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2014年高考数学真题分类汇编理科-三角函数(理科)

时间:2015-12-28


一、 选择题 1. (2014 大纲理 3)设 a ? sin 33? , 则 ( b ? cos 55? , c ? tan 35? , A. a ? b ? c D. c ? a ? b 2.(2014 江西理 4)在 △ ABC 中,内角 A, B, C 所对应的边分别 为 a, b, c .若 c 2 ? ? a ? b ?2 ? 6 , C ? ? ,则 △ ABC 的

面积是(
3

) .

B. b ? c ? a

C. c ? b ? a

).

A. 3

B. 9

3 2

C. 3

3 2

D. 3

3

? ?? 3. (2014 辽宁理 9) 将函数 y ? 3sin ? ? 2 x ? ? 的图像向右平移 个

?

3?

2

单位长度,所得图像对应的函数(
? 7? ? A. 在区间 ? ? , ? 上单调递减 ?12 12 ?

).
? 7? ? B. 在区间 ? ? , ? ?12 12 ?

上单调递增
? ?? C. 在区间 ? ? ? , ? 上单调递减 ? 6 3? ? ?? D. 在区间 ? ?? , ? 上 ? 6 3?

单调递增
π? 4. ( 2014 陕西理 2 )函数 f ? x ? ? cos ? ? 2 x ? ? 的最小正周期是 6 ? ?



). A.
π 2

B.

π

C.



D.



5.(2014 四川理 3)为了得到函数 y ? sin ? 2x ?1? 的图像,只需 把函数 y ? sin 2 x 的图像上所有的点( A.向左平行移动 1 个单位长度
2

). B.向右平行移动 1 个
2

单位长度

C.向左平行移动 1 个单位长度 单位长度

D.向右平行移动1 个

6.(2014 新课标 1 理 6)如图,圆 O 的半径为 1 ,
A 是圆上的定点,P 是圆上的动点, 角 x 的始边为
O x

P

M

A

射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂 线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ? x ? ,则 y ? f ? x ? 在 ?0, ?? 上的图像大致为(
y
1

).
错误!未找到引用源。 1

y
1

y
1

O
A.

?

x O
B.

?

x O
C.

?

x O
D.

?

x

?? ? ? ? 且n a t 7. (2014 新课标 1 理 8) 设? ?? ? ? ? 0, ? , ? 0, ? , ? 2?
? 2?

??

1? n i s ? o c s ?



则( A. C.

).
? 2 ? 2? ? ? ? 2 3? ? ? ?

B. D.

3? ? ? ?

? 2 ? 2? ? ? ? 2 2

8.(2014 新课标 2 理 4)钝角三角形 ABC 的面积是 1 , AB ? 1 ,
BC ? 2

,则 AC ? ( B.
5

). C. 2 D.
1

A. 5

9.(2014 浙江理 4)为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图像,可 以将函数 y ?
2 sin3x 的图像(

).

A.向右平移 π 个单位

4 C.向右平移 π 个单位 12

4 π D.向左平移 个单位 12

B.向左平移 π 个单位

10. ( 2014 重 庆 理 10 ) 已 知
s i nA 2? s ? iAn? B ? ?C ?
1 ,面积 S 2

△ ABC

的内角

A, B, C

满足

sin ? C ? A ? B ? ?

满足 1剟S

2 ,记 a, b, c 分别为 A, B, C 所对的

边,则下列不等式成立的是( A.
bc ?b ? c ? ? 8

). C.
6剟 abc 12

B.

ab ? a ? b ? ? 16 2

D.

12剟 abc 24

二、填空题 1.(2014 安徽理 11)若将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 4 ? 的图像向右平
? ? ? ??

移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的最小正值 是 .

2.(2014 北京理 14)设函数 f ? x? ? sin ??x ? ? ? , ( A, ? , ? 是常数,
A ? 0, ? ? 0

) ,若

f ? x?

在区间

?π π? , ? ?6 2? ?

上具有单调性,且

?π? ? 2π ? f ? ?? f ? ???f ?2? ? 3 ?

?π? ? ? ,则 f ? x ? 的最小正周期为________. ?6?

π ?? 3.(2014 大纲理 16)若函数 f ? x? ? cos 2x ? a sin x 在区间 ? ? , ?是 ?6 2?

