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山西省太原市第五中学2015届高三五月月考数学(理)试卷 Word版含答案


太原五中 2014—2015 学年度第二学期阶段检测
高 三 数 学(理)

D. 3? 7.下列说法正确的是( ) A.命题“若 x ? 1 , 则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是“若 x ? 1 , 则 x ? ?1 或 x ? 1 ”; B.命题“ ?x ? R , e ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , e ? 0 ”;

>x x

一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一选项是符合题目要 求的) 1. 已知集合 A ? ?1,2, ? , B ? y | y ? x 2 , x ? A , 则 A ? B = (

? ?

1? 2?

?

?

C.“ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ? (ax ? 1) x 在区间 ( ??,0) 上单调递减”的充要条件; ) D.已知命题 p : ?x ? R, ln x ? lg x ;命题 q : ?x0 ? R, x0 ? 1 ? x0 8. 已知点 M 是 A. 3
3 2

, 则 “ (?p ) ? (?q ) 为真命题”.

A.

?1 ? ? ? ?2?

B.

?2?

C. ?? 1

D.

?
)

ABC 的重心,若 A=60°, AB ? AC ? 3 ,则 | AM | 的最小值为( ) B. 2 C.

2i 2. 在复平面内,复数 z ? 的共轭复数的虚部为 ( ? 1 ? 2i
2 A.- 5 2 B. 5 2 C.5 i 2 D.- 5 i

2 6 3

D.2

x 9.设 x1 , x 2 分别是方程 x ? a ? 1 和 x ? loga x ? 1 的根(其中 a ? 1 ), 则 x1 ? 2 x2 的取值范围是(

)

2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 3.将函数 y ? sin(

? 个 8

A.

(3,??)

B.

[3,??)

C. (2 2 ,??)

D.

[2 2 ,??)

单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取 值为( )

10.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1, an?1 ? 2S n ? 1(n ? N * ) ,在等差数列 ? bn ? 中, b2 ? 5 ,且公 差 d ? 2 .使得 a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn ? 60n 成立的最小正整数 n 为( ) A.2 B.3 C.4 D.5

? C. 0 D. 4 4.阅读程序框图,若输入 m ? 4, n ? 6 ,
3? A. 4
则输出 a , i 分别是( A. a ? 12, i ? 3 C. a ? 8, i ? 3 ) B. a ? 12, i ? 4 D. a ? 8, i ? 4 文科
0 2 6 6 1 6 8 8 9 9

? B. 4

11.已知 F 为抛物线 y 2 ? x 的焦点,点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴两侧,且 ,则 ?ABO 与 ?AOF 面积之和的最小值为( OA ? OB ? 6 (O 为坐标原点) A. 4 B. 3 13 2 C. 17 2 4 D. 10 )

5.某校在一次期中考试结束后,把全校文、 理科 理科总分前 10 名学生的数学成绩(满分 150 分) 8 6 6 14 抽出来进行对比分析,得到如图所示的茎叶图. 13 9 8 8 若从数学成绩高于 120 分的学生中抽取 3 人, 12 9 8 分别到三个班级进行数学学习方法交流, 11 9 8 10 则满足理科人数多于文科人数的情况有( )种 A. 3081 B. 1512 第(5)题 C. 1848 D. 2014 6.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、 俯视图都是边长为 1 的正方形,则此四面体的外接球的体积为 (

12.已知函数 f ( x ) ? 1 ? x ?

x2 x3 x4 x 2015 ? ? ??? ; 2 3 4 2015

x2 x3 x4 x 2015 g ( x) ? 1 ? x ? ? ? ??? ; 设函数 F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4), 且函数 F ( x ) 的零点均在区间 2 3 4 2015
[a, b](a ? b, a, b ? Z ) 内,则 b ? a 的最小值为(
A. 8 B. 9 C. 10 D.




11

二.填空题(本题共 4 个小题,每小 5 分,满分 20 分) )
正视图 侧视图

4? A. 3
B. C. ?
-1-

13.已知 a ?

?

1 ?1

? 1 (1 ? 1 ? x 2 )dx ,则 [(a ? 1 ? ) x ? ]6 展开式中的常数项为_____ 2 x

3? 2

2 2 14.任取 k ? [?1,1] ,直线 y ? k ( x ? 2) 与圆 x ? y ? 4 相交于 M , N 两点,则 | MN |? 2 3 的概率是

俯视图

15. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 满足 S n 则 Sn ?

?

