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安徽省马鞍山市2015届高中毕业班第三次教学质量检测数学(理)试题(word版)


2015 年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测

高三理科数学试题 第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: 1.已知 i 是虚数单位,则 ? A. 1
?1? i ? ? ?1? i ?
3

=(▲) C.
?i

B. i

D

/>?1 .

答案:B 命题意图:复数及其运算. 简单题 2.下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是(▲) 2 A. y ? ? B. y ? x 3 C. y ? log 2 x D. y ? tan x x 答案:B 命题意图:函数及其性质. 简单题 3. 已知 a ? 0 , b ? 0 且 a ? 1 ,则 log a b ? 0 是 (a ? 1)(b ? 1) ? 0 的(▲) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 命题意图:函数性质与充要条件. 简单题 4. 右图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为 S=720 ,则在 判断框中应填入关于 k 的判断条件是(▲) A. k ? 6? B. k ? 7 ? C. k ? 8 ? D. k ? 9 ? 答案:C 第 4 题图 命题意图:程序框图 简单题 ? 5. 已知函数 y ? 2sin(2x ? ? )(| ? |? ) 的图象经过点 (0,1) ,则该函数的一条对称轴方程为(▲) 2 ? ? ? ? A. x ? ? B. x ? ? C. x ? D. x ? 12 12 6 6 答案:D 命题意图:三角函数及性质 简单题 6. 右图是一个几何体的三视图,则该几何体体积为(▲) A.15 B. 16 C.17 D.18 答案:A 3 命题意图:三视图及几何体的体积计算 中档题
3 1 3
正视图 侧视图

第 6 题图
俯视图

7.已知直线 ?

?x ? 2 ? t (t 为参数)与曲线 M : ? ? 2cos ? 交于 P, Q 两点,则 | PQ |? (▲) ? y ? 1? t

A.1 B. 2 C. 2 D. 2 2 答案:C 命题意图:极坐标与参数方程 简单题 1 8. 函数 f ? x ? ? ? ln | x | 的图象大致为(▲) x
y y
1
-1

y
1

y

2 -2 -1

1 -2 2

O

x

O

-1

1

x

-1 O

-1

1

x

O

-1

1

x

A.

B.

C.

D.

答案:B 命题意图:函数性质与图象 中档题 9. 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目, 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,则同类 节目不相邻的排法种数是(▲) A. 72 B. 168 C. 144 D. 120 答案:D 命题意图:排列组合应用 难题 解:先安排小品类节目和相声类节目,然后让歌舞类节目去插空. 2 3 ? A4 ? 48 (1)小品 1,相声,小品 2.有 A2
2 1 ? C3 ? A32 ? 36 (2)小品 1,小品 2,相声.有 A2 2 1 ? C3 ? A32 ? 36 (3)相声,小品 1,小品 2.有 A2 共有 48 ? 36 ? 36 ? 120 种,选 D. x2 y 2 10.已知 F 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,点 A(0, b) ,过 F , A 的直线与双曲线的一 a b

条渐近线在 y 轴右侧的交点为 B ,若 AF ? ( 2+1) AB ,则此双曲线的离心率是(▲) A. 2 B. 3 答案:A 命题意图:圆锥曲线及其性质 难题 C. 2 2 D. 5

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. 11.设随机变量 X 服从正态分布 N (1, ? 2 ) ,且 P( X ? a 2 ? 1) ? P( X ? a ? 3) ,则正数 a = ▲ 答案:2 .

命题意图:正态分布 简单题
1 12. 已知二项式 ( x2 ? )n 的展开式的系数之和为 32 ,则展开式中含 x 项的系数是 ▲ x 答案:10 命题意图:二项式定理 简单题 13. 如图,在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机取一点, 则它取自阴影部分的概率为 ▲ . 2 答案: 2 e

.

命题意图:定积分,几何概型及指、对数函数。 中档题 14. 设 a , b 为正实数,则
a b 的最小值为 ? a ? 2b a ? b

第 13 题图 ▲ .

答案: 2 2 ? 2 命题意图:基本不等式 难题 15. 如图, 四边形 ABCD 是正方形, 以 AD 为直径作半圆 DEA (其中 E 是 AD 的中点) ,若动点 P 从点 A 出发,按如下路线运动:
A ? B ?C ? D ? E ? A ? D ,其中 AP ? ? AB ? 2? AE (?、? ? R) ,

D

C
P

E A
第 15 题图

B

则下列判断中: ①不存在点 P 使 ? ? ? ? 1 ; ②满足 ? ? ? ? 2 的点 P 有两个; ③ ? ? ? 的最大值为 3; ④ 若满足 ? ? ? ? k 的点 P 不少于两个,则 k ? (0,3) .

