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§1.2 函数的基本性质2 学案


1.3

函数的基本性质

抓住重点、掌握难点、避免易错点
解读函数的单调性 一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质
1.这个区间可以是整个定义域.如 y=x 在整个定义域(-∞,+∞)上是单调递增的,y =-x 在整个定义域(-∞,+∞)上是单调递减的,此时单调性是函数的一个整体性质. 2.这个区间也可以是定义域的一

部分,也就是定义域的一个真子集,如 y=x2-2x+1 在整个定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,但是在(-∞,1]上是减函数,在(1,+∞)上 是增函数,这时增减性即单调性是函数的一个局部性质.21cnjy.com ?1,x为有理数, 3.有的函数无单调性.如函数 y=? 它的定义域是(-∞,+∞),但 ?0,x为无理数, 无单调性可言,又如 y=x2+1,x∈{0,1,2},它的定义域不是区间,也就不能说它在定义域 上具有单调性.

二、单调性的证明与判断
函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法.严格按照单调性定义进行证明.主要步 骤有如下五步: (1)取值:定义域中 x1,x2 的选取,选取 x1,x2 时必须注意如下三点: ①x1,x2 取值的任意性,即“任意取 x1,x2”中, “任意”二字不能省略或丢掉,更不可 随意取两个特殊值替代 x1,x2;21 教育网 ②x1 与 x2 有大小,一般规定 x1<x2; ③x1 与 x2 同属一个单调区间. (2)作差:指求 f(x2)-f(x1). (3)变形:这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容,即将②中的差式 f(x2)-f(x1)进一步化简变形,变到利于判断 f(x2)-f(x1)的正负为止.常用的变形技巧有: 通分、因式分解、有理化、配方等.一般变形结果是将和差变形为积商,这样才便于定号. (4)定号:根据变形结果,确定 f(x2)-f(x1)的符号. (5)判断:根据 x1 与 x2 的大小关系及 f(x1)与 f(x2)的大小关系,结合单调性定义得出结 论. 例 1 证明:函数 y=x (x∈R)是增函数.
3

三、单调区间的求解
1.本节单调区间的求解主要是观察法得单调区间再进行证明,或者是图象法求出单调区 间,对于利用定义探索函数单调区间问题,由于难度大,要求不可过高,适当了解即可.(单 调区间的求解问题随着进一步学习,我们会找到更简单快捷的方法——导数法)
1

2.书写单调区间时,注意区间端点的写法. 对于某一个点而言,由于它的函数值是一个确定的常数,无单调性可言,因此在写单调 区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些不在定义域内的区间端点,书写时 就必须去掉端点,因此,书写单调区间时,不妨约定“能闭则闭,须开则开” .

函数奇偶性学法指导 一、学习要点
1.要注意准确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称,方可讨论函数 f(x)的奇偶性. (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要 先将函数进行化简或应用定义的等价形式,即: f( - x) =± f(x) ? f( - x) ± f(x) = 0 ?

f f x

x

=±1(f(x)≠0).

3.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形,反之 亦成立. 因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法. 4.按奇偶性分类,函数可分为四类:奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数. 5.在公共定义域内: (1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数;偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数;非零的 奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数. (2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数;偶函数与偶函数的积(商)是偶函数;奇函数与偶 函数的积(商)是奇函数. 以上两条同学们可以自行验证. 6.设 f(x)是定义域关于原点对称的一个函数,则 F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F2(x) =f(x)-f(-x)为奇函数. 7.奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其定义域内关于原 点对称的区间上单调性相反.

二、典型例题选析
例 2 当 a,b,c 满足什么条件时,函数 f(x)=ax2+bx+c 是:(1)奇函数;(2)偶函数; (3)既奇又偶函数;(4)非奇非偶函数.

例 3 已知 f(x)=ax

5

+bx +cx-8,且 f(-2)=10,求 f(2)的值.

3

2

判断函数奇偶性的常见错误 一、忽略定义域出错
例4

x4-x3 判断 f(x)= 的奇偶性. 1-x

二、忽视对参数的讨论
例 5 判断函数 f(x)=x
2

+|x-a|+1(a∈R)的奇偶性.

三、忽视特殊函数 f(x)=0 的存在
例 6 判断函数 f(x)= 1-x2+ x2-1的奇偶性.

四、不明分段函数奇偶性概念致错
例7

? 判断 f(x)=?3, x=0, ?-x +2x-3
2

x2+2x+3,

x<0,
的奇偶性.

x>0,

3

断函数单调性的方法 一、用定义证明函数的单调性
例 1 证明:函数 f(x)=- x在定义域上是减函数.

例 2 已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x)对任意 x,y∈(0,+∞),恒有 f(xy)=f(x) +f(y),且当 0<x<1 时 f(x)>0,判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性. 【出处:21 教育名师】 分析 抽象函数单调性的判断要紧扣定义,并且要注意对原题条件的应用.

二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性
例 3 求函数 f(x)= -x2+a

x

(a>0)的单调区间.

分析 此函数可化为 f(x)=-x+ ,可根据 y=

a x

1

x

的单调性判断.

三、图象法
例 4 求函数 y=-x2+2|x|+3 的单调区间. 分析 “脱去”绝对值符号,画出函数图象,由图象观察得出.

