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江苏省淮州中学2012年高一数学暑假作业(4)


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高一暑假作业四
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需写出解答过程.请把答案直 接填写在答题纸相应位置上. ........ 1.若 a ? (1, 2),

b ? ( ?3,1), 则 2a ? b ?
0

/>
. 弧度. . . .

2.在单位圆中,面积为 1 的扇形所对的圆心角为 3.化简 sin15 ? 3 cos15 得到的结果是
0

4.与向量 a ? (1, ? 2) 垂直的单位向量是

5.已知 a ? (1, 2), b ? (?1, m) 若 a 与 b 夹角为钝角,则 m 的取值范围是 6.函数 y ? ? cos2 x ? 2sin x 的值域是 y ? .

7. 已知 a , b 都是非零向量, 且向量 a + 3b 与向量 7a - 5b 垂直, 向量 a - 4b 与向量 7 a - 2b 垂直,则 a 与 b 的夹角θ 的大小为 . 8.设 P (4,?3), P (?2,6), 且 P 在 P P 的延长线上,使 1 2 1 2 标是 .

P P ? 2 PP2 ,则点 P 的坐 1

9.已知偶函数 f ( x) ? 2sin(ωx ? ?)(? ? 0,0 ? ? ? ?) 的最小正周期是 ? ,则 f(x)的单 调递减区间为 .

10.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点, 国家最近出台的一系列政策已对各地的 房地产市场产生了影响, 温州市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统 计与预测:发现每个季度的平均单价 y(每平方面积的价格,单位为元)与第 x 季 度之间近似满足: y ? 500sin(ωx ? ?) ? 9500(ω ? 0) ,已知第一、二季度平均单 价如右表所示:则此楼群在第三季度的平均单价大约是 元. .

11.已知 a ? ( , 2sin ?), b ? ( cos ?, ), 且a ∥ b ,则锐角 ? 的值为

1 3

1 2

3 2

12. 设m , n是两个单位向量 , 向量a = 2m - n , a ⊥ n , 则 | a |= . ???? ???? 13. 在三角形 ABC 中, AB ? a ,AC ? b , D 在线段 BC 上, BD ? 3DC , AD 设 点 且 则 用 a , b 表示为 14.下列命题: ① 若 a ? b ? b ? c ,则 a ? c ; ② 若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量; ③ 若 a ? b ? a ? b ,则 a ? b ? 0 ; ④ 若 a 与 b 是单位向量,则 a ? b ? 1 .
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其中真命题的序号为



二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 ........ 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 设点 A(2,2) B(5,4) O 为原点,点 P 满足 OP = OA + t AB , t 为实数) , , ( ; (1)当点 P 在 x 轴上时,求实数 t 的值; (2)四边形 OABP 能否是平行四边形?若是,求实数 t 的值 ;若否,说明理由.

16.(本小题满分 14 分) 已知向量 m ? (1,1), 向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ; (2) 设向量 a ? (1,0),向量b = (cos x,,sin x) ,其中 x ? R ,若 n ? a ? 0 , 试求 | n ? b | 的 取值范围.

3? , 且m ? n ? ?1. 4

17.(本小题满分 15 分) 已知向量 a = (cosα , sinα ), b = (cosβ ,sinβ ), |a+b| =2| a-b |. (1)求 cos(α -β )的值; (2)若 0< α <

? ? 5 ,- < β <0 且 sin β = ? ,求 sinα 的值. 2 2 13

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18. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? a ? b sin 2 x ? c cos2 x 的图象经过点 A(0,1) 、
B ( ,1) ,且当 x ? [0 , ] 时,f(x)的最大值为 2 4 4

?

?

2 ? 1 ,求 f(x)的解析式.

19.(本小题满分 16 分) 已知向量 OA =(3, -4), OB =(6, -3), OC =(5-m, -3-m), (1)若点 A、B、C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,求实数 m 的值.

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20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 的第一个最大值点和最小值点分别为 (? ,2) 和 (4? , ?2) . (1)试求 f ( x ) 的解析式; (2)将 y ? f ( x ) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 再将新的图象向 x 轴正方向平移 出函数 y ? g( x ) 的解析式; (3) 写出函数 y ? g( x ) 的一个单调递增区间,同时写出它的对称轴方程和对称 中心坐标.

?
2

) 的图象在 y 轴右侧

1 (纵坐标不变) ,然后 3

? 个单位,得到函数 y ? g( x ) 的图象.写 3

高一暑假作业四 1.

(5,3)
? ?

2. 2

3. ? 2

4. ? ? ? 5 7. 60
?

?2 5 ? , 5? 5 ?

5. ?? ?,?2? ? ? ? 2, ? 8. (―8,15) 11.

1? 2?

6. ??2 , 2? ? 9. [k?, k? ?

? 4

12.

3

? ], k ? Z 2 3 1 a? b 13. 4 4

10. 9000 14.③

15.(本小题满分 14 分) 解: (1)设点 P(x,0) ,

AB =(3,2),

∵ OP = OA + t AB ,∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),

? x ? 2 ? 3t 则由, ? ?0 ? 2 ? 2t ,
(2)

? x ? ?1 ∴ 即? ?t ? ?1,

若 四 边 形

OABP

是 平 行 四 边 形 , 则 OP ? AB 无解.