减函数,则 a 的取值范围是

.
3,

4.(2014 福建理 12)在 △ABC 中, A ? 60? , AC ? 4 , BC ? 2 则 △ABC 的面积等于 .
a ? b

5.(2014 广东理 12)在 △ ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为
a, b, c .已知 b cos C ? c cos B ? 2b ,则

.

6.(2014 江苏理 5)已知函数 y ? cos x 与 y ? sin ? 2 x ? ? ? ? 0? ? ? ?? ,

它们的图像有一个横坐标为 是 .

? 3

的交点,则

?

的值

7.(2014 江苏理 14)若 △ABC 的内角满足 sin A ? 则 cos C 的最小值是 .
uu u r uuu r

2 sin B ? 2sin C ,

8. (2014 山东理 12) 在 △ ABC 中, 已知 AB ? AC ? tan A , 当 A ? π 时,
6

△ ABC 的面积为

.
2

9. (2014 陕西理 13) 设 0 ? ? ? π , 向量 a ? ?sin 2? ,cos? ? , b ? ?cos? ,1? , 若 a //b ,则 tan ? ? _______. 10.(2014 四川理 13)如图,从气球 A 上测得正前方的河流 的两岸 B, C 的俯角分别为 67? ,30? ,此时气球的高是 46m ,则河 流的宽度 BC 约等于
m .(用四舍五入法将结果精确到

个位.参考数据: cos 67? ? 0.39 , cos 37? ? 0.80 , sin 67? ? 0.92 , sin 37? ? 0.60 ,
3 ? 1.73 )
A 67o 46m B C 30o

11.(2014 天津理 12)在 △ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别 是 a, b, c .已知 b c= 1 a , 2 sin B = 3sin C ,则 cos A 的值为_______. 4

12.(2014 新课标 1 理 16)已知 a, b, c 分别为 △ABC 的三个内角
A, B, C 的对边, a ? 2 ,且 ? 2 ? b??sin A ? sin B? ? ? c ? b? sin C ,则 △ABC 面

积的最大值为

.

13.(2014 新课标 2 理 14)函数 f ? x? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin? cos? x ? ? ?

的最大值为

.

14.(2014 浙江理 17)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的 墙面前的点 A 处进行射击训练 . 已知点 A 到墙面的距离为
AB ,某目标点 P

沿墙面的射击线 CM 移动,此人为了准确瞄

准目标点 P ,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 ? 的大小.若
AB ? 15m, AC ? 25m, ?BCM ? 30? ,则 tan ? 的最大值
M P B C A

.

三、解答题 1.(2014 安徽理 16) (本小题满分 12 分) 设 △ABC 的内角 A , B ,C 所对边的长分别是 a ,b , c ,且
b ? 3 , c ? 1 , A ? 2B .

(1)求 a 的值;
?? (2)求 sin ? ? A ? ? 的值. ? 4?

2.(2014 北京理 15)15.(本小题 13 分) 如图,在 △ABC 中, ?B ? π , AB ? 8 ,点 D 在 BC 边
3

A

上,且
CD ? 2, cos ?ADC ? 1 . 7

B

D

C

(1)求 sin ?BAD ;

(2)求 BD, AC 的长. 3.(2014 大纲理 17) (本小题满分 10 分)
△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已
3a cos C ? 2c cos A, tan A ? 1 .求 B . 3

4.(2014 福建理 16) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin x ? cos x ? ? 1 .
2

(1)若 0 ? ? ? ,且 sin ? ?

π 2

2 ,求 f ?? ? 的值; 2

(2)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间.
π? 5.(2014 广东理 16) (12 分)已知函数 f ? x ? ? A sin ? ? x ? ?, x ?R , ? 4? 5π ? 3 且f? ? ?? . ? 12 ? 2

(1)求 A 的值;
π? ? 3π ? (2)若 f ?? ? ? f ? ?? ? ? 3 , ? ? ? ? 0, ? ,求 f ? ? ? ? .
2

?

2?

? 4

?

6.(2014 湖北理 17) (本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位: ? C )随时间 t (单位: h )的变 化近似满足函数关系:
f ? t ? ? 10 ? 3cos π π t ? sin t , t ??0, 24? . 12 12

(1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11? C ,则在哪段时间实验室需 要降温?

