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2014届高三4月金华十校联考数学理科试卷二模


金华十校 2014 年高考模拟考试

数学(理科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分。请考生按规定用笔 将所用试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V= 棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高. 棱台的体积公式

V=

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式

1 h(S1+ S1 S 2 +S2) 3

其中 S1、S2 表示棱台的上、下底面积,h 表示棱 台的高. 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)= P(A)+ P(B)

1 V= Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合 U={a,b,c,d,e},M={a,d},N={a,c,e},则 M∪? UN 为 A.{c,e} B.{a,b,d} C.{b,d} D.{a,c,d,e}

2. 已知复数 z1=2+i,z2=a?i(a∈R),z1· z2 是实数,则 a= A.2 B.3 C.4 D.5

3. y=f(x)是定义在 R 上的函数,若 a∈R,则“x≠a”是“f(x)≠f(a)”成立的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?? ? 4. 关于函数 y ? tan ?2 x ? ? ,下列说法正确的是 3? ?

A.是奇函数
?? ? 0 ? 为图象的一个对称中心 C. ? , ?6 ?

B.最小正周期为?
? D.其图象由 y=tan2x 的图象右移 单位得到 3

5. 空间中,若?,?,? 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,则下列命题中正确的是 A.若 l∥?,, l∥?,则?∥? B.若???,l??,则 l∥?

十校高三(理科)试卷第 1 页(共 4 页)

C.若 l??,l∥?,则???

D.若???,l∥?,则 l??

6. 已知集合 A={1,2,3,4,5,6},在 A 中任取三个元素,使它们的和小于余下的三个元素的和,则 取法种数共有 A.4 几何体的体积是
1 A. dm3 3
3 B. dm3 2 1 D. dm3 2

B.10

C.15
2

D.20
1 1 1 1

7. 已知某几何体的三视图(单位:dm)如图所示,则该

正视图

侧视图

C.1dm3 8. “

3 ”称为 a,b,c 三个正实数的“调和平均数” , 1 1 1 ? ? a b c

俯视图

(第 7 题图)

若正数 x, y 满足“x, y, xy 的调和平均数为 3” ,则 x+2 y 的最小值是 B.5 C.7 D.8 x2 y 2 9. 如图,已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 a b F1,F2,|F1F2|=4,P 是双曲线右支上的一点,F2P 与 y 轴交 于点 A,△APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q,若|PQ|=1, 则双曲线的离心率是 A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
F1

A.3

y
A

P

Q O O x 9 题图) x (第
F2

x

10. 已知边长都为 1 的正方形 ABCD 与 DCFE 所在的平面互相垂直,点 P,Q 分别是线段 BC, DE 上的动点(包括端点) ,PQ= 2 .设线段 PQ 中点的轨迹为?,则? 的长度为 A.2 B.
2 2

C.

? 2

D.

? 4
开始

二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 若两直线 x?2y+5=0 与 2x+my?5=0 互相平行,则实数 m= ▲ .
? x ? 1, x ≥1, ? 12. 已知函数 f ( x) ? ? 若 f(a)+f(0)=3,则 a= ? ? 1 ? x , x ? 1,
a=3, ,i=1 i<100? 是 否

▲ ▲ _. .



13. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是
1 ? ? 14. 二项式 ? x 2 ? +2 ? 的展开式中 x3 项的系数为 x ? ?
5

a ?1?

1 a

输出 a

i= i +1

结束



(第 13 题图)

十校高三(理科)试卷第 2 页(共 4 页)

2 15. 甲乙两人分别参加某高校自主招生考试, 能通过的概率都为 , 设考试通过的人数(就甲乙而 3 言)为 X,则 X 的方差 D(X)= ▲ .
?2 x ? 3 y ? 2 ≥0 , ? x =2, ? 16.对于不等式组 ?3x ? y ? 4 ≤0 , 的解(x,y),当且仅当 ? 时, ? y =2 ? x ? 2 y ?1 ≥0 ?
D

C M

z=x+ay 取得最大值,则实数 a 的取值范围是

▲ _.

17. 如图,已知:|AC|=|BC|=4,∠ACB=90° ,M 为 BC 的中点, A ???? ??? ? D 为以 AC 为直径的圆上一动点,则 AM ? DC 的最大值是 ▲ _.

