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2013年北京市 海淀区高三二模数学(理科)详细答案


用心 细心 专心

海淀区高三年级第二学期期末练习



学(理科)

2013. 5

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,

共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.

1.集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2)≤0} ,B ? {x | x ? 0} , A ? B ? 则 A. (??, 0] B. (??,1] C. [1, 2] D. [1, ??)

2.已知数列 {an } 是公比为 q 的等比数列, a1 ? a3 ? 4 , 4 ? 8 , a1 ? q 的值为 且 则 a A. 3 B. 2 C. 3 或 ?2 D. 3 或 ?3

3.如图, 在边长为 a 的正方形内有不规则图形 W .向正方形内随机撒豆子, 若撒在图形 W 内和正方形内的豆子数分别为 m, n , 则图形 W 面积的估计 值为 A.

W

ma n

B.

na m

C.

ma 2 n

D.

na2 m
5

4.某空间几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积为 A. 180 C. 276 B. 240 D. 300

6

5.在四边形 ABCD 中, ?l ? R , “ 使得 AD ? l BC ,AD ? l BC ” 是“四边形 ABCD 为平行四边形”的

??? ?

??? ??? ?

???

主视图 6 6

左视图

俯视图

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,且 5 不排在百位,2,4 都不排在个 位和万位,则这样的五位数个数为 A.32 B.36 C.42 D.48

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7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F ,F2 , F2 恰好为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, 且 设双曲线 C 与 1 该抛物线的一个交点为 A , ?AF F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形, 若 则双曲线 C 的离心 1 率为 A. 2 B. 1 ? 2 C. 1 ? 3 D. 2 ? 3

8.若数列 {an } 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有 an ?T ? an 成立,则称数列 {an } 为周

?an ? 1, an ? 1, ? 期数列,周期为 T .已知数列 {an } 满足 a1 ? m(m ? 0) , an ?1 ? ? 1 , 0 ? an ≤1. ? an ?
则下列结论中错误的是 .. A.若 a3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 B.若 m ? 2 ,则数列 {an } 是周期为 3 的数列
? C. ?T ? N 且 T ≥2 ,存在 m ? 1 ,使得 {an } 是周期为 T 的数列

D. ?m ? Q 且 m≥2 ,使得数列 {an } 是周期数列 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在极坐标系中, 极点到直线 ? cos? ? 2 的距离为 10.已知 a ? ln . .

1 1 c , ? sin , ? b 2 2

?1 2 2

b c , a , , 按照从大到小排列为 则 ...

0 0 11.直线 l1 过点( ?2 , )且倾斜角为 30? ,直线 l2 过点( 2 , )且与直线 l1 垂直,则直
线 l1 与直线 l2 的交点坐标为 . ; ?ABC ? S .

? ? a 12.在 ?ABC 中, A ? 30? , B ? 45? , ? 2 , b ? 则

13.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 , 若动点 P 在线段 BD1 上运动, DC ? AP 的取值 则 范围是 .

??? ??? ?

14.在平面直角坐标系中, 动点 P ( x, y ) 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1) 的距离, 记 点 P 的轨迹为曲线为 W . (Ⅰ)给出下列三个结论: ①曲线 W 关于原点对称; ②曲线 W 关于直线 y ? x 对称; ③曲线 W 与 x 轴非负半轴, y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 其中,所有正确结论的序号是 ; .
1 ; 2

(Ⅱ)曲线 W 上的点到原点距离的最小值为

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ?

2sin( x ? ? ) 4

cos2 x

.

(Ⅰ)求 函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)求 函数 f ( x) 的单调增区间.