??? ?

??? ?

, 而

??? ? ??? ? 2 ? 3t ? 3 OP ? OA + t AB ? (2 ? 3t , 2 ? 2t ) , ∴ ? ?

?2 ? 2t ? 2,

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∴四边形 OABP 不是平行四边形。

? x ? y ? ?1 ? x ? ?1 ? x ? 0 ? 16.解: (1)令 n ? ( x, y ) 则? ?? 或? 3? 2 2 ? 2 ? x ? y cos 4 ? ?1 ? y ? 0 ? y ? ?1 ?

? n ? (?1,0) 或 n ? (0,?1) ;
(2)? a ? (1,0), n ? a ? 0

?n ? (0,?1) ; n ? b ? (cosx, , sin x ? 1)

n ? b = cos 2 x ? (sin 2 x ? 1) 2 = 2 ? 2 sin x = 2(1 ? sin x) ;
∵ ―1≤sinx≤1, ∴0≤

n ? b ≤2
? ?

17.解: (1)? a=(cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), | a |=1,| b |=1,由已知,

?

?

? 3 3 ,∴cos (α -β ) = 5 5 ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? (2)? 0 ? ? ? ,? ? ? ? 0 2 2 3 4 5 12 ? cos( ? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ) ? 由sin ? ? ? 得 cos ? ? 5 5 13 13
得: a · b = ∴sinα =sin[(α -β )+ β ]=sin(α -β )cosβ +cos(α -β )sinβ =

?

4 12 3 5 33 ? ? ? (? ) ? 5 13 5 13 65

19. (本小题满分 15 分)

? f (0) ? 1 ?a ? c ? 1 ? 解: (1)由 ? ? 得? 即b ? c ? 1 ? a f ( ) ? 1 ?a ? b ? 1 ? 4 ?
f ( x) ? a ? (1 ? a)(sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 (1 ? a) sin( 2 x ?
当 x ? [0,

?
4

)?a

? ] 时,x ? ? ? [ ? , 3? ],sin(2 x ? ? ) ? [ 2 ,1] 2
4 4 4 4 4 2

当 1-a>0,即 a<1 时, f ( x) max ? 当 1-a<0 即 a>1 时, f ( x) max ?

2 (1 ? a) ? a ? 2 2 ? 1得a ? ?1 ;
2 (1 ? a) ? 2 ? a ? 2 2 ? 1, 无解; 2

当 1-a=0,即 a=1 时, f ( x) max ? a ? 2 2 ? 1 ,相互矛盾.

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故 f ( x) ? 2 2 sin( 2 x ? 19.(本小题满分 16 分)

?
4

) ?1

解: (1)已知向量 OA ? (3,?4),OB ? (6,?3),OC ? (5 ? m,?(3 ? m)) 若点 A、B、C 能构成三角形,则这三点不共线,

? AB ? (3,1), AC ? (2 ? m,1 ? m), 故知 3(1 ? m) ? 2 ? m .
∴实数 m ?

1 时,满足的条件. 2
△ABC 为直角三角形,

(2) BC ? (?m ?1, ?m)

??? ?

若∠A 为直角,则 AB ? AC , 若∠B 为直角,则 AB ? BC ,

??? ?

??? ?

7 . 4 ∴ 3(?m ? 1) ? (?m) ? 0 ,解得 m ? ? 3 . 4
∴ 3(2 ? m) ? (1 ? m) ? 0 ,解得 m ?

若∠C 为直角,则 AC ? BC , ∴ (2 ? m)(?m ? 1) ? (1 ? m)(?m) ? 0 ,解得

??? ?

??? ?

m ? 1? 5 . 2
∴m ?

7 1? 5 或m ? ? 3 或m ? . 2 4 4

20. 解: (1)由题意可得:∵ T ? 6? , A ? 2 ,∴ f ( x) ? 2sin( x ? ? ) ;? 函数图像过 ( ? ,2) ? sin( ,

?
3

? ?) ? 1, ? ? ?

?
2

,?? ?

?
6

1 3

,? f ( x) ? 2 sin(

(2)依题意得 g ( x) ? 2 sin( x ?

?
6

x ? ? ); 3 6

);

(3) 由 2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ? ? ,得 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2?

2

6

2

3

3

∴ 函数 y ? g( x ) 的单调递增区间是 [2k? ? ? , 2k? ? 2? ](k ? Z ) ,

3

3

令 sin( x ? ? ) ? ?1 ,得 x ? ? ? k? ? ? ,

6

6

2

x ? k? ? ? 3

∴它的对称轴方程为 x ? k? ? ? (k ? Z ) .

3

令 sin( x ? ? ) ? 0 ,得 x ? ? ? k? ,

6

6

x ? k? ? ? 6

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∴它的对称中心坐标为 (k? ? ? , 0) (k ? Z ) .

6

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