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2011年浙江省高中数学竞赛试卷与参考解答


2011 年浙江省高中数学竞赛试卷与参考解答
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括 号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)

5? 3? , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为( D ) 4 2 A. 2 sin ? B. ?2sin ? C.

?2 cos ? D. 2 cos ? 5? 3? , ] ,所以 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? = cos? ? sin ? ? cos? ? sin ? 解答:因为 ? ? [ 4 2 ? 2 c o? 。正确答案为 D。 s
1. 已知 ? ? [ 2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( C ) A. 2 B. 2 2 C.

?2

D. ?2 2

解答:由题意得 2 ? a2 ? 4 ? 4 ? a ? ?2 。正确答案为 C。 3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A ? B , 命题 q: x ? A 或 x ? B ,则 p 是 q 的( B ) A. 充分且必要条件 C. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 D. 非充分且非必要条件

解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。 4. 过椭圆

x2 ? y 2 ? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 2
B.

C )

A.

2 6 3

4 6 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

解答:椭圆的右焦点为(1,0) ,则弦 AB 为 y ? x ? 1, 代入椭圆方程得

3x 2 ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ?
5. 函数 f ( x) ? ?

4 4 2 ? AB ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 。正确答案为 C。 3 3
,则该函数为( A )

?1 ? 5? x ? 5 ?1
x

x?0 x?0

A. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A )

2 2

2 2 2 2 3 1 侧视图 B. 4+ 1

正视图 A. 4+

俯视图(圆和正方形) D. 4+ ?

5? 2

3? 2

C. 4+

? 2

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 积为 2 ? 2 ?1 ? 3? ?

?
2

? 4?

5? 。正确答案为 A。 2

? ) ,所以该几何体的体 2

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依 次记为: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( B ) A.64 B.32 C.16 答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。 D.8

8. 在 平 面 区 域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上 恒 有 ax ? 2by ? 2 , 则 动 点

?

?

P(a, b) 所形成平面区域的面积为( A
A. 4 B.8 C. 16 D. 32



解答:平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 的四个边界点(—1,—1)(—1, , 1)(1,—1)(1,1)满足 ax ? 2by ? 2 ,即有 , ,

?

?

a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2
由此计算动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( C ) 6 ? 2?

A. ? , 1?

?1 ?2

? ?

B ? , 1? ?2 ?

?1

?

C. ? , 1? ?2 ?

?1

?

D. ? , 1?

?1 ?2

? ?

解答: 问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点, 所以 m 的取值 6 ? 2?

范围为 ? , 1? 。正确答案为 C。 10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( C ) A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1 D. 1 ? x ? 3

?1 ?2

? ?

解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x2 ? 4 x ? 4) 由 f (?1) ? x2 ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。 正确答案为 C。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 函数 f ( x) ? 2sin

解答:最小正周期为 4 ? 。

x ? 3 cos x 的最小正周期为______4 ? ____。 2

12. 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =____6_______. 解答:由 S15 ? 30 ? a1 ? 7d ? 2 ,而 a1 ? a8 ? a15 ? 3(a1 ? 7d ) ? 6 。 13. 向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (cos? , 3) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 [1,3] 。 解答: a ? b ? (1 ? cos ? ) ? (sin ? ? 3) ? 5 ? 2(cos ? ? 3 sin ? )
2 2

?

?

? ?

? ?

= 5 ? 4sin(

?
6

?? )

,其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。

14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端
? 点) 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ 90 _。 ,D

解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90 。
?

15.设 x, y 为实数,则

5 x ? 4 y ?10 x
2

max ( x 2 ? y 2 ) ? _____4________。 2

解答: 5x2 ? 4 y 2 ? 10x ? 4 y 2 ? 10x ? 5x2 ? 0 ? 0 ? x ? 2

4( x2 ? y 2 ) ? 10x ? x2 ? 25 ? (5 ? x)2 ? 25 ? 32 ? x2 ? y 2 ? 4
16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯,
300 但不能同时关闭相邻两只, 也不能关闭两端的路灯, 则满足条件的关灯方法共有___ C1710 _______

种。 (用组合数符号表示)
300 解答:问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯,所以共有 C1710 种关灯方法。

17. 设 x, y , z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? _3 或 57_。 解答:将 z ? 3 ? x ? y 代入 x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 得到

xy ? 3( x ? y ) ? 9 ?

8 ,因为 x, y 都是整数,所以 x? y

?x ? y ? 1 ?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 8 ,? ,? ,? , 前两个方程组无解;后两个方程组解得 ? ? xy ? 2 ? xy ? 5 ? xy ? 1 ? xy ? 16
x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4, z ? ?5 。所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 或 57。
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。 解答:当 x ? 0, y ? ?( x ?1)2 ? 1, 由此可知 ymax ? 0 。 当 1 ? a ? 2, ymin ? a2 ? 2a ;当 1 ? 2 ? a ? 1, ymin ? ?1 ; 当 a ? 1 ? 2, ymin ? ?a2 ? 2a 。 ---------------------------------- 17 分 19. 给 定 两 个 数 列 当 x ? 0, y ? ( x ? 1)2 ? 1, ---- 5 分

---------------------------------- 10 分

?xn ?



?yn ?

满 足 x0 ? y0 ? 1 , x n ?

xn ?1 (n ? 1) , 2 ? xn?1

2 y n?1 yn ? (n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 jn ,使得 yn ? x jn 。 1 ? 2 y n?1

解答:由已知得到:

1 2 1 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? { ? 1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2, xn xn ?1 xn xn ?1 xn
所以

1 1 。 ? 1 ? 2n?1 ? xn ? n?1 xn 2 ?1

----------------- 5 分

又由已知, yn ? 1 ?

( yn?1 ? 1)2 y ? 1 yn?1 ? 1 2 1 1 2 ? n ?( ) ? 1 ? ? (1 ? ) 1 ? 2 y n?1 yn y n?1 yn yn?1

由1 ?

n 1 1 1 , ? 2 ? 1? ? 22 ? yn ? n y0 yn 22 ? 1
n
------------------- 17 分

所以取 jn ? 2 ? 1 即可。

x2 y 2 20. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ,过其左焦点 F 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D ( a, 0) 为 F 右侧一 1 1 5 4
点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F ,求 a 的值。 1 解答: F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ?

25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 ? x 2 y2 ? ?1 ? ? 25 16

? ( 1 6? 2 5 x2 ? 1k 2 0 ? k2 ) 5 x

2 22 ? k 5

4得 0 ?0

0

150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 2 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? ? y1 y2 ? k ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? ? ----10 分 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2
设 M (?

25 25 (3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 。 ,同理y4 ? 3 3 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 )
, 得



????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1M ? (? , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 3 3

256 256k 2 (3a ? 25)2 y1 y2 256 (3a ? 25)2 , 整理 ? ? =? y3 y 4? ? , 而y 3 y 4 ? ,即 2 9 16 ? 25k 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9(a ? x1 )(a ? x2 )


(1 ? k 2 )(16a2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。--------------17 分


2011年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准(2011.4.10)

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