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2010年北京各区一模数学试题专题汇编(New!)数列


数列
1. (西城· )设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 6 ,则 S 5 等于( B.12 C.15 D.30 )

A.10 2. A. 3.

(海淀· )已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足

S3 S2 ? ? 1 ,则数列 {an } 的公

差是 3 2

1 2

B. 1

C. 2

D. 3

(宣武· )若 {an } 为等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 S11 ? B. ? 3 C. ? 3

22π ,则 tan a6 的值为( 3
D. ?



3 3 4. (海淀)已知等差数列 1 , a , b ,等比数列 3 , a ? 2 , b ? 5 ,则该等差数列的公差为( ) A. 3 或 ?3 B. 3 或 ?1 C. 3 D. ?3 n 5. (东城)已知数列 {an } 的通项公式 an ? log3 (n ? N* ) ,设其前 n 项和为 Sn ,则使 Sn ? ?4 成立的最 n ?1

A. 3

小自然数 n 等于( ) A. 83 B. 82 C. 81 D. 80 6. (丰台· ) 已知整数以按如下规律排成一列:?1 , 1? 、?1 , 2 ? 、? 2 , 1? 、?1 , 3? 、? 2 , 2? ,? 3 , 1? ,?1 , 4 ? ,? 2 , 3? ,? 3 , 2? , ) ? 4 , 1? ,……,则第 60 个数对是( A. ?10 , 1? B. ? 2 , 10 ? C. ? 5 , 7 ? D. ? 7 , 5?

7. (海淀) 已知数列 A : a1 , a2 , ? , an ? 0 ≤ a1 ? a2 ? ? ? an , n ≥ 3? 具有性质 P : 对任意 i , j ?1≤ i ≤ j ≤ n ? ,a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题: ① 数列 0 , 1 , 3 具有性质 P ; ② 数列 0 , 2 , 4 , 6 具有性质 P ; ③ 若数列 A 具有性质 P ,则 a1 ? 0 ; 其中真命题有( ) A. 4 个 B. 3 个 8. 9. ④ 若数列 a1 , a2 , a3 ? 0 ≤ a1 ? a2 ? a3 ? 具有性质 P ,则 a1 ? a3 ? 2a2 . C. 2 个 D. 1 个
S 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? a4 2

(丰台)设等比数列 {an } 的公比为 q ?

. .

(东城)设 {an } 是等比数列,若 a1 ? 1, a4 ? 8 ,则 q ?

,数列 {an } 的前 6 项的和 S6 ?

2 10. (石景山) 在数列 ?an ? 中, an ? an?1 ? p , n ≥ 2, n ? N? ,p 为常数) 则称 ?an ? 为 若 2 ( , “等方差数列” 下 .

列是对“等方差数列”的判断:
2 ①若 ?an ? 是等方差数列,则 an 是等差数列;

? ?

② (?1)n 是等方差数列; ③若 ?an ? 是等方差数列,则 ?akn ? ( k ? N? , k 为常数)也是等方差数列;

?

?

④若 ?an ? 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列. 其中正确命题序号为 . (将所有正确的命题序号填在横线上)

11. (石景山)在数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ? 2an?1 ? n ? 2 (n≥ 2 且 n ? N* ) . ⑴求 a 2 , a 3 的值; ⑵证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; ⑶求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . 12. (石景山)在数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ? ?an ?1 ? 2n ? 1 (n≥ 2 且 n ? N* ) . ⑴求 a 2 , a 3 的值; ⑵证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; ⑶求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .
n 13. (西城) 设数列 {an } 为等比数列, 数列 {bn } 满足 bn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an , ? N? , 已知 b1 ? m ,

b2 ?

3m ,其中 m ? 0 . 2

⑴ 求数列 {an } 的首项和公比; ⑵ m ? 1 时,求 bn ; 当 ⑶ Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,若对于任意的正整数 n ,都有 Sn ?[1, 3] ,求实数 m 的取值范围. 设 14. (宣武·文·题 20) 数列 {an } 的前 n 项和 为 Sn ,若 a1 ? 3 ,点 (Sn , Sn ?1 ) 在直线 y ?
?S ? ⑴求证:数列 ? n ? 是等差数列; ?n?

n ?1 x ? n ? 1(n ? N* ) 上. n

⑵若数列 {bn } 满足 bn ? an ? 2an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; 15. ⑶设 Cn ?