4

函数单调性的应用 一、比较大小
例 5 若函数 f(x)=x2+mx+n,对任意实数 x 都有 f(2-x)=f(2+x)成立,试比较 f(-1), f(2),f(4)的大小.www-2-1-cnjy-com

二、解不等式
例 6 已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是增函数, 且 f (t ? 1) 求实数 t 的取值范围. f (1 ? 2t ) ,

三、求参数的值或取值范围
例 7 已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 是区间[1,+∞)上的单调函数,求实数 a 的取值范围.

四、利用函数单调性求函数的最值
x2+2x+a 例 8 已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x
(1)当 a=4 时,求 f(x)的最小值; (3)若 a 为正常数,求 f(x)的最小值. 1 (2)当 a= 时,求 f(x)的最小值; 2

5

判断函数奇偶性的方法
函数奇偶性是函数的一个重要性质,在各种考试中屡次出现,其表现形式多种多样,求 解方法也不单一,不同的形式对应不同的解决策略.现介绍三种常见的方法,供同学们学习 时参考.

一、定义法
首先求出函数的定义域,确定其定义域是否关于原点对称,若对称再利用 f( - x) = f(x)(符合为偶函数)或 f(-x)=-f(x)(符合为奇函数),否则既不是奇函数也不是偶函数. 4-x2 例 10 判断函数 f(x)= 的奇偶性. |x+3|-3

二、等价转化法
利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理,往往借助 f(-x)±f(x)=0 来解决,方法比 较简便.

三、图象法
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. 例 11 判断函数 f(x)=|x+2|+|x-2|的奇偶性.

一道课本习题的拓展
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ; 2 2 x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) (2)若 f(x)=x2+ax+b,则 f ( 1 2 ) ? 。 2 2

证明:(1)若 f(x)=ax+b,则 f (

活用函数的基本性质
掌握函数与方程的互化,构造函数求值
6

某些求值问题,若能根据问题的结构特征,注重揭示内在联系,挖掘隐含因素,用运动、 变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系,利用函数的单调性,借助函数的 奇偶性把问题解决. 例 12 已知实数 x,y 满足(x+ x2+1)·(y+ y2+1)=1,求 x+y 的值.

三种数学思想在函数奇偶性中的应用 一、数形结合思想
例 14 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则 不等式 f(x)<0 的解集为______________.

二、分类讨论思想
例 15 已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,a∈R),试判断 f(x)的奇偶性.

a x

三、方程思想
例 16 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=

x+m ,试求 f(x). x +nx+1
2

分析 利用奇函数的性质、定义求出参数 m、n 的值是关键.

二次函数在某区间上的最值——思维规律解读 一、定函数在定区间上的最值
例 17 求函数 f(x)=x2-2x+2 在区间[-1,4]上的最大值和最小值.
7

二、定函数在动区间上的最值
例 18 函数 f(x)=x2-2x+2 在区间[t,t+1]上的最小值为 g(t),求 g(t)的表达式.

三、动函数在定区间上的最值
例 19 函数 f(x)=x2+ax+3 在区间[-2,2]上的最大值为 g(a),求 g(a)的表达式.

四、动函数在动区间上的最值 例 20 设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1(x∈R),求 f(x)的最小值.

形如“y=x+ (a>0)”的函数图象的探究

a x

8

例 21 试探究函数 f(x)=x+ (a>0),x∈(0,+∞)的单调区间.

a x

【来源:21·世纪·教育·网】

谈复合函数的单调性
设 y=f(t)是 t 的函数,t=g(x)是 x 的函数,若 t=g(x)的值域是 y=f(t)定义域的子 集,则 y 通过中间变量 t 构成 x 的函数,称为 x 的复合函数,记作 y=f(t)=f[g(x)]. 如函数 y= 1-x,若设 t=1-x,则 y= t.这里 t 是 x 的函数,y 是 t 的函数,所以 y = 1-x是 x 的复合函数,把 t 称为中间变量. 问题 1 已知函数 y=f(t)的定义域为区间[m,n],函数 t=g(x)的定义域为区间[a,b], 值域 D? [m,n].若 y=f(t)在定义域内单调递增,t=g(x)在定义域内单调递增,那么 y= f[g(x)]是否为[a,b]上的增函数?为什么? 探究 y=f[g(x)]是区间[a,b]上的增函数.证明如下: 任取 x1,x2∈[a,b],且 x1<x2,则 t1=g(x1),t2=g(x2),且 t1,t2∈[m,n]. 因为 t=g(x)在[a,b]上递增,所以 g(x1)<g(x2),即 t1<t2,而 y=f(t)在[m,n]递增, 故 f(t1)<f(t2),即 f[g(x1)]<f[g(x2)],所以 y=f[g(x)]在[a,b]上是增函数. 问题 2 若将 g(x)在区间[a,b]上“递增”改为“递减”或将 f(x)在区间[m,n]上“递 增”改为“递减”等,这时复合函数 y=f[g(x)]在区间[a,b]上的单调性又如何呢? 探究 利用解决问题 1 的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试).由此可得到如下复 合函数单调性的结论: y=f(t) 递增 递减 t=g(x) 递增 递减 递增 递减 y=f[g(x)] 递增 递减 递减 递增 以上规律可总结为: “同向得增,异向得减”或“同增异减” .不过要注意:单调区间必 须注意定义域;要确定 t=g(x)(常称内层函数)的值域,否则无法确定 f(t)(常称外层函数) 的单调性. 1 例 22 求函数 y ? 的单调区间. ( x ? 1) 2

