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2018年高考数学总复习第九章平面解析几何第6讲双曲线学案.

时间:2017-11-10


第 6 讲 双曲线
最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、 离心率、渐近线).

知 识 梳 理 1.双曲线的定义 平面内与两个定点 F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零), 则点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫焦距.集合 P=

{M|||MF1| -|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a,c 为常数且 a>0,c>0: (1)若 a<c 时,则集合 P 为双曲线; (2)若 a=c 时,则集合 P 为两条射线; (3)若 a>c 时,则集合 P 为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2 y2 - =1 a2 b2
(a>0,b>0)

y2 x2 - =1 a2 b2
(a>0,b>0)





范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴;对称中心:原点

A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a

A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞) a
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲

实虚轴

线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双 曲线的虚半轴长

a,b,c 的关系
诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“?”)

c2=a2+b2

(1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.(

)
-1-

(2)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.( (3)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.(

)

x2 y2 m n

)

(4)双曲线方程 2- 2=λ (m>0,n>0,λ ≠0)的渐近线方程是 2- 2=0,即 ± =0.( (5)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( )

x2 y2 m n

x2 y2 m n

x y m n

)

解析 (1)因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部. (3)当 m>0,n>0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线,而 m<0,n<0 时则表示焦点在 y 轴上的双 曲线. 答案 (1)? (2)? (3)? (4)√ (5)√ 2.(2016?全国Ⅰ卷)已知方程 则 n 的取值范围是( A.(-1,3) C.(0,3) 解析 ∵方程 ) B.(-1, 3) D.(0, 3)

y2 =1 表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距离为 4, m +n 3m2-n
2

x2



y2 2 2 2 2 =1 表示双曲线,∴(m +n)?(3m -n)>0,解得-m <n<3m ,由双 m +n 3m2-n
2

x2
2


2

曲线性质,知 c =(m +n)+(3m -n)=4m (其中 c 是半焦距),∴焦距 2c=2?2|m|=4,解得 |m|=1,∴-1<n<3,故选 A. 答案 A 3.(2015?湖南卷)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲 线的离心率为( A. 7 3 ) 5 B. 4 C. 4 3 D. 5 3

2

2

x2 y2 a b

解析 双曲线 2- 2=1 的两条渐近线方程为 y=± x,则点(3,-4)在直线 y=- x 上,即 3b b 4 -4=- ,所以 4a=3b,即 = ,所以 e= a a 3 答案 D 1 4.(2015?全国Ⅱ卷)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的标准 2 方程为________. 解析 根据渐近线方程为 x±2y=0,可设双曲线方程为 x -4y =λ (λ ≠0).因为双曲线过点
2 2

x2 y2 a b

b a

b a

b 5 1+ 2= .故选 D. a 3

2

-2-

(4, 3),所以 4 -4?( 3) =λ ,即 λ =4.故双曲线的标准方程为 -y =1. 4 答案

2

2

x2

2

x2
4

-y =1

2

5.(选修 2-1P62A6 改编)经过点 A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 ________. 解析 设双曲线的方程为:x -y =λ (λ ≠0),把点 A(3,-1)代入,得 λ =8,故所求方程 为 - =1. 8 8 答案
2 2

x2 y2

x2 y 2
8

- =1 8

6.(2017?乐清调研)以椭圆 +y =1 的焦点为顶点,长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程 4 是________,离心率为________. 解析 由题意可知所求双曲线方程可设为 2- 2=1(a>0,b>0),则 a= 4-1= 3,c=2,∴

x2

2

x2 y2 a b

x2 3 b2=c2-a2=4-3=1,故双曲线方程为 -y2=1,其渐近线方程为 y=± x,离心率为 e=
3 3 2 3 . 3 答案 y=± 3 x 3 2 3 3

考点一 双曲线的定义及其应用 【例 1】 (1)(2017?杭州模拟)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 离心率为 e,过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A,B 两点,若△F1AB 是以 B 为直角顶点的等腰 直角三角形,则 e =( A.1+2 2 C.5-2 2
2 2

x2 y2 a b

) B.4-2 2 D.3+2 2

(2)(2015?全国Ⅰ卷)已知 F 是双曲线 C: x - =1 的右焦点, P 是 C 左支上一点, A(0, 6 6), 8 当△APF 周长最小时,该三角形的面积为________. 解析 (1)如图所示,因为|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,|BF1|

y2

=|AF2|+|BF2|,所以|AF2|=2a,|AF1|=4a. 所以|BF1|=2 2a,所以|BF2|=2 2a-2a.

