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平面向量数量积的物理背景及几何意义a (1)


2.4.1 平面向量数量积 物理背景及其含义

已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量a与b的夹角。
B

θ
O

A

当θ=0°时,a与b同向;

O

A

/>B

当θ=180°时,a与b反向; A 当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.
B

O
b O a A

B

情景引入

一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)
F

θ
S

那么力F所做的功W为: W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念。

数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ,它们的夹 ? ? 角为? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做a 与 b 的数量积(或内积),记作a · ,即 b

? ? ? ? a ? b ? a b cos ?
注 意 (2) a · b不能写成a×b ,‘· ’不能省.
(1)两向量的数量积是一个数量,

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时 a· b为正; 当90°<θ ≤180°时 a· b为负。 当θ =90°时 a· b为零。

例题讲解
例1.已知 ? ? 120? ,求 a ? b .
? ? =5, b a ? ?

? ? =4,a 与 b 的夹角
答案: 10 ?
?

变式:如图的菱形ABCD中,角A等于 60 , AB=2,求下列各数量积. B ??? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? AB ? AD, AB ? BC , AB ? CD ??? ???? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? A AB ? DC , BA ? BC , AC ? BD.

C

答案:2;2;-4;4;-2;0.

D

? ? ? ? 例2 已知 a =(1,1), b =(2,0),求 a ? b。
? ? 解: ? 2, b ? 2,? ? 450 a

? ? ? ? a ? b ? a b cos ? ? 2 ? 2 ? cos 450 ? 2

? ? ? ? 是非零向量, e 是与b 方向相同的 设 a、b ? ? 单位向量, 是a与e 的夹角,则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ? (1)e ? a ? a ? e ?|? | cos ? ? a ? ? (2)a ? b ? a ? b ? 0 判断垂直的又一条 件 ? ? ? ? ? ? B (3)当a与b 同向时,a ? b ?| a || b |; b
O

θ

B1 a

A

? ? ? ? ? ? 当a与b 反向时,a ? b ? ? | a || b |;

特别地
求 角

? a ?b (4) cos? ? ? ? | a || b |

? ? ?2 ? ? ? a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ?

? ? ? ? (5) | a ? b |?| a || b |

?2 ? a 求模的方法

证明不等式及求函数的最值

数量积的几何意义
物理上力所做的功实际上是将力正交分解, 只有在位移方向上的力做功.
F θ

s

对非零向量a与b,定义| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影. | a | cosθ叫 向量a在b 方向上的投影.

数量积的几何意义 ? ??? ? ??? ? ? 作OA ? a, ? b,过点B作BB1 ? 直线OA OB 则 OB1 的数量是| b | cosθ (不是向量)
B B B

b

b

b

?
O B1 a A
B1

?
O

?
a
A O a A

θ为锐角时, | b | cosθ>0

θ为钝角时, | b | cosθ<0

θ为直角时, | b | cosθ=0

a· b的几何意义:数量积a · b等于a的长度 |a|与b在a的方向上投影|b|cos?的乘积。

数量积的运算律
回顾实数运算中有关的运算律,类比数 量积得运算律:
交换律:
在实数中 ab=ba 在向量运算中
a ?b ? b? a

(√ )

结合律: (ab)c=a(bc)

( ×) (? a)? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b) ( √ )
(a ? b)? c ? a ? c ? b ? c

(a ? b)c ? a(b ? c)

分配律: (a+b)c=ab+bc

(√ )

消去律: ab=bc(b≠0) ? a=c
a ? b ? b ? c(b ? 0) ? a ? c

(×)

数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数 ? ,则:

? ? ? ? (1)???a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)??(? a) ? b ? ? (?a ? b) ? a ? (? b) ? ? ? ? ? ? ? (3)??? a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量分 别是OM、MN、 ON,
a
b a+b O M

N c

则: (a + b) · = ON |c| c = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c|

= a· + b· . c c

典型例题 例1.已知向量a,b,求证下列各式
? ? 2 ?2 ? ? ?2 ()(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b 1 ? ? ? ? ? 2 ?2 (2)??(a ? b) ? (a ? b) ? a ? b

证明:(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b)

=(a+b)· a+(a+b)· b

=a· a+b· a+a· b+b· b
=a2+2a· 2. b+b
(2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b =a· a+b· a-a· b-b· b =a2-b2.

向量的数量积运算类似于多项式运算

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 解:(1). a ? 2b) ? (a ? 3b) ? a ? a ? b ? 6b ( ?2 ? ? ?2 ? a ? a ? b ? cos ? ? 6 b ? ?72
? ? ?2 ? ? ?2 (2) a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4b ? 2 37

? ? 例2.( P105例3)已知 | a |? 6,| b |? 4, ? ? ? ? ? ? ? a与b夹角为60 , 求: a ? 2b) ? (a ? 3b) (1)( ? ? (2)?? a ? 2b | .