B (第 17 题图)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 tan A ? tan B ? (Ⅰ)求角 B 的大小;
a c 1 1 (Ⅱ)已知 ? ? 3 ,求 的值. ? tan A tan C c a
2sin C . cos A

19. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}的首项 a1=a,前 n 项和为 Sn,且?a2,Sn,2an+1 成等差. (Ⅰ)试判断{an}是否成等比数列,并说明理由; (Ⅱ)当 a>0 时,数列{bn}满足 b1 ? 项和为 Tn,求证:1≤aTn<2.
an 1 ,且 bn ? (n ≥ 2) .记数列{bn}的前 n (an ? a)( an ?1 ? a) a

十校高三(理科)试卷第 3 页(共 4 页)

20.(本题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 P?ABC 中, AB⊥AC, PA=PB=PC, D, E 分别是 AC, BC 的中点, AB= 2 3 , AC=2,PD= 2 2 ,Q 为线段 PE 上不同于端点的一动点. (Ⅰ)求证:AC⊥DQ; (Ⅱ)若二面角 B?AQ?E 的大小为 60° ,求
QE 的值. PE
A E B (第 20 题图) Q D C P

21.(本小题满分 15 分)
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点与抛物线 C : x 2 ? 4 3 y 的焦点重合,F1 , F2 分别 a2 b2 1 是椭圆的左、右焦点,且离心率 e ? ? 直线 l :y=kx+m(km<0)与椭圆 C 交于 M、N 两点. 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

设椭圆 C :

(Ⅱ)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,AB∥l,且

???? ? ???? OM ? ON ? ?2 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

| AB |2 =4.是否存在直线 l,使得 | MN |

22.(本小题满分 15 分)
2 已知函数 f (x) ? x 3 ? 2tx ?t ? lnx (t∈R). 3

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与直线 y=x 平行,求实数 t 的值; (Ⅱ)证明:对任意的 x1,x2∈(0.1]及 t∈R,都有|f(x1)?f(x2)|≤(|t?1|+1)|lnx1?lnx2|成立.

十校高三(理科)试卷第 4 页(共 4 页)

金华十校 2014 年高考模拟考试

数学(理科)卷参考答案
一.选择题:每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 C 6 B 7 D 8 C 9 B 10 D

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.?4 15.
4 9

12.4 或?3
? 1 ? 16. ? ? , ?? ? ? 3 ?

13.3 17. 8 ? 4 5

14.?120

三.解答题: 18.解:(Ⅰ) tan A ? tan B ?
? sin A sin B sin A cos B ? cos A sin B ? ? cos A cos B cos A cos B

sin( A ? B) sin C , ????????????????????? ? cos A cos B cos A cos B 2sin C sin C 2sin C ∵ tan A ? tan B ? ,∴ , ? cos A cos A cos B cos A 1 ? ∴ cos B ? ,∵ 0 ? B ? ? ,∴B= .?????????????????? 3 2 a c a 2 ? c 2 b2 ? 2ac cos B a c (Ⅱ) ? ? , ∵ ? ? 3, ? c a ac ac c a ? 2 b ? 2ac cos 2 b2 ? 2ac cos B 3 ? 3 ,∴ b ? 2 ,????????? ∴ ? 3 ,即 ac ac ca 2 ? sin b2 sin 2 B 3 3 3 ? ? 而 ? ,∴ sin A sin C ? .????? ca sin A sin C sin A sin C 4sin A sin C 8 1 1 cos A cos C sin( A ? C ) ∴ ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin B 3 4 ? ? ? 3 . ?????????????????? sin A sin C 2sin A sin C 3

3分

6分

9分

12 分

14 分

19.解:(Ⅰ)∵ 2Sn ? ?a2 ? 2an?1 ,∴当 n ≥ 2时, 2Sn ?1 ? ?a2 ? 2an 两式相减得 2an ? 2an ?1 ? 2an , 故an ?1 ? 2an ? n ≥ 2 ? ,??????????? 又当 n=1 时, 2a1 ? ?a2 ? 2a2 , 得 a2 ? 2a1 , ???????????????
十校高三(理科)试卷第 5 页(共 4 页)

3分 4分

当 a1=a=0 时,此时 an=0,{an}不是等比数列,
a 当a ? 0 时,n ?1 ? 2,此时?an ? 是首项为a,公比为2的等比数列. ????? an

6分

1 (Ⅱ)∵ b1 ? , an ? a ? 2n?1 , a
bn ? ∴当n ≥ 2时,

?a ? 2

n ?1

? a ? ? ? a ? 2n ? a ?

a ? 2n ?1

?