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冲刺高考:函数基本性质如何考?
1.(辽宁高考)设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f ( x ) ? f ( 有 x 之和为( A.-3 )2·1·c·n·j·y B.3 C.-8 D.8 1 2.(全国Ⅱ高考)函数 f(x)= -x 的图象关于( )
x?3 ) 的所 x?4

x

A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 3.(重庆高考)若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) +1,则下列说法一定正确的是( ) 21*cnjy*com A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1 为奇函数 D.f(x)+1 为偶函数 4.(湖南高考)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=

a x+1

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范

围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1] 5.(上海高考)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞, 4],则该函数的解析式 f(x)=____________. 6.(上海高考)若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0,+∞)上为增函数,则实数 a、b,的取值范 围是________.www.21-cn-jy.com

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1.3

函数的基本性质

抓住重点、掌握难点、避免易错点
解读函数的单调性 一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质
1.这个区间可以是整个定义域.如 y=x 在整个定义域(-∞,+∞)上是单调递增的,y =-x 在整个定义域(-∞,+∞)上是单调递减的,此时单调性是函数的一个整体性质. 2.这个区间也可以是定义域的一部分,也就是定义域的一个真子集,如 y=x2-2x+1 在整个定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,但是在(-∞,1]上是减函数,在(1,+∞)上 是增函数,这时增减性即单调性是函数的一个局部性质.21cnjy.com ?1,x为有理数, 3.有的函数无单调性.如函数 y=? 它的定义域是(-∞,+∞),但 ?0,x为无理数, 无单调性可言,又如 y=x2+1,x∈{0,1,2},它的定义域不是区间,也就不能说它在定义域 上具有单调性.

二、单调性的证明与判断
函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法.严格按照单调性定义进行证明.主要步 骤有如下五步: (1)取值:定义域中 x1,x2 的选取,选取 x1,x2 时必须注意如下三点: ①x1,x2 取值的任意性,即“任意取 x1,x2”中, “任意”二字不能省略或丢掉,更不可 随意取两个特殊值替代 x1,x2;21 教育网 ②x1 与 x2 有大小,一般规定 x1<x2; ③x1 与 x2 同属一个单调区间. (2)作差:指求 f(x2)-f(x1). (3)变形:这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容,即将②中的差式 f(x2)-f(x1)进一步化简变形,变到利于判断 f(x2)-f(x1)的正负为止.常用的变形技巧有: 通分、因式分解、有理化、配方等.一般变形结果是将和差变形为积商,这样才便于定号. (4)定号:根据变形结果,确定 f(x2)-f(x1)的符号. (5)判断:根据 x1 与 x2 的大小关系及 f(x1)与 f(x2)的大小关系,结合单调性定义得出结 论. 例 1 证明:函数 y=x3(x∈R)是增函数. 证明 设 x1,x2 是 R 上的任意两个实数,且 x1<x2,则 3 2 2 f(x1)-f(x2)=x3 1-x2=(x1-x2)(x1+x1x2+x2) 1 3 =(x1-x2)[(x1+ x2)2+ x2 2]. 2 4 ∵x1<x2,∴x1-x2<0. 1 3 易得(x1+ x2)2+ x2 2≥0. 2 4

?x =-1 x, 2 ∵上式等于零的条件是? ?x =0,
1 2 2

11

1 3 即 x1=x2=0,显然不成立,∴(x1+ x2)2+ x2 2>0. 2 4 ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴函数 y=x3(x∈R)是增函数.

三、单调区间的求解
1.本节单调区间的求解主要是观察法得单调区间再进行证明,或者是图象法求出单调区 间,对于利用定义探索函数单调区间问题,由于难度大,要求不可过高,适当了解即可.(单 调区间的求解问题随着进一步学习,我们会找到更简单快捷的方法——导数法) 2.书写单调区间时,注意区间端点的写法. 对于某一个点而言,由于它的函数值是一个确定的常数,无单调性可言,因此在写单调 区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些不在定义域内的区间端点,书写时 就必须去掉端点,因此,书写单调区间时,不妨约定“能闭则闭,须开则开” .

函数奇偶性学法指导 一、学习要点
1.要注意准确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称,方可讨论函数 f(x)的奇偶性. (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要 先将函数进行化简或应用定义的等价形式,即: f( - x) =± f(x) ? f( - x) ± f(x) = 0 ?

f f x

x

=±1(f(x)≠0).

3.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形,反之 亦成立. 因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法. 4.按奇偶性分类,函数可分为四类:奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数. 5.在公共定义域内: (1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数;偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数;非零的 奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数. (2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数;偶函数与偶函数的积(商)是偶函数;奇函数与偶 函数的积(商)是奇函数. 以上两条同学们可以自行验证. 6.设 f(x)是定义域关于原点对称的一个函数,则 F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F2(x) =f(x)-f(-x)为奇函数. 7.奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其定义域内关于原 点对称的区间上单调性相反.

