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高三文科数学基础训练系列三


高三文科数学基础训练系列三
1、已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x 。 (I)写出函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (II)若函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? x0 对称,且 0 ? x0 ? 1 ,求 x0 的值。

2、某民营企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的

利润与投资成正比,其关系如

图甲,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙(注:利润与投资单位:万元).

甲 乙 (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资 x (万元)的函数关系式; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,问: 怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?

3、已知命题 P: x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两实数根;命题 Q:函数 y ? x2 ? mx ? n在?1, ??? 上为增函数。若命题 P ? Q 为假命题,P ? Q 为真命题,求实数 m 的取值范围。

4、对于函数 f ? x ? ?

a 3 b 2 x ? x ? a2 x ? a ? 0? . 3 2

(1) 若函数 f ? x ? 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 x ? 20 ,求 a , b 的值. (2) 设 x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个极值点,且 x1 ? x2 ? 2 ,证明: b ?
4 3 . 9

高三文科数学基础训练系列三(答案)
1、 (I)解: f ( x) ?

3 sin x cos x ? cos2 x ?
2? ?? 2 ? 2x ?

3 1 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 6 2

?T ?
由 2k? ?

?

?
6

2

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,

得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? z )

? ?? ? ? f ( x) 的单调递增区间为 ?k? ? , k? ? ? (k ? z ) 3 6? ?
(II)? f ( x) 的图象关于直线 x ? x0 对称,

6 k? ? ? x0 ? ? 2 6

? 2 x0 ?

?

? k? ?

?
2

(k ? z )
? x0 ?

? 0 ? x0 ? 1

?
6

2、解: (1) 设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元 由题设 f ( x) ? k1 x, g ( x) ? k 2 x

1 1 5 5 ,故 k1= 又 g ( 4) ? ,? k 2 ? 4 4 2 4 1 5 x ( x ? 0) 从而 f ( x) ? x( x ? 0), g ( x) ? 4 4
由图知 f(1)= (2) 设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元

y ? f ( x) ? g (10 ? x) ?
令 t ? 10 ? x 则 y ? 当t ?

1 5 x? 10 ? x (0 ? x ? 10) 4 4

10 ? t 2 5 1 5 65 ? t ? ? (t ? ) 2 ? (0 ? t ? 10) 4 4 4 2 16

5 65 时, y max ? , 此时 x ? 3.75 2 16 65 万元 16

答: 当 A 产品投入 3.75 万元,则 B 产品投入 6.25 万元,企业最大利润为

2 3、解:当命题 P 为真命题时,由 ? ? m ? 4 ? 0 解得 m ? ?2或m ? 2

m ? 1 解得 m ? ?2 2 而因为命题 P ? Q 为假命题,P ? Q 为真命题,所以 P、Q 一真一假. ?m ? ?2或m ? 2 若 P 真 Q 假时,由 ? 得 m ? ?2 m ? ?2 ?
当命题 Q 为真命题时,由 ? 若 P 假 Q 真时,由 ?

综上可得 m 的取值范围是 ? ??, ?2? ? ? ?2,2? 4、解析:⑴由切点为 ? 2, ?6 ? , y ? ax ? bx ? a ? k ,有
' 2 2

??2 ? m ? 2 ? m ? ?2

得 ?2 ? m ? 2

a 3 b 2 ? 2 ?? 6 ? ? 2 ? ? 2 ? a ? 2 3 2 ? ?7 ? a ? 2 2 ? b ? 2 ? a 2 ?
2 2

解得: a ? 3, b ? 2

⑵ 由题, x1 、 x2 是方程 ax ? bx ? a ? 0 的两个根,

b ? x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ?a ? 0 可得两根一正一负, a
不妨设 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 2 ? x2 ? x1 ? 2,

? ? x2 ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ? 4 x1 x2 ? 4 ?
2 2

b2 ? 4a ? b 2 ? a 2 ? 4 ? 4a ? . a2

设 t ? a2 ? 4 ? 4a ? ? 4a2 ? 4a3 , 其中a ? 0.

2? 2 ? t ' ? 8a ? 12a 2 ? ?12a ? a ? ? ? 0 得a ? 0 ? 舍去? 或 a ? , 3? 3 ? ; 2 ' 当0 ? a ? 时,t ? 0 3
当a ?

2 2 16 ' 时, t ? 0 . 所以当 a ? 时, t max ? , 3 3 27

即b ?
2

16 4 3 . ?b? 27 9


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