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第3章


考什么 1.理解同角三角函数的

怎样考

基 本 关 系式 : sin2x + 1.利用同角三角函数的 sin x 2 cos x=1, =tan x.基本关系及诱导公式求 cos x 2.能利用单位圆中的三 值或化简三角函数式是 考查重点. π 角函数线推导出 ± α, 2 2.主要以选择题、填空 π±α 的正弦、余弦、正 题的形式考

查. 切的诱导公式.

1.同角三角函数的基本关系式
2 2 2

(1)平方关系:sin α+cos α=1,其等价形式为:sin α=1 -cos α,cos α=
2 2
1-sin2α

.

(2)商数关系: =
cos_αtan_α

sin α cos α=tan α

,其等价形式为:sin α

sin α ,cos α= . tan α

2.角的对称

相关角的终边 α 与 π+α

对称性 关于 原点 对称 关于 y轴 对称 关于 x 轴对称 关于直 线
y=x

α 与 π-α α 与-α(或 2π-α) π α 与 -α 2

对称

3.六组诱导公式

组数

角 正弦
余弦 正切 口诀

一 2kπ+ α (k ∈ Z )











π+α
-sin_α

-α
-sin α
cos_α

π-α sin α

π- α π + α 2 2
cos_α

sin α

cos α
-sin_α

cos α -cos α tan α tan α

-cos sin α α
-tan_α

-tan α

函数名不变符号看象限

函数名改变 符号看象限

1 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin α

?1? 1 2 ? ?2 [解析] (1)∵sin α+cos α= ,∴(sin α+cos α) =? ? , 5 ?5?

1 24 即 1+2sin αcos α= , ∴2sin αcos α=- , 25 25

24 49 ∴(sin α-cos α) =1-2sin αcos α=1+ = . 25 25
2

12 ∵sin αcos α=- <0 且 0<α<π,∴sin α>0,cos α<0, 25 7 ∴sin α-cos α>0,∴sin α-cos α= , 5

? ?sin ? 由? ? sin ? ?

α+cos α-cos

1 α= , 5 7 α= , 5

? ?sin ? 得? ? cos ? ?

4 α= , 5 3 α=- , 5

4 ∴tan α=- . 3

2 2 sin α + cos α 1 (2) 2 = 2 2 cos α-sin α cos α-sin2 α sin 2α+cos2 α 2 2 tan α+1 cos α 4 = 2 = , ∵tan α=- , 2 2 3 cos α-sin α 1-tan α cos2 α

? 4? ? ?2 2 - ? +1 tan α+1 ? 3 1 25 ? ? ∴ 2 = = ? 4? =- 7 . 2 2 cos α-sin α 1-tan α 1-?- ?2 ? 3? ? ?

小结 (1)对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个 式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化

的公式为(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;(2)关于sin α,
cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子.

sin α+3cos α 2 1.(1)(2013· 潍坊模拟)已知 =5,则 sin α-sin αcos 3cos α-sin α α 的值是( D.2 cos α (2)(2013· 长沙模拟)若角 α 的终边落在第三象限,则 2 + 1-sin α 2 )A. 5 2 B.- 5 C.-2

2sin α 2 的值为( 1-cos α

)A.3

B.-3

C.1

D.-1

sin α+3cos α tan α+3 解析:(1)由 =5 得 =5,∴tan α=2, 3cos α-sin α 3-tan α sin α - sin α cos α tan α - tan α 2 2 则 sin α-sin αcos α= 2 = =. 2 2 sin α+cos α tan α+1 5
2 2

(2)由条件知 sin α<0,cos α<0, 则 + = + =-3. 2 2 1-sin α 1-cos α -cos α -sin α cos α 2sin α cos α 2sin α

? π? 5 ? ? (2013· 肥城模拟)已知 sin?α+ ?=- ,α∈(0,π), 5 ? 2? ?π α? ?π α? ? ? 2? 2? cos ? + ?-cos ? - ? ?4 2 ? ?4 2 ?

? ? 3π ? ? (1)求 的值;(2)求 cos?2α- ?的值. 4? sin?π-α?+cos?3π+α? ?

[解析]

? π? ? (1)∵sin?α+ ? =- 2? ? ?

