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(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月5日)


【教师典型例题专讲】2014 届高三数学一轮提能一日一讲(11 月 5 日)
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内. 1.(2013·浙江卷)设集合 S={x|x>-2},T={x|x +3x-4≤0},则(?RS)∪T=( A.(-2,1] C.(-∞,1] 解析

{x|x≤1}. 答案 C 2.已知 a<b,则下列不等式正确的是( 1 1 A. > ) B.a >b D.2 >2
a
2 2 2

)

B.(-∞,-4] D.[1,+∞)

T = {x| -4≤x≤1}, ? RS = {x|x≤- 2} ,由集合的运算性质,得 ( ? RS) ∪ T =

a b

C.2-a>2-b 解析 ∵a <b,∴-a>-b,∴2-a>2-b. 答案 C

b

1 1 3.(2013·天津一模)已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是(

a b

)

A.2 C.4 解析 1 1 + +2 ab≥2 1 +2 ab≥2 2

B.2 2 D.5 1 ·2 ab=4.

a b

ab

ab

1 1 ? ?a=b, 当且仅当? 1 ? ? ab=

即 a=b=1 时,等号成立,

ab,

1 1 因此 + +2 ab的最小值为 4.

a b

答案 C 3x+y-6≥0, ? ? 4.(2013·天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ? ?y-3≤0, 2x 的最小值为( A.-7 ) B.-4

则目标函数 z=y-

C.1

D.2

解析 如图当目标函数 y=2x+z 经过点(5,3)时,z 取得最小值-7.

答案 A 2x-y+1>0, ? ? 5. (2013·北 京卷)设关于 x, y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2.求得 m 的取值范围是( 4? ? A.?-∞, ? 3? ? 2? ? C.?-∞,- ? 3? ? )

表示的平面区域内存在

1? ? B.?-∞, ? 3? ? 5? ? D.?-∞,- ? 3? ?

解析 由题意可知 x-2y=2 与不等式组所表示的平面区域必须存在公共点,可得 m<0 2 且点(-m,m)在直线 x-2y-2=0 的下方,故-m-2m-2>0,即 m<- . 3 答案 C

6.(2013·山东卷)设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则当 取得最大值时, 2 1 2 + - 的最大值为( ) B.1 D.3

2

2

xy z

x y z

A.0 C. 9 4

解析

xy xy 1 1 x 4y = 2 ≤ ,当且仅当 = 时即 x=2y 时“=”成立, 2= z x -3xy+4y x 4y 4-3 y x + -3 y x x y z y y

2 1 2 1 2 1 2 1 2 ?1 ?2 2 此时 z=2y , + - =- 2+ =-? -1? +1,故当 =1,即 y=1 时 + - 有最大值 1,

?y

?

y

x y z

故选 B. 答案 B 二、填空题:本大题 共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.将答案填在题中横线上. 7.不等式 解析 由

x+1 ≤3 的解集为________. x

x+1 -2x+1 1 ≤3 得 ≤0,解得 x<0 或 x≥ . x x 2
? ? ? ? ?

? ? 1 ? 答案 ?x?x<0,或x≥ 2 ? ? ?

x+y-2≥0, ? ? 8.(2013·浙江卷)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0,
值为 12,则实数 k=________. 解析

若 z 的最大

画出线性约束条件满足的可行域,易知在点(4,4)处 z=kx+y 取得最大值,4k

+4=12,解得 k=2. 答案 2 1 |a| 9.(2013·天津卷)设 a+b=2,b>0,则当 a=________时, + 取得最小值. 2|a| b 解析 ≥ +2 4|a| 因为 a+ b=2, b>0 , 1 |a| 2 |a| a+b |a| a b |a| + = + = + = + + 2|a| b 4|a| b 4|a| b 4|a| 4|a| b

a

b |a| a 1 3 · = +1≥- +1= , 4|a| b 4|a| 4 4

b |a| 当且仅当 = ,a<0 时等号成立,此时 a=-2. 4|a| b
答案 -2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10.(本小题 10 分)设集合 A={x|x <4},B=?x?1<
2

? ? ? ?

4 ? ? x+3

? ? ?. ? ?

(1)求集合 A∩B; (2)若不等式 2x +ax+b<0 的解集为 B,求 a,b 的值. 解
? ? ? ?
2

A={x|x2<4}={x|-2<x<2},
4 ? ? x+3
? ? ? ? ?x-1 ?=?x? <0 ? ? ? ?x+3 ? ? ? ?={x|-3<x<1}, ? ?

B=?x?1<

(1)A∩B={x|-2<x<1}. (2)因为 2x +ax+b<0 的解集为 B={x|-3<x<1},所以-3 和 1 为 2x +ax+b=0 的两 根.
2 2

a - =-3+1, ? ? 2 由根与系数的关系,得? b ? ?2=-3×1,

所以?

? ?a=4, ? ?b=-6.

11.(本小题 10 分)(2013·全国卷Ⅱ)设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明: 1 (1)ab+bc+ac≤ ; 3 (2) + + ≥1. 解 (1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca 得 a +b +c ≥ab+bc+ca.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a2 b2 c2 b c a

由题设得(a+b+c) =1,即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1, 即 ab+bc+ca≤ . 3 (2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c,

a2 b

b2 c

c2 a

a2 b2 c2 故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c), b c a
即 + + ≥a+b+c. 所以 + + ≥1. 1 3 a-2 2 1 12.(本小题 10 分)已知函数 f(x)= x + x -2ax-3,g(a)= a3+5a-7. 3 2 6 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调,且 x∈[-2,0]时,不等式 f(x)<g(a)恒成立, 求实数 a 的取值范围.

a2 b2 c2 b c a

a2 b2 c2 b c a

解 +1).

1 1 (1)当 a=1 时, f(x)= x3- x2-2x-3, 定义域为 R, f′(x)=x2-x-2=(x-2)(x 3 2

令 f′(x)> 0,得 x<-1 或 x>2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(2, +∞). (2)f′(x)=x +(a-2)x-2a=(x+a)(x-2). 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-a. ∵函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调, ∴-a∈(-2,0),即 0<a<2. 又∵函数在(-2,-a)上,f′(x)>0,在(-a,0)上,f′(x)<0,当 x 变化时,f′(x) 与 f(x)的变化情况如下表:
2

x f′(x) f(x)

-2

(-2,-a) +

-a 0 极大值

(-a,0) - ↘

0

f(-2)

f(0)

∴f(x)在[-2,0]上有唯一的极大值点 x=-a. ∴f(x)在 [-2,0]上的最大值为 f(-a). ∵当 x∈[-2,0]时,不等 式 f(x)<g(a)恒成 立,等价于 f(-a)<g(a), 1 3 a-2 2 1 3 2 ∴- a + ·a +2a -3< a +5a-7. 3 2 6 1 3 2 1 3 ∴ a +a -3< a +5a-7. 6 6 ∴a -5a +4<0,解得 1< a<4.
2

综上所述,a 的取值范围是(1,2).


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