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广东省深圳市2016届高三第一次调研考试(2月)理科数学试题


2016 年深圳市高三年级第一次调研考试
数学(理科)
1.已知集合 A ? x | y ? (1 ? x)(x ? 3) , B ? ?x | log2 x ? 1? ,则 A ? B ? ( A.?x | ?3 ? x ? 1? A.第一象限 B.?x | 0 ? x ? 1? C.?x | ?3 ? x ? 2? 2.设 i 为虚数单位,复数 z 满足

z ? i ? 3 ? 4i ,则 z 在复平面内对应的点在( B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2016.2.25 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的

?

?



D.?x | x ? 2? )

3.已知平面向量 a 、 b 满足 a ? 2 , b ? 1, a 与 b 的夹角为 120? ,且 a ? ?b ? 2a ? b , 则实数 ? 的值为( A. ? 7 ) B. ? 3 C. 2 D. 3 )

?

? ?

?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 4.若 x , y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值为( ?x ? 0 ?
A. ? 3 A. 65 B. 1 B. 80 C. ? 2 C. 85 D. 2

5.公差为 1 的等差数列 ?an ? 中, a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 10 项和为( 6.若函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ? )( ? ? 是( )



?

2

) 的图像过点 ( ,1) ,则该函数图像的一条对称轴方程 6
C. x ?

?

D. 170

A. x ?

?
12

B. x ?

5? 12

?
6

D. x ?

?
3

1 6 2 7. ( x ? 2)( x ? ) 的展开式中常数项为( ) x A. ? 40 B. ? 25 C. 25

D. 55

8.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图, 则在该几何体中,最长的棱的长度是( ) A. 4 2 B. 2 5 C. 6 D. 4 3 9. 4 名同学参加 3 项不同的课外活动,若每名同学可自由选择参加其中 的一项,则每项活动至少有一名同学参加的概率为( ) A.

4 9

B.

4 27

C.

9 64

D.

3 64 1 , 2

10 .点 S 、 A 、 B 、 C 在 半 径为

2 的 同一 球面上 ,点 S 到 平面 ABC 的 距 离为

AB ? BC ? CA ? 3 , 则点 S 与 ?ABC 中心的距离为(
A. 3 B. 2

) C. 1 D.

1 2

11. 过点 (0,2b) 的直线 l 与双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) 的一条斜率为正值的渐进线平行, a2 b2
-1-

若双曲线 C 的右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b ,则双曲线 C 的离心率为取值范围是( A. ?1,2? B. ?2,??? B. ?? ?,1? C. ?1,2? D. 1, 2

?

?



12.函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? x 有两个零点,则实数 a 的取值范围是( A. ?0,1? C. ? ? ?,

) D. ? 0,

? ?

1? e ? ? e2 ?

? 1? e ? 2 ? ? e ?

二.填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13 . 已 知 f ( x) , g ( x) 分 别 是 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 且

f ( x) ? g ( x) ? 3 x ,则 f (1) 的值为______ 14.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无
限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术” ,利 用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14 ,这 就是著名的“徽率” .如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图,则输出的值为_______
? ? (参考数据: sin 15 ? 0.2588, sin 7.5 ? 0.1305)

15.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,且倾斜角为

? 的直线与抛物线 4

交于 A, B 两点,若弦 AB 的垂直平分线经过点 (0,2) ,则 p 等于_______ 16.数列 ?an ? 满足 a n ? ? _______ 三.解答题:本大题共 8 小题,满分 70 分,解答须写出文字 说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分)
? 如 图 , 在 ?ABC 中 , ?C ? 60 , D 是 BC 上 一 点 , AB ? 31 , BD ? 20 , AD ? 21

2 2 ? ?n , a n ?1 ? n (n ? 2) ,若 ?an ? 为等比数列,则 a1 的取值范围是 2 ? 2 a , a ? n ? n ?1 n ?1

(1)求 cos ?B 的值; (2)求 sin ?BAC 的值和边 BC 的长

-2-

18. (本小题满分 12 分) 根据某水文观测点的历史统计数据,得到某河流水位 X (单位:米)的频率分布直方图如 下:

将河流水位在以上 6 段的频率作为相应段的概率,并假设每年河流水位互不影响 (1)求未来三年,至多有 1 年河流水位 X ? [27,31) 的概率(结果用分数表示) ; (2)该河流对沿河 A 企业影响如下:当 X ? [23,27) 时,不会造成影响;当 X ? [27,31) 时, 损失 10000 元;当 X ? [31 ,35) 时,损失 60000 元,为减少损失,现有种应对方案: 方案一:防御 35 米的最高水位,需要工程费用 3800 元; 方案二:防御不超过 31 米的水位,需要工程费用 2000 元; 方案三:不采取措施; 试比较哪种方案较好,并请说理由

19. (本小题满分 12 分)

PC ? 2

? 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,?ABC ? 60 ,PA ? PB ,

(1)求证:平面 PAB ? 平面 ABCD ; (2)若 PA ? PB ,求二面角 A ? PC ? D 的余弦值

-3-

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a2 b2

2 ,直线 x ? y ? 3 ? 0 与椭圆 E 仅有一个公共 2
点 (1)求椭圆 E 的方程; (2)直线 l 被圆 O : x 2 ? y 2 ? 3 截得的弦长为 3 ,且与椭圆 E 交于 A, B 两点,求 ?ABO 面积 的最大值

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)e 和函数 g ( x) ? (e ? a)(x ? 1) ( e 为自然对数的底数)
x x 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)判断函数 g ( x) 的极值点的个数,并说明理由;

-4-

(3)若函数 g ( x) 存在极值为 2 a 2 ,求 a 的值

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时写清 题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在直角 ?ABC 中, AB ? BC , D 为 BC 边上异于 B, C 的一点,以 AB 为直径作圆

O ,并分别交 AC, AD 于点 E , F (1)证明: C , E , F , D 四点共圆; (2)若 D 为 BC 的中点,且 AF ? 3 , FD ? 1 ,求 AE 的


23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲

? x ? t cos? ( t 为参数,0 ? ? ? ? ) , ? y ? t sin ? p 以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 1 ? cos ? ( p ? 0) (1)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程;
在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程为 ?

-5-

(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,求

1 1 ? 的值 OA OB

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 3 ( a ? R ) (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? x ? 8 的解集; (2)若函数 f ( x) 的最小值为 5 ,求 a 的值

-6-

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