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一元二次方程应用题专题讲练


快乐学习 1
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数字与方程

1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
解 : 设其中一个数为x, 根据题意, 得 x?x ? 4? ? 45. 整理得x 2 ? 4 x ? 45 ? 0. 解得x1 ? 5, x2 ? ?9. ? x ? 4 ? 5 ? 4 ? 9, 或x ? 4 ? ?9 ? 4 ? ?

5. 答 : 这两个数为5,9或 ? 9,?5.

快乐学习 3
3.

数字与方程

一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个 位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.

解 : 设这两位数的个位数字为x, 根据题意, 得

x ? 10?x ? 3? ? x. 2 整理得x ? 11x ? 30 ? 0.
2

解得x1 ? 5, x2 ? 6.

? x ? 3 ? 5 ? 3 ? 2, 或x ? 3 ? 6 ? 3 ? 3.
答 : 这个两位数为25, 或36.

快乐学习 4

数字与方程

4.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个 两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位 数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
解 : 设这个两位数的个位数字为x, 根据题意, 得

?10?5 ? x? ? x??10x ? ?5 ? x?? ? 736.

整理得x 2 ? 5x ? 6 ? 0. 解得x1 ? 2, x2 ? 3. ?5 ? x ? 5 ? 2 ? 3, 或5 ? x ? 5 ? 3 ? 2.

答 : 这两个数为32或23.

快乐学习 5
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几何与方程

5 .将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm 的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容 积是400cm3,求原铁皮的边长.
解 : 设原正方形铁皮的边长为xcm, 根据题意, 得

4( x ? 8) ? 100.
2

解这个方程 : ( x ? 8) 2 ? 100, ? x ? 8 ? ?10, ? x ? 8 ? 10, ? x1 ? 18; x2 ? ?2(不合题意, 舍去). 答 : 原正方形铁皮的边长为18cm.

快乐学习 6
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几何与方程

6 . 一直角三角形的斜边长7cm,一条直角边比另 一条直角边长1cm,求两条直角边长度.
解 : 设一条直角边为xcm, 根据题意, 得

整理得 :

x 2 ? ( x ? 1) 2 ? 7 2.
x 2 ? x ? 24 ? 0.

? 1 ? 97 解得 : x ? . 2 ? 1 ? 97 ? 1 ? 97 ? x1 ? ; x2 ? (不合题意, 舍去). 2 2 ? 1 ? 97 1 ? 97 ? x ?1 ? ?1 ? . 2 2 ? 1 ? 97 1 ? 97 答 : 两条直角边分别为 cm和 cm.

快乐学习 7
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几何与方程

7 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm, 在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小 路的面积为246cm2,求小路的宽度.
解 : 设小路的宽度xm, 根据题意, 得
15+2x

(20 ? 2x)?15 ? 2x? ? 25 ?15 ? 246.
2 x 2 ? 35x ? 123 ? 0,

20+2x

20
15

整理得 : 解得 :
41 ? x1 ? 3; x2 ? ? (不合题意, 舍去). 2

答 : 小路的宽度为3m.

快乐学习 3
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几何与方程

8. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕 地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水 渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩 形小块,水渠应挖多宽. 解 : 设水渠的宽度xm, 根据题意, 得

(92 ? 2 x)?60 ? x? ? 6 ? 885.
x 2 ? 106 x ? 105 ? 0,

整理得 : 解得 :
? x1 ? 1; x2 ? 105(不合题意, 舍去).

答 : 水渠的宽度为1m.

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智慧

运动与方程

11. 某汽车在公路上行驶,它的路程s(m)和时间t(s)之间 的关系为:s=10t+3t2,那么行驶 200m需要多长时间?
解 : 根据题意, 得

3t ? 10t ? 200.
2

整理得 :
3t 2 ? 10t ? 200 ? 0,

解得 :
20 ? x1 ? ; x2 ? ?10(不合题意, 舍去). 3 20 答 : 行驶200m需要 s (约6.7 s). 3

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运动与方程
2

解 : 设电子侦察船最早需要x小时能侦察到军舰, 根据题意, 得

(90 ? 30 x) ? ?20? ? 502.
2

北 A


整理得 : 13x 2 ? 54 x ? 56 ? 0. 解得 :
28 ? x1 ? 2; x2 ? . 13

东 B



B

答 :电子侦察船最早能在2h时能侦察到军舰.