16. (本小题满分 13 分) 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业, 现在福彩中心准备发行一 种面值为 5 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:( 1) 该 福 利 彩 票 中 奖 率 为50 %; (2)每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元,50 元和 150 元三种; (3)顾客购买一张彩票获 得 150 元奖金的概率为 p , 获得 50 元奖金的概率为 2 %. (Ⅰ)假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (Ⅱ)为了能够筹得资金资助福利事业,求 p 的取值范围. 17. (本小题满分 14 分)

? ? 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ABC ? ?DAB ? 90? , CAB ? 30? ,BC ? 2 ,
AD ? 4 .把 ?DAC 沿对角线 AC 折起到 ?PAC 的位置, 如图 2 所示, 使得点 P 在平面 F PB ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上, 连接 PB , E , 分别为线段 PA , 的中 点
点. (Ⅰ)求证: 平面 EFH ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值;

F H (Ⅲ) 在棱 PA 上是否存在一点 M , 使得 M 到 P , ,A , 四点的距离相等?请说明理
由.

D E C A A 图1 B F

P

H B 图2

C

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18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ,A(a, 0) 为一定点,直线 x ? t (t ? 0) 分别与函数 f ( x ) 的图象 和 x 轴交于点 M ,N , ?AMN 的面积为 S (t ) . 记 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 S (t ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 2 时,若 ?t0 ?[0, 2] ,使得 S (t0 )≥e ,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 M :
2 x 2 ? y ? 1 (a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2 , 一内角为 60? a 2 b2

的菱形的四个顶点. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)直线 l 与椭圆 M 交于 A ,B 两点,且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, ? ) ,求

1 2

?AOB (O 为原点 ) 面积的最大值.

20. (本小题满分 13 分) 设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之

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和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ)数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作” 使得 , 到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负 实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种 方法即可) ; (Ⅱ)数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作” , 才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和 均为非负整数, ..a 的所有可能值; 求整数
a 2-a a2-1 1-a2 表1 -a a-2 表2 -a2 a2 1 -2 2 1 3 0 -7 1

(Ⅲ)对由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A ,能否经过有限次“操作” 以后,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数? 请说明理由.

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科)

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参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B

2013.5
8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 2 12. 2;

10. c ? b ? a

11. (1, 3) 14.②③; 2 ? 2

3 ?1 2

13. [0,1]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 sin( x ? ) ? 0 所以 x ?

π 4

π ? kπ, k ? Z 4 π 4

????????2 分 ????????4 分 ????????6 分

所以函数的定义域为 {x | x ? kπ+ , k ? Z} (II)因为 f ( x ) ? 1 ?

cos 2 x ? sin 2 x sin x ? cos x

= 1 ? (cos x ? sin x)
? 1 ? sin x ? cos x

π = 1 ? 2 sin( x ? ) 4
分 又 y ? sin x 的单调递增区间为 (2kπ ? ,2kπ ? ) , k ? Z

????????8

π 2

π 2

π π π ? x ? ? 2kπ ? 2 4 2 3π π ? x ? 2kπ ? 解得 2kπ ? 4 4 π 又注意到 x ? kπ+ , 4


2kπ ?

????????11 分

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2kπ ?

3π π ,2kπ ? ) , 4 4

k ? Z ???????13 分

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16. 解: (I)设至少一张中奖为事件 A
2 则 P( A) ? 1 ? 0.5 ? 0.75

???????4 分

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ? 则 ? 可以取 5,0, ?45, ?145 ???????6 分

? 的分布列为

?
P

5

0

?45

?145

50%

50% ? 2% ? p

2%

p
???????8 分

所以 ? 的期望为 E? ? 5 ? 50% ? 0 ? (50% ? 2% ? p) ? ( ?45) ? 2% ? ( ?145) ? p

? 2.5 ? 90% ? 145p
所以当 1.6 ? 145 p ? 0 时,即 p ? 所以当 0 ? p ?