1 2n ?1 1 ? 1 1 ? ? n ?1 ? ? ? n ?1 ? n ? . ????????????? n a ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? a ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

8分

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
?

1 ? 1? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 1? ? 1 ? 2 ? 3 ? n ??? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ?? ? ? 2 ? n ?, ? a ? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? 2 ?1? ? 2 ? 1 2 ? 1 ?? a ?
n

1 ,????????????????????????? 2 ?1 5 1 ∵ n ≥ 2 ,∴ 2n ≥ 4 ,∴ aTn ≥ ? 1 ,又 n ? 0 ,∴ aTn ? 2 . ????? 3 2 ?1

∴ aTn ? 2 ?

10 分 12 分

而当 n=1 时,aTn=1, 故 1≤aTn<2.???????????????????????????? 20.(Ⅰ)证明:∵PA=PB=PC,∴P 在底面 ABC 的射影是△ABC 的外心 E, ∴PE⊥面 ABC,又 AC?面 ABC,从而 PE⊥AC. ???????????? 又∵PA= PC,且 D 是 AC 的中点,∴PD⊥AC, ∴AC⊥面 PDE.又 DQ?面 PDE,∴AC⊥DQ.????????????? (Ⅱ)解法一: 过点 B 作 BF⊥AE 于 F,易证 BF⊥面 PAE, 过 F 作 FG⊥AQ 于点 G,连接 BG, 则∠BGF 即为二面角 B?AQ?E 的平面角.???????? 8 分 在 Rt△ABF 中,由 AB ? 2 3, ?BAF ? 30 ? 得 AF ? 3, BF ? 3 .
A G Q Q E F P

14 分

3分 6分

D C

在 Rt△BGF 中,由 BF ? 3, ?BGF ? 60? ,所以 GF ? 1 . 在△AQF 中,设 QE ? h ,则 AQ ? 4 ? h2 , 由 S△ AQF ?

B 2 1 1 E ,???? 12 分 ? AQ ? GF ? ? AF ? QE 得 4 ? h2 ? 3h ,从而 h ? 2 2 2

十校高三(理科)试卷第 6 页(共 4 页)

又在 Rt△PED 中, PD ? 2 2, DE ? 3 ,所以 PE ? 5 ,从而

QE 10 .?? 14 分 ? PE 10

解法二:如图以 A 为原点, AB、AC 分别为 x 轴、y 轴,建立空间直角坐标系 A?xyz, 则 A ? 0,0,0 ? , B 2 3, 0, 0 , E 设点 Q

?

?

?

3,1, 0 , ??????????????

?

8分

?

3,1, h ,设面 AQE 的法向量 m=(x1,y1,z1).

?

??? ? ? ? ? m ? AE ? 3 x1 ? y1 ? 0, ? z1 ? 0, 由 ? ???? 得? ? ? 3x1 ? y1 ? 0, ? m ? AQ ? 3 x1 ? y1 ? hz1 ? 0, ?

z P

令 x1 ? 1 ,得 m ? 1, ? 3,0 .????? 设面 ABQ 的法向量 n=(x2,y2,z2),

?

?

10 分
Q A E B x D C y

??? ? ? ? x ? 0, ? n ? AB ? 2 3x2 ? 0, 由 ? ???? 得? 2 ? ? n ? AQ ? 3x2 ? y2 ? hz2 ? 0, ? y2 ? hz2 ? 0,

1? ? 令 y2 ? 1 得 n ? ? 0,1, ? ? .??????? 12 分 h? ?

由 cos 60? ?

m?n ? m n

3 2? 1? 1 h2

?

1 2 ,得 h ? ,又易求得 PE ? 5 , 2 2

QE h 10 .??????????????????????? 14 分 ? ? PE PE 10 c 1 21.解:(Ⅰ)椭圆的顶点为 (0, 3) ,即 b ? 3 , e ? ? ,所以 a ? 2 , a 2 x2 y 2 ∴椭圆的标准方程为 ? 4分 ? 1 . ?????????????????? 4 3 ? x2 y 2 ? 1, ? ? (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,由 ? 4 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 , 3 ? y ? kx ? m, ?

所以

∴ x1 ? x2 ? ?