Tn 20 ,求证: C1 ? C2 ? ? ? Cn ? . (宣武·理·题 20) 2 n ?3 2 27

已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,点 (an , an?1 ) 在直线 y ? 2 x ? 1 上. ⑴求数列 {an } 的通项公式; ⑵若数列 {bn } 满足 b1 ? a1 ,
bn 1 1 1 ? ? ??? (n ≥ 2, n ? N* ) ,求 bn?1an ? (bn ? 1)an?1 的值; an a1 a2 an ?1

⑶对于⑵中的数列 {bn } ,求证: (1 ? b1 )(1 ? b2 )?(1 ? bn ) ?

10 b1b2 ?bn (n?N* ) . 3

16. (丰台)设集合 W 由满足下列两个条件的数列 {an } 构成:

an ? an? 2 存在实数 M ,使 an ≤ M . n 为正整数) ( ? an?1 ;② 2 ⑴在只有 5 项的有限数列 {an } , {bn } 中,其中 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3, a4 ? 4 , a5 ? 5 ;

b1 ? 1 , b2 ? 4 , b3 ? 5 , b4 ? 4 , b5 ? 1 ;试判断数列 {an } , {bn } 是否为集合 W 的元素; 1 7 ⑵设 {cn } 是各项为正的等比数列, Sn 是其前 n 项和, c3 ? , S3 ? , 4 4 证 明数列 {Sn } ?W ;并写出 M 的取值范围;

⑶设数列 {d n } ?W , 且对满足条件的 M 的最小值 M 0 ,都有 dn ? M n n ?N* . 求证:数列 {dn } 单调递增. 【解析】 ⑴对于数列 {an } ,取

?

?

a1 ? a3 ? 2 ? a2 ,显然不满足集合 W 的条件,① 2 故 {an } 不是集合 W 中的元素, 对于数列 {bn } ,当 n ?{1 , 2 , 3 , 4 , 5} 时, b ?b b ?b b ?b 不仅有 1 3 ? 3 ? b2 , 2 4 ? 4 ? b3 , 3 3 ? 3 ? b4 ,而且有 bn ≤ 5 , 2 2 2 显然满足集合 W 的条件① , ② 故 {bn } 是集合 W 中的元素. 1 7 ⑵∵{cn } 是各项为正数的等比数列, Sn 是其前 n 项和, c3 ? , S3 ? , 4 4 设其公比为 q ? 0 , c c 7 ∴ 3 ? 3 ? c3 ? ,整理得 6q 2 ? q ? 1 ? 0 . 2 q q 4 1 1 1 ∴q ? ,∴c1 ? 1 , cn ? n ?1 , Sn ? 2 ? n?1 2 2 2 S ? Sn ? 2 1 1 1 对于 ?n ? N* ,有 n ? 2 ? n ? n? 2 ? 2 ? n ? Sn? 2 ,且 Sn ? 2 , 2 2 2 2 故 {Sn } ?W ,且 M ? ? 2 , ? ? ?
⑶证明: (反证)若数列 {dn } 非单调递增,则一定存在正整数 k , 使 d k ≥ d k ?1 ,易证于任意的 n ≥ k ,都有 d k ≥ d k ?1 ,证明如下: 假设 n ? m(m ≥ k ) 时, d k ≥ d k ?1 d ? dm? 2 当 n ? m ? 1 时,由 m ? dm?1 , dm? 2 ? 2dm?1 ? dm . 2 而 dm?1 ? dm? 2 ? dm?1 ? (2dm?1 ? dm ) ? dm ? dm?1 ≥ 0 所以 d m ?1 ? d m ? 2 , 所以对于任意的 n ≥ k ,都有 d m ≥ d m ?1 . 显然 d1 , d2 , ? , dk 这 k 项中有一定存在一个最大值,不妨记为 d n0 ; 所以 dn0 ≥ dn (n?N* ) ,从而 dn0 ? M 0 与这题矛盾. 所以假设不成立,故命题得证.

