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【试题及答案】清北学堂2014年暑假物理竞赛模拟试题五


清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题

清北学堂 2014 暑假物理竞赛模拟练习题(五) 命题人:程稼夫教授
一、考虑地球-月亮系统,地球绕极轴自转,由于潮汐而变慢,引起了月球轨道 半径的增大,如果地球自转周期变为等于月球绕地球转动的周期,那么它们的运 动同步,潮汐摩擦消失(设月球自转不计) 。 (1)现在地球自转角加速度等于 ,求月球轨道半

径的变化率;

(2)当同步条件成立时,求月球的轨道半径和运动周期; (3)当月球在 中的天数。 应该注意到:1)因为地球有一个致密的核,它的转动惯量是均匀密度下的 倍。 2)半径为 ,质量为 的均匀球体,相对过球心对称轴的转动惯量为 3)月球和地球的质量,万有引力常量,月-地间距分别为: , , , 个地球半径处,求:1)地球的自转周期;2)在一个太阳月

,现今月球绕地球周期

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二、质量为 ,半径为 的匀质圆柱体 放在水平面上。质量为 的质点 放在柱 表面的顶端。所有的接触都是光滑的,初始时系统静止,质点在小扰动下自圆柱 面最高点下滑。如图所示。 (1)求质点未脱离圆柱面时的运动轨迹; (2)若 ,求质点脱离柱体时的位置 (利用计数器给出数值解)

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三、 一个半径为 R 的圆环直立地固定在地面的 P 点, AP 是垂直于环平面的直线,

AP ?

3 R 。一根匀质细杆的一端用铰链接于 A 点,杆身搁在圆环的 B 点上,过 B 2

点的半径 OB 与 OP 夹角 θ=60° ,如图所示,为使杆能静平衡在此位置。试求杆与 圆环之间的最小静摩擦系数。

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四、一个带电量为 的点电荷,被放置在内、外半径分别为 和 r2 的导体球壳的 空腔内,离球心距离为 a 的 P 点(a< ),如图所示。 (1)作用在点电荷 q 上的电力; (2)如果导体球壳是孤立的,不带电的,其电势多大? (3)点电荷 q 的电势能及整个系统的电势能。

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五、如图所示,立方体框架 ABCDEFGH,它的 12 条边为电导率相同的均匀导线, 每边电阻均为 R.现在 A、G 间接上一直流电源。忽略所有接触电阻。 试求: (1)该电源的外电阻是多少?(2)若电源在 G 点的接线沿一条边做微小 移动,问这一电阻是增大还是减少?

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六、如图所示,一光滑水平绝缘桌面上固定一半径为 R 的绝缘介质圆环。在圆环 所围的区域内有垂直于桌面的匀强磁场,磁场感应强度大小为 B.一个质量为 m, 带电量为 q,速度为 v 的粒子从环上小孔 A 处对着环心 O 射入磁场区域。已知带 电粒子在桌面上运动,与环碰撞时带电量不变,粒子与环碰撞是弹性碰撞。若该 带电粒子与换顺次碰撞后不再超越小孔 A 点,并直接从小孔 A 处射出,求,带电 粒子在磁场中运动的时间以及相应的入射粒子的速度大小。

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七、如右图所示,气枪有一气室 V 及直径 3mm 的球形钢弹 B,气室中空气的初始 状态为 P1=900kpa,t1=21℃,当阀门迅速打开时,气室中的气体压力使钢球飞离 枪管。若要求钢弹离开枪管时有 100m/s 的速度,问最小容积 V 及枪管长度 L 应 为多少? 设枪管内径为 3mm,不漏气,无摩擦。击发时气室内的气体经历可逆绝热膨胀过 程。 已知空气定容比热为 Cu=0.716KJ/(kg.K),R=8.315J/(mol.k).大气压 pa=100kpa, 钢的密度为 ? =7770kg/m3

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八、 两个光学元件共轴放置, 位置固定。 每个元件都可能是薄透镜或平面反射镜。 一小物体垂直于光轴。已知当小物位于两元件之间的任意位置时,由这光学系统 成的像是有限多个,且两个最后的像大小相等,请对各种可能作分析,论证什么 样的光学系统能满足上述要求,什么样的不能满足要求。

