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浙江省绍兴一中2013届高三第二次阶段性测试数学(理)试题


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注意:务必把所有答案写在答题纸上 一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.下列命题中,真命题是 A.存在 x ? [0,

( B.任意 x ? (



?
2

], sin x ? cos x ? 2

?
2

/>
, ? ), tan x ? sin x

C.存在 x ? R, x 2 ? x ? ?1 2.“ a ?

D.任意 x ? (3,??), x 2 ? 2 x ? 1 ( )

1 a ”是“对任意的正数 x , 2 x ? ? 1 ”的 8 x

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条

? x ? 1? ? 3.设不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 所表 示的平面区域是 ? ,平面区域 ?2 与 ? 关于直 线 1 1 ?y ? x ?
3x-4y-9=0 对称.对于 ? 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B,|AB|的最小值等于( 1 A. 28 )

5

B.4

C. 12

5

D.2

4.直线 2ax ? by ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直角 三 角 形 (O 是 坐 标 原 点 ), 则 点 P(a,b) 与 点 (0,1) 之 间 距 离 的 最 大 值 为 ( )
[来源:学,科,网]

A. 2 ? 1

B.2
2

C. 2

D. 2 ? 1

5.设 F1、F2 分别是椭圆 E : x ?

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 ? 与 E 相交 b2 于 A、B 两点, AF2 , , BF2 成等差数列, AB 的长为 且 则 ( ) AB
A.

2 3
. 若

B.1
m n

C.

4 3


D.

5 3
(m,n)

6 (

2 ? 4 ? 2 2?



) A.直线 x+y=1 的左下方 C.直线 x+2y=1 的左下方

B.直线 x+y=1 的右上方 D.直线 x+2y=1 的右上方

2 , 4 , 6





7.电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC,AB=6,AC=7, BC=8.如果跳蚤开始是在 BC 边的 P0 处,BP0=2,跳蚤第一步从 P0 跳到 AC 边的 P1(第 1 次落点)处,且 CP1=CP0;第二步 从 P1 跳到 AB 边的 P2(第 2 次落点)处,且 AP2=AP1;第三步

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从 P2 跳到 BC 边的 P3(第 3 次落点)处,且 BP3=BP2,?,跳蚤按上述规则一直跳下去,第 n 次 落 点 为 Pn(n 为 正 整 数 ) , 则 点 P2011 与 P2014 间 的 距 离 为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8.已知曲线 C: y ? 2 x 2 ? 点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要使其不被曲线 C 挡住,则 实 ( 数 ) B. (??? 4) C. (10? ??) D. (???10) a 的 取 值 范 围 是

A. (4? ??)

x2 y2 a2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) ,作圆 x 2 ? y 2 ? 的切 4 a2 b ??? 1 ??? ??? ? ? ? 线, 切点为 E, 延长 FE 交曲线右支于点 P, OE ? (OF ? OP ) , 若 则双曲线的离心率为( ) 2
9.过双曲线 A. 10 B.

10 5

C.

10 2

D. 2

2 2 2 10 . 已 知 a ? 0, b ? 0, c ? 0, 且ab ? 1, a ? b ? c ? 4 , 则 ab ? bc ? ac 的 最 大 值 为



) B. 3 C. 3 D .4

A. 1? 2 2

二、填空题(每题 3 分,共 21 分) 11.已知钝角三角形 ABC 的最大边长为 4,其余两边长分别为 x, y ,那么以 ? x, y ? 为坐标的 点所表示的平面区域面积是 .
[来源:学科网]

12.已知直线 l1 :4x-3y+6=0 和直线 l2 :x=-1,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的 距离之和的最小值是 。
x ?1

13. 若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数 f ( x) ? a

? 1(a ? 0 且 a ? 1) 的图象恒过同一个
.

定点,则当 1 ? 1 取最小值时,函数 f(x)的解析式是

a

b

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 14.观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +?+ > ,1+ + +?+ >2,1+ + 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 2 1 1 5 +?+ > ,?,由此猜测第 n 个不等式为 3 31 2 N*). (n∈

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 15 . 已 知 实 数 x, y 满 足 ?1 ? x ? 2, 则 ?1 ? y ? 2, ?
是 .

x x2 ? y 2

的 取 值 范 围

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16.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的一条弦 AB 过焦点 F,且 | AF |? 1 , | BF |? 程为 17. 若双曲线 。

1 ,则抛物线方 3

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲 a2 b2


线的中心) 的对称点在 y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 三、解答题(共 49 分) 18. (本小题满分 8 分)

2 已知条件 p : x ? A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R , 2 2 条件 q : x ? B ? x | x ? 2mx ? m ? 4 ? 0, x ? R, m ? R

?

