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2013年第九届“IMC国际数学竞赛”(七年级)初赛详解

时间:2013-03-21


七年级初赛试题解答
姓名_____________ 一、填空题 I(每小题 6 分,共 60 分) 1、已知 a ? b ,要使 ?bm ? ? am 成立,则 m 的取值范围为_________; 【答案】m<0 【解析】根据不等式的基本性质,在 a ? b 两边同时乘以?m 得到:?bm<?am,从而得到:?m>0,即 m<0; 学校_____________ 得分____________

2、已知数轴上从左到右依次有 A、B、C 三个不同的点,点 A 表示的数为 0,AB=4,BC=8,P 点为 AC 的 中点,则 P 点表示的数为_________; 【答案】6 【解析】根据题意画出数轴,分析得到:点 B 表示的数为 4,点 C 表示的数为 12,所以 AC 的中点为 6;

3、方程|x+1|=2 的其中一个解是方程 mx+1=0 的解,则 m 的值等于_________; 【答案】?1 或

1 3

1 【解析】解方程|x+1|=2 得:x?1 或?3,代入方程 mx+1?0 得,m??1 或 ; 3

4、已知 x?2 是方程 ax ? 3bx ? 6 ? 0 的解,则 3a ? 9b ? 5 的值为_________; 【答案】?14 【解析】把 x?2 代入 ax ? 3bx ? 6 ? 0 得:2a?6b?6?0,所以 a+3b=?3,所以 3a+9b?5=?14;

?x ? 2 ?ax ? by ? 7 5、若 ? 是方程组 ? 的解,请用含 a 的代数式表示 c 为_________; ? bx ? cy ? 5 ?y ?1

【答案】4a?9
? 2a ? b ? 7 【解析】由方程组的解的定义可知: ? ,消元 b 得到:4a?c?9,所以 c?4a?9; ? 2b ? c ? 5

6、已知 x +4y-3z=0,且 4x-5y +2z=0,则 x:y:z =___:___:___;
1

【答案】1:2:3
z ? ?x ? 3 ? x ? 4 y ? 3z ? 【解析】根据题意可以构造关于 x,y 的方程组: ? ,解得: ? ,从而得到 x:y:z=1:2:3; 4 x ? 5 y ? ?2 z ? ? y ? 2z ? 3 ?

7、桌面上摆着一些相同的小正方体木块,从正南方向看如图 a,从正西方向看如图 b,那么桌面上至少有 _________块这样的小正方体木块; 【答案】6 【解析】由已给视图可知至少有 6 块。 右图给出了由 6 块小正方体木块组成的满足 条件的方案; 图a 图b

8、如图,它是一个正方体的展开图,若此正方体的相对面上的数互为相反数,则 a?(b?c)=_________; 【答案】6 【解析】由题意得:a??2,b??7,c?1,所以,原式?6; c 7 2 ?1 a 第 8 题图 b

9、如图,把一副三角板叠合在一起,使直角顶点重合于 O,∠AOD=20° ,则∠AOC+∠AOD=_______; 【答案】130? 【 解 析 】 由 题 意 得 : ∠BOC?∠AOD?20° 所 以 ∠AOC?110° 所 以 , , ∠AOC?∠AOD?130° ; A D 第 9 题图 B C O

10、如图,从左到右,在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相 等,可求得 c=_______,第 2013 个格子中的数为_________; 【答案】3、2 【解析】由题意得:3?a?b?a?b?c?b?c?(?1),得到 c?3,a??1,进一 步得到 b?2,从而得到三个数 3,?1,2 循环出现,这样第 2013 个数为 2;
2

二、填空题 II(每小题 8 分,共 40 分) 11、已知|x|?1,|y|?2,且|x+y|?x+y,则 x?y 的值等于________. 【答案】1 或 3 【解析】由题意得:x?± 1,y?± 2,而 x?y 0,所以 x?y?1 或 3. 12、已知数轴上有 A、B、C 三点,分别代表?24,?10,10,一只蜗牛从 A 向 C 运动,它的速度为 4 个单 位/秒。当这只蜗牛到 A、B、C 的距离和为 40 个单位时所用的时间为________; 【答案】2 或 5 【解析】根据题意画出数轴进行分析,显然这只蜗牛的位置只能在 AB 之间或 BC 之间,设蜗牛用时 x 秒, 则蜗牛的位置点表示的数为?24?4x; 当它在 AB 之间时:34?(?10)?(?24?4x)?40,解得:x?2; 当它在 BC 之间时:34?(?24?4x)?(?10)?40,解得:x?5;

?2 x ? y ? 1 ? m 13、在方程组 ? 中,若未知数 x 、 y 满足 x ? y ? 0 ,则非负整数 m 的取值为________; ?x ? 2 y ? 2

【答案】0、1、2 【解析】解方程组得:x?y?3?m,进一步得到:3?m>0,则 m<3,所以 m?0、1、2;

14、在全体实数中引进一种新的运算?,其规定如下: 1)对任意实数 a、b,有 a?b=(a?1)· (b?1); 2)对任意实数 a,有 a?2=a?a.

当 x=2 时,[3? (x?2)]?2?x+1 的值为________; 【解析】根据规定进行运算:[3? (x?2)]?2?x?1?[3? (2?2)]?2?2?1?8?3?1?6; 15、观察表 l,找规律.表 2 是从表 l 中截取的一部分,则 a?b?c 的值为________;

1 2 3 4 ……

2 4 6 8 ……

3 6 9 12 ……
表1

4 8 12 16 ……

…… …… …… …… ……
16 20

a b
30 表2

c

【解析】观察表格,得到:c?24,b?25,a?20,a?b?c?69;
3

七年级初赛试题答案
题号 答案 题号 答案 1 m<0 9 130? 2 6 10 2 3 ?1 或 11 1或3 4 5 4a?9 13 0、1、 2 6 1:2:3 14 6 7 6 15 69 8 6

1 3

?14 12 2或5

4


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