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高考真题---函数


函数
1. 已知函数 f ( x) ? x 2 ?
a x ( x ? 0 ,常数 a ? R ) .

(1)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 1 ; (2)讨论函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

2. 记函数 f ( x) ? 2 ? 定义域为 B. (1

) 求 A;

x?3 的定义域为 A , g ( x) ? lg[( x ? a ? 1)(2a ? x)] ( a ? 1 ) 的 x ?1

(2) 若 B ? A , 求实数 a 的取值范围.

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3. 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

2x ? a 2x ? a .

(1)若 a =4,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) ; (2)根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

4. 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求 函数 y ? g ( x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.

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5. 已知函数 f ( x) ? a ? 2x ? b ? 3x ,其中常数 a , b 满足 ab ? 0 。 (1)若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时 x 的取值范围。

6. 已知函数 f ( x) ? 2 x ?

1 . 2| x|

(1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

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7. 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,每
3 小时可获得的利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元.要使生产 900 千克该产品获得的利润 x

最大,问:当生产速度为

时,利润最大,为



8. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为 x、y(单位: m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8m2. 问 x= 省.( 2 ? 1.4142) 、y= (精确到 0.001m) 时用料最

9. 环保部门对某处环境状况进行了测量,据测定,该处的污染指数等于附近污 染源的污染强度与该处到污染源的距离之比.已知相距 30km 的 A,B 两家 化工厂(污染源)的污染强度分别为 1 和 4,它们连线上任意一点处的污染指 数等于两化工厂对该处的污染指数之和.现拟在它们之间的连线上建一个公 园, 为使两化工厂对其污染指数最小, 该公园应建在距 A 化工厂 里处. 公

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10. 已知函数 f ( x) ? kx ? b 的图象与 x, y 轴分别相交于点 A、 B,AB ? 2i ? 2 j( i, j 分别是与 x, y 轴正半轴同方向的单位向量) ,函数 g ( x) ? x 2 ? x ? 6 。 (1)求 k , b 的值; (2)当 x 满足 f ( x) ? g ( x) 时,求函数
g ( x) ? 1 的最小值。 f ( x)

11. 已知函数 f (x)=x2+2x·tanθ-1,x∈ [-1, 3 ],其中 θ∈ ((1)当 θ= -

? 时,求函数 y=f (x)的最大值与最小值; 6

? ? , ). 2 2

(2)求 θ 的取值范围,使 y=f (x)在区间[-1, 3 ]上是单调函数.

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12. 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对任意 x∈ R,有 f(x+T)=T f(x)成立. (1)函数 f(x)= x 是否属于集合 M?说明理由; (2)设函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图象与 y=x 的图象有公共点,证明: f(x)=ax∈ M; (3)若函数 f(x)=sinkx∈ M ,求实数 k 的取值范围.

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13. 已知二次函数 y ? f1 ( x) 的图象以原点为顶点且过点 (1,1) ,反比例函数

y ? f2 ( x) 的图象与直线 y ? x 的两个交点间距离为 8, f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) .
(1) 求函数 f ( x) 的表达式; (2) 证明:当 a ? 3 时,关于 x 的方程 f ( x) ? f (a) 有三个实数解.

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14. 已知函数 y ? x ?

a 有如下性质,如果常数 a>0,那么该函数在(0, a] 上 x

是减函数,在[ a ,??) 上是增函数 (1)如果函数 y ? x ? 实常数 b 的值;
c (1 ? x ? 2) 的最大值和最小值; x c (3)当 n 是正整数时,研究函数 g ( x) ? x n ? n (c ? 0) 的单调性,并说明理由. x

2b 在(0,4 ] 上是减函数,在[4,+∞ ) 上是增函数,求 x

(2)设常数 c∈ [1,4],求函数 f ( x) ? x ?

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15. 若实数 x、y、m 满足|x?m|<|y?m|,则称 x 比 y 接近 m. (1) 若 x2?1 比 3 接近 0,求 x 的取值范围; (2) 对任意两个不相等的正数 a、b,证明:a2b?ab2 比 a3?b3 接近 2ab ab ; (3) 已知函数 f(x)的定义域 D?{x|x≠k?,k?Z,x?R}.任取 x?D,f(x)等于 1?sinx 和 1?sinx 中接近 0 的那个值.写出函数 f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正 周期、最小值和单调性(结论不要求证明)

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16. 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 远离 m . (1)若 x 2 ? 1 比 1 远离 0,求 x 的取值范围; (2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a3 ? b3 比 a 2b ? ab 2 远离 2ab ab ;

?? ? k? ? (3) 已知函数 f ( x) 的定义域 D ? ?? x x ? 任取 x ? D ,f ( x) ? , k ? Z , x ? R? . 2 4 ? ? ?
等于 sin x 和 cos x 中远离 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式,并指出它的基本 性质(结论不要求证明) .

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