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高中数学竞赛讲义15:复数


高中数学竞赛讲义(十五) ──复数
一、基础知识 1.复数的定义:设 i 为方程 x2=-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除等运算。 R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用 C 来表示。 便产生形如 a+bi(a,b∈ 2.复数的几种形式。对任意复数 z=a+bi(a,b∈ R) ,a 称实部记作 Re(z),b 称虚部记作 I

m(z). z= a+bi (a,b∈R)称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么 z 与 坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。 因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称 为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量 也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外设 z 对应复平面内的点 Z,见图 15-1,连接 OZ,设 ∠ xOZ=θ,|OZ|=r,则 a=rcosθ,b=rsinθ,所以 z=r(cosθ+isinθ),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ+isinθ), 则 θ 称为 z 的辐角。若 0≤θ<2π,则 θ 称为 z 的辐角主值,记作 θ=Arg(z). r 称为 z 的模,也记作|z|,由勾 股定理知|z|= .如果用 eiθ 表示 cosθ+isinθ,则 z=reiθ,称为复数的指数形式。 a-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有: (1)

3.共轭与模,若 z=a+bi, R),则 (a,b∈

; (2)

; (3)

; (4)

; (5)



(6)

2 2 2 2 z2|≤|z1|+|z2|; ; (7)||z1|-|z2||≤|z1± (8)|z1+z2| +|z1-z2| =2|z1| +2|z2| ; (9)若|z|=1,则



4.复数的运算法则: (1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算结果 可以通过乘以共轭复数将分母分为实数; (2)按向量形式, 加、减法满足平行四边形和三角形法则; (3) 按 三 角 形 式 , 若 z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2) , 则 z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] ; 若 [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],用指数形式记为 z1z2=r1r2ei(θ1+θ2), 5.棣莫弗定理:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ). 6.开方:若 r(cosθ+isinθ),则 ,k=0,1,2,…,n-1。 ,则 ,k=1,2,…,n-1) : (1)

7.单位根:若 wn=1,则称 w 为 1 的一个 n 次单位根,简称单位根,记 Z1= 全部单位根可表示为 1, , .单位根的基本性质有(这里记

Z,0≤r≤n-1 , 有 Znq+r=Zr ; 对 任 意 整 数 k , 若 k=nq+r,q∈ ( 2 ) 对 任 意 整 数 m , 当 n≥2 时 , 有 = xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x特 别 1+Z1+Z2+…+Zn-1=0 ; ( 3 )

)…(x-

).

8.复数相等的充要条件: (1)两个复数实部和虚部分别对应相等; (2)两个复数的模和辐角主值分 别相等。 9.复数 z 是实数的充要条件是 z= ;z 是纯虚数的充要条件是:z+ =0(且 z≠0). 10.代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根。 11.实系数方程虚根成对定理:实系数一元 n 次方程的虚根成对出现,即若 z=a+bi(b≠0)是方程的 一个根,则 =a-bi 也是一个根。
2 2 12. R,a≠0, 若 a,b,c∈ 则关于 x 的方程 ax +bx+c=0, 当 Δ=b -4ac<0 时方程的根为

二、方法与例题 1.模的应用。 N+时,方程(z+1)2n+(z-1)2n=0 只有纯虚根。 例 1 求证:当 n∈ [ 证 明 ] 若 z 是 方 程 的 根 , 则 (z+1)2n=-(z-1)2n , 所 以 |(z+1)2n|=|-(z-1)2n|, 即 |z+1|2=|z-1|2, 即 (z+1)( +1)=(z-1)( -1),化简得 z+ =0,又 z=0 不是方程的根,所以 z 是纯虚数。 2 例 2 设 f(z)=z +az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求 a,b 的值。 [解] 因为 4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b) =|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)| ≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4,其中等号成立。 所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同,且模相等。 所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i),解得 a=b=0. 2.复数相等。 2 R,若二次方程(1-i)x +(λ+i)x+1+λi=0 有两个虚根,求 λ 满足的充要条件。 例 3 设 λ∈ [解] 若方程有实根,则方程组 有实根,由方程组得(λ+1)x+λ+1=0.若 λ=-1,则方

2 程 x -x+1=0 中 Δ<0 无实根,所以 λ≠-1。所以 x=-1, λ=2.所以当 λ≠2 时,方程无实根。所以方程有两个 虚根的充要条件为 λ≠2。 3.三角形式的应用。 N,且存在 θ 满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ,那么这样的 n 有多少个? 例 4 设 n≤2000,n∈ [解] 由题设得

, 所以 n=4k+1.又因为 0≤n≤2000,所以 1≤k≤500,所以这样的 n 有 500 个。 4.二项式定理的应用。 例 5 计算: (1) [ 解 ] (1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250, ; (2) 由 二 项 式 定 理 (1+i)100=

=

)+( =-250,

)i , 比 较 实 部 和 虚 部 , 得 =0。

5.复数乘法的几何意义。 例 6 以定长线段 BC 为一边任作 ΔABC,分别以 AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰直 角 ΔABM、等腰直角 ΔACN。求证:MN 的中点为定点。 [证明] 设|BC|=2a,以 BC 中点 O 为原点,BC 为 x 轴,建立直角坐标系,确定复平面,则 B,C 对应的复数为-a,a,点 A,M,N 对应的复数为 z1,z2,z3, 义得: ,① ,由复数乘法的几何意 +② ,② 由① 得 z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.