? ? 例(P105例4)已知 | a |? 3,| b |? 4, 3. ? ? ? ? ? ? 且a与b不共线.k为何值时, (a ? kb) ? (a ? kb)?
解:a+kb与a-kb互相垂直的条件是 ( a+kb)·(a-kb)=0 即a2-k2b2=0 9-16 k 2 =0
3 ? 4

所以,k=

?? ?? ? 例4、已知单位向量e1 , e2的夹角为600, ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 求向量a ? 2e1 ? e2与b ? 2e1 ? 3e2的夹角?。
?? ?? ? ?? ?? ? 1 0 解: e1 ? e2 ? e1 ? e2 cos 60 ? ? 2 ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? 2 ? a ? b ? (2e1 ? e2 ) ? (2e1 ? 3e2 ) ? ?6e1 ?? ?? ? ?? 2 ? 7 ? e1 ? e2 ? 2e2 ? ? . 2 ?2 ?? ?? 2 ? ?? 2 ?? ?? ?? 2 ? ? 又a ? (2e1 ? e2 ) ? 4e1 ? 4e1 ? e2 ? e2 ? 7 ?2 ?? ?? 2 ? ?? 2 ?? ?? ? ?? 2 ? b ? (2e1 ? 3e2 ) ? 4e1 ? 12e1 ? e2 ? 9e2 ? 7 ? ? ? ? a ?b 1 ? a ? b ? 7 ? cos ? ? ? ? ? ? 2 a?b ? 0 ? ? ? ? ,?? ? 2? 3

?? ? ? ? ? 变式:已知a.b都是非零向量,且a ? 3b与7a ? 5b ? ? ? ? ? ? 垂直,? 4b与7a ? 2b垂直, 求a与b的夹角。 a ? ? ? ? 解:由已知,得(a ? 3b) ? (7 a ? 5b) ? 0 ? ? ? ? (a ? 4b) ? (7 a ? 2b) ? 0, ?2 ? ? ?2 ?2 ? ? ?2 即7 a +16a ? b ? 15b ? 0, 7 a ? 30a ? b ? 8b ? 0 ? ? ?2 ?2 ?2 两式相减,得2a ? b =b ,代入上式,得a =b 1 ?2 ? ? b a ?b 2 ? 1 , ?? ? 600. ? cos ? ? ? ? ? ? 2 2 a?b b

知识回顾:
夹角的范围 数量积 性质
0 ?? ??

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?
? ? ? 或 | a |? a ? a

a· 2 (简写 a2 = |a|2) a=|a|

运算律

(1) a · ? · (交换律) b= b a ? ? ? ? ? (2) (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ? (a ? b )
c+b· (分配律) c (3) (a+b) · = a· c

巩固练习

? ?? 1.已知向量 a, b, c 和实数 ?
判断正误,并说理. ? ?

? ? ? ? × 1.若 a ??b ? 0,则 a, b 中至少有一个为 0 .

?2 ? 2 4. 对任意向量 a 有 a ?| a | √ ? ? ? 5.??? ? 0时, a) ? b与b的方向相同. × (?

2. 若b≠0,a· b=c· ,则a=c b 3. (a· b)c=a(b· c) ×

×

巩固练习

2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a· <0, a· =0时, △ ABC各是什么 b b 三角形?
当a ·b<0时, cos?<0,
为钝角三角形

当a ·b=0时,为直角三角形

3. 在△ABC中a=5,b=8,C=60o, ??? ??? ? ? 求 BC ? CA ?20

思考:用向量方法证明:直径所对的圆 周角为直角。
如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析:要证∠ACB=90°,只须证向 ??? ??? ??? ?? ? 量AC ? CB ,即AC ? CB ? 0 。 ??? ? ??? ? 解:设 AO ? a,OC ? b ? ??? ? ? ??? ? 则 AC ? a ? b ,CB ? a ? b ,

C

B O

由此可得: AC

???

? CB ? a ? b ? a ? b

?? ?

?2 ?2 ? ? ? a ? b ?| a |2 ? | b |2

?

?

?

? ?

?

?

?

? r2 ? r2 ? 0

即 AC ? CB ? 0 ,∠ACB=90°

(2009· 海南、宁夏高考,理9)已知点O、N、P在???? ? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ??? △ABC所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0,

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA, 则点O, N , P依次 是?ABC的( C )
A.重心、外心、垂心 C.外心、重心、垂心 B.重心、外心、内心 D.外心、重心、内心

课后作业:活页练习
预习向量的数量积的坐标表示


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