?2a n ? 1 , n为偶数 ? 2 ? 17. (海淀·文·题 20)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 0 , an ? ? n ? 1 , n ? 2 , 3 , 4 , ?. ? 2a n ?1 , n为奇数 ? ? 2 ? 2

⑴求 a3 , a4 , a5 的值;

⑵设 bn ? a2n?1 ? 1, n ? 1 , 2 , 3 , ? ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出其通项公式;

⑶对任意的 m ≥ 2 , m ? N* ,在数列 {an } 中是否存在连续的 2m 项构成等差数列?若存在,写出这 2m 项, 并证明这 2m 项构成等差数列;若不存在,说明理由. 1 5 【解析】 ⑴因为 a1 ? 1 ,所以 a2 ? 1 ? 2a1 ? 3 , a3 ? ? 2a1 ? , 2 2 1 13 a4 ? 1 ? 2a2 ? 7 , a5 ? ? 2a2 ? ; 2 2 ⑵由题意,对于任意的正整数 n , bn ? a2n?1 ? 1,所以 bn?1 ? a2n ? 1 又 a2n ? 1 ? (2a2n ? 1) ? 1 ? 2(a2n?1 ? 1) ? 2bn 所以 bn ?1 ? 2bn .
2

又 b1 ? a21?1 ? 1 ? a1 ? 1 ? 2 所以 ?bn ? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列,所以 bn ? 2n ⑶存在.事实上, 对任意的 m ≥ 2 , k ? N* ,在数列 {an } 中,

a2m , a2m ?1 , a2m ? 2 , ? , a2m ?2m ?1 ? 这连续的 2m 项就构成一个等差数列
我们先来证明: “对任意的 n ≥ 2 , n ? N* , k ? 0 , 2n?1 , k ? N* ,有 a2n?1 ? k ? 2n ? 1 ? 由⑵得 bn ? a2n?1 ? 1 ? 2n ,所以 a2n?1 ? 2n ? 1. 当 k 为奇数时, a2n?1 ? k ?
1 1 ? 2a 2n?1 ? k ?1 ? ? 2a n?2 k ?1 2 ? 2 2 2 2
2 ? 2 k 2

?

?

k ” 2

当 k 为偶数时, a2n?1 ? k ? 1 ? 2a2n?1 ? k ? 1 ? 2a n?2

? k k ? 2 p1 ? 2, ? 记 k1 ? ? ,其中 p1 ? N? . k ?1 ? , k ? 2 p1 ? 1 ? 2 ? k k 因此要证 a2n?1 ? k ? 2n ? 1 ? ,只需证明 a2n?2 ? k ? 2n?1 ? 1 ? 1 , 1 2 2 * n?2 其中 k1 ? 0 , 2 , k1 ? N

?

?

(这是因为若 a2n?2 ? k ? 2n?1 ? 1 ?
1

k1 k ?1 ,则当 k1 ? 时,则 k 一定是奇数, 2 2

有 a2n?1 ? k ?

1 1 ? 2a 2n?1 ? k ?1 ? ? 2a n?2 k ?1 2 ? 2 2 2 2

k ?1 ? ? ? n ?1 ? k1 ? 1 1 k ? = ? 2 ? 2n ?1 ? 1 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 2n ? 1 ? ; 2 2? 2 2 ? 2 ? ? ? ? k 当 k1 ? 时,则 k 一定是偶数,有 a2n?1 ? k ? 1 ? 2a2n?1 ? k ? 1 ? 2a n?2 k 2 ? 2 2 2 k? ? ? n ?1 ? k1 ? k ? n ?1 = 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 2n ? 1 ? ) 2? 2? 2 ? ? ? ? k k 如此递推,要证 a2n?2 ? k ? 2n?1 ? 1 ? 1 , 只要证 明 a2n?3 ? k ? 2n?2 ? 1 ? 2 , 1 2 2 2 ? k1 k1 ? 2 p2 ? 2, ? 其中 k2 ? ? ,其中 p2 ? N? . k2 ? 0 , 2n?3 , k2 ? N* , k1 ? 1 ? , k1 ? 2 p2 ? 1 ? 2 ?