4m2 ? 12 8km , , ?????????????? x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

6分

∴△= 64k 2 m2 ? 16(4k 2 ? 3)(m2 ? 3) =16(12k 2 ? 3m2 ? 9) ? 0 , 则 |MN|= 1 ? k 2
2 2 ? 2 4 12k ? 3m ? 9 , ????????? ? 1 ? k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

8分

令 m ? 0 ,可得|AB|= k 2 ? 1

4 12 k 2 ?9 , ?????????????? 3 ? 4k 2

10 分

十校高三(理科)试卷第 7 页(共 4 页)

| AB |2 12 1 ? k 2 ? ? 4 ,化简得 m ? ?k 或 m ? k (舍去),????? | MN | 12k 2 ? 3m 2 ? 9 ???? ? ???? ∴ OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1]



12 分

=

2 4k 2 ? 12 8k 2 ?5k 2 ? 12 2 4k ? 12 ? k ( ? ? 1) ? ? ?2 解得 k ? ? 2 ,??? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4 k 2 3 ? 4k 2

14 分 15 分 4分 5分

故直线 l 的方程为 y ? 2( x ?1) 或 y ? ? 2( x ? 1) .???????????? t 22. 解:(Ⅰ) 由题 f ?(x) ? 2 x 2 ?2t ? ,且 f ?(1) ?1 ,解得 t ? 1 .??????? x (Ⅱ)当 x1 ? x2 时,结论明显成立, ??????????????????? 不妨设 x1 ? x2 ,且记 ? ?| t ? 1| ?1 ,则 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≤ ? | ln x1 ? ln x2 | 等价于

? (ln x1 ? ln x2 ) ≤ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ ? (ln x2 ? ln x1 ) ? f ( x1 ) ? ? ln x1 ≤ f ( x2 ) ? ? ln x2 且 f ( x1 ) ? ? ln x1 ≥ f ( x2 ) ? ? ln x2 , 要使得对任意的 x1 , x2 ∈ (0,1] , f ( x1 ) ? ? ln x1 ≤ f ( x2 ) ? ? ln x2 恒成立, ? ? 只需 f ?( x) ≥ ? 对于 x ∈ (0,1] 恒成立,同理可得 f ?( x) ≤ 对于 x ∈ (0,1] 恒成立, x x ? t ? 即 ? ≤ 2 x2 ? 2t ? ≤ 对于 x ∈ (0,1] 恒成立 x x x ?当 t∈R 时, ?(| t ?1| ?1) ≤ 2 x 3 ?2 tx ? t ≤ | t? 1| ? 1 对于 x ∈ (0,1] 恒成立.? 9 分
考虑函数 g (x) ? 2 x 3 ?2tx ?t , x ∈ (0,1] ,则 g ?(x) ? 6 x 2 ?2t , (1)当 t ≤ 0 时,函数 g ( x) 在 (0,1] 上单调递增,此时 g (x) ≤g (1) ?2 ?t ; (2)当 t ≥ 3 时,函数 g ( x) 在 (0,1] 上单调递减,此时 g (x) ? g (0) ?t ;
? ? t ? t? (3)当 0 ? t ? 3 时,函数 g ( x) 在 ? ? 0, 3 ? 上递减及 ? ? 3 ,1? 上递增, ? ? ? ?

此时 g (x) ? max{ g (0), g (1)} max{ ? ,2t }?t 综上,当 t ? 1 时, g (x) ≤2 ?t ;当 t ≥1 时, g ( x) ≤ t ,
|t ?1| ?1 对于 x ∈ (0,1] 成立;????????????? 所以 2 x3 ? 2tx ?t ≤ 2 x 3 ?2 tx ? t ,可设函数 h(t ) ? | t ?1| ?t ?2 tx ? 2 x 3?1 , 为证 ?(| t ?1| ?1) ≤
? 2t (1 ? x) ? 2 x3 , t ≥1 2x ? 2 , 即 h(t ) ? ? ,则有 h(t ) ≥h(1) ?2 x 3 ? 3 2 t ( ? x ) ? 2 x ? 2, t ? 1 ?

13 分

又由上面 g (x) ? 2 x 3 ? 2tx ?t 的分析可知函数 y ? 2 x3 ? 2 x ? 2 ( x ∈ (0,1] )在 x ? 最小,所以 h(t ) ≥h(1) ?2 x 3 ? 2 x ?2 ≥
18 ?4 3 ?0 , 9 2 x 3 ?2 tx ? t 对任意 x ∈ (0,1] 恒成立.????????? 从而 ?(| t ?1| ?1) ≤
十校高三(理科)试卷第 8 页(共 4 页)

3 处取到 3

15 分


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