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平面向量的内积教案


平面向量的内积

【教学目标】
知识目标: (1)了解平面向量内积的概念及其几何意义. (2)了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标: 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力.

【教学重点】
平面向量数量积的概念及计算公式.

【教学难点】

/>数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角.

【教学设计】
教材从某人拉小车做功出发,引入两个向量内积的概念.需要强调力与位移都是向量, 而功是数量.因此,向量的内积又叫做数量积. 在讲述向量内积时要注意: (1)向量的数量积是一个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角余 弦的乘积.其符号是由夹角决定; (2)向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到,其中: (1)当<a,b>=0 时,a·b=|a||b|;当<a,b>= 180 时,a·b=-|a||b|.可以记忆为:两 个共线向量, 方向相同时内积为这两个向量模的积; 方向相反时内积为这两个向量模的积的 相反数. (2)|a|= a ? a 显示出向量与向量的模的关系,是得到利用向量的坐标计算向量模的 公式的基础; (3)cos<a,b>= 础; (4) “a·b=0 ? a ? b”经常用来研究向量垂直问题,是推出两个向量内积坐标表示 的重要基础.
a ?b ,是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基 | a || b |

【教学备品】
教学课件.

【课时安排】
2 课时.(80 分钟)

【教学过程】

*揭示课题

7.3 平面向量的内积
*创设情境 兴趣导入
F

O

30 ?

s

图 7—21

如图 7-21 所示,水平地面上有一辆车,某人用 100 N 的力,朝着与水平线成 30 ? 角的 方向拉小车,使小车前进了 100 m.那么,这个人做了多少功? 动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道,这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积.如图 7-22 所示,设 水平方向的单位向量为 i,垂直方向的单位向量为 j,则

F ? x i + y j ? F sin30 ? i ? F cos30 ? j ,
即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和,垂直方向上没有产生位移,没有做功,水平 方向上产生的位移为 s,即 W=|F|cos 30 ? · |s|=100×

3 · 10=500 3 (J) 2

y F(x,y)

j O i x

这里,力 F 与位移 s 都是向量,而功 W 是一个数量,它等于由两个向量 F,s 的模及它 们的夹角的余弦的乘积,W 叫做向量 F 与向量 s 的内积,它是一个数量,又叫做数量积. 如图 7-23, 设有两个非零向量 a, b, 作 OA =a, OB = b,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b 的夹角,
O 图 7-23 A

a b
B

记作<a,b>. 两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积, 记作 a· b, 即 a·b=|a||b|cos<a,b> (7.10)

上面的问题中,人所做的功可以记作 W=F·s. 由内积的定义可知 a·0=0, 0·a=0. 由内积的定义可以得到下面几个重要结果: (1) 当<a,b>=0 时,a·b=|a||b|;当<a,b>= 180 时,a·b=?|a||b|. (2) cos<a,b>=
a ?b . | a || b |

(3) 当 b=a 时,有<a,a>=0,所以 a·a=|a||a|=|a|2,即|a|= a ? a . (4) 当 ? a, b ?? 90 时,a ? b,因此,a·b= a ? b cos90 ? 0, 因此对非零向量 a,b, 有 a·b=0 ? a ? b. 可以验证,向量的内积满足下面的运算律: (1) a·b=b·a. (2) ( ? a )·b= ? (a·b)=a·( ? b). (3) (a+b)·c=a·c+b·c. 注意:一般地,向量的内积不满足结合律,即 a·(b·c)≠(a·b) ·c. 请结合实例进行验证. *巩固知识 典型例题 例 1 已知|a|=3,|b|=2, <a,b>= 60 ? ,求 a·b. 解 a·b=|a||b| cos<a,b> =3×2×cos 60 ? =3.

