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参数方程极坐标i几何意义解题


?x=1+2t, 1.直线? (t 为参数)与圆 x +y =16 交于 A,B 两点,则线段 AB 中点的 3 y=-3 3+ t ? 2
1
2 2

坐标为(

) B.(-3, 3) D.(3, 3)

A.(3,- 3) C.(-3,- 3)

解析:把直线的参数方程代入

圆的方程解得 t=6 或 2,由此知中点 M 对应的参数 tM= 4.代入直线方程即可. 答案:A

?x=-4+ 22t, 2.设直线的参数方程为? (t 为参数),点 P 在直线上,且与点 M (-4, 2 ?y= 2 t
0

?x=-4+t, ? 0)的距离为 2,如果该直线的参数方程改写成? (t 为参数),则在这个方程中点 P ? ?y=t

对应的 t 值为( A.±1 1 C.± 2

) B.0 3 D.± 2
[来源:学+科+网]

解析:由|PM0|= 2,知 PM0= 2或 PM0=- 2,即 t=± 2代入第一个参数方程,得 点 P 的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1);再把点 P 的坐标代入第二个参数方程可得 t=1 或 t=-1. 答案:A
? ?x=2cos α , 3.(2011 新课标全国高考)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? ? ?y=2+2sin α .

→ → (α 为参数), M 是 C1 上的动点,P 点满足OP=2OM,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 与 C1 的异于极点的 3 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|A B|. x y 解:(1)设 P(x,y),则由条件知 M( , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?2=2cos α ?y ?2=2+2sin α.
x
1

?x=4cos α, ? 即? ?y=4+4sin α. ?

从而 C2 的参数方程为
? ?x=4cos α, ? (α 为参数) ? ?y=4+4sin α.

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sin θ. π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin , 3 3 π π 射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin , 3 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.

?x= 3t, 4.已知直线 l:? (t 为参数),抛物线 C 的方程 y2=2x,l 与 C 交于 P1,P2,则 ?y=2-t
点 A(0,2)到 P1,P2 两点距离之和是( A.4+ 3 C.4(2+ 3) ) B.2(2+ 3) D.8+ 3

?x=- 23t′, 解析:把直线参数方程化为? (t′为参数), 1 y=2+ t′ ? 2
代入 y2=2x,求得 t′1+t′2=-4(2+ 3), t′1t′2=16>0,知在 l 上两点 P1,P2 都在 A(0,2)的下方, 则|AP1|+|AP2|=|t′1|+|t′2|=|t′1+t′2|=4(2+ 3).
? ?x=x0+tcos α 经过点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? (t 为参数).若 A, ?y=y0+tsin α ?

B 为直线 l 上两点,其对应的参数分别为 t1,t2,线段 AB 的中点为 M,点 M 所对应的参数 为 t0,则以下结论在解题中经常用到: t1+t2 t1+t2 ①t0= ;②|PM|=|t0|=| |; 2 2 ③|AB|=|t2-t1|;④|PA|·|PB|=|t1·t2|.

?x=-4+ 23t, 5、直线 l 过点 P (-4,0),它的参数方程为? 1 ?y=2t
0

与圆 x2+y2=7 相交于 A,B 两点, (1)求弦长|AB|; (2)过 P0 作圆的切线,求切线长;

2

(3)求|P0A|和|P0B|的长; (4)求交点 A,B 的坐标. 【思路点拨】 |t|的几 ― → ― 何意义 将参数方程代 ― t2-4 3t+9=0 → 入x2+y2=7中

|P0A|和|P0B| |AB|和 ― → 及点A,B坐标 切线长

【自主解答】将直线 l 的参数方程代入圆的方程, 得(-4+ 3 2 1 2 t) +( t) =7, 2 2

整理得 t2-4 3t+9=0. (1)设 A 和 B 两点对应的参数分别为 t1 和 t2, 由根与系数的关系得 t1+t2=4 3,t1·t2=9. 故|AB|=|t2-t1|= (t1+t2)2-4t1t2=2 3. (2)设圆过 P0 的切线为 P0T,T 在圆上,则 |P0T|2=|P0A|·|P0B|=|t1t2|=9, ∴切线长|P0T|=3. (3)解方程 t2-4 3t+9=0 得 t1=3 3,t2= 3, ∴|P0A|=3 3,|P0B|= 3. 1 3 3 5 (4)将 t1=3 3,t2= 3代入直线的参数方程,得 A、B 点的坐标分别为( , ),(- , 2 2 2 3 ). 2 【特别提醒】直线 l 参数方程中的参数 t 表示直线 l 上以点 M0 为起点,任一点 M(x,y) → 为终点的有向线段M0M的数量:当点 M 在点 M0 上方时,t>0;当点 M 在 M0 的下方时,t <0;当点 M 与 M0 重合时,t=0.

?x=1+t 6、 【活学活用】 2.直线 l1:? 和直线 x-y-2 3=0 的交点与 Q(1,-5)的 ?y=-5+ 3t
距离为________.

?x=1+t, 解析:将? ?y=-5+ 3t, 1 x=1+ t, 2 化为 3 y=-5+ t, 2

? ? ?

代入 x-y-2 3=0 得 t=4 3,
3

∴P(1+2 3,1). 由参数 t 的几何意义得|PQ|=|t|=4 3. 7、 已知 P(x,y)是圆 x2+y2-2y=0 上的动点. (1)求 2x+y 的取值范围. (2)若 x+y+c≥0 恒成立,求实数 c 的取值范围. 【自主解答】方程 x2+y2-2y=0 变形为 x2+(y-1)2=1.
?x=cos θ, ? 其参数方程为? ? ?y=1+sin θ.

(1)2x+y=2cos θ+sin θ+1= 5sin(θ+φ)+1 (其中 φ 由 sin φ= 2 1 ,cos φ= 确定), 5 5

∴1- 5≤2x+y≤1+ 5. (2)若 x+y+c≥0 恒成立, 即 c≥-(cos θ+sin θ+1)对一切 θ∈R 恒成立. π ∵-(cos θ+sin θ+1)=-[ 2sin(θ+ )+1]的最大值是 2-1. 4 ∴当且仅当 c≥ 2-1 时,x+y+c≥0 恒成立. 【特别提醒】对于(2)中 x+y+c≥0 恒成立,即 c≥-(x+y)恒成立,易误解为:∵-(x +y)∈[-( 2+1),-1],∴c≥-( 2+1). 1 8、 【活学活用】 4.已知点 P 在圆 x2+(y-2)2= 上移动,点 Q 在曲线 x2+4y2=4 上移 4 动,则|PQ|的最大值为_____解析:依据题意可设圆心 O′(0,2),Q(2cos β,sin β) 则|O′Q|= (2cos β)2+(2-sin β)2 2 28 2 21 = -3(sin β+ )2+ ≤ , 3 3 3 2 21 即|O′Q|≤ , 3 2 5 此时 sin β=- ,cos β=± , 3 3 1 2 21 从而有|PQ|max= + , 2 3 2 5 2 此时 Q(± ,- ). 3 3

_

4


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