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智慧

增长率与方程

? 13.甲公司前年缴税40万元,今年缴税48.4万元.该公 司缴税的年平均增长率为多少? 解 : 设每年平均增长率为x, 根据题意, 得

40(1 ? x) 2 ? 48.4.
解这个方程 : (1 ? x) 2 ? 1.21, ? (1 ? x) ? ?1.1, ? x ? ?1? 1.1, ? x1 ? ?1 ? 1.1 ? 10%; x2 ? ?1 ?1.1 ? 0(不合题意, 舍去). 答 : 每年的平均增长率为10%.

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智慧

增长率与方程

? 14.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低 19%,那么平均每年需降低百分之几?
解 : 设每年平均需降低的百分数为x, 根据题意, 得

(1 ? x) 2 ? 1 ? 19%.
解这个方程 : (1 ? x) 2 ? 0.81, ? (1 ? x) ? ?0.9, ? x ? 1? 0.9, ? x1 ? 1 ? 0.9 ? 10%; x2 ? 1 ? 0.9(不合题意, 舍去). 答 : 每年平均需降低的百分数为10%.
解这个方程,得整理得:x2?30 x?2 50 ?0.

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增长率与方程

?17.某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知 该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台,6月份比5月份多生产了 120000台,求该厂今年产量的月平均增长率为多少?

解 : 设该厂今年产量的月平均增长率为x, 根据题意, 得

5(1 ? x) 2 ? 5?1 ? x ? ? 1.2.
25 x 2 ? 25 x ? 6 ? 0.

整理得 : 解得 :

? 25 ? 1225 ? 5 ? 7 ?x ? ? , 50 10 ?5?7 ?5?7 ? x1 ? ? 0.2 ? 20%; x2 ? ? ?1.2 ? 0(不合题意, 舍去). 10 10 答 : 该厂今年产量的月平均增长率为20%.

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智慧

美满生活与方程

?18.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一 次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数 是多少? 解 : 设这次到会的人数为x, 根据题意, 得
整理得 : 解得 :

x 2 ? x ? 132 ? 0.

x? x ? 1? ? 66. 2

1 ? 529 1 ? 23 ?x ? ? , 2 2 1 ? 23 1 ? 23 ? x1 ? ? 12; x2 ? ? 0(不合题意, 舍去). 2 2 答 : 这次到会的人数为 人. 12

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美满生活与方程

?19.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取 出50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得的税后利息又全部 按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税 后本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少? (精确到 0.01%) .

解 : 设这种存款的年利率为x, 根据题意, 得

[500(1 ? 0.8x) ? 50](1 ? 0.8x) ? 461.
320 x 2 ? 760 x ? 11 ? 0.

整理得 : 解得 :

? 760 ? 591680 ? 760 ? 769.2 ?x ? ? , 640 640

? x1 ? 0.144 ? 1.44%; x2 ?? 0(不合题意, 舍去).

答 : 这种存款的年利率约为1.44%.

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经济效益与方程

? 20.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准 备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每 棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那 么应种多少棵桃树? 解 : 设多种桃树x棵, 根据题意, 得
x (100 ? x)(1000 ? 2 ? ) ? 100 ?1000 ? ?1 ? 15.2% ?. 1 整理得 : x 2 ? 40 x ? 7600 ? 0.

解这个方程, 得 x1 ? 20, x2 ? 380.

答 : 应多种桃树20棵或380棵.

源于生活,服务于生活
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销售问题

21.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20 件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取 降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1 元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利 1200元,每件衬衫应降价多少元?
解 : 设每件衬衫应降价x元, 根据题意, 得 x (40 ? x)( 20 ? 2 ? ) ? 1200. 1 整理得 : x 2 ? 30 x ? 200 ? 0. 解这个方程, 得 x1 ? 20, x2 ? 10. ? 20 ? 2 x ? 60, 或20 ? 2 x ? 40. 答 : 为了尽快减少库存, 应降价20元.

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销售问题

22. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批 商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(35010x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价 的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来 件商品?每件商品的售价应为多少元?
解 : 设每件商品的售价应为x元, 根据题意, 得 ( x ? 21)(350 ? 10 x) ? 400. 整理得 : x 2 ? 56 x ? 775 ? 0. 解这个方程, 得 x1 ? 25, x2 ? 31.

? x ? 31 ? 21? ?1 ? 20%? ? 25.2,? x ? 31不合题意, 舍去.

答 : 每件商品的售价应为25元.

小结
? ?

拓展

回味无穷

列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?

?
? ? ? ? ? ? ?

2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.

列方程解应用题的关键是:
找出相等关系. 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:

?

a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)


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