???????11 分 ???????12 分

8 725

8 时,福彩中心可以获取资金资助福利事业???????13 分 725

17.解: (I)因为点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上 所以 PH ? 平面 ABC ,所以 PH ? AC ???????1 分

因为在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? ,

BC ? 2 , AD ? 4
所以 AC ? 4 , ?CAB ? 60? ,所以 ?ADC 是等边三角形, 所以 H 是 AC 中点, 所以 HE / / PC 同理可证 EF / / PB 又 HE ? EF ? E , CP ? PB ? P 所以平面 EFH / / 平面 PBC (II)在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则 A(0, ?2,0) , P(0,0,2 3) , B( 3,1,0) ???????6 分 ???????5 分 ???????2 分 ???????3 分

因为 E(0, ?1, 3) , HE ? (0, ?1, 3) 设平面 PHB 的法向量为 n ? ( x, y, z )
A F x

??? ?

z P E H B C y

?

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因为 HB ? ( 3,1,0) , HP ? (0,0,2 3)

??? ?

??? ?

??? ? ? ? HB ? n ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ? ? 所以有 ? ??? ? ,即 ? , ?z ? 0 ? HP ? n ? 0 ? ?


x ? 3,



y ? ?3,

所 ???????8 分



? n ? ( 3, ?3,0)
? ???? ? ???? n ? HE 3 3 ? cos ? n, HE ?? ? ????? ? ? 4 | n | ?| HE | 2 ? 2 3
???????10 分 所 以 直 线

HE







P H 所 B















3 4

???????11 分 ???????12 分

(III)存在,事实上记点 E 为 M 即可

EH ? PE ? EA ? 因为在直角三角形 PHA 中,
分 在直角三角形 PHB 中,点 PB ? 4, EF ? 所 等 18.解: (I) 因为 S (t ) ? 当 a ? 0 , S (t ) ? 以 点

1 PA ? 2 , 2

???????13

1 PB ? 2 2


E







P,

O,

C, 的

F 距





???????14 分

1 | t ? a | e t ,其中 t ? a 2

???????2 分

1 | t | et ,其中 t ? 0 2 1 1 当 t ? 0 时, S (t ) ? tet , S '(t ) ? (t ? 1)et , 2 2
所 增, 以

S ' t ?(

),

0 所



S (t )



(0, ??)





???????4 分

当 t ? 0 时, S (t ) ? ? tet , S '(t ) ? ? (t ? 1)et ,

1 2

1 2

1 2 1 令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ?1,0) 上递减 ?????7 分 2
令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ??, ?1) 上递增 综上, S (t ) 的单调递增区间为 (0, ??) , ( ??, ?1)

S (t ) 的单调递增区间为 ( ?1,0)

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(II)因为 S (t ) ?

1 | t ? a | et ,其中 t ? a 2 1 当 a ? 2 , t ? [0,2] 时, S (t ) ? (a ? t )et 2

因为 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e ,所以 S (t ) 在 [0,2] 上的最大值一定大于等于 e

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et 2
t ? a ?1
当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时





S' t ?

(

, )

得 0

???????8 分

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0,2) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 所以当 t ? 2 时, S (t ) 取得最大值 S (2) ? (a ? 2)e2 2 1 2 a ? ?2 , 令 (a ? 2)e2 ? e ,解得 2 e
所 以

a?3
???????10 分 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0, a ? 1) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? ( a ? 1,2) 成立, S (t ) 单调递减 2 1 所以当 t ? a ? 1 时, S (t ) 取得最大值 S (a ? 1) ? ea ?1 2 1 令 S (a ? 1) ? ea ?1 ? e ,解得 a ? ln 2 ? 2 2
所 以

l

?

a
???????12 分

n

?











l

? ?a

n

2

2

???????13 分 19.解:(I)因为椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, a 2 b2

一内角为 60? 的菱形的四个顶点,

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a? 3 b? ,

,

1 椭



M









x2 ? y2 ? 1 3

???????4 分

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 因为 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) , 显然直线 AB 有斜率, 当直线 AB 的斜率为 0 时,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,则 x1 ? ? x2 , y1 ? y2