?

?

?

(Ⅰ)若 A ? B ? ?0,3? ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 p 是 ? q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

[来源:Z。xx。k.Com]

19.(本小题满分 9 分) 设直线 l1 : y ? k1 x ? 1, l2 : y ? k2 x ?1 ,其中实数 k1 , k2 满足 k1k2 ? 2 ? 0 , (I)证明 l1 与 l2 相交; (II)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x +y =1上.
2 2

20.(本题满分 10 分)
x 已知 f ( x ) = 3 ? 4 ? 2 x ln 2 ,数列 ?an ? 满足: ?

1 ? a1 ? 0, 21? an ?1 ? f ?a n ? n ? N * 2

?

?

(1)求 f ( x ) 在 ??

? 1 ? , ? 上的最大值和最小值; 0 ? 2 ?

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(2)用数学归纳法证明: ?

1 ? an ? 0 ; 2

21. (本题满分10分) 已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? Q ,且 QP? ? FP?FQ . QF
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0,2? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

22.(本题满分 12 分) 已知点 A, B 的坐标分别是 (0, ?1) , (0,1) ,直线 AM , BM 相交于点 M,且它们的斜率之 积为 ?

1 . 2

(1)求点 M 轨迹 C 的方程; (2)若过点 D ? 2,0? 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E 、 F ( E 在 D 、 F 之 间) ,试求 ?ODE 与 ?ODF 面积之比的取值范围( O 为坐标原点) .Zxxk

[来源:Zxxk.Com]

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绍兴一中
注意:务必把所有答案写在答题纸上 一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.下列命题中,真命题是( D ) A.存在 x ? [0,

2012 学 年 第一 学期

11 月阶段试卷

高三数学(理科)

?
2

], sin x ? cos x ? 2

B.任意 x ? (

?
2

, ? ), tan x ? sin x

C.存在 x ? R, x 2 ? x ? ?1 2.“ a ?

D.任意 x ? (3,??), x 2 ? 2 x ? 1 ( A )学科网

1 a ”是“对任意的正数 x , 2 x ? ? 1 ”的 8 x

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条

x ? 1? ? ? 3.设不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0? 所表 ? y?x ?
示的平面区域是 ? ,平面区域 ?2 与 1

?1 关于直线 3x-4y-9=0 对称.对于 ?1
中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B,|AB|的最小值等于(B A. 28 ) C. 12

5

B.4

5

D.2 解析:画出不等式组所表示的平面 区 域如下图所示,观察图形可知,D(1,1) 到直线 3x-4y-9=0 的距离最小,故 D 关于直线 3x-4y-9=0 对称的点 D′(D′在 ?2 内)的距离 |DD′|最小,D 到直线 3x-4y-9=0 的距离为
2 2

?3? 4?9? ? 2? 故|DD′| =4. 5

4.直线 2ax ? by ? 1 与圆 x ? y ? 1相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直角 三角形(O 是坐标原点),则点 P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为(A A. 2 ? 1
2 2

)

B.2

C. 2

D. 2 ? 1

解 析 : 圆 x ? y ?1 的 圆 心 到 直 线

2ax ? by ? 1 的 距 离 为

? 2? ∴ 2 2a ? b 1
2 2

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2a2 ? b2 ? 2? 即 a 2 ? b ? 1. 因此所求距离为椭圆 a 2 ? b ? 1上点 P(a,b)到焦点(0,1)的 2 2
距离,其最大值为 2 ? 1 . 5.设 F1、F2 分别是椭圆 E : x ?
2

2

2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 ? 与 E 相交 b2

于 A、B 两点,且 AF2 , , BF2 成等差数列,则 AB 的长为( C ) AB 2 , 4 y2 2 【解析】椭圆 E : x ? 2 ? 1(0 ? b ? 1) ,a ? 1 ,∵ AF1 ? BF 1 ? a ? 1AF ,2 ? 2 , BF b 6 相加得 AF ? BF ? AF2 ? BF2 ? 2 1 1 A.

2 3

B.1

C.

4 3

D.