正确判断的序号是 ▲ .(请写出所有正确判断的序号) 答案:②③ 命题意图:向量运算、线性规划及直线与圆的位置关系 难题 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) C A 3 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,面积为 S,已知 a cos2 ? c cos2 ? b 2 2 2 (Ⅰ)求证: a、 b、 c 成等差数列; ? (Ⅱ)若 B ? , S ? 4 3,求 b . 3 命题意图:三角函数与解三角形 简单题

解: (Ⅰ)由正弦定理得: sin A cos2

C A 3 ? sin C cos2 ? sin B 2 2 2 1 ? cos C 1 ? cos A 3 即 sin A ? sin C ? sin B 2 2 2 sin A ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? 3sin B ∴ 即 sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B

………………2 分 ………………4 分

∵ sin( A ? C ) ? sin B ∴ sin A ? sin C ? 2sin B 即 a ? c ? 2b ∴ a, b, c 成等差数列。
1 3 (Ⅱ)∵ S ? ac sin B ? ∴ ac ? 16 ac ? 4 3 2 4 又 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c2 ? ac ? (a+c)2 ? 3ac

………………6 分 ……………8 分 ………………10 分 ………………12 分

由(Ⅰ)得: a ? c ? 2b

∴ b ? 4b ? 48 ? b ? 4
2 2

17. (本小题满分 12 分) 为了普及环保知识,增强环保意识,某校从理科甲班抽取 60 人,从文科乙班抽取 50 人参 加环保知识测试。 (Ⅰ)根据题目条件完成下面 2× 2 列联表,并据此判断是否有 99%的把握认为环保知识成绩 优秀与学生的文理分类有关. 优秀人数 非优秀人数 总计 甲班 30 乙班 60 总计 1 1 1 (Ⅱ)现已知 A, B, C 三人获得优秀的概率分别为 , , ,设随机变量 X 表示 A, B, C 三人中获 2 3 3 得优秀的人数,求 X 的分布列及期望 E ( X ) . 附: K 2 ?
n(ad ? bc) 2 ,n ? a?b?c?d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k0 )
k0

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

命题意图:2× 2 列联表,概率,分布列及期望 中档题 解(Ⅰ)2× 2 列联表如下 甲班 乙班 总计 由 K2 ?
K2 ?

优秀 40 20 60

非优秀 20 30 50

总计 60 50 110

n(ad ? bc) 2 算得, (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

110(40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 ? 7.8 ? 6.635 , (40 ? 20)(20 ? 30)(40 ? 20)(20 ? 30)

所以有 99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关…………………5 分 1 1 (Ⅱ)设 A, B, C 成绩优秀分别记为事件 M , N , R ,则 P(M ) ? , P( N ) ? P( R) ? 2 3 ∴随机变量 X 的取值为 0,1,2,3……………………………………………6 分 1 2 2 2 P( x ? 0) ? P(M N R) ? ? ? ? , 2 3 3 9 1 2 2 1 1 2 1 2 1 4 P( x ? 1) ? P(M N R ? MN R ? M NR) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 3 2 3 3 2 3 3 9 1 1 2 1 1 1 1 2 1 5 P( x ? 2) ? P(MN R ? MNR ? M NR) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 3 2 3 3 2 3 3 18 1 1 1 1 ……………………………………………10 分 P( x ? 3) ? P(MNR) ? ? ? ? 2 3 3 18 所以随机变量 X 的分布列为: X P 0 2 9 1 4 9 2 5 18 3 1 18

2 4 5 1 7 E(X) =0× +1× +2× +3× = …………………………………………………………12 分 9 9 18 18 6 18. (本小题满分 12 分) P 如图, 已知 E , F 分别是正方形 ABCD 边 BC , CD 的中点, EF 与 PA, NC 都垂直于平面 ABCD , 且P , M AC 交于点 O , A A ? B N C ?2 是 PA 中点. M (Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; (Ⅱ)求二面角 M ? EF ? N 的余弦值. 命题意图:空间点、线、面的位置关系 D A 中档题 解:法 1: (Ⅰ)连结 BD ,∵ PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , O ∴ PA ? BD B E 又∵ BD ? AC , AC ? PA ? A ,∴ BD ? 平面 PAC , 第 18 题图 又∵ E , F 分别是 BC 、 BD 的中点,∴ EF∥BD , ∴ EF ? 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF , ∴平面 PAC 平面 NEF ;……………………………5 分 (Ⅱ)连 OM,∵ EF ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC , z ∴ EF ? OM , P 在等腰三角形 NEF 中,点 O 为 EF 的中点,∴ NO ? EF , ∴ ?MON 为所求二面角 M ? EF ? N 的平面角, 设 AB ? 4 ,∵点 M 是 PA 的中点,∴ AM ? NC ? 2 , M 所 以 在 矩 形 MNCA 中 , 可 求 得 MN ? AC ? 4 2 , NO ? 6 , MO ? 22 ………………………………9 分 在 ?MON 中,由余弦定理可求得: D
cos ?MON ? OM 2 ? ON 2 ? MN 2 33 ?? , 2 ? OM ? ON 33
A F O B x E