1 2 ? 2 ? a n ( n ? 2), a1 ? ? , Sn 3
20 . ( 本题满分 12 分 ) 已知椭圆 C1 :
2

x2 y2 3 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 e ? , 且过点 (1, ) , 抛物线 2 2 2 a b

16.已知 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) , 若 ? 1 ? f (?1) ? 2,2 ? f (1) ? 4, 且 ac ? bc ? b ? 0 (a,b,c 则实数 c 的取值范围是 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.( 本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,若 | AC |? 2 3 ,

R),

1 C2 : x 2 ? ?2 py( p ? 0) 的焦点坐标为 ( 0,? ) . 2
(1)求椭圆 C1 和抛物线 C 2 的方程; (2)若点 M 是直线 l : 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上的动点, 过点 M 作抛物线 C 2 的两条切线, 切点分别是 A, B , 直线 AB 交椭圆 C1 于 P, Q 两点.

且 BC ? cos A ? AB ? cosC ? AC ? sin B.

(1)求角 B 的大小;

(i)求证:直线 AB 过定点,并求出该定点的坐标; (ii)当 ?OPQ 的面积取最大值时,求直线 AB 的方程. y L M
O

(2)求 ?ABC 的面积 S . 18. ( 本小题满分 12 分) 某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动,要求每位同 学至少参加一次活动.该高校 2014 级某班 50 名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示. (1)从该班中任意选两名学生,求他们参加活动次数不相等的概率. (2)从该班中任意选两名学生,用 ? 表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数学 期望 E? . (3)从该班中任意选两名学生,用? 表示 这两人参加活动次数之和,记“函数
25 20 15 10 5 2 第 18 题图 参加人数

Q B x

A

P
第 20 题图

f ( x) ? x2 ?? x ? 1 在区间(3,5)上有且
只有一个零点”为事件 A,求事件 A 发生的概率.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x.
1 3 活动次数

(1)若直线 y ?

1 x ? m 是曲线 y ? f ( x ) 的切线,求 m 的值; 2

19.(本题满分 12 分)已知四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底面ABCD , PC ? 2 ,且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, E 是侧棱 PC 上的一点(如图所示).

(2)若直线 y ? ax ? b 是曲线 y ? f ( x ) 的切线,求 ab 的最大值; (3)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) 是曲线 y ? f ( x ) 上相异三点,其中 0 ? x1 ? x2 ? x3 . 求证:

PE (1)如果点 F 在线段 BD 上, DF ? 3BF ,且 EF // 平面PAB ,求 的值; EC (2)在(1)的条件下,求二面角 B ? EF ? C 的余弦值.
P E

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? . x2 ? x1 x3 ? x 2

选做题:请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多选则按所做的第一题记分,作答时,请涂明题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P ,
A E F O B D P

D F A
-2第 19 题图

C B

C4, E 为⊙ O 上一点,AE=AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? (I)求 PF 的长度.

(II)若圆 F 与圆 O 内切,直线 PT 与圆 F 切于点 T,求线段 PT 的长度

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) . 已知直线 l 的参数方程是 ? 4 2 ? y? t?4 2 ? 2 ? (1)求圆心 C 的直角坐标;
(2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 |, g ( x) ? ? | x ? 3 | ?m. (1) 解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0(a ? R) ; (2) 若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求 m 的取值范围.

因为: AC = AB + BC , AB ?cosC +

uuu r

BC ?cosA
uuu r

uuu r

= ( AB + BC )?sinB,

r uuu r uuu

即: (cosC - sinB) AB + (cosA - sinB) BC = 0 -------2 分 而 AB 、 BC 是两不共线向量,所以: ?

uuu r

uuu r uuu r

?cosC ? sin B ? cosC = cosA, ?cos A ? sin B
B B B = sinB, ?sin = 2sin cos , 2 2 2 ? cos B 1 = , 0 < 2 2

0 < A,C < ? , ? A = C , ?ABC 为等腰三角形.在等腰?ABC 中,A + B + C = ? , ? 2A + B = ? , A = B B ? B ? ;由上知:cosA = cos( )= sin 2 2 2 2 2 B ? < , 2 2 ? B ? = , 2 3 B = 2? ,-------------6 分 3 ? AC ? ? BC ? ? , 由正弦定理得: = , 6 2? ? sin sin 6 3 3 --12 分

(2)由(1)知:则 A = C =

?? BC ? = 2 , S?ABC

1 1 1 ? = ? AC ??? BC ?sin = ×2 3 ×2 × = 2 6 2 2

uuu r

18.解: (1)从该班任取两名学生,他们参加活动的次数恰好相等的概率: P =
2 2 C52 ? C 25 ? C 20 20 20 29 = ,故 P = 1 = .-----4 分 2 49 49 49 C50

(2) 从该班中任选两名学生,用?表示这两学生参加活动次数之差的绝对值,则?的可能取值分别为:0 ,1,2,

C5 C 25 ? C 20 C 25 25 20 于是 P(? = 0)= , P(? = 1)= = , 49 49 C2
1 1 1 1 50

P(? = 2)= ?