二、典型例题选析
例 2 当 a,b,c 满足什么条件时,函数 f(x)=ax2+bx+c 是:(1)奇函数;(2)偶函数; (3)既奇又偶函数;(4)非奇非偶函数. 解 (1)若是奇函数,应有 f(-x)=-f(x), 于是有 ax2-bx+c=-ax2-bx-c, 即 ax2+c=0 对定义域内所有实数都成立, 所以只有 a=c=0. (2)若是偶函数,则有 f(-x)=f(x),于是有 ax2-bx+c=ax2+bx+c,
12

即 2bx=0 对定义域内所有实数都成立, 所以只有 b=0. (3)若既是奇函数又是偶函数, 则由(1)和(2)知 a=b=c=0. (4)若是非奇非偶函数,则 f(-x)≠-f(x),f(-x)≠f(x), 2 2 ?ax -bx+c≠-ax -bx-c, 即? 2 2 ?ax -bx+c≠ax +bx+c ?ax +c≠0, ?? ?bx≠0
2

?a≠0或c≠0, ?? ?b≠0. 所以 a≠0 且 b≠0 或 c≠0 且 b≠0 时, f(x)为非奇非偶函数. 例 3 已知 f(x)=ax5+bx3+cx-8,且 f(-2)=10,求 f(2)的值. 解 令 g(x)=f(x)+8=ax5+bx3+cx, 显然 g(x)是奇函数,即 g(-2)=-g(2). 又 g(-2)=f(-2)+8=18, 所以 f(2)=g(2)-8=-26.

判断函数奇偶性的常见错误 一、忽略定义域出错
x4-x3 例 4 判断 f(x)= 的奇偶性. 1-x x4-x3 x3 1-x 3 错解 因为 f(x)= = =x , 1-x 1-x 显然 f(-x)=-f(x),故 f(x)为奇函数.
剖析 判断函数奇偶性,首先要看函数的定义域,若定义域是关于原点的对称区间,则 函数可能具有奇偶性; 否则, 函数一定不具有奇偶性. 其次, 要看 f(x)与 f(-x)之间的关系. 正解 函数的定义域为{x|x≠1}.显然,它的定义域不关于原点对称,于是该函数为非 奇非偶函数.

二、忽视对参数的讨论
例 5 判断函数 f(x)=x2+|x-a|+1(a∈R)的奇偶性. 错解 显然函数定义域为 R. 因为 f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, 所以 f(-a)≠f(a),且 f(-a)≠-f(a), 所以 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 剖析 此解法错在没有对参数进行讨论,未考虑到 a=0 这种特殊情形,以致解题出错. 正解 当 a=0 时, 函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1 =x2+|x|+1=f(x), 此时 f(x)为偶函数;当 a≠0 时, f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a), 此时 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

三、忽视特殊函数 f(x)=0 的存在
13

例 6 判断函数 f(x)= 1-x2+ x2-1的奇偶性. 错解 定义域为{-1,1},关于原点对称. 又 f(-x)= 1 x 2+ x 2-1 = 1-x2+ x2-1=f(x), 所以函数 f(x)是偶函数. 剖析 上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数 f(x)=0,既是奇函数又是偶函数. 正解 函数定义域为{-1,1},此时 f(x)=0, 因而 f(x)既是奇函数又是偶函数.

四、不明分段函数奇偶性概念致错
例7

? 判断 f(x)=?3, x=0, ?-x +2x-3
2

x2+2x+3,

x<0,
的奇偶性.

x>0,

错解 当 x>0 时,-x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)+3 =-(-x2+2x-3)=-f(x). 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3 =-(x2+2x+3)=-f(x). 所以 f(x)是奇函数. 剖析 尽管对于定义域内的每一个不为零的 x, 都有 f(-x)=-f(x)成立, 但当 x=0 时, f(0)=3≠-f(0),所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

断函数单调性的方法 一、用定义证明函数的单调性
例 1 证明:函数 f(x)=- x在定义域上是减函数. 证明 f(x)=- x的定义域为[0,+∞), 设 0≤x1<x2,则 x2-x1>0, 且 f(x2)-f(x1)=(- x2)-(- x1)= x1- x2 x1- x2 x1+ x2 x1-x2 = = , x1+ x2 x1+ x2 ∵x1-x2<0, x1+ x2>0, ∴f(x2)-f(x1)<0, 即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)=- x在定义域[0,+∞)上是减函数. 点评 (1)有的同学认为由 0≤x1<x2, 得 0≤ x1< x2多么直接呢, 其实这种证明方法不正 确, 因为我们没有这样的性质作依据. 其次, 这种证明利用了函数 y= x的单调性, 而 y= x 的单调性,我们没有证明,因此不能直接使用.21 教育名师原创作品
14

(2)在本题的证明中,我们使用了“分子有理化”这种证明技巧,在今后的学习中,我们 还会经常遇到,因此要注意观察这类题目的结构特点,在今后的学习中学会使用这种方法. 例 2 已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x)对任意 x,y∈(0,+∞),恒有 f(xy)=f(x) +f(y),且当 0<x<1 时 f(x)>0,判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性. 【出处:21 教育名师】 分析 抽象函数单调性的判断要紧扣定义,并且要注意对原题条件的应用. 解 设 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=f( ·x2)-f(x2)

x1 x2

x1 x2 ∵x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, x1 x1 ∴0< <1,∴f( )>0. x2 x2 ∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
=f( )+f(x2)-f(x2)=f( ).

x1 x2

二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性
例 3 求函数 f(x)= -x2+a

x

(a>0)的单调区间.

a 1 分析 此函数可化为 f(x)=-x+ ,可根据 y= 的单调性判断. x x
解 f(x)= -x +a
2

x a x

=-x+ .

a x

∵a>0,y= 的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞),

y=-x 在 R 上单调递减, -x2+a ∴f(x)= (a>0)的单调区间是(-∞,0)和(0,+∞). x
点评 运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数、二次函数、反比例函数 的单调性均可直接说出.了解以下结论,对于直接判断函数的单调性有好处: ①函数 y=-f(x)与函数 y=f(x)在相对应的区间上的单调性相反. 1 ②当 f(x)恒为正或恒为负时,函数 y= 与 y=f(x)在相对应的区间上的单调性相

f x

反. ③在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等.