5 3

2

?1 ,

AF2 ? BF2 ? 2 ? AF1 ? BF1 ? 2? | AB | AF2 , , BF2 成等差数列, 2 AB ? AF2 ? BF2 ? 2a ? 1 AB
于是 2 AB ? 2 ? AB ,∴ AB ?

2 3

8.已知曲线 C: y ? 2 x ? 点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要使其不被曲线 C 挡住,则
2

实数 a 的取值范围是( A. (4? ??)

D ) B. (??? 4)

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C. (10? ??) D. (???10)

2 2 2 10 . 已 知 a ? 0, b ? 0, c ? 0, 且ab ? 1, a ? b ? c ? 4 , 则 ab ? bc ? ac 的 最 大 值 为

( A ) (A) 1? 2 2 (B) 3 (C) 3 ( D) 4

二、填空题(每题 3 分,共 21 分) 11.已知钝角三角形 ABC 的最大边长为 4,其余两边长分别为 x, y ,那么以 ? x, y ? 为坐标的 点所表示的平面区域面积是 . 4? ? 8
2

12.已知直线 l1 :4x-3y+6=0 和直线 l2 :x=-1,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的 距离之和的最小值是 。2 解析:直线 l2 :x=-1 为抛物线 y ? 4 x 的
2

准线,由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离,故本题化为在 抛物线 y ? 4 x 上找一个点 P,使得 P 到点 F(1,0)和直线 l1 的距离之和最小,最小值为 F(1,0)
2

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到直线 l1 :4x-3y+6=0 的距离,即 dmin ?

? 4?0?6? ? 2? Zxxk 5

13. 若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数 f ( x) ? a x?1 ? 1(a ? 0 且 a ? 1) 的图象恒过同一个定 点,则当 1 ? 1 取最小值时,函数 f(x)的解析式是 .

a

b

答案: f ( x) ? (2 2 ? 2) x?1 ? 1 解析:函数 f ( x) ? a x?1 ? 1 的图象恒过(-1,2), 故 1 a ? b ? 1? 1 ? 1 ? ( 1 a ? b)( 1 ? 1 ) ? 3 ? b ? a ? 3 ? 2 .

2

a

b

2

a

b

2

a

2b

2

当且仅当 b ?

2 a 时取等号,将 b ? 2 a 代入 1 a ? b ? 1得 2 2 2 x ?1 a ? 2 2 ? 2? 故 f ( x) ? (2 2 ? 2) ? 1.

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 14.观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +?+ > ,1+ + +?+ >2,1+ + 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 2 1 1 1 n 1 1 5 ? + ? + > , ? , 由 此 猜 测 第 n 个 不 等 式 为 _____ 1 ? ? ? ? ? n 3 31 2 2 3 2 ?1 2 ______(n∈N*).

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 15 . 已 知 实 数 x, y 满 足 ?1 ? x ? 2, 则 ?1 ? y ? 2, ?
是 .?

x x ? y2
2

的 取 值 范 围

? 5 2 5? , ? 5 5 ? ?

2 16.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的一条弦 AB 过焦点 F,且|AF|=1, | BF |?

1 ,则抛物线方程 3



。y ?x
2

17.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的 a2 b2
。 (1, 2]

对称 点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为

解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为 双曲线的中心) 的对称点在y轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P使得OP斜率为1即可,所以只要渐进 线的斜率大于1,也就是离心率大于 2 ,求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又 考查数形结合 、双曲线的方程及其几何性质,是中档题. 三、解答题(共 49 分) 18. (本小题满分 8 分)

2 已知条件 p : x ? A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R ,
2 2 条件 q : x ? B ? x | x ? 2mx ? m ? 4 ? 0, x ? R, m ? R

?

?

?

?

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(Ⅰ)若 A ? B ? ?0,3? ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 p 是 ? q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 18. 解: (Ⅰ) A ? [?1, 3] , B ? [?2 ? m, 2 ? m] ,若 A ? B ? ?0,3? ,则 ? 故 m ? 2 ————4 分 (Ⅱ) C R B ? (??, ? 2 ? m) ? (2 ? m, ? ?) ,若 A ? C R B , 则 3 ? ?2 ? m 或 2 ? m ? ?1 , 分 19.(本小题满分 9 分)

?? 2 ? m ? 0 , 2?m?3 ?