7. ( 2014 湖南理 18 )如图所示,在平面四边形 ABCD 中,
AD ? 1 , CD ? 2 , AC ? 7 .

(1)求 cos ?CAD 的值; (2)若 cos ?BAD ? ? 长.
7 14

A

D
21 ,求 BC 的 6

,sin ?CBA ?

B

C

? ? 8.(2014 江苏理 15)已知 ? ? ? ? , ? ? , sin ? ? ?2 ?
? ? (1)求 sin ? ? ? ? ? 的值; ?4 ? ?? ? (2)求 cos ? ? 2? ? 的值. ? ? 6 ?

5 5



9.(2014 江苏理 18)如图,为了


保护河上古桥 OA ,规划建一座新 桥 BC , 同 时 设 立 一 个 圆 形 保 护 区. 规划要求: 新桥 BC 与河岸 AB 垂 直; 保护区的边界为圆心 M 在线段
OA 上并与 BC 相切的圆.且古桥两
A 60 m M O

B

170 m

C



端 O 和 A 到该圆上任意一点的距 离均不少于 80m .经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处( OC 为河岸) , tan ?BCO ? 4 .
3

(1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

10.(2014 江西理 16) (本小题满分 12 分)
π π? 已知函数 f ? x? ? sin ? x ? ? ? ? a cos ? x ? 2? ? ,其中 a ? R ,? ? ? ?? , ?. ? 2 2?

(1)当 a ? 小值;

2 ,? ?

? 4

时,求 f ? x ? 在区间 ?0, ?? 上的最大值与最

?? (2)若 f ? ? ? ? 0 , f ? ?? ? 1,求 a, ? 的值. ?2?

11.(2014 辽宁理 17) (本小题满分 12 分) 在 △ABC 中, 内角 A, B, C 的对边 a, b, c , 且 a ? c .已知 BA ? BC ? 2 ,
cos B ? 1 , b ? 3 .求: 3

??? ? ??? ?

(1) a 和 c 的值; (2) cos ? B ? C ? 的值. 12.(2014 山东理 16) (本小题满分 12 分) 已 知 向 量 a ? ? m, c o s x 2 ?
y ? f? x ? 的图像过
π 点? ? , ? 12 ? ? 2π ? 3 ? 和点 ? , ?2 ? . ? ? 3 ?

b, ??

s ix n2 n, , 函 数 f ? x? ? a ? b ?

,且

(1)求 m, n 的值; (2)将 y ? f ? x? 的图像向左平移 ? ?0 ? ? ? π? 个单位后得到函数
y ? g ? x ? 的图像,若 y ? g ? x? 图像上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的

最小值为 1 ,求 y ? g ? x ? 的单调递增区间. 13.(2014 陕西理 16) (本小题满分 12 分)
△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .

(1)若 a, b, c 成等差数列,求证: sin A ? sin C ? 2sin ? A ? C ? ; (2)若 a, b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值.
π? 14.(2014 四川理 16)已知函数 f ? x ? ? sin ? ? 3x ? ? . ? 4?

(1)求 f ? x ? 的单调递增区间;
?? 4 π? ? os (2)若 ? 是第二象限角, f ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos 2? ,求 c
?3? 5 ? 4?

?? sin ?

的值. 15.(2014 天津理 15) (本小题满分 13 分)
π? 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? ?x? ?? ? 3? 3 cos 2 x ? 3 , x?R . 4

(1)求 f ? x ? 的最小正周期;
π π? (2)求 f ? x ? 在闭区间 ? ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

16.(2014 浙江理 18) (本题满分14分)
c? 在 △ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 a ? b , cos2 A ? cos2 B ? 3sin A cos A ? 3sin B cos B. 3,

(1)求角 C 的大小; (2)若 sin A ? 5 , 求 △ ABC 的面积. 17.(2014 重庆理 17) (本小题 13 分, (I)小问 5 分, (II) 小问 8 分)
4

已知函数 f ? x ? ?
3

π π? ? 3 sin?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 的图像关于直 2 2? ?

线 x ? π 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为 π . (1)求 ? 和 ? 的值;
?? (2)若 f ? ? ??
?2? 3?π 2π ? 3π ? ? ? ? ? ? ? ,求 cos ? ? ? ? 的值. 2 ? 4 ?6 3 ? ?


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