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2018年高考数学总复习第九章平面解析几何第6讲双曲线.

时间:2017-11-10


第 6 讲 双曲线

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2017·台州调研)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的 渐近线方程为( 1 A.y=± x 2 C.y=± 2x ) B.y=± 2 x 2

x2 y2 a b

D.y=±2x
2 2

解析 因为 2b=2,所以 b=1,因为 2c=2 3,所以 c= 3,所以 a= c -b = 2,所以双 曲线的渐近线方程为 y=± x=± 答案 B

b a

2 x,故选 B. 2

x y 5 2.(2015·广东卷)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲 a b 4
线 C 的方程为( A. - =1 4 3 C. - =1 16 9 ) B. - =1 9 16 D. - =1 3 4

2

2

x

2

y

2

x2

y2

x2

y2

x2 y2

c 5 2 2 解析 因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 e= = ,所以 c=5,a=4,b =c - a 4 x2 y2 a2=9,所以所求双曲线方程为 - =1,故选 C.
16 9 答案 C 3.(2016·浙江卷)已知椭圆 C1: 2+y =1(m>1)与双曲线 C2: 2-y =1(n>0)的焦点重合,

x2 m

2

x2 n

2

e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率,则(
A.m>n 且 e1e2>1 C.m<n 且 e1e2>1
2 2

) B.m>n 且 e1e2<1 D.m<n 且 e1e2<1
2 2

解析 由题意可得:m -1=n +1,即 m =n +2, 又∵m>0,n>0,故 m>n. 又∵e1·e2=
2 2

m2-1 n2+1 n2+1 n2+1 n4+2n2+1 1 · 2 = 4 >1,∴e1·e2>1. 2 · 2 = 2 2 =1+ 4 m n n +2 n n +2n n +2n2
-1-

答案 A 4.已知 F1,F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos ∠
2 2

F1PF2=(
A. C. 1 4 3 4
2

) B. D.
2

3 5 4 5

解析 由 x -y =2,知 a=b= 2,c=2. 由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a=2 2, 又|PF1|=2|PF2|, ∴|PF1|=4 2,|PF2|=2 2, 在△PF1F2 中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得 |PF1| +|PF2| -|F1F2| 3 cos ∠F1PF2= = . 2|PF1|·|PF2| 4 答案 C 5.(2017·杭州调研)过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐 3 近线于 A,B 两点,则|AB|=( A. 4 3 3 B.2 3
2 2 2 2 2

y2

) C.6 D.4 3

解析 由题意知, 双曲线 x - =1 的渐近线方程为 y=± 3x, 将 x=c=2 代入得 y=±2 3, 3 即 A,B 两点的坐标分别为(2,2 3),(2,-2 3),所以|AB|=4 3. 答案 D 二、填空题 6.(2015·浙江卷)双曲线 -y =1 的焦距是________,渐近线方程是________. 2 解析 由双曲线方程得 a =2,b =1,∴c =3,∴焦距为 2 3,渐近线方程为 y=± 答案 2 3
2 2 2

y2

x2

2

2 x. 2

y=±

2 x 2

x2 y2 7.(2016·北京卷)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的 a b
直线,点 B 为该双曲线的焦点,若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=________. 解析 取 B 为双曲线右焦点, 如图所示.∵四边形 OABC 为正方形且边长为 2,∴c=|OB|=2 2,

-2-

π 又∠AOB= , 4

b π ∴ =tan =1,即 a=b. a 4
又 a +b =c =8,∴a=2. 答案 2
2 2 2

x2 y2 8.(2016·山东卷)已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0, b>0).若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上, AB, a b CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是________.
2b 2b 解析 由已知得|AB|= ,|BC|=2c,∴2× =3×2c.
2 2

a

a

2 ?c? ?c? 2 2 2 2 2 2 2 又∵b =c -a ,整理得:2c -3ac-2a =0,两边同除以 a 得 2? ? -3? ?-2=0,即 2e -3e ?a? ?a? -2=0,解得 e=2 或 e=-1(舍去). 答案 2 三、解答题 9.(2017·宁波十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2, 且过点 P(4,- 10). (1)求双曲线的方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1·MF2=0. (1)解 ∵e= 2, ∴可设双曲线的方程为 x -y =λ (λ ≠0). ∵双曲线过点(4,- 10), ∴16-10=λ ,即 λ =6. ∴双曲线的方程为 x -y =6. (2)证明 法一 由(1)可知,a=b= 6, ∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 =- . 9-12 3
2 2 2 2 2 2

m

m

kMF1·kMF2=

m2

m2

∵点 M(3,m)在双曲线上,∴9-m =6,m =3, 故 kMF1·kMF2=-1, → → ∴MF1⊥MF2.∴MF1·MF2=0.

