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山东省高中数学《1.2.1-1任意角的三角函数》教案 新人教A版必修4

时间:2014-04-27


1.2.1 任意角的三角函数(一)
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号) ; (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)了解如何利用与单位圆 有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表 示出来; (4)掌握并能初步运用公式一; (5)

树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为 自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个 定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意 角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函 数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数 .讲解例题,总结方 法,巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于 用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意 角的三角函数的推广, 有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数, 但它对准确 把握三角函数的本质有一定的不利影响, “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟 悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能 得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了 正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法, 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正 弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了 这两个函数之间的关系. 另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密, 这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时 任意角的三角函数(一) 【创设情境】 y 提问:锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示? P (a, b) 借助右图直角三角形,复习回顾. r 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。 ? 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? O M 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那

1

么它的终边在第一象限.在 ? 的终边上任取一点

P(a, b) , 它与原点的距离 r ? a ? b ? 0 . 过 P 作
2 2

a的终边
P(x,y ) O

y

x 轴的垂线 , 垂足为 M , 则线段 OM 的长度为 a , 线 MP b ? ; 段 MP 的长度为 b .则 sin ? ? OP r OM a MP b cos ? ? ? ; tan ? ? ? . OP r OM a

x

P 在 ? 的终边上的位置的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的

思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点

特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:

sin ? ?

思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以 后, 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改, 以利推广到任意角呢?本节课就研究 这个问题――任意角的三角函数. 【探究新知】 1. 探究 : 结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法 , 我们应如何求解任意角的三角函数值 呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似 锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称 以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦(sine),记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦(cossine),记做 cos? ,即 cos? ? x ; (3)

MP ?b; OP

cos ? ?

OM ?a; OP

tan ? ?

MP b ? . OM a

y y 叫做 ? 的正切(tangent),记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x

注意:当α 是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在) ;当α 不是 锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交 点 P ( x, y ) ,从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角 函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我 们只需计算点到原点的距离 r ?

x 2 ? y 2 ,那么 sin ? ?

y x ?y
2 2

, cos ? ?

x x ? y2
2

,

tan ? ?

y .所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 x

数, 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 故三角函数也可以看成实数为自

2

变量的函数. 4.例题讲评 例 1.求

5? 的正弦、余弦和正切值. 3

例 2.已知角 ? 的终边过点 P 0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 教材给出这两个例题, 主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例 2:设 x ? ?3, y ? ?4, 则 r ? 于是 sin ? ?

(?3) 2 ? (?4) 2 ? 5 .

y 4 x 3 y 4 ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? . r 5 r 5 x 3

5.巩固练习 P 17 第 1,2,3 题 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、 余弦和正切函数的定义域填入下表; 再 将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中: 定义域 三角函数 角度制 弧度制 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

sin ?

cos?
tan ?
7.例题讲评 例 3.求证:当且仅当不等式组 {

sin ? ? 0

tan ? ? 0

成立时,角 ? 为第三象限角.

8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?
9.例题讲评 例 4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1) cos 250 ;
?

(其中 k ? Z )

(2) sin( ?

?
4

) ; (3) tan(?672? ) ; (4) tan 3?

例 5.求下列三角函数值:
? '

(1) sin1480 10 ;

(2) cos

9? 11? ) ; (3) tan(? 4 6
? ?

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值 , 转化为求 0 到 2? (或 0 到 360 )角的三
3

角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习 P 17 第 4,5,6,7 题 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域; (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 五、评价设计 1.作业:习题 1.2 A 组第 1,2 题. 2.比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟 练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.

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