三、图象法
例 4 求函数 y=-x +2|x|+3 的单调区间. 分析 “脱去”绝对值符号,画出函数图象,由图象观察得出. 解 当 x≥0 时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;
2

当 x<0 时, y=-x2-2x+3 =-(x+1)2+4.
15

画出图象如图所示: 故在(-∞,-1]和[0,1]上,函数是增函数; 在[-1,0]和[1,+∞)上,函数是减函数.

函数单调性的应用 一、比较大小
例 5 若函数 f(x)=x2+mx+n,对任意实数 x 都有 f(2-x)=f(2+x)成立,试比较 f(- 1),f(2),f(4)的大小.www-2-1-cnjy-com 解 依题意可知 f(x)的对称轴为 x=2, ∴f(-1)=f(5). ∵f(x)在[2,+∞)上是增函数, ∴f(2)<f(4)<f(5), 即 f(2)<f(4)<f(-1). 点评 (1)利用单调性可以比较函数值的大小,即增函数中自变量大函数值也大,减函数 中自变量小函数值反而变大; 【版权所有:21 教育】 (2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间.

二、解不等式
例 6 已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是增函数,且 f(t-1)<f(1-2t),求实数 t 的取 值范围. 解

?-1<t-1<1, 依题意可得?-1<1-2t<1, ?t-1<1-2t,

2 解得 0<t< . 3

点评 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性, 推出两个变量的大 小,然后去解不等式;21·世纪*教育网 (2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域, 即首先考虑使给出解析式有意义的未知 数的取值范围; (3)利用单调性解不等式时,一定要注意变量的限制条件,以防出错.

三、求参数的值或取值范围
例 7 已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 是区间[1,+∞)上的单调函数,求实数 a 的取值范 围. 解 任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2, 则Δ x=x2-x1>0. 3 Δ y=f(x2)-f(x1)=(x3 2-ax2)-(x1-ax1) 2 2 =(x2-x1)(x1+x1x2+x2-a). 2 ∵1≤x1<x2,∴x2 1+x1x2+x2>3. 2 显然不存在常数 a,使(x1+x1x2+x2 2-a)恒为负值. 又 f(x)在[1,+∞)上是单调函数, 2 ∴必有一个常数 a,使 x2 1+x1x2+x2-a 恒为正数, 2 即 x2 1+x1x2+x2>a. 2 当 x1,x2∈[1,+∞)时,x2 1+x1x2+x2>3, ∴a≤3.此时, ∵Δ x=x2-x1>0,∴Δ y>0, 即函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数,
16

∴a 的取值范围是(0,3].

四、利用函数单调性求函数的最值
x2+2x+a ,x∈[1,+∞). x (1)当 a=4 时,求 f(x)的最小值;
例 8 已知函数 f(x)= 1 (2)当 a= 时,求 f(x)的最小值; 2 (3)若 a 为正常数,求 f(x)的最小值. 4 解 (1)当 a=4 时,f(x)=x+ +2,易知,f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,+∞)上是

x

增函数, 【来源:21cnj*y.co*m】 ∴f(x)min=f(2)=6. 1 1 (2)当 a= 时,f(x)=x+ +2. 2 2x 易知,f(x)在[1,+∞)上为增函数. 7 ∴f(x)min=f(1)= . 2 (3)函数 f(x)=x+ +2 在(0, a]上是减函数, 在[ a,+∞)上是增函数. 若 a>1,即 a>1 时,f(x)在区间[1,+∞)上先减后增, ∴f(x)min=f( a)=2 a+2. 若 a≤1,即 0<a≤1 时,f(x)在区间[1,+∞)上是增函数, ∴f(x)min=f(1)=a+3. 五、利用函数单调性证明不等式 例 9 已知 a,b,c 均为正数,且 a+b>c. 求证: + > . 1+a 1+b 1+c 证明 设 f(x)=

a x

a

b

c

x
1+x

(x>0),

设 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=

x1
1+x1



x2
1+x2



x1-x2
1+x1 1+x2

<0.

∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. ∵a+b>c,∴f(a+b)>f(c), a+b c 即 > . 1+a+b 1+c

a b a+b + = , 1+a 1+b 1+a+b 1+a+b 1+a+b a b c ∴ + > . 1+a 1+b 1+c
又 f(a)+f(b)= + > 点评 本题通过构造函数,利用函数单调性证明不等式.

a

b

判断函数奇偶性的方法
17

函数奇偶性是函数的一个重要性质,在各种考试中屡次出现,其表现形式多种多样,求 解方法也不单一,不同的形式对应不同的解决策略.现介绍三种常见的方法,供同学们学习 时参考.

一、定义法
首先求出函数的定义域,确定其定义域是否关于原点对称,若对称再利用 f( - x) = f(x)(符合为偶函数)或 f(-x)=-f(x)(符合为奇函数),否则既不是奇函数也不是偶函数. 4-x2 例 10 判断函数 f(x)= 的奇偶性. |x+3|-3 解 要使函数有意义, 2 ?4-x ≥0, 则? ?|x+3|-3≠0, 解得-2≤x≤2 且 x≠0, 此函数的定义域[-2,0)∪(0,2]关于原点对称,且满足 x+3>0, 4-x2 4-x2 则函数 f(x)= = , |x+3|-3 x

f(-x)=

4 -x

x

2

=-

4-x2

x

=-f(x),

4-x2 故函数 f(x)= 是奇函数. |x+3|-3 点评 判断函数的奇偶性时,首先一定要观察函数定义域是否关于原点对称,这是判断 奇偶性的前提条件.