-3-

法二 由(1)可知,a=b= 6,∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0),

MF1=(-2 3-3,-m),MF2=(2 3-3,-m),
→ → 2 2 ∴MF1·MF2=(3+2 3)×(3-2 3)+m =-3+m , ∵点 M(3,0)在双曲线上,∴9-m =6,即 m -3=0, → → ∴MF1·MF2=0. 10.已知椭圆 C1 的方程为 +y =1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点,而 C2 的 4 左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; → → (2)若直线 l: y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且OA· OB>2(其中 O 为原点), 求 k 的取值范围. 解 (1)设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0), 则 a =3,c =4,再由 a +b =c ,得 b =1. 故 C2 的方程为 -y =1. 3 (2)将 y=kx+ 2代入 -y =1, 3 得(1-3k )x -6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2





x2

2

x2 y2 a b

x2

2

x2

2

?1-3k ≠0, ? ?Δ =(-6 2k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)>0,
1 2 2 ∴k ≠ 且 k <1.① 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6 2k 9 则 x1+x2= 2,x1x2=- 2. 1-3k 1-3k ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) 3k +7 =(k +1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2= 2 . 3k -1
2 2

2

→ → 又∵OA·OB>2,得 x1x2+y1y2>2, ∴ 3k +7 -3k +9 >2,即 2 >0, 2 3k -1 3k -1
2 2

-4-

1 2 解得 <k <3.② 3 1 2 由①②得 <k <1, 3 故 k 的取值范围为?-1,-

? ?

3? ? 3 ? ?∪? ,1?. 3? ?3 ? 能力提升题组 (建议用时:30 分钟)

11.过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点

x2 y2 a b

A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程
为( )

A. - =1 4 12 C. - =1 8 8

x2

y2

B. - =1 7 9 D. - =1 12 4

x2 y2 x2

x2 y2

y2

解析 由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为 y= x,因此可得点 A 的坐标为(a,b). 设右焦点为 F(c,0),由已知可知 c=4,且|AF|=4,即(c-a) +b =16,所以有(c-a) +b
2 2 2 2 2 2 2 2

b a

=c ,又 c =a +b ,则 c=2a,即 a= =2,所以 b =c -a =4 -2 =12.故双曲线的方程为 2 4 - =1,故选 A. 12 答案 A

c

2

2

2

2

2

x2

y2

12. 若双曲线 2 - 2 = 1(a > 0 , b > 0) 上存在一点 P 满足以 |OP| 为边长的正方形的面积等于 2ab(其中 O 为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围是( A.?1, C.? )

x2 a

y2 b

? ?

5? ? 2?

B.?1, D.?
2

? ?

7? ? 2?

? 5 ? ,+∞? ?2 ?
2

? 7 ? ,+∞? ?2 ?
2

解析 由条件,得|OP| =2ab,又 P 为双曲线上一点,从而|OP|≥a,∴2ab≥a ,∴2b≥a,

a 5 2 c 5 2 2 2 2 又∵c =a +b ≥a + = a ,∴e= ≥ . 4 4 a 2
答案 C 13.(2016·浙江卷)设双曲线 x - =1 的左、 右焦点分别为 F1, F2, 若点 P 在双曲线上, 且△F1PF2 3
-52

y2

为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________. 解析 如图,由已知可得 a=1,b= 3,c=2,从而|F1F2|=4,由对 称性不妨设点 P 在右支上,设|PF2|=m,则|PF1|=m+2a=m+2, 由于△PF1F2 为锐角三角形,
?(m+2) <m +4 , ? 结合实际意义需满足? 2 2 2 ? ?4 <(m+2) +m ,
2 2 2

解得-1+ 7<m<3, 又|PF1|+|PF2|=2m+2, ∴2 7<2m+2<8. 答案 (2 7,8) 14.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 2x+y=0,且顶点到渐近线的距离 为 2 5 . 5

y2 x2 a b

(1)求此双曲线的方程; → (2)设 P 为双曲线上一点,A,B 两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若AP= →

PB,求△AOB 的面积. a ? ?b=2, ?a=2, ? (1)依题意得? 解得? ?b=1, |2×0+a| 2 5 ? = , ? 5 ? 5 y2
2



故双曲线的方程为 -x =1. 4 (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y=±2x,设 A(m,2m),B(-n,2n),其中 m>0,n>0, → → ?m-n,m+n?. 由AP=PB得点 P 的坐标为? ? ? 2 ? 将点 P 的坐标代入 -x =1, 4 整理得 mn=1.

y2

2

?π ? 设∠AOB=2θ ,∵tan? -θ ?=2, ?2 ?
1 4 则 tan θ = ,从而 sin 2θ = . 2 5 又|OA|= 5m,|OB|= 5n, 1 ∴S△AOB= |OA||OB|sin 2θ =2mn=2. 2
-6-

15.(2017·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围. 解 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). 由已知得:a= 3,c=2,再由 a +b =c ,得 b =1, ∴双曲线 C 的方程为 -y =1. 3 (2)设 A(xA,yA)、B(xB,yB),将 y=kx+ 2代入 -y =1,得(1-3k )x -6 2kx-9=0. 3
2 2 2 2

x2 y2 a b

x2

2

x2

2

2

2

?Δ =36(1-k )>0, ? 6 2k 由题意知?x +x = <0, 1-3k -9 ? ?x x =1-3k >0,
2

1-3k ≠0,

2

A

B

2

A B

2

解得

3 <k<1. 3 3 <k<1 时,l 与双曲线左支有两个交点. 3

∴当

6 2k (3)由(2)得:xA+xB= 2, 1-3k ∴yA+yB=(kxA+ 2)+(kxB+ 2) 2 2 =k(xA+xB)+2 2= 2. 1-3k ∴AB 的中点 P 的坐标为? 2 ? ? 3 2k 2, 2?. ?1-3k 1-3k ?

1 设直线 l0 的方程为:y=- x+m,

k

4 2 将 P 点坐标代入直线 l0 的方程,得 m= 2. 1-3k ∵ 3 2 <k<1,∴-2<1-3k <0. 3

∴m<-2 2. ∴m 的取值范围为(-∞,-2 2).

-7-


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