-3-

因为|F1F2| =|BF1| +|BF2| , 所以(2c) =(2 2a) +(2 2a-2a) , 所以 e =5-2 2. (2)设左焦点为 F1,|PF|-|PF1|=2a=2, ∴|PF|=2+|PF1|,△APF 的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2+|PF1|,△APF 周长 最小即为|AP|+|PF1|最小,当 A,P,F1 在一条直线时最小,过 AF1 的直线方程为 + = -3 6 6 1.与 x - =1 联立,解得 P 点坐标为(-2,2 6),此时 S=S△AF1F-S△F1PF=12 6. 8 答案 (1)C (2)12 6 规律方法 “焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用. (2)技巧:经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1||PF2|的联系. 提醒 利用双曲线的定义解决问题,要注意三点 ①距离之差的绝对值.②2a<|F1F2|.③焦点所在坐标轴的位置. 【训练 1】 (1)如果双曲线 - =1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么点 P 到它的左 4 12 焦点的距离是( A.4 C.4 或 12 ) B.12 D.不确定
2 2 2 2 2

2

2

2

x

y

y2

x2

y2

(2)(2016?九江模拟)已知点 P 为双曲线 - =1 右支上一点,点 F1,F2 分别为双曲线的左、 16 9 右焦点,M 为△PF1F2 的内心,若 S△PMF1=S△PMF2+8,则△MF1F2 的面积为( A.2 7 B.10 C.8 D.6 )

x

2

y

2

解析 (1)由双曲线方程,得 a=2,c=4.设 F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点,根据双曲线 的定义|PF1|-|PF2|=±2a, ∴|PF1|=|PF2|±2a=8±4,∴|PF1|=12 或|PF1|=4. (2)设内切圆的半径为 R,a=4,b=3,c=5, 因为 S△PMF1=S△PMF2+8, 1 所以 (|PF1|-|PF2|)R=8, 2 即 aR=8,所以 R=2, 1 所以 S△MF1F2= ?2c?R=10. 2 答案 (1)C (2)B

-4-

考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究) 命题角度一 与双曲线有关的范围问题 【例 2-1】 (2015?全国Ⅰ卷)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 的 2 → → 两个焦点,若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是( A.?- ) B.?-

x2

2

? ?

3 3? , ? 3 3?

? ?

3 3? , ? 6 6?

? 2 2 2 2? C.?- , ? 3 ? ? 3
x2 0
2

? 2 3 2 3? D.?- , ? 3 ? ? 3

解析 因为 F1(- 3,0),F2( 3,0), -y0=1, 2 3 → → 2 2 2 所以MF1?MF2=(- 3-x0,-y0)?( 3-x0,-y0)=x0+y0-3<0,即 3y0-1<0,解得- 3 <y0< 3 . 3

答案 A 命题角度二 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题

x2 y2 【例 2-2】 (1)(2016?全国Ⅱ卷)已知 F1,F2 是双曲线 E: 2- 2=1 的左、右焦点,点 M 在 E a b
1 上,MF1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为( 3 A. 2 B. 3 2 C. 3 ) D.2

(2)(2016?天津卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,且双曲线的一条渐近线 与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为( A. -y =1 4 C. 3x 3y - =1 20 5
2 2

x2 y2 a b

) B.x - =1 4 D. 3x 3y - =1 5 20
2 2 2

x

2 2

y2

解析 (1)设 F1(-c,0),将 x=-c 代入双曲线方程, 得 2- 2=1,所以 2= 2-1= 2,

c2 y2 a b

y2 c2 b a

b2 a

b 1 所以 y=± .因为 sin∠MF2F1= ,所以 a 3 b2 |MF1| a b2 c2-a2 c a e 1 2 2 2 tan ∠MF2F1= = = = = - = - = ,所以 e - e-1=0,所以 e |F1F2| 2c 2ac 2ac 2a 2c 2 2e 4 2
-5-

2

= 2,故选 A.

b 1 x2 2 (2)由题意得 c= 5, = ,则 a=2,b=1,所以双曲线的方程为 -y =1. a 2 4
答案 (1)A (2)A 规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解. (2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. 【训练 2】 (1)(2017?慈溪调研)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O,所 成的角为 60°的直线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是这对直线与双 曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( A.? C.? )

?2 3 ? ,2? ? 3 ? ?2 3 ? ,+∞? 3 ? ?
2

B.? D.?