二、等价转化法
利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理,往往借助 f(-x)±f(x)=0 来解决,方法比 较简便.

三、图象法
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. 例 11 判断函数 f(x)=|x+2|+|x-2|的奇偶性.

解 f(x)=|x+2|+|x-2|

x>2, ?2x, =?4, -2≤x≤2, ?-2x, x<-2,
其图象(如图)关于 y 轴对称,该函数为偶函数. 点评 利用图象法(数形结合法)解题,形象直观、清晰可见.同时数形结合思想一直都 是高考考查的重点,同学们要注意领会.21*cnjy*com

一道课本习题的拓展

18

证明:(1)若 f(x)=ax+b,则 f( (2)若 f(x)=x2+ax+b,则 f( 探究

x1+x2
2

)=

f x1
2

f x2 f x2
2 .



x1+x2
2

)≤ 2

f x1

x1+x2
2

为自变量 x1、x2 中点,

x1+x2

对应的函数值 f(

x1+x2
2

)为“中点的纵坐标” .而

1 [f(x1)+f(x2)]为 x1、x2 对应的函数值所对应的点的中点,即“纵坐标的中点” .f(x)=ax+ 2 x1+x2 b 的图象为直线,所以“中点的纵坐标”等于“纵坐标的中点” , 即 有 f( )= 2

f x1
2

f x2

.而 f(x)=x2+ax+b 的图象为开口向上的抛物线,图象向下凹进,由图象

可得到“中点的纵坐标”不大于“纵坐标的中点” ,即有 f(

. 2 2 拓展 在给定区间内,若函数 f(x)的图象向上凸出,则函数 f(x)在该区间上为凸函数, x1+x2 f x1 f x2 结合图象易得到 f( )≥ ;在给定区间内,若函数 f(x)的图象向下凹进, 2 2 x1+x2 f x1 f x2 则函数 f(x)在该区间上为凹函数,结合图象易得到 f( )≤ .这一性质, 2 2 可以称为函数的凹凸性.

x1+x2

)≤

f x1

f x2

活用函数的基本性质
掌握函数与方程的互化,构造函数求值 某些求值问题,若能根据问题的结构特征,注重揭示内在联系,挖掘隐含因素,用运动、 变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系,利用函数的单调性,借助函数的 奇偶性把问题解决. 例 12 已知实数 x,y 满足(x+ x2+1)·(y+ y2+1)=1,求 x+y 的值. 解 由已知条件可得 x+ x2+1=-y+ y 2+1. 构造函数 f(t)=t+ t2+1. 显然 f(t)=t+ t2+1是 R 上递增函数. 因为 f(x)=f(-y),所以 x=-y,即 x+y=0. 例 13 已知(x+2y)5+x5+2x+2y=0,求 x+y 的值. 解 已知方程化为(x+2y)5+(x+2y)=-(x5+x).① 由①式的结构,构造函数 f(t)=t5+t. 显然,f(t)是奇函数,且在 R 上单调递增. 由于①式可写成 f(x+2y)=-f(x)=f(-x), 所以有 x+2y=-x,即 x+y=0.

三种数学思想在函数奇偶性中的应用 一、数形结合思想
例 14 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则
19

不等式 f(x)<0 的解集为______________.

解析 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称, 用对称的思想方法画全函数 f(x)在[- 5,5]上的图象(如图所示),数形结合,得 f(x)<0 的解集为{x|-2<x<0 或 2<x≤5}.

答案 (-2,0)∪(2,5]

二、分类讨论思想
例 15 已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,a∈R),试判断 f(x)的奇偶性. 解 当 a=0 时,f(x)=x2, 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)=(-x)2=x2=f(x), ∴f(x)为偶函数.

a x

a x 取 x=±1,得 f(-1)+f(1)=2≠0, f(-1)-f(1)=-2a≠0, ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1), ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
当 a≠0 时,f(x)=x2+ (a≠0,x≠0),

三、方程思想
例 16 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=

x+m ,试求 f(x). x +nx+1
2

分析 利用奇函数的性质、定义求出参数 m、n 的值是关键. 解 由 f(0)=0 知 m=0. 由 f(x)是奇函数知 f(-x)=-f(x), -x+0 x+0 即 2 =- 2 , x -nx+1 x +nx+1 ∴x2-nx+1=x2+nx+1, ∴n=0.∴f(x)=

x x +1
2

.

二次函数在某区间上的最值——思维规律解读 一、定函数在定区间上的最值
例 17 求函数 f(x)=x2-2x+2 在区间[-1,4]上的最大值和最小值. 解 f(x)=(x-1)2+1,其对称轴为 x=1. 因为函数对称轴 x=1 在区间[-1,4]内, 又函数开口向上,所以当 x=1 时,f(x)取到最小值为 1.
20

又 f(-1)=5,f(4)=10, 所以在 x=4 时,f(x)取到最大值为 10.

