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3.4基本不等式-3

时间:2014-06-27


3.4 基本不等式 ab ?
【教学目标】 1.知识与技能:进一步掌握基本不等式 ab ?

a?b 2

a?b ;会用此不等式证明不等式,会应用此 2 a?b ,并会用此定理求 2

不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:通过例题的研究,进一步掌握基本不等式 ab ?

某些函数的最大、最小值。 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理 论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 掌握基本不等式 ab ?

a?b ,会用此不等式证明不等式,会用此不等式求某些函数的最值 2

【教学难点】 利用此不等式求函数的最大、最小值。 【教学过程】

1.课题导入
1.基本不等式:如果 a,b 是正数,那么 2.用基本不等式 ab ?

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

a?b 求最大(小)值的步骤。 2

2.讲授新课
1)利用基本不等式证明不等式

24 ? 6m ? 24 。 m 24 [思维切入]因为 m>0,所以可把 和 6 m 分别看作基本不等式中的 a 和 b, 直接利用基本不 m
例 1 已知 m>0,求证 等式。 [证明]因为 m>0,,由基本不等式得

24 24 ? 6m ? 2 ? ? 6m ? 2 24 ? 6 ? 2 ?12 ? 24 m m
当且仅当

24 = 6 m ,即 m=2 时,取等号。 m 24 ? 6m =144 为定值的前提条件。 m

规律技巧总结 注意:m>0 这一前提条件和

3.随堂练习 1
[思维拓展 1] 已知 a,b,c,d 都是正数,求证 (ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd . [思维拓展 2] 求证 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) .
2 2 2 2 2

例 2 求证:

4 ?a ? 7. a ?3

[思维切入] 由于不等式左边含有字母 a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母 a,而左边

4 4 ?a ? ? (a ? 3) ? 3 .这样变形后,在用基本不等式即可得证. a ?3 a ?3

[证明]

4 4 4 ?3? ? (a ? 3) ? 3 ? 2 (a ? 3) ? 3 ? 2 4 ? 3 ? 7 a ?3 a ?3 a ?3
4 =a-3 即 a=5 时,等号成立. a?3

当且仅当

规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值

9 的最小值; x 9 (2)若 x<0,求 f ( x ) ? 4 x ? 的最大值. x 9 [思维切入]本题(1)x>0 和 4 x ? =36 两个前提条件;(2)中 x<0,可以用-x>0 来转化. x
例 3 (1) 若 x>0,求 f ( x ) ? 4 x ? 解(1) 因为 x>0 由基本不等式得

f ( x) ? 4 x ?

9 9 9 3 9 ? 2 4 x ? ? 2 36 ? 12 ,当且仅当 4 x ? 即 x= 时, f ( x) ? 4 x ? 取 x 2 x x x

最小值 12. (2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:

9 9 9 ? f ( x) ? ?(4 x ? ) ? (?4 x) ? (? ) ? 2 (?4 x) ? (? ) ? 2 36 ? 12 , x x x
所以

f ( x) ? 12 .

当且仅当 ?4 x ? ?

9 3 9 即 x=- 时, f ( x ) ? 4 x ? 取得最大-12. 2 x x

规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

随堂练习 2
[思维拓展 1] 求 f ( x ) ? 4 x ?

9 (x>5)的最小值. x?5

[思维拓展 2] 若 x>0,y>0,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值. x y

4.课时小结
用基本不等式 ab ?

a?b 证明不等式和求函数的最大、最小值。 2
2. 若 x ? ?1 , 则 x 为何值时 x ?

5. 作业
2 2 1. 证明:a ? b ? 2 ? 2a ? 2b

1 有最小值, x ?1

最小值为几?


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