设 MN 的中点为 P,对应的复数 z=

,为定值,所以 MN 的中点 P 为定点。

例 7 设 A,B,C,D 为平面上任意四点,求证:AB?AD+BC?AD≥AC?BD。 [ 证明 ] 用 A , B , C , D 表示它们对应的复数,则 (A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D) ,因为 |A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D). 所 以 |A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=” 成 立 当 且 仅 当 =π,即 A,B,C,D 共圆时成立。不等式得证。 6.复数与轨迹。 例 8 ΔABC 的顶点 A 表示的复数为 3i,底边 BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求 ΔABC 的外心轨迹。 [解]设外心 M 对应的复数为 z=x+yi(x,y∈ R),B,C 点对应的复数分别是 b,b+2.因为外心 M 是三边 垂直平分线的交点,而 AB 的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|,BC 的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|,所 以点 M 对应的复数 z 满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去 b 解得 所以 ΔABC 的外心轨迹是轨物线。 7.复数与三角。 例 9 已知 cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0,求证:cos2α+cos2β+cos2γ=0。 [证明] 令 z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ,则 z1+z2+z3=0。所以 又因为|zi|=1,i=1,2,3. ,即

所以 zi?

=1,即

由 z1+z2+z3=0 得





所以 所以 cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0. 所以 cos2α+cos2β+cos2γ=0。 0 0 0 例 10 求和:S=cos20 +2cos40 +…+18cos18×20 . 0 0 0 2 18 [解] 令 w=cos200+isin200,则 w18=1, 令 P=sin20 +2sin40 +…+18sin18×20 ,则 S+iP=w+2w +…+18w .





① × w



w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19 , 所 以 S+iP=







① -②



(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=

,所以

8.复数与多项式。 n n-1 例 11 已知 f(z)=c0z +c1z +…+cn-1z+cn 是 n 次复系数多项式(c0≠0). 求证:一定存在一个复数 z0,|z0|≤1,并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|. [证明] 记 c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令 =Arg(cn)-Arg(z0),则方程 g(Z)-c0eiθ=0 为 n 次方程,其必有 n 个根,设为 z1,z2,…,zn,从而 g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)?…?(z-zn)c0,令 z=0 得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0,取模得 |z1z2…zn|=1 。 所 以 z1,z2,… , zn 中 必 有 一 个 zi 使 得 |zi|≤1, 从 而 f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn , 所 以 |f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|. 9.单位根的应用。 O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2…An 各个顶点的距离的平方和为定值。 例 12 证明:自⊙ [证明] 取此圆为单位圆,O 为原点,射线 OAn 为实轴正半轴,建立复平面,顶点 A1 对应复数设 为
2 3 n , 则 顶 点 A2A3…An 对 应 复 数 分 别 为 ε , ε , … , ε . 设 点 p 对 应 复 数 z, 则 |z|=1, 且

=2n-

=2n-

命题得证。

10.复数与几何。 例 13 如图 15-2 所示,在四边形 ABCD 内存在一点 P,使得 ΔPAB,ΔPCD 都是以 P 为直角顶点 的等腰直角三角形。求证:必存在另一点 Q,使得 ΔQBC,ΔQDA 也都是以 Q 为直角顶点的等腰直角 三角形。 [证明] 以 P 为原点建立复平面,并用 A,B,C,D,P,Q 表示它们对应的复数,由题设及复数乘 法的几何意义知 D=iC,B=iA ;取 C-Q=i(B-Q)得 ,则 C-Q=i(B-Q),则 ΔBCQ 为等腰直角三角形;又由 ,即 A-Q=i(D-Q),所以 ΔADQ 也为等腰直角三角形且以 Q 为直角顶

点。综上命题得证。 例 14 平面上给定 ΔA1A2A3 及点 p0, 定义 As=As-3,s≥4, 构造点列 p0,p1,p2,…,使得 pk+1 为绕中心 Ak+1 0 顺时针旋转 120 时 pk 所到达的位置,k=0,1,2,…,若 p1986=p0.证明:ΔA1A2A3 为等边三角形。 [ 证明 ] 令 u= ,由题设,约定用点同时表示它们对应的复数,取给定平面为复平面,则

p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, ① × u2+② × (-u) 得 p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w 为 与 p0 无 关 的 常 数 。 同 理 得 p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0,所以 w=0,从而 A3-uA2+u2A1=0.由 u2=u-1 得 A3-A1=(A2-A1)u, 这说明 ΔA1A2A3 为正三角形。

三、基础训练题 1.满足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有__________组。 2.若 z∈ C 且 z2=8+6i,且 z3-16z=__________。 __________。