二、定函数在动区间上的最值
例 18 函数 f(x)=x2-2x+2 在区间[t,t+1]上的最小值为 g(t),求 g(t)的表达式. 解 f(x)=(x-1)2+1,其对称轴为 x=1. 当 t+1<1 时,即 t<0 时,区间[t,t+1]在对称轴的左侧,f(x)在此区间上是减函数. 所以此时 g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1. 当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时,对称轴 x=1 在此区间内, 又函数开口向上. 所以此时 g(t)=f(1)=12-2+2=1. 当 t>1 时,区间[t,t+1]在对称轴的右侧,f(x)在此区间上是增函数. 所以此时 g(t)=f(t)=t2-2t+2.

t<0, ? 0≤t≤1, 综上得 g(t)=?1, ?t -2t+2, t>1.
2

t2+1,

三、动函数在定区间上的最值
例 19 函数 f(x)=x2+ax+3 在区间[-2,2]上的最大值为 g(a),求 g(a)的表达式. 解 f(x)=(x+ )2+3- , 2 4 其对称轴为 x=- . 2 当对称轴 x=- 在区间[-2,2]的右侧, 2 即- ≥2,a≤-4 时,f(x)在此区间上是减函数. 2 所以此时 g(a)=f(-2)=7-2a. 当对称轴 x=- 在区间[-2,2]内时,如果-2<- <0, 2 2 即 0<a<4 时,x=2 距离对称轴较远, 所以此时 f(x)在 x=2 时取到最大值, 为 g(a)=f(2)=7+2a; 如果 0<- <2,即-4<a<0 时,则 x=-2 距离对称轴较远,此时 f(x)在 x=-2 时取到 2 最大值,为 g(a)=f(-2)=7-2a. 当对称轴 x=- 在区间[-2,2]的左边, 2 即- ≤-2,a≥4 时,f(x)在此区间上是增函数. 2 所以此时 g(a)=f(2)=7+2a. a>0, ?7+2a, 综上得:g(a)=? ?7-2a, a≤0. 四、动函数在动区间上的最值 例 20 设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1(x∈R),求 f(x)的最小值. 解 ①当 x≤a 时,
21

a

a2

a

a

a

a

a

a

a

a

1? 3 ? 函数 f(x)=x2-x+a+1=?x- ?2+a+ , 2? 4 ? 1 若 a≤ ,则函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减, 2 从而 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 f(a)=a2+1; 1 若 a> ,则 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 2 ?1? 3 F ? ?= +a. ?2? 4 ②当 x≥a 时, 1? 3 ? f(x)=x2+x-a+1=?x+ ?2-a+ , 2? 4 ? 1 若 a≤- ,则函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 2 ? 1? 3 F ?- ?= -a; ? 2? 4 1 若 a>- ,则函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小 2 2 值为 f(a)=a +1.21·cn·jy·com 1 3 综上,当 a≤- 时,函数 f(x)的最小值为 -a; 2 4 1 1 当- <a≤ 时,函数 f(x)的最小值为 a2+1; 2 2 1 3 当 a> 时,函数 f(x)的最小值为 a+ . 2 4 点评 当二次函数在某个区间上求最值时,其关键在于明确函数的对称轴与自变量取值 范围的相对位置关系,分对称轴在区间内、在区间左边、在区间右边三种情况讨论.

形如“y=x+ (a>0)”的函数图象的探究
a x

a x

例 21 试探究函数 f(x)=x+ (a>0),x∈(0,+∞)的单调区间. 解 任取 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- =

a x1

a x2

x1-x2

x1x2-a

x1x2 由于 x1-x2 及 x1x2 的符号已定, 从而 f(x1)-f(x2)的符号取决于 x1x2-a 的符号. 由于 x1,x2 只能取 f(x)的某个单调区间上的值,因此考虑 x1=x2 这一极端情形, 则 x1x2-a=x2 a, 1-a,若为零,得 x1=x2= 从而将定义域(0,+∞)分为两个区间(0, a)及[ a,+∞),
由此讨论它的单调性即可. 任取 0<x1<x2< a,则 x1-x2<0,
22

.

0<x1x2<a,所以 x1x2-a<0. 于是 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以函数 f(x)在(0, a)上单调递减. 同理可知,函数 f(x)在[ a,+∞)上单调递增. 由 f(x)是奇函数,知 f(x)在(-∞,- a)上单调递增,在(- a,0)上单调递减. 由函数的单调性及奇偶性,可作出如下图象:

知识延伸

(1)函数 y=x+ (a>0)是一个常用且重要的函数,其图象如图所示,记住这

a x

个图象和性质会给解题带来方便.21 世纪教育网版权所有 x2+2x+3 (2)对形如 f(x)= 这种“分式型”的函数,求它在区间[a,b]上的最值,常用

x

“分离变量”法转化为 y=x+ (a>0)模型求解. 【来源:21·世纪·教育·网】

a x

谈复合函数的单调性
设 y=f(t)是 t 的函数,t=g(x)是 x 的函数,若 t=g(x)的值域是 y=f(t)定义域的子 集,则 y 通过中间变量 t 构成 x 的函数,称为 x 的复合函数,记作 y=f(t)=f[g(x)]. 如函数 y= 1-x,若设 t=1-x,则 y= t.这里 t 是 x 的函数,y 是 t 的函数,所以 y = 1-x是 x 的复合函数,把 t 称为中间变量. 问题 1 已知函数 y=f(t)的定义域为区间[m,n],函数 t=g(x)的定义域为区间[a,b], 值域 D? [m,n].若 y=f(t)在定义域内单调递增,t=g(x)在定义域内单调递增,那么 y= f[g(x)]是否为[a,b]上的增函数?为什么? 探究 y=f[g(x)]是区间[a,b]上的增函数.证明如下: 任取 x1,x2∈[a,b],且 x1<x2,则 t1=g(x1),t2=g(x2),且 t1,t2∈[m,n]. 因为 t=g(x)在[a,b]上递增,所以 g(x1)<g(x2),即 t1<t2,而 y=f(t)在[m,n]递增, 故 f(t1)<f(t2),即 f[g(x1)]<f[g(x2)],所以 y=f[g(x)]在[a,b]上是增函数. 问题 2 若将 g(x)在区间[a,b]上“递增”改为“递减”或将 f(x)在区间[m,n]上“递 增”改为“递减”等,这时复合函数 y=f[g(x)]在区间[a,b]上的单调性又如何呢? 探究 利用解决问题 1 的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试).由此可得到如下复 合函数单调性的结论: y=f(t) 递增 递减 t=g(x) 递增 递减 递增 递减 y=f[g(x)] 递增 递减 递减 递增 以上规律可总结为: “同向得增,异向得减”或“同增异减” .不过要注意:单调区间必 须注意定义域;要确定 t=g(x)(常称内层函数)的值域,否则无法确定 f(t)(常称外层函数) 的单调性. 1 例 22 求函数 y= 的单调区间. x+1 2
23

解 函数 y=

1 x+1

2

的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),

1 设 t=(x+1)2,则 y= (t>0).

t

当 x∈(-∞,-1)时,t 是 x 的减函数,y 是 t 的减函数, 1 所以(-∞,-1)是 y= 的递增区间; x+1 2 当 x∈(-1,+∞)时,t 是 x 的增函数,y 是 t 的减函数, 1 所以(-1,+∞)是 y= 的递减区间. x+1 2 1 综上知,函数 y= 的递增区间为(-∞,-1),递减区间为(-1,+∞). x+1 2 1 试一试 求 y= 2 的单调区间. x -2x-3 解 由 x2-2x-3≠0,得 x≠-1 或 x≠3, 1 令 t=x2-2x-3(t≠0),则 y= ,

t

1 因为 y= 在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,

t

而 t=x -2x-3 在(-∞,-1),(-1,1)上为减函数, 1 在(1,3),(3,+∞)上是增函数,所以函数 y= 2 的递增区间为(-∞,-1),(- x -2x-3 1,1), 递减区间为(1,3),(3,+∞).

2

冲刺高考:函数基本性质如何考?
?x+3? ? 1.(辽宁高考)设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(x)=f? ?x+4? 的所有 x 之和为( )2·1·c·n·j·y A.-3 B.3 C.-8 D.8 解析 因为 f(x)是连续的偶函数,且 x>0 时是单调函数,由偶函数的性质可知若 f(x) ?x+3? ?,只有两种情况:2-1-c-n-j-y =f ? ?x+4? x+3 x+3 ①x= ; ②x+ =0. x+4 x+4 由①知 x2+3x-3=0,故两根之和为 x1+x2=-3. 由②知 x2+5x+3=0,故两根之和为 x3+x4=-5. 因此满足条件的所有 x 之和为-8. 答案 C 1 2.(全国Ⅱ高考)函数 f(x)= -x 的图象关于( )

x

24

A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 1 解析 f(x)= -x 的定义域为{x|x≠0},

x

1 ?1 ? ∵f(-x)=- +x=-? -x?=-f(x). x ?x ? ∴f(x)是一个奇函数.∴f(x)的图象关于原点对称. 答案 C 3.(重庆高考)若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+ f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( ) 21*cnjy*com A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1 为奇函数 D.f(x)+1 为偶函数 解析 令 x1=x2=0,得 f(0)=2f(0)+1,所以 f(0)=-1. 令 x2=-x1,得 f(0)=f(x1)+f(-x1)+1, 即 f(-x1)+1=-f(x1)-1.所以 f(x)+1 为奇函数. 答案 C 4.(湖南高考)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=

a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取 x+1

值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1] 解析 结合图象,由 f(x)在[1,2]上为减函数知 a≤1, 由 g(x)在[1,2]上是减函数知 a>0.∴0<a≤1. 答案 D 5. (上海高考)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、 b∈R)是偶函数, 且它的值域为(- ∞,4],则该函数的解析式 f(x)=____________. 解析 ∵f(-x)=f(x)且 f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2, ∴b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2=bx2+(2a+ab)x+2a2, ∴-(2a+ab)=2a+ab,即 2a+ab=0,∴a=0 或 b=-2. 当 a=0 时,f(x)=bx2,∵f(x)值域为(-∞,4], 而 y=bx2 值域不可能为(-∞,4],∴a≠0. 当 b=-2 时,f(x)=-2x2+2a2,值域为(-∞,2a2]. ∴2a2=4,∴a2=2.∴f(x)=-2x2+4. 答案 -2x2+4 6.(上海高考)若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0,+∞)上为增函数,则实数 a、b,的取 值范围是________.www.21-cn-jy.com x≥b ?ax-ab+2 解析 f(x)=? x<b . ?-ax+ab+2 ∵函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴必有 a>0,且[0,+∞)是[b,+∞)的子集, 即 a>0,且 b≤0. 答案 a>0 且 b≤0

25


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