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参考答案
一、 (1)由于地球-月球系统角动量守恒,地球自转角动量单位时间减小值,在 不计月球自转的条件下,一定等于系统单位时间轨道角动量的增加值,所以: 式1 地球-月球系统作为二体孤立系统,利用圆轨道近似,有: , 为折合质量, 式2

轨道角动量: 为式 3 联立式 2 与式 3 得圆轨道半径(现在地-月间距) 式4

式5 代入数据:

代入数据可以算出:

式6

(2)设现在地球自转角速度为

,月球圆周运动角速度为

, (其中 为现在地-月间距离) 。 再设同步条件成立时,地球自转角速度和月球圆轨道角速度均为 ,则系统角动

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量守恒, 即 式7



方程 7 改写为: 联立方程组 4 与式 8 可知:

式8

式9 联立式 8 和 9,由式 8 平方可得 代入式 9 可得: 式 10 令 式 11 可知:

画出 其中:
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曲线可以确定 (即

的四个根的位置分布, 有三个根,
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有一个根, 这个
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的根就是所需的轨道半径,考虑到现今地球自转角速度 轨道角速度

,大于月球绕地球圆 逐渐减少,

,以及地月系统角动量守恒,在潮汐力作用下,

而月球绕地球圆轨道角动量将增加,因此由式 4 知: 将比 增大,即 才是合理的物理解。 的值。 式 12 再求 ,代入 ,求出 式 13 月球运动周期: 式 14

利用计算器,再用逼近法找出

(3) ( )设当月球在

处,地球自转周期

,月球圆运动周期为

,本题要求的是 。

写出地-月系统角动量守恒方程为:

式 15 其中 采用第二小题中得到的结果:

再利用式 4:
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式 16

联立式 15 和 16,可得: 代入 , , 得:

最后得地球自转周期: ( )“太阳月”是指在太阳系中看月球绕地球的周期,并用现在月球绕地球一个 月的 27.25 天中的天作为单位写出。即:

此时,月球在

处,联立式 15 和式 16,代入

,消去

解得: 所以在一个太阳月中的天数为:

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二、 (1)选取坐标系

,设系统质心为 ,则: 式1

系统水平方向动量守恒,有 这表示 点不动,所以在 (地面系)坐标系中 式3

式2

式4 式5 因此,质点在脱离圆柱体表面前,在(地面系)中轨迹为一个椭圆的一部分,椭圆 方程为: 式6

(2)质点运动中受到圆柱体回力为 ,写出质点在未脱离圆柱时的动力学方程: 式7 式8 圆柱的平动方程:方程: 由式 3、4、5 可知: 式 10 式 11 式 12 式 13 考虑到质点脱离时, ,由式,7, 12 解和 8、13 分别得: 式9

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式 14

式 15 联立 14、15 得: 式 16 式 17 由式 3,有: 时, =0 利用系统机械能守恒: 式 19 将 10、11、18 代入 19,整理可得: 式 20 当 时,方程 20 变为: 式 21 这里利用牛顿法求解(也可以用逼近法) ,设 式 18



,取

?

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所以取 即 时,质点脱离圆柱。

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三、 (1) 作用在杆上的作用力有:杆的重力、A 点处铰链的约束力、 B 点处圆环的支持 力 N 和摩擦力 f。 杆的平衡条件是这些力的合力为零, 以及力矩代数和为零,我们的目的是 求图(a)所示位形达平衡时,杆与环之 间的最小摩擦系数。 对于通过 A 点竖直轴,铰链的约束力(未知,也不是欲求的物理量)力矩和重 力矩均为零,要使力矩之和为零,通过同一点 B 的支持力 N 和摩擦力 f 的合 力必须位于通过杆的竖直平面内(即此面内杆与过 A 点的竖直线构成),而且 只需考察合力的垂直于杆的分力而不必考察沿杆的分量(即考虑了 N ? f 在 杆方向分力,或不考虑此分力,会有相同的结论)。 设图示位置时正好已达到临界平衡状态,有 f ? ?min N (2) 建立坐标:B 为坐标原点,z 轴垂直于环平面,x,y 轴在环平面内,x 轴为过 B 点(在环平面内)环的切线,y 轴为 BO 的方向,如图(b)所示。 为了确定矢量 N 、 f 的方向以及分量 ( N x , N y , N z ) 、 ( f x , f y , f z ), 引入四个单位矢量:

ni, n N, n f, n ,其方向分别沿杆、 N 、 f 方向和
沿 PO 方向,如图(b)所示,设 ?PBA ? ? 则
cos ? ? PB ? AB R 3 R 2 ? ( )2 2 ? 2 3 ,sin ? ? 13 13

