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北京市丰台区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题+Word版含答案

时间:2018-02-14


丰台区 2017~2018 学年度第一学期期末练习 高三数学(理科)
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? ??1,0,1? , B ? x x ? 1 ,则 A U B ? (

?

?

) D. x x ? 1

A. ??1,1?
x

B. ??1,0,1? )

C. x ? 1 ? x ? 1

?

?

?

?

2. “ x ? 1 ”是“ 2 ? 1 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.在极坐标系 Ox 中,方程 ? ? sin ? 表示的曲线是( A.直线 B.圆 C.椭圆

D.双曲线

? x ? y ? 1, ? 4.若 x , y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值是( ? x ? 0, ?
A.-2 B.-1 C.1 D.2



5.执行如图所示的程序框图,如果输入的 x 的值在区间 ? ?2, ?1.5? 内,那么输出的 y 属于 ( )

A. ? 0,0.5?

B. ? 0,0.5?

C. ? 0.5,1?

D. ?0.5,1? )

6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长的棱的棱长为(

A.2

B. 5

C. 2 2

D.3

7.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点 F 作一条与其渐近线垂直的直线,垂足 a 2 b2
1 OF ,则此双曲线的离心率为( 2
C.2 D. 5 )

为 A, O 为坐标原点,若 OA ? A. 2 8.全集 U ? B. 3

?? x, y ? x ? Z, y ? Z? ,非空集合 S ? U ,且 S 中的点在平面直角坐标系 xOy

内形成的图形关于 x 轴、 y 轴和直线 y ? x 均对称.下列命题: ①若 ?1,3? ? S ,则 ? ?1, ?3? ? S ; ②若 ? 0,4? ? S ,则 S 中至少有 8 个元素; ③若 ? 0,0? ? S ,则 S 中元素的个数一定为偶数; ④若

?? x, y ? x ? y ? 4, x ? Z, y ? Z? ? S ,则 ?? x, y ? x ? y ? 4, x ? Z, y ? Z? ? S .
) C.3 D.4 B.2

其中正确命题的个数是( A.1

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上) r r r r r 9.已知单位向量 a, b 的夹角为 120°,则 a ? b ? a ? .

?

?

10.若复数 z ? ?1 ? i ??1 ? ai ? 在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数 a ? 11.在 ? 2 ? x ? 的展开式中, x 项的系数是
5



3

(用数字作答) . ,数列 ?an ?

12.等差数列 ?an ? 的公差为 2,且 a2 , a4 , a8 成等比数列,那么 a1 ?

的前 9 项和 S9 ?



13.能够说明“方程 ? m ?1? x2 ? ?3 ? m? y2 ? ? m ?1??3 ? m? 的曲线是椭圆”为假命题的一 个 m 的值是 .

14.已知函数 f ? x ? ? ?

? ? x sin x, 0 ? x ? ? , g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? k ? R? . ? ? x, x ? ? ,
个零点; .

①当 k ? 1 时,函数 g ? x ? 有

②若函数 g ? x ? 有三个零点,则 k 的取值范围是

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. )
15.在 ?ABC 中, 3sin 2B ? 2sin B .
2

(Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 a ? 4 , S?ABC ? 6 3 ,求 b 的值. 16.某校为了鼓励学生热心公益,服务社会,成立了“慈善义工社”.2017 年 12 月,该校 “慈善义工社” 为学生提供了 4 次参加公益活动的机会, 学生可通过网路平台报名参加活动. 为了解学生实际参加这 4 次活动的情况, 该校随机抽取 100 名学生进行调查, 数据统计如下 表,其中“√”表示参加, “×”表示未参加.

根据表中数据估计,该校 4000 名学生中约有 120 名这 4 次活动均未参加. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)从该校 4000 名学生中任取一人,试估计其 2017 年 12 月恰参加了 2 次学校组织的公 益活动的概率; (Ⅲ)已知学生每次参加公益活动可获得 10 个公益积分,任取该校一名学生,记该生 2017

年 12 月获得的公益积分为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望 E ? X ? . 17.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA ? 底面 ABCD , E , F 分别是

AB, PC 的中点, PA ? AD ? 2 , CD ? 2 .
(Ⅰ)求证: EF ∥ 平面 PAD ; (Ⅱ)求 PC 与平面 EFD 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 BC 上是否存在一点 M ,使得平面 PAM ? 平面 EFD ?若存在,求出 值;若不存在,请说明理由.