故 m ? ?3 或 m ? 5 ————————8

设直线 l1 : y ? k1 x ? 1, l2 : y ? k2 x ?1 ,其中实数 k1 , k2 满足 k1k2 ? 2 ? 0 , (I)证明 l1 与 l2 相交; (II)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x 2 +y2 =1上.

y ?1 ? ?k1 ? x , ? y ? 1 ? k1 x ? (方法二)交点 P 的坐标 ( x, y ) 满足 ? , 故知x ? 0,有? ? y ? 1 ? k2 x ?k ? y ? 1 . ? 2 x ?
代入k1k2 ? 2 ? 0, 得 y ?1 y ?1 ? ? 2 ? 0 ,整理后,得 2x 2 ? y 2 ? 1, x x
2 2

所以交点 P 在椭圆 2 x ? y ? 1上. ——————————————9 分 20.(本题满分 10 分) 已 知

f ( x)

=

3 ? 4 x ? 2 x ln 2

,





?an ?





:

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? 1 ? a1 ? 0, 21? an ?1 ? f ?a n ? n ? N * 2
(1)求 f ( x ) 在 ??

?

?

? 1 ? , ? 上的最大值和最小 值; 0 ? 2 ?
1 ? an ? 0 ; 2

( 2)用数学归纳法证明: ? 20.(本题满分 10 分)

21. (本题满分10分) 已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? Q ,且 QP? ? FP?FQ . QF
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0,2? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B

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两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求 21. (本题满分10) 解: (1)设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? , ∵ QP? QF ? FP?FQ , ∴ ? 0, y ?1?? ? x,2? ? ? x, y ?1?? x, ?2? . Zxxk ? ? 即 2 ? y ? 1? ? x2 ? 2 ? y ?1? ,即 x2 ? 4 y , 所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x2 ? 4 y .??????????? ?????3分

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立.

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当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 ? ? 2. l2 l1

故当 a ? ?2 2 时, 22.(本题满分 12 分)

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 .????Zxxk????10分 l2 l1

已知点 A, B 的坐标分别是 (0, ?1) , (0,1) ,直线 AM , BM 相交于点 M,且它们的斜率之 积为?

1 . 2

(2)方法一 由题意知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ( k ? ? 将①代入

1 ) 2



x2 ? y 2 ? 1 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 , 2
1 . 2

2 由 ? ? 0 ,解得 0 ? k ?

? 8k 2 x1 ? x 2 ? 2 , ? ? 2k ? 1 设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,则 ? 2 ? x x ? 8k ? 2 . ? 1 2 2k 2 ? 1 ?
令? ?

②Zxxk

??? ? ???? S ?ODE | DE | ,则 ? ? ,即 DE ? ? DF ,即 x1 ? 2 ? ? ? x2 ? 2? ,且 0 ? ? ? 1. | DF | S?ODF

?4 ? ?( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? 2k 2 ? 1 , ? 由②得, ? 2 ? (x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 . ? 2k ? 1 ?

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?4 ? ??1 ? ? ?? x2 ? 2 ? ? 2k 2 ? 1 , ? ? 2k 2 ? 1 4? 1 即? ? ? , 即k 2 ? ? . 2 2 (1 ? ? )2 8 (1 ? ? )2 2 ?? ? x ? 2 ? ? . 2 ? 2k 2 ? 1 ?
?0 ? k2 ?

1 1 4? 1 1 4? 1 1 2 且 k ? ?0 ? ? ? 且 ? ? . 2 2 4 2 (1 ? ? ) 2 2 (1 ? ? ) 2 4

解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 且 ? ?

1 1 ? 0 ? ? ? 1 ,? 3 ? 2 2 ? ? ? 1 且 ? ? . 3 3

∴△ODE 与△ODF 面积之比的取值范围是 ? 3 ? 2 2, ? ? ? ,1? .??????12 分

? ?

1? ?1 ? 3? ? 3 ?

2 ? ? ? 1? 2 ? ? ? 1? ∵ s ? 2 且 s ? 4 ,∴ ? 2且 ? 4 .Zxxk 2 6? ? ? ? 1 6? ? ? 2 ? 1
2 2
2 2

2 即 ? ? 6? ? 1 ? 0 且 ? ?

1 . 3 1 . 3
[来源:Z_xx_k.Com]

解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 且 ? ?

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? 0 ? ? ? 1 ,? 3 ? 2 2 ? ? ? 1 且 ? ?

1 . 3

故△ODE 与△ODF 面积之比的取值范围是 ? 3 ? 2 2, ? ? ? ,1? .??? ??12 分

? ?

1? ?1 ? 3? ? 3 ?


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