5 5 ,∴cos α=- 、又 α∈(0,π), 5 5

2 5 ∴sin α= . 5
? ? ? π α α? α? α? ? ? ? 2?π 2?π 2?π cos ? + ?-cos ? - ? cos ? + ?-sin ? + ? 4 2 2? 2? 2? ?4 ?4 ?4 = sin? π-α?+cos?3π+α? sin α-cos α
2

2 = = =- . 3 sin α-cos α sin α-cos α 5 2 5 4 (2)∵cos α=- ,sin α= ,α∈(0,π)? sin 2α=- , 5 5 5 3 cos 2α=- , 5
? 3π? ? cos?2α- ? ? =- 4 ? ?

?π ? ? cos? +α? ? ?2 ?

-sin α

2 2 2 cos 2α+ sin 2α=- . 2 2 10

小结 (1)诱导公式的应用原则:负化正、大

化小,化到锐角为终了.
(2)化简前,注意分析角的结构特点, 选择恰当的公式和化简顺序.

?31π? sin?π-α?cos?2π-α? ? ? 2.已知 f(α)= ? ? ,求 f? ?. ? 3 ? ?π ? sin? +α?tan?π+α? ?2 ?

sin αcos α 解析:f(α)= =cos α, cos αtan α
?31π? ? ? 31 π π 1 ? ? ? ? ∴f? ?=cos π=cos?10π+ ?=cos = 3 3? 3 2 ? 3 ? ?

.

? ? 1 1 1 ? ? 求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ?1+ ?= + . ? tan θ? sin θ cos θ

[证明]

? ? sin θ ? ? 左边=sin θ?1+ ?+cos cos θ? ?

? ? cos θ ? ? θ?1+ ? sin θ ? ?

2 ? ? 2 ? sin2θ cos2θ ? cos θ sin θ? ? ? ? =sin θ+ +cos θ+ =?sin θ+ ?+?cos θ+ cos θ sin θ ? sin θ ? ? cosθ ? ?

sin θ+cos θ cos θ+sin θ 1 1 = + = + =右边. sin θ cos θ sin θ cos θ
2 2 2 2

小结 证明三角恒等式的原则是由繁到简,常用的方 法有: ①从一边开始证明等于另一边,即化简左边, 使左边=右边; ②证明左、右等于同一个式子; ③变更论证,即通过化除为乘、左右相减等转 化成与原结论等价的式子.

3.已知sin(α+β)=1, 求证:tan(2α+β)+tan β=0.
π 证明:∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+ (k∈Z). 2 π ∴α=2kπ+ -β(k∈Z),∴tan(2α+β)+tan β 2 π =tan[2(2kπ+ -β)+β]+tan β 2
=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(π-β)+tan β =tan(4kπ+π-β)+tan β=-tan β+tan β=0,

∴tan(2α+β)+tan β=0得证.

课堂练习

?π ? ? ? 1.(1)已知 cos? +α?= ?6 ?

3 5π ,则 cos( -α)=________. 3 6
?π ? 2 ? ? cos ? -α? = ,则 ?6 ? 3

(2)(2013· 淮北调研 ) 已知 ________.
?π ? ? 解析:(1)cos? +α? ?= ?6 ?

? ? 2π ? ? sin ?α- ? = 3? ?

3 , 3 3 . 3

? ?π ?? ?5π ? ?π ? ? ? ?? ? ? ? ∴cos? -α?=cos?π-?6+α??=-cos? +α? ?=- 6 6 ? ? ?? ? ? ? ?

?π ? ? ? ? ? π ?π ? 2π π 2π ? ? ? ? ? ? ? ? (2)∵? -α?+?α- ?=- ,∴-?α- ?= +? -α?. 3? 2 3 ? 2 ?6 ? ?6 ? ? ? ? ? ?? ?π ?π ?? ? ? 2π 2π ? ? ?? ? ? ?? ? ? ∴sin?α- ?=-sin?-?α- 3 ??=-sin?2+?6-α ?? 3? ? ? ?? ? ? ?? ? ?π ? 2 ? ? =-cos? -α?=- . 3 ?6 ?

课堂小结(略)


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