'

① (3) 分析 ni, n N, n f, n 的方向,并用 n x , n y , n z 写出 ni, n N, n f, n 的表达式。
' '

n i :沿杆方向,有 A→B 为正方向

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ni ? (cos ? cos ) ? n x ? (cos ? sin ) ? n y ? sin ? ? n z ② 2 2
n :沿 PO 方向,竖直向上为正方向,它与过 A 的竖直方向相同
'

?

?

n ? sin ? ? n x ? cos ? ? n y
n × n i 为杆与过 A 点竖直向上轴线组成平
面的法向。
'

'

n N :在 B 点处环对杆支持力的单位向量,
它既垂直于 B 点处环的弧长,(它在过半径 OB,即过 y 轴,并垂直于环平面的一个平 面内, 此面必过 z 轴), 还垂直于杆(过 B 点), 由图(c),可写出

n N ? sinr? n y ? cos r ? n z , N ? N ? n N
其中 r 待定。



n f :它既垂直于杆 n i (这是把摩擦力沿杆分为可以不给考虑的结果),又垂直

n N, n f 三者相互垂直,有人认为,因为 A 处为固定铰链,杆沿 于 n N ,所以 ni,
杆方向不可能有运动趋势,摩擦力 f 不可能有沿杆方向分量。这种观点是错 误的,这是因为在 B 处存在杆方向的相对运动趋势。

n f ? fox ? n x ? foy ? n y ? foz ? n z , f ? f ? n f ④
2 2 2 ? f oy ? f oz ?1, (4) 利用 ni ? nN ? 0 ,ni ? n f ? 0 ,n N ? n f ? 0 以及 f ox 求解 r,f ox ,f oy ,

f oz
由 ni ? nN ? 0 = ? sin r cos ? sin

?
2

? cos r sin ? 求得: tan r ?

tan ? ⑤ sin(? 2)

由 n N ? n f ? 0 = f oy sin r ? f oz cos r 求得: tan r ?

f oz f oy



由 ni ? n f ? 0 = f ox cos ? cos

?
2

? f oy cos ? sin

?
2

? f oz sin ?

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? cos ? sin

?
2

?

f ox f ? f ? cos ? cos ? oz sin ? ? ox cos ? cos ? tan r sin ? f oy 2 f oy f oy 2


?

fox 1 ? ? (cos ? sin ? tanrsin ? ) foy cos ? cos ? 2 2 fox 2 f ) ? ( oz )2 ) f oy foy

2 2 2 2 ? f oy ? f oz ? 1 = f oy 由 f ox (1 ? (

2 = f oy (1 ?

cos ? cos ? 2
2 2

1

(cos ? sin

?
2

? tanrsin ? )2 ? tan 2 r)

=
? cos 2 ? cos 2 2
2 f oy

(cos 2 ? cos 2

? ? ? ? ? cos 2 ? sin 2 ? tan 2 rsin 2 ? ? 2cos ? sin tanrsin ? ? tan 2rcos2 ? cos2 ) 2 2 2 2
tan 2 ? cos 2 ? cos 2 sin 2

=

? cos 2 ? cos 2 2
2 f oy

2 f oy

(cos 2 ? ?

tan ? sin ? ? 2cos ? tan ? sin ? ? 2? sin 2
2 2

? 2

? 2)

=

cos 2 ? cos

2?

2

? ? ?? ? 2 cos ? sin 2 ? tan 2 ? sin 2 ? ? 2sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 ? ? ? 2 2 2? sin 2 ?
2

=

? ?? ? 2? sin ? tan 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 ? ? ? ? 2 2 2? cos 2 ? cos 2 sin 2 ? 2 2
f
2 oy 2 f oy

? 2? ? sin ? tan 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? ? ? ? 2 ? cos 2 ? cos 2 sin 2 ? 2 2 2 f oy ? 2? ? = sin ? tan 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? cos 2 ? cos 2 sin 2 2 2

=

?f ?
2 oy

cos ? 2 cos 2 sin
2

?
2

sin 2
2

?
2

?
2



? tan ?