?

?

如此递推下去,我们只需证明 a21 ? k 即 a21 ?1 ? 22 ? 1 ?

n ?2

? 22 ? 1 ?

kn?2 , kn?2 ? 0 , 21 , kn?2 ?N* 2

?

?

1 1 5 5 ? 3 ? ? ,即 a3 ? ,由(I)可得, 2 2 2 2

所以对 n ≥ 2 , n ? N* , k ? 0 , 2n?1 , k ? N* ,有 a2n?1 ? k ? 2n ? 1 ?

?

?

k , 2

对任意的 m ≥ 2 , m ? N* , i i ?1 ,其中 i ? 0 , 2m ? 1 , i ? N* , a2m ?i ? 2m?1 ? 1 ? , a2m ?i ?1 ? 2m?1 ? 1 ? 2 2 1 所以 a2m ?i ?1 ? a2m ?i ? ? 2 1 1 又 a2m ? 2m?1 ? 1 , a2m ?1 ? 2m?1 ? 1 ? ,所以 a2m ?1 ? a2m ? ? 2 2 所以 a2m , a2m ?1 , a2m ?2 , ... , a2m ? 2m ?1 这连续的 2m 项,

?

?

1 是首项为 a2m ? 2m?1 ? 1 ,公差为 ? 的等差数列. 2 说明:当 m2 ? m1 (其中 m1 ≥ 2 , m1 ? N* , m2 ? N* )时,
因为 a m2 , a m2
2 2 ?1

, a m2
2

?2

, ... , a m2
2

?2

m 2

?1

构成一个项数为 2 m2 的等差数列,所以从这个数列中任取连

1 续的 2 m1 项,也是一个项数为 2 m1 ,公差为 ? 的等差数列. 2
?2a n ? 1 , n为偶数 ? 2 ? 18. (海淀·理·题 20)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 0 , an ? ? n ? 1 , n ? 2 , 3 , 4 , ?. ? 2a n ?1 , n为奇数 ? ? 2 ? 2

,试求数列 ?bn ? 的通项公式; 2n ⑶对于任意的正整数 n ,试讨论 a n 与 an ?1 的大小关系. ⑴求 a5 , a6 , a7 的值; ⑵设 bn ? 【解析】 ⑴∵a1 ? 0 , a2 ? 1 ? 2a1 ? 1 , a3 ? 2 ? 2a1 ? 2 , a4 ? 1 ? 2a2 ? 3 , ∴a5 ? 3 ? 2a2 ? 5 ; a6 ? 1 ? 2a3 ? 5 ; a7 ? 4 ? 2a3 ? 8 . ⑵由题设,对于任意的正整数 n ,都有: a n?1 ? 2n ? 2a2n ?1 1 bn ?1 ? 2 n ?1 1 ? ? ? bn , 2 2n ?1 2 1 ∴bn?1 ? bn ? . 2 a1 1 ∴ 数列 ?bn ? 是以 b1 ? 2 1?1 ? 0 为首项, 为公差的等差数列. 2 2 n ?1 ∴bn ? . 2 ⑶对于任意的正整数 k , 当 n ? 2k 或 n ? 1 , 3 时, an ? an?1 ; 当 n ? 4k ? 1 时, an ? an?1 ; 当 n ? 4 k ? 3 时, an ? an?1 . 证明如下: 首先,由 a1 ? 0 , a2 ? 1 , a3 ? 2 , a4 ? 3 可知 n ? 1 , 3 时, an ? an?1 ; 其次,对于任意的正整数 k , n ? 2k 时, an ? an?1 ? a2k ? a2k ?1 ? ?1 ? 2ak ? ? ? k ? 1 ? 2ak ? ? ? k ? 0 ;
n ? 4 k ? 1 时, an ? an?1 ? a4k ?1 ? a4k ? 2