?2 3 ? ,2? ? 3 ? ?2 3 ? ,+∞? 3 ? ?

(2)(2017?武汉模拟)已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一 3 → → 点,则PA1?PF2的最小值为________. 解析 (1)因为有且只有一对相交于点 O,所成的角为 60°的直线 A1B1 和 A2B2,所以直线 A1B1 和 A2B2 关于 x 轴对称, 并且直线 A1B1 和 A2B2 与 x 轴的夹角为 30°, 双曲线的渐近线与 x 轴的夹

y2

b b 1 c -a 1 角大于 30°且小于等于 60°,否则不满足题意.可得 >tan 30°,即 2> , 2 > ,所以 a a 3 a 3 e>
2 3 b b c -a 2 2 2 .同样的,当 ≤tan 60°,即 2≤3 时, 2 ≤3,即 4a ≥c ,∴e ≤4,∵e>1,所 3 a a a
2 2 2

2

2

2

以 1<e≤2. 所以双曲线的离心率的范围是?

?2 3 ? ,2?. ? 3 ?

(2)由题可知 A1(-1,0),F2(2,0).设 P(x,y)(x≥1), → → → → 2 2 2 则PA1=(-1-x,-y),PF2=(2-x,-y),PA1?PF2=(-1-x)(2-x)+y =x -x-2+y =

x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.
1 → → 2 因为 x≥1,函数 f(x)=4x -x-5 的图象的对称轴为 x= ,所以当 x=1 时,PA1?PF2取得最 8 小值-2. 答案 (1)A (2)-2 考点三 双曲线的综合问题 【例 3】 (1)已知椭圆 2+ =1(a>0)与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值为( a 9 4 3

x2 y2

x2 y2

)
-6-

A. 2

B. 10

C.4
2 2

D. 34

(2)(2015?江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动点.若点

P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为________.
解析 (1)因为椭圆 2+ =1(a>0)与双曲线 - =1 有相同的焦点(± 7,0),则有 a -9 a 9 4 3 =7,所以 a=4. (2)设 P(x,y)(x≥1),因为直线 x-y+1=0 平行于渐近线 x-y=0,所以 c 的最大值为直线

x2 y2

x2 y2

2

x-y+1=0 与渐近线 x-y=0 之间的距离,由两平行线间的距离公式知,该距离为
2 2

1 2



2 . 2

答案 (1)C (2)

规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法 (1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时,要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质 得出变量间的关系,再结合双曲线的几何性质求解. (2)解决直线与双曲线的综合问题,通常是联立直线方程与双曲线方程,消元求解一元二次方 程即可,但一定要注意数形结合,结合图形注意取舍. 【训练 3】 (2016?天津卷)已知双曲线 - 2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为 4 b 半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双 曲线的方程为( )

x2 y2

x 3y A. - =1 4 4
C. - =1 4 4

2

2

x 4y B. - =1 4 3
D. - =1 4 12

2

2

x2 y2

x2

y2

解析 由双曲线 - 2=1(b>0)知其渐近线方程为 y=± x, 4 b 2 又圆的方程为 x +y =4,① 不妨设渐近线与圆在第一象限的交点为 B,将 y= x 代入方程①式, 2 可得点 B?
2 2

x2 y2

b

b

? 4 , 2b ? 2 2?. 4+ b ? ? 4+b
8 4+b
2

由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形,其相邻两边长为 2b,得 b =12. 故双曲线的方程为 - =1. 4 12 答案 D
2



8?4b ,故 2= 4+b 4+b
2

4b

x2

y2

-7-

[思想方法] 1.与双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为 2- 2=t (t≠0).

x2 y2 a b

x2 y2 a b

2. 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为 “0”就得到两渐近线方程,即方程 2- 2=0 就是双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两条渐近线 方程. [易错防范] 1.双曲线方程中 c =a +b ,说明双曲线方程中 c 最大,解决双曲线问题时不要忽视了这个结 论,不要与椭圆中的知识相混淆. 2.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1,+∞)这个前提 条件,否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错. 3.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程 是 y=± x. 4.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与 双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交 点.
2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2 a b

x2 y2 a b

b a

y2 x2 a b

a b

-8-


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