BM 的 BC

18.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? a ln x ? a ? R ? .
2 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 19.在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离和它到直线 x ? ?1 的距离相等, 记点 P 的轨迹为 C . (Ⅰ)求 C 得方程; (Ⅱ)设点 A 在曲线 C 上, x 轴上一点 B (在点 F 右侧)满足 AF ? FB .平行于 AB 的 直线与曲线 C 相切于点 D ,试判断直线 AD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不 过定点,请说明理由. 20.在数列 ?an ? 中,若 a1 , a2 是整数,且 an ? ? 且 n ? 3 ). (Ⅰ)若 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,写出 a3 , a4 , a5 的值; (Ⅱ)若在数列 ?an ? 的前 2018 项中,奇数的个数为 t ,求 t 得最大值;

? ?5an ?1 ? 3an ? 2 , an ?1 ? an ? 2为偶数, * (n?N , ? ?an ?1 ? an ? 2 , an ?1 ? an ? 2为奇数,

(Ⅲ)若数列 ?an ? 中, a1 是奇数, a2 ? 3a1 ,证明:对任意 n ? N , an 不是 4 的倍数.
*

丰台区 2017-2018 学年度第一学期期末练习 2018.01 高三数学(理科)答案及评分参考 一、选择题
1-4:CABD 5-8:ADCC

二、填空题
9.

1 2

10.1

11.-40

12.2,90

13. m ? ? ??,1? U?2? U?3, ??? 中任取一值即为正确答案

14.1, ? 0,

? ? ?

?? ? ? ?

三、解答题
15.解: (Ⅰ)因为 3sin 2B ? 2sin B ,
2

所以 2 3 sin B cos B ? 2sin B .
2

因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 0 , 所以 tan B ? 3 , 所以 B ?

?
3

.

(Ⅱ)由 S?ABC ? 6 3 , a ? 4 , B ? 得

?
3



1 ? ? 4 ? c ? sin ? 6 3 . 2 3

解得 c ? 6 . 由余弦定理可得 b ? 4 ? 6 ? 2 ? 4 ? 6 ? cos
2 2 2

?
3

? 28 ,

解得 b ? 2 7 . 16.解: (Ⅰ)依题意

b 200 ? ,所以 b ? 3 . 100 4000

因为 a ? 100 ? ?12 ? 20 ?15 ? 30 ?10 ? 3? ? 10 , 所以 a ? 10 , b ? 3 . (Ⅱ) 设 “从该校所有学生中任取一人, 其 2017 年 12 月恰参加了 2 次学校组织的公益活动”

为事件 A , 则 P ? A? ?

20 ? 30 1 ? . 100 2

所以从该校所有学生中任取一人, 其 2017 年 12 月恰参加了 2 次学校组织的公益活动的概率 约为

1 . 2

(Ⅲ) X 可取 0,10,20,30,40.

3 20 ? 0.03 ; P ? X ? 10 ? ? ? 0.2 ; 100 100 50 12 P ? X ? 20 ? ? ? 0.5 ; P ? X ? 30 ? ? ? 0.12 ; 100 100 15 P ? X ? 40 ? ? ? 0.15 . 100 P ? X ? 0? ?
所以随机变量 X 的分布列为:

所以 E ? X ? ? 0 ? 0.03 ?10 ? 0.2 ? 20 ? 0.5 ? 30 ? 0.12 ? 40 ? 0.15 ? 21.6 . 17.解: (Ⅰ)证明:取 PD 中点 G ,连接 AG, FG . 因为 F , G 分别是 PC , PD 的中点, 所以 FG ∥ CD ,且 FG ?