a2n ?1

? ? 2k ? 1 ? 2a2k ? ? ?1 ? 2a2k ?1 ? ? 2k ? 2a2k ? 2a2k ?1

? 2k ? 2 ?1 ? 2ak ? ? 2 ? k ? 1 ? 2ak ? ? 0

所以 an ? an?1 . n ? 4 k ? 3 时, an ? an?1 ? a4k ?3 ? a4k ? 4

? ? 2k ? 2 ? 2a2k ?1 ? ? ?1 ? 2a2k ? 2 ? ? 2k ? 1 ? 2a2k ?1 ? 2a2k ? 2

? 2k ? 1 ? 2 ? k ? 1 ? 2ak ? ? 2 ?1 ? 2ak ?1 ? ? 4 ? k ? ak ? ak ?1 ? ? 1

事实上,我们可以证明:对于任意正整数 k , k ? ak ≥ ak ?1 …(*) (证明见后) , 所以此时 an ? an?1 . 综上可知:结论得证. 对于任意正整数 k , k ? ak ≥ ak ?1 (*)的证明如下: ⅰ)当 k ? 2m ( m ? N* )时, k ? ak ? ak ?1 ? 2m ? a2m ? a2m?1 ? 2m ? ?1 ? 2am ? ? ? m ? 1 ? 2am ? ? m ? 0 ,满足(*)式. ⅱ)当 k ? 1 时, 1 ? a1 ? 1 ? a2 ,满足(*)式. ⅲ)当 k ? 2m ? 1 m ?N* 时,
k ? ak ? ak ?1 ? 2m ? 1 ? a2m?1 ? a2m? 2 ? 2m ? 1 ? ? m ? 1 ? 2am ? ? ?1 ? 2am?1 ? ? 3m ? 1 ? 2am ? 2am?1 ? 2 ? m ? am ? am?1 ? ? ? m ? 1?

?

?

于是只须证明 m ? am ? am?1 ≥ 0 ,如此递推,可归结为ⅰ)或ⅱ)的情形, 于是(*)得证. 19. (东城·文·题 20) 已知数列 ?an ? , ?bn ? , 其中 a1 ?

1 , 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 an (n ? N? ) , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2, bn?1 ? 2bn . 2

⑴ 求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; ⑵ 是否存在自然数 m , 使得对于任意 n ? N? ,n ≥ 2 , 1 ? 有 的最小值;
? 1 ,n为奇数 ? ⑶ 若数列 ?cn ? 满足 cn ? ? nan ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . ?b , n为偶数 ? n
1 1 1 ? ? ? ? b1 b2 b n1? m8 ? 恒成立?若存在, 求出 m 4

【解析】 ⑴ 因为 Sn ? n2 an (n ? N? ) . 当 n ≥ 2 时, Sn?1 ? (n ? 1)2 an?1 ; 所以 an ? Sn ? Sn?1 ? n2 an ? (n ? 1)2 an?1 . 所以 (n ? 1)an ? (n ? 1)an?1 .即 又 a1 ?
an n ?1 ? . an ?1 n ? 1

1 , 2 a a a a a n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? 所以 an ? n ? n ?1 ? n ? 2 ?? 3 ? 2 ? a1 ? . n ?1 n n ?1 4 3 2 n(n ? 1) an ?1 an ? 2 an ?3 a2 a1
当 n ? 1 时,上式成立. 因为 b1 ? 2, bn?1 ? 2bn , 所以 {bn } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列,故 bn ? 2n ;

⑵ 由⑴ 知, bn ? 2n . 则1 ?
1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 , b1 b2 bn ?1 2 2 2 2 1 1 1 m ?8 ? ??? ? 恒成立, b1 b2 bn ?1 4

假设存在自然数 m ,使得对于任意 n ?N? , n ≥ 2 ,有 1 ? 即2?