例 2 已知|a|=|b|= 2 ,a·b= ? 2 ,求<a,b>. 解 由于 所以 cos<a,b>=

2 ? 2 a ?b = =? . | a || b | 2 2? 2
0≤<a,b>≤ 180 ? , <a,b>= 135 .*理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题: 平面向量内积的概念、几何意义? 结论: 两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积, 记作 a· b, 即 a·b=|a||b|cos<a, b> (7.10)

a·b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积. 知识 典型例题 例 3 求下列向量的内积: (1) a= (2,?3), b=(1,3); 运用知识 强化练习 1. 已知|a|=7,|b|=4,a 和 b 的夹角为 60 ? ,求 a·b. 2. 已知 a·a=9,求|a|. 3. 已知|a|=2,|b|=3, <a,b>= 30 ? ,求(2a+b)·b. 动脑思考 探索新知 设平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),i,j 分别为 x 轴,y 轴上的单位向量,由于 i⊥j,故 i·j =0,又| i |=|j|=1,所以 a·b=(x1 i+y1j)· (x2 i+y2j) = x1 x2 i ?i+ x1 y2 i ?j+ x2 y1 i ?j + y1 y2 j ?j = x1 x2 |j|2+ y1 y2 |j|2 = x1 x2+ y1 y2. 这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和,即 a·b= x1 x2+ y1 y2 (7.11)

利用公式(7.11)可以计算向量的模.设 a=(x,y),则

a ? a a ? x 2 ? y 2 ,即
a ?

x2 ? y 2

(7.12)

由平面向量内积的定义可以得到,当 a、b 是非零向量时, cos<a,b>=
a ?b x1 x2 ? y1 y2 = . 2 | a || b | x1 ? y12 x2 2 ? y2 2

(7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于 a ? b ? a·b=0,由公式(7.11)可知

a·b=0 ? x1 x2+ y1 y2=0. 因此 a ? b ? x1 x2+ y1 y2=0. (7.14)

利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题. *巩固知识 典型例题 例 3 求下列向量的内积: (2) a= (2,?3), b=(1,3); (3) a= (2, ?1), b=(1,2); (4) a= (4,2), b=(?2, ?3). 解 (1) a·b=2×1+(?3)×3=?7;

(2) a·b=2×1+(?1)×2=0; (3) a·b=2×(?2)+2×(?3)=?14. 例 4 已知 a=(?1,2),b=(?3,1).求 a·b, |a|,|b|, <a,b>. 解 a·b=(?1)( ?3)+2×1=5; |a|= a ? a ? (?1)2 ? 22 ? 5 ; |b|= b ? b ? (?3)2 ? 12 ? 10 ; cos<a,b>=
a ?b 5 2 ? = , | a || b | 2 10 5

所以 例5

<a,b>= 45 . 判断下列各组向量是否互相垂直: b=(6, 4); b=(1, ?2).

(1) a=(?2, 3), (2) a=(0, ?1), 解

(1) 因为 a·b=(?2)×6+3×4=0,所以 a ? b.

(2) 因为 a·b=0×1+(?1)×(?2)=2,所以 a 与 b 不垂直. 运用知识 强化练习 1. 已知 a=(5, ?4),b=(2,3),求 a·b. 2. 已知 a=(1, 3 ),b=(0,

3 ),求<a,b>.

3. 已知 a=(2, ?3),b=(3,-4),c=(?1,3),求 a·(b+c).

4. 判断下列各组向量是否互相垂直: (1) a=(?2, ?3),b=(3, ?2); (2) a=(2,0),b=(0, ?3); 5. 求下列向量的模: a=(?2, ?4),b=(3, ?2); (2) a=(2,1),b=(4, ?3); (3) a=(?2,1),b=(3,4).

归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的?你的学习效果如何? 1.已知 a=(5, ? 4),b=(2,3),求 a·b. 2.已知 a=(2, ?3),b=(3, ?4),c=(?1,3),求 a·(b+c). *继续探索 活动探究 (1)读书部分:阅读教材 (2)书面作业:教材习题 7.3 A 组(必做) ;7.3 B 组(选做)


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