1 2

1 x2 x2 1 2 所以 S?AOB = | 2 x1 || y1 |?| x1 || y1 |?| x1 | 1 ? 1 ? x12 (1 ? 1 ) ? x1 (3 ? x12 ) 2 3 3 3
因为 x12 (3 ? x12 ) ? 所以 S ?AOB

x12 ? (3 ? x12 ) 3 ? , 2 2 3 6 3 ,当且仅当 | x1 |? 时, S ?AOB 取得最大值为 ? 2 2 2

??????7 分

当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y ? kx ? t

? y ? kx ? t ? 2 2 2 所以 ? x 2 ,代入得到 (3k ? 1) x ? 6ktx ? 3t ? 3 ? 0 2 ? 3 ? y ?1 ?
2 2 当 ? ? 4(9k ? 3 ? 3t ) ? 0 ,

即 3k 2 ? 1 ? t 2 ①

方程有两个不同的解 又

x1 ? x2 ?

?6kt 3k 2 ? 1

, ???????8

x1 ? x2 ?3kt ? 2 2 3k ? 1
分 所以

y1 ? y2 t ? 2 , 2 3k ? 1


y1 ? y2 1 ? 2 ? ? 1 ,化简得到 2 又 2 3k ? 1 ? 4t x ?x k 0? 1 2 2
代 入









0?t?4
???????10 分 又原点到直线的距离为 d ?

|t | k2 ?1

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| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1

1 1 |t | 所以 S?AOB = | AB || d |? 1? k2 2 2 k2 ?1
化 简

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1
得 到

S?A =

1 4

?

2 O

3 t

B

(

t

4

???????12 分 因为 0 ? t ? 4 ,所以当 t ? 2 时,即 k ? ? 综 上 ,

7 3 时, S ?AOB 取得最大值 3 2
积 的 最 大 值 为

?A

O 面 B

3 2 20.(I)解:法 1:

???????14 分

1 2 3 ?7 1 2 3 7 1 2 3 7 改变第4列 改变第2行 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 ?2 1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 2:

1 2 3 ?7 ?1 2 3 ?7 ?1 2 3 7 改变第1列 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 ?1

???????3 分 (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ①如果首先操作第三列,则

a a2 ? 1 a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 2 ? a a2
则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a ?

1 5 或a ? 2 2 1 时,则接下来只能操作第一行, 2
?a a 2 2 ? a a2

当a ?

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

用心 细心 专心

此时每列之和分别为 2 ? 2a,2 ? 2a 2 ,2 ? 2a,2a 2 必有 2 ? 2a 2 ? 0 ,解得 a ? 0, ?1 当a ?

5 时,则接下来操作第二行 2

a a2 ? 1 a ?a 2 a ? 2 a 2 ? 1 a ? 2 ?a 2
此 意. ?6 分 ② 如果首先操作第一行 时 第 4 列 和 为 负 , 不 符 合 题

??????

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

a a2 a ? 2 a2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a 2 , 2a ? 2 , 2a 2 当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ? 1 时, 2 ? 2a , 2a ? 2 至少有一个为负数, 所以此时必须有 2 ? 2a 2 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 或 a ? ?1 经检验, a ? 0 或 a ? ?1 符合要求 综 上 :

a?0 ?

,
???????9 分

1

(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。 证明如下: 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 cij( i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n ) 各行的数字之和分别为 ,

a1 , a2 ,?, am , 各列的数字之和分别为 b1 , b2 ,?, bn ,A ? a1 ? a2 ? ? ? am ,B ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,
数表中 m ? n 个实数之和为 S ,则 S ? A ? B 。记

K ? min k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kn cin | kl ? 1或 ? 1(l ? 1,2,?, n)且 k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kncin ? 0
1?i ?m

T ? min t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ts ? 1或 ? 1(s ? 1,2,?, m)且 t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ? 0
1? j ?n

?

?

|

?

?

? ? min?K , T ? .
按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B ) 增大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2 ? ,但是每次操作都只是改变数表中某 行(或某列) 各数的符号, 而不改变其绝对值,显然,S 必然小于等于最初的数表中 m ? n 个 实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行和与

用心 细心 专心

所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号, S 就又会继续上升,导致 矛 立 ???????13 分 盾 , 故 结 论 成 。


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