1 CD . 2

因为 ABCD 是矩形, E 是 AB 中点, 所以 AE ∥ FG , AE ? FG . 所以 AEFG 为平行四边形. 所以 EF ∥ AG . 又因为 AG ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD , 所以 EF ∥ 平面 PAD .

(Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AB , PA ? AD .

因为四边形 ABCD 是矩形,所以 AB ? AD . 如图建立直角坐标系 Axyz , 所以 E ?

? 2 ? ? 2 ? , 0, 0 ,1,1 ,F? ? ? ? 2 ? ? 2 ? , D ? 0, 2,0? , ? ? ? ? uuu r ? 2 ? , ?2, 0 ? ?. 2 ? ?

所以 EF ? ? 0,1,1? , DE ? ? ?

uuu r

设平面 EFD 的法向量为 n ? ? x, y , z ? ,

r

r uuu r ?y ? z ? 0 ? ?n ? EF ? 0 ? 因为 ? r uuu ,所以 ? 2 . r x ? 2 y ? 0 n ? DE ? 0 ? ? ? ? 2
令 y ? 1 ,所以 ? 又因为 PC ?

r ? ? z ? ?1 ,所以 n ? 2 2,1, ?1 . ? ?x ? 2 2

?

?

uuu r

?

2, 2, ?2 ,

?

设 PC 与平面 EFD 所成角为 ? ,

uuu r r PC ? n uuu r r 4?2?2 4 ? . 所以 sin ? ? cos PC , n ? uuu r r ? 10 ? 10 5 PC ? n
所以 PC 与平面 EFD 所成角的正弦值为

4 . 5

(Ⅲ)因为侧棱 PA ? 底面 ABCD , 所以只要在 BC 上找到一点 M ,使得 DE ? AM , 即可证明平面 PAM ? 平面 EFD . 设 BC 上存在一点 M ,则 M 所以 AM ?

?

2, t , 0 ? t ? ?0, 2?? ,

?

uuur

?

2, t , 0 .

?

? ? 2 ? 2 , 2, 0 ? ?, ? ? uuur uuu r 1 所以令 AM ? ED ? 0 ,即 ?1 ? 2t ? 0 ,所以 t ? . 2
因为 ED ? ? ? 所以在 BC 存在一点 M ,使得平面 PAM ? 平面 EFD ,且

uuu r

BM 1 ? . BC 4

18.解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? ,

f ?? x? ?

2 x 2 ? ax ? a 2 ? x ? a ?? 2 x ? a ? ? . x x
a , 2

由 f ? ? x ? ? 0 ,可得 x ? a 或 x ? ?

当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 在 ? 0, +?? 上恒成立, 所以 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0, +?? ,没有单调递减区间; 当 a ? 0 时, x, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

所以 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, a ? ,单调递增区间是 ? a, ??? . 当 a ? 0 时, x, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

所以 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ?

? ?

a? ? a ? ? ,单调递增区间是 ? ? , ?? ? . 2? ? 2 ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ? x ? ? x2 ? 0 ,符合题意. 当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, a ? ,单调递增区间是 ? a, ??? , 所以 f ? x ? ? 0 恒成立等价于 f ? x ?min ? 0 ,即 f ? a ? ? 0 , 所以 a ? a ? a ln a ? 0 ,所以 0 ? a ? 1 .
2 2 2

当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ?

? ?

a? ? a ? ? ,单调递增区间是 ? ? , ?? ? , 2? ? 2 ? ? a? ??0. ? 2?

所以 f ? x ? ? 0 恒成立等价于 f ? x ?min ? 0 ,即 f ? ?

3 a2 a2 ? a? 2 所以 ? ? a ln ? ? ? ? 0 ,所以 ?2e 4 ? a ? 0 . 4 2 ? 2?

综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ?2e 4 ,1? .

? ?

3

? ?

19.解: (Ⅰ)因为动点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离和它到直线 x ? ?1 的距离相等, 所以动点 P 的轨迹是以点 F ?1,0 ? 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物线. 设 C 的方程为 y ? 2 px ,
2



p ? 1 ,即 p ? 2 . 2
2

所以 C 的轨迹方程为 y ? 4 x . (Ⅱ)设 A ?

