ? ?? ? ? ? ∴cos? -α?=cos?π-?6+α??=-cos? +α? ?=- 6 6 ? ? ?? ? ? ? ?

?π ? ? ? ? ? π ?π ? 2π π 2π ? ? ? ? ? ? ? ? (2)∵? -α?+?α- ?=- ,∴-?α- ?= +? -α?. 3? 2 3 ? 2 ?6 ? ?6 ? ? ? ? ? ?? ?π ?π ?? ? ? 2π 2π ? ? ?? ? ? ?? ? ? ∴sin?α- ?=-sin?-?α- 3 ??=-sin?2+?6-α ?? 3? ? ? ?? ? ? ?? ? ?π ? 2 ? ? =-cos? -α?=- . 3 ?6 ?

课堂小结(略)


第3章练习答案

第3章练习答案_理学_高等教育_教育专区。乐山师范学院化学学院 概率论与数理统计...{?1 , ?2 , ?3 , ?4 , ?5 , ?6 , ?7 , ?8 } 令? 代表击中...

第3章控制指南

第3章控制指南_医药卫生_专业资料。第三章 与品种和加工相关的潜在危害 第三章 与品种和加工相关的潜在危害 本指南体现了美国食品药品管理局(FDA)在该领域的一些...

复变函数习题答案第3章习题详解

复变函数习题答案第3章习题详解_理学_高等教育_教育专区。第三章习题详解 1. 沿下列路线计算积分 ∫ 3+ i 0 z 2 dz 。 1) 自原点至 3 + i 的直线段...

第3章例题

第3 章例题 例 1.袋内装有五个白球,三个黑球。从中任取两个球,求取出的两个球都是白 球的概率。 2 n ? C 5 ?3 ,组成所求事件 A(取到两个白球...

第3章 作业

第​3​章​ ​作​业 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 离​散​答​案练习3.1 3。学校为学生提供 3 门计算机硬件课程,4 门计算机程序设计...

第3章(30-56)

第3章(30-56)_兵器/核科学_工程科技_专业资料。第 3001 图转向箱和主机架 Fig.3001 STEERING CASE AND MAIN FRAME 114 转向箱和主机架 STEERING CASE AND MA...

第3章 参考答案

第3章 确定性推理部分参考答案 3.8 判断下列公式是否为可合一,若可合一,则求出其最一般合一。 (1) P(a, b), P(x, y) (2) P(f(x), b), P(y,...

第3章部分作业答案

第3章部分作业答案_工学_高等教育_教育专区。第三章 部分作业答案 第三章 部分作业答案 3.2.5 图 3.06 所示的各电路在换路前都处于稳态,试求换路后电流 i...

第3章例题

第3章例题_财会/金融考试_资格考试/认证_教育专区。MATLAB基础与实例教程--实例第3 章 例题例 3.3.1 在 MATLAB 中创建实数矩阵 A 与复数矩阵 B 。 在命令...

第3章作业题

第3 章作业题 3-3 砂土置于一容器中的铜丝网上,砂样厚 25cm,由容器底导出一水压管,使 管中水面高出容器溢水面 h。若砂样孔隙比 e=0.7,颗粒重度 rs=26...