1 m?8 m ?8 恒成立,由 ? ≥ 2 ,解得 m ≥ 16 , n ?1 2 4 4

所以存在自然数 m ,使得对于任意 n ?N? , n ≥ 2 , 有1 ?
1 1 1 m ?8 ? ??? ? 恒成立,此时, m 的最小值为 16. b1 b2 bn ?1 4

⑶ n 为奇数时, 当
?1 1 1 ? 2 4 n ?1 Tn ? ? ? ??? ? ? (b2 ? b4 ? ? ? bn ?1 ) ? [2 ? 4 ? ? ? (n ? 1)] ? (2 ? 2 ? ? ? 2 ) a1 3a3 nan ? ?

2 ? n ? 1 n ? 1 4(1 ? 4 2 ) n2 ? 4n ? 3 4 n?1 ? ? ? ? ? (2 ? 1) ; 2 2 1? 4 4 3
当 n 为偶数时,
?1 ? 1 1 2 4 n Tn ? ? ? ??? ? ? (b2 ? b4 ? ? ? bn ) ? (2 ? 4 ? ? ? n) ? (2 ? 2 ? ? ? 2 ) a1 3a3 (n ? 1)an ?1 ? ?

n ?1

2 ? n n 4(1 ? 4 2 ) n2 ? 2n 4 n ? ? ? ? ? (2 ? 1) ; 2 2 1? 4 4 3
? n2 ? 4n ? 3 4 n ?1 ? ( ? 1), n为奇数 2 ? ? 4 3 因此 Tn ? ? 2 . ? n ? 2n ? 4 2n ? 1), n为偶数 ( ? 4 3 ?

n

20. (东城·理·题 20)已知数列 {xn } 满足 x1 ? 4 , xn ?1 ?

2 xn ? 3 . 2 xn ? 4

⑴ 求证: xn ? 3 ;⑵ 求证: xn?1 ? xn ;⑶ 求数列 {xn } 的通项公式. 【解析】 ⑴ 用数学归纳法证明 ⅰ)当 n ? 1 时, x1 ? 4 ? 3 .所以结论成立. ⅱ)假设 n ? k (n ≥1) 时结论成立,即 xn ? 3 ,则 xk ?1 ? 3 ? 所以 xk ?1 ? 3 . 即 n ? k ? 1 时,结论成立. 由ⅰ) 、ⅱ)可知对任意的正整数 n ,都有 xn ? 3 .
2 xk ? 3 ( x ? 3)2 ?3? k ? 0. 2 xk ? 4 2 xk ? 4

⑵xn ?1 ? xn ?

2 xn ? 3 ? x 2 ? 4 xn ? 3 ?( xn ? 1)( xn ? 3) . ? xn ? n ? 2 xn ? 4 2 xn ? 4 2 xn ? 4

因为 xn ? 3 ,所以 所以 xn?1 ? xn . ⑶xn ?1 ? 1 ?

?( xn ? 1)( xn ? 3) ? 0 ,即 xn ?1 ? xn ? 0 . 2 xn ? 4

2 xn ? 3 ( x ? 1)2 x2 ? 3 ( x ? 3)2 , xn ?1 ? 3 ? n , ?1 ? n ?3? n 2 xn ? 4 2 xn ? 4 2 xn ? 4 2 xn ? 4

x ? 1 ? xn ? 1 ? 所以 n ?1 ?? ? . xn ?1 ? 3 ? xn ? 3 ?

x1 ? 1 4 ? 1 x ?1 x ?1 ? ? 3 ,所以 log3 n ?1 ? 2log 3 n . x1 ? 3 4 ? 3 xn ?1 ? 3 xn ? 3 x1 ? 1 x ?1 ? 1 ,令 an ? log 3 n , x1 ? 3 xn ? 3

2

又 log 3

则数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列.所以 an ? 2n?1 . 由 an ? log 3
xn ? 1 x ?1 3an ?1 ? 1 32 ?1 ? 1 ? 3an .所以 xn ? an ? 2n?1 ,得 n . xn ? 3 xn ? 3 3 ?1 3 ?1
n ?1