N

F C

N y

C

∴二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?

33 .…………12 分 33

法 2: (Ⅰ)同法 1;…………………………………5 分 (Ⅱ)设 AB ? 4 ,建立如图所示的直角坐标系, 则 P(0, 0, 4) , C (4, 4, 0) , E (4, 2, 0) , F (2, 4, 0) , M (0, 0, 2) , N (4, 4, 2) ∴ PC ? (4, 4, ?4) , EF ? (?2, 2,0) ,则 EN ? (0, 2, 2) EN ? (0, 2, 2) , 设平面 NEF 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,
? ?m ? EN ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 则? ,令 x ? 1 ,得 y ? 1 , z ? ?1 ?? ? 2 x ? 2 y ? 0 m ? EF ? 0 ? ? ? 即 m ? (1,1, ?1) ,

同理可求平面 MEF 一个法向量 n ? (1,1,3) ,…………………………………………9 分 ∴ cos ? m, n ??
1?1? 3 3 ? 11 ?? 33 , 33
33 . 33

∴二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ? 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ?

……………………………………12 分

(n ? 1)an ,且 a1 ? 1 . 2

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ln an ,是否存在 k (k ? 2, k ? N ) ,使得 bk 、 bk ?1 、 bk ? 2 成等比数列. 若存在,求出所有符合条件的 k 值;若不存在,请说明理由. 命题意图:数列综合应用 中档题 (Ⅰ)解法 1:当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 即
an an ?1 ? (n ? 2) . n n ?1
(n ? 1)an nan ?1 ? , 2 2

……………1 分

…………………………………………3 分 ……………………4 分

a a 所以数列 { n } 是首项为 1 ? 1 的常数列. n 1

所以

an ? 1 ? an ? n(n ? N*) . n

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n(n ? N*) .…………………………6 分 解法 2:当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 即
an n ? ( n ? 2) . an ?1 n ? 1

(n ? 1)an nan ?1 ? , 2 2

………………………1 分

…………………………………………………3 分

? an ?

an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2

?

a3 a2 n n ?1 ? ? a1 ? ? ? a2 a1 n ?1 n ? 2

3 2 ? ? ? 1 ? n .………4 分 2 1

因为 a1 ? 1 ,符合 a n 的表达式.

……………………………………………5 分 …………………………6 分

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n(n ? N*) .

(Ⅱ)假设存在 k (k ? 2, k ? N ) ,使得 bk , bk ?1 , bk ? 2 ,成等比数列,
2 即 bk bk ? 2 ? bk ?1 .……………………………………………………………………7 分

因为 bn ? ln an ? ln n(n ? 2) ,
? ln(k 2 ? 2k ) ? ? ln k ? ln(k ? 2) ? ?? 所以 bk bk ? 2 ? ln k ? ln(k ? 2) ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?
2 2

……………………10 分

? ln(k ? 1) 2 ? 2 ?? ? ? bk ?1 . 2 ? ?
2 这与 bk bk ? 2 ? bk ?1 矛盾.

2

……………………………………11 分

故不存在 k (k ? 2, k ? N ) ,使得 bk、bk +1、bk +2 成等比数列.………………………12 分 20. (本小题满分 13 分) x2 y 2 已知椭圆 2 ? ? 1(a ? 3) 的左、右顶点分别为 A , B ,右焦点为 F (c, 0) ,点 P 是椭圆 C 上异 3 a 于 A ,B 的动点, 过点 B 作椭圆 C 的切线 l , 直线 AP 与直线 l 的交点为 D , 且当 | BD |? 2 2c 时, |AF |=|DF | . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当点 P 运动时,试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并证明你的结论. 命题意图:圆锥曲线与圆综合应用 难题 解: (Ⅰ)依题可知 A(? a, 0) 、 D a, 2 2c ,…………1 分 由 | AF |?| FD | ,得, a ? c ?

?

?

y P

D E

?a ? c?

