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平面向量数量积的物理背景及几何意义a (2)


平面向量数量积的物理背景及其含义

自学提纲:
1.复习物理学中的功的定义是怎样的,它是 标量还是矢量? 2.两个向量的夹角是如何规定的?范围是什 么? 3.如何理解向量在轴上的正射影?它是一个 向量还是一个数? 4.向量的数量积是如何规定的?如何表示? 有哪些性质?

已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AO

B=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量a与b的夹角。
B

θ
O

A

当θ=0°时,a与b同向;

O

A

B

当θ=180°时,a与b反向; A 当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.
B

O
b O a A

B

我们学过功的概念,即一个物体在力F 的作用下产生位移s(如图)
F

θ
S

力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发,我们引入向量 “数量积”的概念。

已知两个非零向量a与b,它们的 夹角为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积(或内积),记作a· b

a· b=|a| |b| cosθ

|a| cosθ(|b| cosθ)叫 做向量a在b方向上(向 量b在a方向上)的投影。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。

? ? ? ? 是非零向量, e 是与b 方向相同的 设 a、b ? ? 单位向量, 是a与e 的夹角,则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)e ? a ? a ? e ?| a | cos? a ? b ?| a || b | cos ?
? ? ? ? ? ? B (3)当a与b 同向时,a ? b ?| a || b |; b θ A O ? ? ? ? ? ? B1 a 当a与b 反向时,a ? b ? ? | a || b |; ? ? ?2 ?2 ? ? ? 特别地 a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ? a ? ? a ?b ? ? ? ? (4) cos? ? ? ? (5) | a ? b |?| a || b | | a || b |
? ? ? ? (2)a ? b ? a ? b ? 0

例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 θ=120°,求a·b。
解:a· = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° b
=5×4×(-1/2)= -10

例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a· b。

解: |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2

b
O

B

θ |b|cosθ B1 a

A

? 的长度 ? ? ? ? ? | a |与 b 在a方向上的投影 a ? b 等于 a
? | b | cos? 的乘积。

练习: 1.若a =0,则对任一向量b ,有a ·b=0. √
2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a ·b≠0. × 3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 × × 4.若a ·b=0,则a ·b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c × 6.若a ·b = a ·c ,则b≠c,当且仅当a=0 × 时成立. 2 2 7.对任意向量 a 有 a ?| a | √

二、平面向量的数量积的运算律:

数量积的运算律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)(?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? 其中, 、b 、c 是任意三个向量, a ??R
? ? ? ? ? ? 注: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

证明运算律(3)

向量a、b、a + b 在c上的投影的数量 分别是OM、MN、 ON,

b a O a+b M

N c

例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· 2; b+b (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2.
证明:(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b) =(a+b)· a+(a+b)· b =a· a+b· a+a· b+b· b =a2+2a· 2. b+b

例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· 2; b+b (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2. 证明:(2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b =a· a+b· a-a· b-b· b

=a2-b2.

? ? 例4、 已知 | a |? 6, b |? 4,a 与b 的夹角为 | ?
? ? 60 ,
o

?

求(a ? 2b ) ? (a ? 3b ) 。

?

?

?

?

解:

? ? 例5.已知 | a |? 3,| b |? 4,当且仅当k为何值时, ? ? ? ? 向量a ? kb与a ? kb 互相垂直?

? ? ? ? ? ? ? ? 1、若 | a |?| b |? 1, a ? b 且2a ? 3b 与ka ? 4b 也 互相垂直,求k的值。 ? ? ? 2、设a是非零向量,且b ? c , 求证: ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? c ? a ? (b ? c )

3、用向量方法证明:直径所对的圆周 角为直角。
如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析:要证∠ACB=90°,只须证向 ??? ??? ??? ?? ? 量AC ? CB ,即AC ? CB ? 0 。 ??? ? ??? ? 解:设 AO ? a,OC ? b ? ??? ? ? ??? ? 则 AC ? a ? b ,CB ? a ? b ,

C

B O

由此可得: AC

???

? CB ? a ? b ? a ? b

?? ?

?2 ?2 ? ? ? a ? b ?| a |2 ? | b |2

?

?

?

? ?

?

?

?

? r2 ? r2 ? 0

即 AC ? CB ? 0 ,∠ACB=90°


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