21. (西城·理·题 20) 对于各项均为整数的数列 ?an ? ,如果 ai ? i ( i =1,2,3,…)为完全平方数,则称数列 ?an ? 具有“ P 性质”. 不论数列 ?an ? 是否 具有“ P 性质”,如果存在与 ?an ? 不是同一数列的 ?bn ? ,且 ?bn ? 同时满足下面两个条件: ①b1 , b2 , b3 , ..., bn 是 a1 , a2 , a3 , ..., an 的一个排列; 数列 ?bn ? 具有“ P 性质”, ② 则称数列 ?an ? 具有“变换 P 性质”.

n ⑴ 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n2 ? 1) ,证明数列 ?an ? 具有“ P 性质”; 3 ⑵ 试判断数列 1,2,3,4,5 和数列 1,2,3,…,11 是否具有“变换 P 性质”,具有此性质的数列请写出
相应的数列 ?bn ? ,不具此性质的说明理由; ⑶ 对于有限项数列 A :1,2,3,…,n ,某人已经验证当 n ?[12, m2 ](m ≥ 5) 时,数列 A 具有“变换 P 性质”, 试证明:当” n ?[m2 ? 1, (m ? 1)2 ] 时,数 列 A 也具有“变换 P 性质”.

n n ?1 【解析】 ⑴ n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (n2 ? 1) ? 当 [(n ? 1)2 ? 1] ? n2 ? n , 3 3
又 a1 ? 0 ,所以 an ? n2 ? n(n ?N* ) . 所以 ai ? i ? i 2 (i ? 1, 2, 3, ?) 是完全平方数,数列 {an } 具有“ P 性质”; ⑵ 数列 1,2,3,4,5 具有“变换 P 性质”,

数列 {bn } 为 3,2,1,5,4, 数列 1,2,3,…,11 不具有“变换 P 性质”, 因为 11,4 都只有与 5 的和才能构成完全平方数, 所以数列 1,2,3,…,11 不具有“变换 P 性质”; ⑶ n ? m2 ? j , 1≤ j ≤ 2m ? 1 , 设 注意到 (m ? 2)2 ? (m2 ? j ) ? 4m ? 4 ? j , 令 h ? 4m ? 4 ? j ? 1 , 由于 1 ≤ j ≤ 2m ? 1, m ≥ 5 , 所以 h ? 4m ? 4 ? j ? 1≥ 2m ? 2 ≥12 , 又 m2 ? h ? m2 ? 4m ? 4 ? j ? 1≥ m2 ? 4m ? 2 , m2 ? 4m ? 2 ? (m ? 2)2 ? 6 ? 0 , 所以 h ? m2 ,即 h ?[12, m2 ] , 因为当 n ?[12, m2 ](m ≥ 5) 时,数列 {an } 具有“变换 P 性质”, 所以 1,2,…, 4m ? 4 ? j ? 1 可以排列成 a1 , a2 , a3 , ?, ah , 使得 ai ? i(i ? 1, 2, ?, h) 都是平方数. 另外, 4m ? 4 ? j , 4m ? 4 ? j ? 1, ?, m2 ? j 可以按相反顺序排列, 即排列为 m2 ? j , ?, 4m ? 4 ? j ? 1, 4m ? 4 ? j , 使得 (4m ? 4 ? j ) ? (m2 ? j ) ? (m ? 2)2 , (4m ? 4 ? j ? 1) ? (m2 ? j ? 1) ? (m ? 2)2 , ?, 所以 1,2, 4m ? 4 ? j ? 1, 4m ? 4 ? j , ?, m2 ? 1 ? j , m2 ? j 可以排列成
a1 , a2 , a3 , ?ah , m2 ? j , ?, 4m ? 4 ? j ,

满足 ai ? i(i ? 1, 2, ?, m2 ? j ) 都是平方数. 即当 n ?[m2 ? 1, (m ? 1)2 ] 时,数列 A 也具有“变换 P 性质”.


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