2

? 8c ,………2 分
2

化简得 a ? 2c ,由 a 2 ? 3 ? c 2 得 a 2 ? 4 ……………4 分 x2 y 2 故所求椭圆 C 的方程是 ? ? 1 .………………………5 分 4 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ? ?2,0 ? , B ?2,0 ? ,

A

O

F

B

x

在点 B 处的切线方程为 x ? 2 . 以 BD 为直径的圆与直线 PF 相 切. 证明如下:由题意可知直线 AP 的斜率存在,设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2), (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) . ………………………6 分 由?
? y ? k ( x ? 2), 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 . ? x2 y2 ? ?1 ? 3 ?4

设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则由韦达定理: ?2 x0 ?

16k 2 ? 12 . ……………8 分 3 ? 4k 2

12k 6 ? 8k 2 , y0 ? k ( x0 ? 2) ? . 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 因为点 F 坐标为 (1,0) ,

所以 x0 ?

1 3 (1)当 k ? ? 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,直线 PF 的方程为 x ? 1 ,点 D 的坐标为 (2, ?2) . 2 2 此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2)2 ? ( y 1)2 ? 1 与直线 PF 相切 ………………9 分
y 4k 1 (2)当 k ? ? 时,直线 PF 的斜率 k PF ? 0 ? . x ? 1 1 ? 4k 2 2 0

1 ? 4k 2 4k …………11 分 ( x ? 1) ,即 x ? y ?1 ? 0 . 2 1 ? 4k 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 |2? ? 2k ? 1| 4k 2 ? ?| 2k | 故点 E 到直线 PF 的距离 d ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 1? ( ) ( ) 4k 4k 综上得,当点 P 运动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.……………………13 分 21. (本小题满分 14 分) a 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? ,其中 a 为常数. x

所以直线 PF 的方程为 y ?

(Ⅰ)若 f ( x) 的图像在 x ? 1 处的切线经过点(3,4) ,求 a 的值;
a2 )?0; 2 (Ⅲ)当函数 f ( x) 存在三个不同的零点时,求 a 的取值范围.

(Ⅱ)若 0 ? a ? 1 ,求证: f (

命题意图:函数与导数综合应用 难题 解:由题知 x ? 0 1 1 (Ⅰ) ……………………………2 分 f ?( x) ? ? a(1 ? 2 ) ? f ?(1) ? 1 ? 2a x x 1 4 ? f (1) …………………………4 分 a ? 2 ?a ? ? 又f ?(1) ? ? 2 ?1 ? 2 2 3 ?1 a2 a 2 a3 2 2 a3 2 x3 (Ⅱ) f ( ) ? ln ? ? ? 2ln a ? ? ? ln 2 ,令 g ( x) ? 2ln x ? ? ? ln 2 , 2 2 2 a a 2 x 2 2 4 2 2 3x ?3x ? 4( x ? 1) 则 g ?( x) ? ? 2 ? ……………………………………7 分 ? x x 2 2 x2 ) ∴ x ? (0,1 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调递减, 1 ) 故 x ? (0,1 时, g ( x) ? g (1) ? 2 ? ? ln 2 ? 0 , 2 2 a ∴当 0 ? a ? 1 时, f ( ) ? 0 …………………………………………9 分 2 1 1 ?ax2 ? x ? a (Ⅲ) f ?( x) ? ? a(1 ? 2 ) ? x x x2 ? ?)上,f ?( x) ? 0, f ( x)递增, ① 当a ? 0时,在(0, ∴ f ( x) 至多只有一个零点,不合题意;…………………………………………10 分 1 ② 当a ? 时,在(0, ? ?)上,f ?( x) ? 0, f ( x)递减, 2

∴ f ( x) 至多只有一个零点,不合题意;…………………………………………11 分
1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1, x2 ? ?1 ③ 当0 ? a ? 时,令f ?( x) ? 0, 得 x1 ? 2a 2a 2 此时, f ( x) 在 (0, x1 ) 上递减, ( x1 , x2 ) 上递增, ( x2 , ??) 上递减,所以, f ( x) 至多有三个零点。

因为 f ( x) 在 ( x1 ,1) 递增,所以 f ( x1 ) ? f (1) ? 0 ,又因为 f (

a2 a2 ) ? 0 ,所以 ?x0 ? ( , x1 ) ,使得 2 2 1 1 f ( x0 ) ? 0,又 f ( ) ? ? f ( x0 ) ? 0, f (1) ? 0 ,所以恰有三个不同零点: x0, 1, ,所以函数 f ( x) 存 x0 x0

1 在三个不同的零点时, a 的取值范围是 (0, ) 。………………………………14 分 2


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