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椭圆及其标准方程


椭圆及其标准方程(二)
椭圆的定义 图形 标准方程
2

MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? 2c ? 0) y y
M F 2 F 1 F 1
2

M

o

F2 x

o

x

x y ?

2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

F1(0,-c),F2(0,c) 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) 2 2 2 a ? c ? b (a ? c ? 0, a ? b ? 0) a,b,c的关系 看分母的大小,焦点在分母大 焦点位置的 的那一项对应的坐标轴上. 判断
1

2 2 x y 1.若方程 + = 1 表示椭圆 ,求k的取值范围. k -2 3-k 变式一:若方程表示焦点在x轴上的椭圆呢?

变式二:若方程表示焦点在y轴上的椭圆呢? 变式三:Ax2+By2=C能不能表示一个椭圆呢?

2

2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上 一点P到两焦点距离的和等于10; 变式一:将上题焦点改为(0,-4)、(0,4), 结果如何? 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8,椭圆上一

点P到两焦点的距离和等于10,结果如何?
变式三:已知椭圆的两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和 3 5 ? ,求它的标准方程。 ( 0 ,2),并且经过点P ? ?? , ?
变式四:求焦点在坐标轴上,且经过点 A( 3, ?2) 和 B(?2 3,1) 的椭圆的标准方程。
3

? 2 2?

3.已知椭圆的两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2) 3 5 ? ,求它的标准方程。 ,并且经过点P ? ?? , ?
? 2 2?

解: (法一) 因为椭圆的焦点在y轴上,
2 2 y x 设它的标准方程为 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

∵ c=2,且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点P ∴ ( ) ? (? ) ? 1
5 2 2 2 3 2 2 2

? 3 5? ?? , ? ? 2 2?

y

P
F2

联立①②可求得:a 2 ? 10, b 2 ? 6
y x ? ?1 ∴椭圆的标准方程为 10 6
2 2

a

b

……②

x
F1
4

(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知,
3 2 5 2a ? (? ) ? ( ? 2) 2 ? 2 2 3 1 ? 10 ? 10 2 2 ? 2 10 , ?  a ? 10  . 又c ? 2, ?  b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6.

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
3 2 5 (? ) ? ( ? 2) 2 2 2

y2 x2 ? ? 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6

方法小结:求椭圆的标准方程的步骤: (1)首先要判断焦点位置,设出标准方程(先定位) (2)根据椭圆定义或待定系数法求a,b (后定量)

5

4.求焦点在坐标轴上,且经过点 A( 3, ?2) 和 B(?2 3,1) 的椭圆的标准方程。

分析:题没有明确焦点在 X 轴还是 Y 轴上, 所以要分类讨论。
解法一:

x2 y 2 (1)若焦点在 X 轴上,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 a b (a ? b ? 0) 由点 A( 3, ?2) 和 B(?2 3,1) 代入得 4 ?3 ? 2 ?1 2 2 2 2 ? ? a ? 15 x y ? ?a b ?1 ,解得 ? 2 ,得椭圆方程 ? ? 15 5 ? ?b ? 5 ? 12 ? 1 ? 1 6 ? ? a 2 b2

4.求焦点在坐标轴上,且经过点 A( 3, ?2) 和 B(?2 3,1) 的椭圆的标准方程。
x2 y 2 (2)若焦点在 Y 轴上,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 b a (a ? b ? 0) 由点 A( 3, ?2) 和 B(?2 3,1) 代入得 4 ?3 ? 2 ?1 2 2 ? ? a ? ?5 ?b a ,解得 ? 2 ,与 a ? b ? 0 矛盾,舍去 ? ? ?b ? 15 ?12 ? 1 ? 1 ? ? b2 a 2 2 2 x y ?1 故所求的椭圆方程 ? 15 5
7

4.求焦点在坐标轴上,且经过点 A( 3, ?2) 和 B(?2 3,1) 的椭圆的标准方程。
解法二:设椭圆的方程为 mx2 ? ny 2 ? 1,(m ? 0, n ? 0) 由点 A( 3, ?2) 和 B(?2 3,1) 代入得 1 ? m? ? ?3m ? 4n ? 1 ? 15 ,解得 ? , ? ?12m ? n ? 1 ?n ? 1 ? 5 ? x2 y 2 ?1 故所求的椭圆方程 ? 15 5

8

2 2 x + y = 4 上的点的横坐标保持不变, 例1 将圆

纵坐标变为原来的一半,求所得的曲线的方程, 并说明它是什么曲线.

解:设所得曲线上任一点坐标为M(x,y),圆上的 对应点的坐标P(x1,y1), y
对比P50 T1 ?x1 = x 由题意可得: ? y1 = 2y ? 2 2 ∵ x1 + y1 = 4 2 x 2 2 2 +y =1 ∴ x + 4y = 4 即 4
P

M

o

x

这是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆. 相关点分析法:利用中间变量求曲线方程.
9

例 2:如图, 设点 A 、B 的坐标分别为(-5,0), (5,0)直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的 斜率之积是-4/9,求点 M 的轨迹方程. 4 y 解:设 M(x,y),则 k AM ? k AN ? ? M 9 y k AM ? ( x ? ?5) , x?5 A B x O y k AN ? ( x ? ? 5) 对比 P42 x? 5 T4
y y 4 ? ? ? ( x ? ?5) x?5 x?5 9 x2 y 2 化简得点 M 的轨迹方程 ? 100 ? 1( x ? ?5) 25 9

10

例 3.点 M (x, y ) 与定点 F (4,0) 的距离和它到

25 4 直线 l : x ? 的距离比是个常数 ,求点 M 4 5
的轨迹方程。
椭圆的第二定义

25 ? x|, 解:设 M 到直线 l 的距离为 d ,则 d ?| 4 | MF | 4 T3 | MF |? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 对比P50 ? 且 d 5 2 2 2 2 x y ( x ? 4) ? y 4 化简得 ? ?1 ? 得 25 9 25 5 | ?x| 4
点 M 的轨迹方程是椭圆。
11

练习:1.平面内两个定点的距离是8, 写出到这 两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程. 解: 这个轨迹是一个椭圆, 两个定点是焦点,用 F1, F2表示, 取过点F1和F2的直线为x轴, 线段 F1F2的垂直平分线为y轴.

∵ 2a=10, 2c=8, ∴ a=5, c=4,
∴ b2=a2-c2=9, b=3,

因此,这个椭圆的标准方程是

x y 即 ? ? 1 2 2 5 3

2

2

x y ? ? 1 (定义法) 25 9
12

2

2

练习:2.已知动点 P 到点 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) 的 距离之和为 12,求动点 P 的轨迹方程 .
解:由椭圆定义可知 ,动点 P 的轨迹是椭圆 , 且焦点是 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) ,∴ c ? 2 . ∵ PF1 ? PF2 ? 12 ,∴ 2a ? 12 ,∴ a ? 6 , ∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 36 ? 4 ? 32 2 2 x y ∴所求的轨迹方程为 ? ? 1. 32 36

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练习:3.已知 B 、C 是两个定点, BC ? 6 ,且 △ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图 ,以直线 BC为 x 轴 ,线段 BC 的中点为原点 ,建立 平面直角坐标系 ,则 B(?3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
∵ AB ? AC ? BC ? 16 , ∴ BA ? CA ? 10 .
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程得: ? ?1 25 16

又∵ A、B、 C 三点不共线,∴ y ? 0 .
x y ? ? 1( y ? 0) ∴所求的点的轨迹方程为 25 16
2 2
14

作业
P49 习题 A组 T6 T7

B组 T1 T2 T3

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