由此推出:
cos ? cos sin 2 2 f oy ? ? sin 2 ? tan 2 ? 2

?

?

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f ox ? f oy

1 cos ? cos

?
2
?

(cos ? sin

?
2

?

tan ? sin ? sin

?

)

2

sin (cos ? sin ? 2 2

?

tan ? sin ? sin

?

)

=
sin 2

?
2

2

=

cos ? sin 2 sin 2

? ?
2 2

? tan ? sin ? ? tan 2 ?

= cos ? sin 2 ? ? tan 2 ?
2

? tan 2 ?

cos ? cos sin sin ? cos 2 2 ? 2 f oz ? tan r ? f oy ? ? ? ? ? sin sin 2 ? tan 2 ? sin 2 ? tan 2 ? 2 2 2 tan ?

?

?

?

N ? (N? sinr) ? n y ? (N? cosr) ? n z

n ? ni ? (sin ? ? n x ? cos ? ? n y ) ? (cos ? cos n x ? cos ? sin n y ? sin ? n z ) 2 2
= ?(cos ? sin ? )n x ? (sin ? sin ? )n y ? (sin ? cos ? sin

'

?

?

?

? cos ? cos ? cos ) n z 2 2


?

= ?(cos ? sin ? )n x ? (sin ? sin ? )n y ? (cos ? cos )n z 2

?

正如前面已指出, N , f 的合力必处在杆与过 A 点竖直方向组成的平面内,即 在 n ? n i 的分量为零,即满足
'

( N ? f ) ? (n ? ni ) ? 0 ? N ? (n ? ni ) ? f ? (n ? ni ) ? 0
?代入 N 、 f 、 n ? n i ,稍微整理得
? 1 N? 2 ? 1 ? tan r
'

'

'

'



? ?? ? tan r sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? 2 ?? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? 2? 2 cos ? sin ? cos ? (sin ? tan ? ) ? cos ? cos sin sin ? sin ? ? cos ? cos sin ? cos ? ? ? 2 2 2 2 2 ? ?? ? ?

=

? ? 1 ? f? ? ? sin 2 ? tan 2 ? ? 2 ?

?利用

1 1 ? tan r
2

? 1?

1 tan ?
2

? sin 2

sin

?
2
以及 tan r ?

?
2

sin

2?

? tan 2 ?

tan ? sin ? 2

2

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化简得:

? ?? ? N ?tan ? sin ? sin ? ? cos ? cos sin ? 2 2? ?
? ? 2? 2 2? ? =f? ?sin ? cos ?[cos ? sin ? cos ? tan ? ? cos sin sin ? ? cos ]? 2 2 2 2 ? ?
再代入 θ=60° , tan ? ?

3 2 3 , sin ? ? , cos ? ? 得 2 13 13

N 11 3 4 13 11 ? ? ? 1.76 3 f 39 4
最后得为保杆能平衡于此位置,杆与环之间的最小静摩擦系数为

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四、 (1)利用电像法处理,点电荷 在球形空腔内壁产生感应电 荷, 两者在空腔内形成电场。 等效地可以认为这个电场是由 及其两个像电荷 和

共同在腔内产生的电场, 其中

位于离球心 O 距离为

处, 位于球心 O 处。

等效于内壁上不均匀分布的那部分电荷,

等效于内壁上均匀分布的那部分 对 的作用力,以 p 点

电荷。所以腔内点电荷受到静电力,可以等效于像电荷 指向 0 点为正向,这个力 为

如果导体球壳是孤立,不带电的,因静电感应,导体球壳外表面产生的感应电荷 量为 。且均匀分布。由于内、外电场互不影响,在选择 =无穷大时电势取为 0 时,球壳外( )电势能分布为