1 1 C5 C 20 4 = , 从而?的分布列为: 2 49 C50

0 20 49 25 49

1 4 49

2

太原五中 2014—2015 年度高三年级阶段性检测
高三数学参考答案
一.CBBAC BDBAC BC 3 n+1 -3- 21 -3+ 21 二.13. __-20___ ;14. ;15.;16. [ , ] 3 n+2 2 2 三.解答题 17. 解: (1)由题可知:在?ABC 中,? AC ? = 2 3 ,

P

20 25 4 33 E? = 0? + 1? + 2? = .---------------8 分 49 49 49 49 (3) 因为函数 f(x) = x - ?x – 1 在区间(3,5)上有且只有一个零点,则
2

f(3)?f(5) < 0 , 即:(8 - 3?)(24- 5?) < 0 , ? 又由于?的取值分别为:2,3,4,5,6,故? = 3 或 4, 故所求的概率为:P(A)=

8 24 < ? < -------10 分 3 5

uuu r

AB ?cosC

uuu r

+

BC ?cosA

uuu r

=

AC ?sinB,

uuu r

1 1 1 1 2 C5 C 25 ? C 20 C5 ? C 25 3 = .------------------12 分 2 7 C50

-3-

19.解:(1)连接 CF 并延长交 AB 于 K,连接 PK, 因为:EF//平面 PAB ,EF? 平面 PCK,平面 PCK?平面 PAB = PK, ? EF// PK,因为 DF=3FB,AB//CD ,? CF=3KF, 又因为:EF// PK,? CE= 3PE, ? PE 1 = -----4 分 EC 3

(ii)直线 AB 的方程为:x0x+y+y0=0,代入椭圆方程中得:(1+4x0 )x +8x0y0x+4y0 -4=0 2 2 令 P(x3,y3),Q(x4,y4) , ? = 16(4x0 - y0 +1)>0, x3+x4 = ?PQ? = 8x0y0 4y0 -4 ;x3x4 = 2 2 4x0 +1 4x0 +1
2 2 2

2

2

2

(2) 以 C 为原点,CD,CB,CP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间坐标系 (如图所示)则有: C(0,0,0) , D(1,0,0),A(1,1,0) B(0,1,0),P(0,0,2), E(0,0, 3 1 3 ),F( , ,0) 2 4 4 P

1+x0 · (x3+x4) -4x3x4 = ?y0? 1+x0
2

1+x0 ·

2

16(4x0 -y0 +1) -------8 分 2 1+4x0

2

2

点 O 到 PQ 的距离为:d= z 从而 S?OPQ E
2



EF

uuu r

1 3 3 = ( , ,- ), 4 4 2

1 ,- ,0) BF = (1 4 4

uuu r

1 1 16(4x0 -y0 +1) ?y0? 2 = ·?PQ?·d = × 1+x0 · × 2 2 2 2 1+4x0 1+x0
2 2 2 2 2 2 2

CF

uur

y0 (4x0 -y0 +1) y0 +(4x0 - y0 +1) = 2× ? =1 ---------10 分 2 2 1+4x0 1+4x0 当且仅当 y0 = 4x0 - y0 +1 时等号成立,又 2x0-4y0+3=0 联立解得:x0=
2 2 2

1 3 = ( , ,0)-----------6 分 4 4

x

D F A K 第 19 题图 y B

1 1 5 ,y0= 1 或 x0= ,y0= ; 2 14 7

C

ur 设 n = (x ,y ,z )是平面 BEF 的一个法向量 1
1 1 1

从而所求直线 AB 的方程为:x+2y+2=0 或 x-14y-10=0------------12 分 21.解:(1)设切点为(x0,lnx0), k=f?(x)= 代入 y= 1 1 = ,x0 = 2 ,?切点为(2,ln2), x0 2

ur uuu r ì ? ? n1 ?EF 则有:? ? í ur uuu r ? ? n1 ?BF ? ? ?

1 x+ 4 1 x4

ur 1 3 y- z= 0 ,取 x=1 得: n = 4 2 1 1 y= 0 4 ur

1 x + m 得:m = ln2-1.----------------4 分 2 1 1 , ? f?(t)= , x t

2 (1,1, ) 3

(2)设 y = ax+b 切 f(x)于(t,lnt)(t>0), f?(x)= 则切线方程为:y = ?ab=

1 1 1 (x-t)+lnt ,y = x+lnx-1 , a= ,b= lnt-1 t t t

----------------------------------8 分 同理:平面 CEF 的一个法向量为:

1 1 1 1 2-lnt (lnt-1), 令 g(t)= (lnt-1), g?(t)= - 2 (lnt-1)+ 2 = 2 t t t t t
2 2 2 2

n2 = (3,-1,0) -----------------10 分

若 t?(0,e )时,g?(t)>0,? g(t)在(0,e )上单调增;t?(e ,??)时,g?(t)<0, ? g(t)在(e ,+?)上单调递减; 2 所以,当 t= e 时,ab 的最大值为: g(e )=
2

ur ur ur ur n1 ? n2 3 55 cos< n , n > = ur ur = 1 2 55 ? n ??? n ? 1 2
所以:二面角 B—EF—C 的余弦值为:2

1 1 2 2 (lne -1)= 2 ------------------------8 分 e e

1 f(x2)-f(x1) 1 1 lnx2-lnx1 1 (3)先证: < < ,即证: < < , x2 x2-x1 x1 x2 x2-x1 x1 只证:13 55 .-----------12 分 55 h?(m)= x1 x2 x2 x2 <ln < - 1 , 令 = t >1, 设 h(m) =lnt–t +1 , x2 x1 x1 x1

1 - 1<0 , 所以:h(t)在(1,+ ?)上单调递减,则 h(t)<h(1)=ln1-1+1=0, t

x 2 2 20.解:(1)椭圆 C1: + y =1;C2:x =-2y ----4 分 4 x (2)(i)设点 M(x0,y0),且满足 2x0-4y0+3=0,点 A(x1,y1) ,B(x2 ,y2), 对于抛物线 y= ,y? = - x , 则切线 MA 2 的斜率为-x1 ,从而切线 MA 的方程为:y–y1=-x1(x-x1),即:x1x+y+y1=0 ,同理:切线 MB 的方程为:x2x+y+y2=0 , 又因为同时过 M 点,所以分别有:x1x0+y0+y1=0 和 x2x0+y0+y2=0,因此 A,B 同时在直线 x0x+y+y0=0 上,又因为: 2x0-4y0+3=0,所以:AB 方程可写成:y0(4x+2)+(2y-3x)= 0,显然直线 AB 过定点:(1 3 ,).---------6 分 2 4
2

x2 x2 x1 x2 即证:ln < – 1. 以下证明:1<ln x1 x1 x2 x1 1 1 1 1 令 p(t)= lnt+ -1 , p?(t)= - 2 >0 , 所以:p(t)= lnt+ -1 在(1,+ ?)上单调递增,即:p(t)>p(1)= 0 , t t t t 1 x1 x2 即有:lnt+ -1>0, ?1<ln 获证. t x2 x1 故 1 f(x2)-f(x1) 1 1 f(x3)-f(x2) 1 f(x2)-f(x1) f(x3)-f(x2) < < 成立 ,同理可证: < < ,综上可知: : > 成 x2 x2-x1 x1 x3 x3-x2 x2 x2-x1 x3-x2

-4-

立------------12 分 选做题:请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多选则按所做的第一题记分,作答时,请涂明题号. 22. 解: (I)连结 OC , OD, OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得

?CDE ? ?AOC , 又 ?CDE ? ?P ? ?PFD , ?AOC ? ?P ? ?OCP , 从而 ?PFD ? ?OCP ,故 ?PFD ∽ ?PCO ,


E A C O F B D P

PF PD ? , PC PO

????4 分

PC ? PD 12 ? ?3. ????6 分 PO 4 (II)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r,因为 OF ? 2 ? r ? 1 即 r ? 1
由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ? 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点圆 F 的切线为 PT
2 则 PT ? PB ? PO ? 2 ? 4 ? 8 ,即 PT ? 2 2

????10 分

23.解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 ,
2 2

???(2 分) ????(3 分)

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .????(5 分) 2 2 2 2 (II) :直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
即 (x ?

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2 ????(8 分) ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 ???(10 分) (
24.解:(1)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 ,即 x ? 2 ? a ?1 ? 0 。 当 a ? 1 时,不等式的解集是 (??, 2) 当 a ? 1 时,不等式的解集为 R ; 当 a ? 1 时,即 x ? 2 ? 1 ? a ,即 x ? 2 ? a ? 1 或 x ? 2 ? 1 ? a , 即 x ? a ? 1 或者 x ? 3 ? a ,解集为 (??,1 ? a)

(2, ??) ;

(3 ? a, ??) 。????????5 分

( Ⅱ ) 函 数 f ( x ) 的 图 象 恒 在函 数 g ( x) 图 象 的 上 方 , 即 x ? 2 ? ? x ? 3 ? m 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 。 即

x ? 2 ? x ? 3 ? m 对任意实数 x 恒成立。
由于 x ? 2 ? x ? 3 ? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 ,故只要 m ? 5 . 所以 m 的取值范围是 ( ??,5) . ????????10 分

-5-


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