3.复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)?z 是纯虚数,则

4.已知

2 1992 ,则 1+z+z +…+z =__________。

5.设复数 z 使得

的一个辐角的绝对值为

,则 z 辐角主值的取值范围是__________。

6.设 z,w,λ∈ C,|λ|≠1,则关于 z 的方程 -Λz=w 的解为 z=__________。

7.设 0<x<1,则 2arctan

__________。

8.若 α,β 是方程 ax2+bx+c=0(a,b,c∈ R)的两个虚根且

,则

__________。

9.若 a,b,c∈ C,则 a2+b2>c2 是 a2+b2-c2>0 成立的__________条件。 2 2 10. 已知关于 x 的实系数方程 x -2x+2=0 和 x +2mx+1=0 的四个不同的根在复平面上对应的点共圆, 则 m 取值的集合是__________。 11.二次方程 ax2+x+1=0 的两根的模都小于 2,求实数 a 的取值范围。 12.复平面上定点 Z0,动点 Z1 对应的复数分别为 z0,z1,其中 z0≠0,且满足方程|z1-z0|=|z1|,① 另一 个动点 Z 对应的复数 z 满足 z1?z=-1,② 求点 Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状和位置。 13. N 个复数 z1,z2,…,zn 成等比数列, 其中|z1|≠1, 公比为 q,|q|=1 且 q≠±1,复数 w1,w2,…,wn 满足条件: wk=zk+ +h,其中 k=1,2,…,n,h 为已知实数,求证:复平面内表示 w1,w2,…,wn 的点 p1,p2,…,pn 都在一

个焦距为 4 的椭圆上。 四、高考水平训练题 1.复数 z 和 cosθ+isinθ 对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称,则 z=__________。 2.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,那么 z=__________。 3.有一个人在草原上漫步,开始时从 O 出发,向东行走,每走 1 千米后,便向左转 过 n 千米后,首次回到原出发点,则 n=__________。 4.若 ,则|z|=__________。 角度,他走

5.若 ak≥0,k=1,2,…,n,并规定 an+1=a1,使不等式 的最大值为__________。

恒成立的实数 λ

6.已知点 P 为椭圆

上任意一点,以 OP 为边逆时针作正方形 OPQR,则动点 R 的轨

迹方程为__________。 7.已知 P 为直线 x-y+1=0 上的动点,以 OP 为边作正 ΔOPQ(O,P,Q 按顺时针方向排列)。则点 Q 的轨迹方程为__________。 8.已知 z∈ C,则命题“z 是纯虚数”是命题“ ”的__________条件。

9.若 n∈ N,且 n≥3,则方程 zn+1+zn-1=0 的模为 1 的虚根的个数为__________。 10 . 设 (x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+…+anxn , 则

+…+a3k-

__________。

11.设复数 z1,z2 满足 z1?
2 (1)|z1+A|?|z2+A|=|A| ;

,其中 A≠0,A∈ C。证明:

(2)

12.若 z∈ C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值,并求取得最大值、最小值时的复数 z.

13.给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3 满足



|az1+bz2+cz3|的值。 五、联赛一试水平训练题 1.已知复数 z 满足 则 z 的辐角主值的取值范围是__________。

2.设复数 z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π),复数 z,(1+i)z,2 在复平面上对应的三个点分别是 P,Q,R,当 P,Q,R 不共线时,以 PQ,PR 为两边的平行四边形第四个顶点为 S,则 S 到原点距离的最大值为 __________。 3 .设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 z1,z2,…,z20, 则复数 所对应的不同点的个数是__________。 4.已知复数 z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________。 5.设 AOB=900, ,z1=w-z,z2=w+z,z1,z2 对应复平面上的点 A,B,点 O 为原点,∠

|AO|=|BO|,则 ΔOAB 面积是__________。 6.设
3 7 9 ,则(x-w)(x-w )(x-w )(x-w )的展开式为__________。

7.已知(

)m=(1+i)n(m,n∈ N+),则 mn 的最小值是__________。 ?z2 的实部为零,z1 的辐角主值

8.复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上, 为 ,则 z2=__________。

9.当 n∈ N,且 1≤n≤100 时,

的值中有实数__________个。

10.已知复数 z1,z2 满足

,且





,则

的值是__________。 11.集合 A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈ A,w∈ B},问:集合 C 中有多少个不同的元素? 12.证明:如果复数 A 的模为 1,那么方程 N+). 的所有根都是不相等的实根(n∈

13.对于适合|z|≤1 的每一个复数 z,要使 0<|αz+β|<2 总能成立,试问:复数 α,β 应满足什么条件? 六、联赛二试水平训练题 1.设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足

其中 S 为实数且|S|≤2,求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上。 2.求证: 。

3.已知 p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn 是复变量 z 的实系数多项式,且|p(i)|<1,求证:存在实数 a,b,使 2 2 2 2 得 p(a+bi)=0 且(a +b +1) <4b +1. 4. 运用复数证明: 任给 8 个非零实数 a1,a2,…,a8, 证明六个数 a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8 中至少有一个是非负数。 5.已知复数 z 满足 11z10+10iz9+10iz-11=0,求证:|z|=1. 6.设 z1,z2,z3 为复数,求证: |z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。


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