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26。平面向量的概念及其运算

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第 26 课时平面向量的概念及线性运算
编者:季明宏 审核: 束必祥

班级________

第一部分
一、知识回顾:
1。向量的有关概念 名称 向量 零向量 定义

预习案

学号_________ 姓名_________

备注 平面向量是自由向

量 记作 0 非零向量 a 的单位向量为±

既有大小又有方向的量;向量的大 小叫做向量的长度(或称模) 长度为 0 的向量;其方向是任意的 长度等于 1 个单位长度的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做 共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量

单位向量

a a

平行向量 共线向量

0 与任一向量平行或共线
两向量只有相等或不等,不能比较 大小

相等向量 相反向量 2. 向量的线性运算 向量运算

0 的相反向量为 0

定义

几何意义

运算律 (1)交换律:

加法

求两个向量和的运算

a +b =b + a ;
(2)结合律: ( a + b )+ c = a +( b + c )

若 b + x = a ,则向量 x 叫 减法 做 a 与 b 的差,求两个向量 差的运算,叫做向量的减法 λ(μ a )=(λμ) a ; 数乘 实数 λ 与向量 a 相乘,叫做 向量的数乘 3. 共线向量定理: (λ+μ) a =λ a +μ a ; λ( a + b )=λ a +λ b

a - b = a +(- b )

二、基础训练 1. 若 a =“向东走 8 km”, b =“向北走 8 km”,则| a + b |=________; a + b 的方 向是________.

→ → 2. 如图在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边的中点,且AB= a ,AD → = b ,则BE=____________.

→ → → → → 3. 已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点,点 P 满足PA+BP+CP=0,AP=λPD,则实数 λ 的值为________.

4.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③ 平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线. 其中不正确命题的序 号是________.

三、我的疑惑

第二部分
探究一 平面向量的概念辨析 1.给出下列命题:

探究案

→ → ①若| a |=| b |, a = b ; 则 ②若 A, C, 是不共线的四点, B, D 则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;③若 a = b , b = c ,则 a = c ;④ a = b 的充要条件是| a | =| b |且 a ∥ b . 其中正确命题的序号是________.

2.下列命题中正确的是________.(填序号) ① a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线; ②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点; ③向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量; ④有相同起点的两个非零向量不平行.

探究二

向量的线性运算

→ → 1.如图,以向量OA= a ,OB= b 为邻边作平行四边形 OADB, → 1→ → 1 → → → → BM= BC,CN= CD,用 a , b 表示OM,ON,MN. 3 3

→ → → → → 2.在△ABC 中,AB= c ,AC= b ,若点 D 满足BD=2DC,则AD=________.(用 b 、 c 表 示) 探究三 共线向量定理及应用

1.设两个非零向量 a 与 b 不共线, → → → (1)若AB= a + b ,BC=2 a +8 b ,CD=3( a - b ),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 k a + b 和 a +k b 共线.

1 2.设 a , b 是两个不共线向量,若 a 与 b 起点相同,t∈R,t 为何值时, a ,t b , ( a + b ) 3 三向量的终点在一条直线上?

→ 1→ → 1→ 3.如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 与 4 2 → → → BC 相交于点 M,设OA= a ,OB= b .试用 a 和 b 表示向量OM.

4.如图所示,设 O 是△ABC 内部一点,且 OA +2 OB +2 OC = 面积之比为________.

0 ,则△ABC 和△BOC 的

5.知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线三点,动点 P 满足 OP = OA +λ ( AB
+ AC ),λ ∈[0,+∞),则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心.

我的收获

第三部分

训练案

见附页


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