? m2 ? ? m2 ? , m ? ,则 B ? ? 2, 0 ? , ? 4 ? ? 4 ?
m m ?? . ?2 2 m x?b , 2

所以直线 AB 的斜率为 k ?

设与 AB 平行,且与抛物线 C 相切的直线为 y ? ?

? y2 ? 4x ? 2 由? 得 my ? 8 y ? 8b ? 0 , m ?y ? ? x ?b ? 2
由 ? ? 64 ? 4 ? m ? 8b ? 0 得 b ? ?

2 , m

所以 y ? ?

4 4? ? 4 ,所以点 D ? 2 , ? ? . m m? ?m

4 ? m 4 m2 ? m ? 当 ,即 m ? ?2 时,直线 AD 的方程为 y ? m ? 2 ?x? ?, 4 m2 m 4 ? 4 ? ? 4 m2 4m 整理得 y ? 2 ? x ? 1? , m ?4
2

m?

所以直线 AD 过点 ?1,0 ? .



m2 4 ? 2 ,即 m ? ?2 时,直线 AD 的方程为 x ? 1 ,过点 ?1,0 ? , 4 m

综上所述,直线 AD 过定点 ?1,0 ? .

20.解: (Ⅰ) a3 ? 5a2 ? 3a1 ? 7 ,

a4 ? 5a3 ? 3a2 ? 29 , a5 ? a4 ? a3 ? 22 .
所以 a3 ? 7 , a4 ? 29 , a5 ? 22 . (Ⅱ) (i)当 a1 , a2 都是偶数时, a1 ? a2 是偶数,代入 5an?1 ? 3an?2 得到 a3 是偶数; 因为 a2 ? a3 是偶数,代入 5an?1 ? 3an?2 得到 a4 是偶数; 如此下去,可得到数列 ?an ? 中项的奇偶情况是偶,偶,偶,偶,? 所以前 2018 项中共有 0 个奇数. (ii)当 a1 , a2 都是奇数时, a1 ? a2 是奇数,代入 an?1 ? an?2 得到 a3 是偶数; 因为 a2 ? a3 是偶数,代入 5an?1 ? 3an?2 得到 a4 是奇数; 因为 a3 ? a4 是偶数,代入 5an?1 ? 3an?2 得到 a5 是奇数;

如此下去,可得到数列 ?an ? 中项的奇偶情况是奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,? 所以前 2018 项中共有 1346 个奇数. (iii)当 a1 是奇数, a2 是偶数时, 理由同(ii) ,可得数列 ?an ? 中项的奇偶情况是奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,? 所以前 2018 项中共有 1345 个奇数. (iv)当 a1 是偶数, a2 是奇数时, 理由同(ii) ,可得数列 ?an ? 中项的奇偶情况是偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,? 所以前 2018 项中共有 1345 个奇数. 综上所述,前 2018 项中奇数的个数 t 的最大值是 1346. (Ⅲ)证明:因为 a1 是奇数, 所以由(Ⅱ)知, an 不可能都是偶数,只能是偶奇奇,奇偶奇,奇奇偶三种情况. 因为 a1 是奇数,且 a2 ? 3a1 ,所以 a2 也是奇数. 所以 a3 ? a2 ? a1 ? 2a1 为偶数,且不是 4 的倍数. 因为 a4 ? 5a3 ? 3a2 ? a1 , 所以前 4 项没有 4 的倍数, 假设存在最小正整数 t ?t ? 3? ,使得 at 是 4 的倍数, 则 at ?1 , at ?2 均为奇数,所以 at ?3 一定是偶数, 由于 at ?1 ? 5at ?2 ? 3at ?3 ,且 at ? at ?1 ? at ?2 , 将这两个式子作和,可得 3at ?3 ? 4at ?2 ? at . 因为 at 是 4 的倍数,所以 at ?3 也是 4 的倍数, 与 t 是最小正整数使得 at 是 4 的倍数矛盾. 所以假设不成立,即对任意 n ? N , an 不是 4 的倍数.
*


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