时,得导体球壳电势为



因导体球壳为一等势体,所以球壳上任一点电势均为此值。 (3)点电荷 的电势能等于电量 与点电荷 处的电势的乘积,即

利用球内电场,求 处的电势。前面已经分析,内外电场互不相干,相互独立; 球内电场由三部分电荷形成,即点电荷 处及其两个像电荷 共同激发形

成,所以点电荷 处的电势
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由两个像电荷
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和 形成的电势,即
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其中由球心处像电荷 产生的电势

,它等效于导体空腔壁均匀分布 是把腔内(含墙

的 产生的整个空腔及其腔内壁等值的电势。 处的电势 壁)电势

作为基点的标志。考虑到腔内、外及两个电场;当做为壁体系统写

出电势分布时,作为腔内,外电场衔接点的导体球壳,必须考虑到其电势的单值 性。当仍然把无限远处取为零点作为基点时,导体球壳的电势应取为 腔内点 处的电势应写为 ④ 即点 处的电势不要写成式③,而要写成式④ 代入 、b 和 得 ,所以

因此 处的电势能为

整个系统的静电势能为

其中已利用导体球壳原不带电,

.

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五、

(1)方法一:不妨设 A、G 间接上直流电源,在 A 点接电源正极,由于对称性, 电源将在 A 点三条边流出的电流相等,且每边电流设为 ,同样在 G 点沿三条边流 入电源的电流也相等,同样为 。 在 B 点,同样由于对称性,BC、BF 中电流相等,同为 ,因此

方法二:由于对称性,B、D、E 三点电势相等,可以用导线连接而不会改变线路 电流状态。对于 C、H、F 情况一样。故 AB、AD、AE 和 CG、FG、HG 均可视为并联, 还剩六条:BC、CD、DH、HE、EF、FB 也并联,得 R+ (2)方法一:若电源在 G 点的接线沿一条边微微移动。由于对称性,沿 GC、GF、 GH 效果是一样的,不妨设沿 GC 移动到 S 点,如图 2. 设 ,同导线电导率均匀,从而 GS 间的电阻为 XR,而 CS 间电阻为 R.

这一立方体电路关于 ACGE 面对称,可将它视为相同两部分电路的并联,每 一部分的等效电路,如图 2 所示,图中已标 出电流。如果求得流过一电阻的电流为负 值,则表示电流方向与设定方向相反。 设 AS 间电压为 V、(S 点为零,A 点为 V),对图中线路,利用 AS 间等效电路求解电流的方法求解。 分别列出节点方程组,回路方程组:

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,

① 联立以上各式,消去 ,j 得 , ②

再联立①②消去 ,得

,



由此解得其中一部分[图(b)所示部分]等效电路的电阻为:

因此



利用





>0,所以, 若电源在 G 点的接线沿一条边微小移动 (x 很小时) ,

则该电源的外电阻将增大。易知当 方法二:

时,达到最大。

仍对电路的一部分[图 2 所示的那部分电路]讨论, 这 次利用 Y- 变换,求 .

为了便于表示,把图改画成图(c) 再利用 图c

图(c)中,

,

,

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,





代入

, ,

此结果与式④相同。以下解法相同。

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六、设带电粒子从 A 点射入磁场区,沿圆弧轨道达环上 B 点,如图(b)所示, 从图中可以看到 而且在轨道圆弧上 B 点与半径 OB 相切, 所以带电粒子在 B 点与环作弹性碰撞后, 仍以速度大小 对着环心 O 再次射入磁场, 沿相同大小的轨道圆弧 BC 运动。 如此 继续,顺次与环碰撞。若粒子经多次与环碰撞后,在不超越小孔 A 的条件下,直 接从小孔 A 中出射,图(b)中 角必须满足一定条件。 设粒子从 A 点射入,然后经 n 次碰撞(包括从小孔 A 出射) ,则 ,

相应的 n 条轨道圆弧所对应的圆心角为 因此带电粒子在磁场区运动的时间 t 为 , (n=3,4 ??? )

利用图(b),写出轨道圆弧上的轨道半径表达式

解得入射粒子速度大小为

,

(n=3,4 ??? )

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七、 (ⅰ)气枪击发时,气室内气体迅速膨胀,可视为可逆绝热膨胀,气体在可 逆绝热膨胀中做的工量应等于钢弹飞离枪口时的动能。 (ⅱ)枪管的长度应使气体能膨胀到大气压 Pb=100kpa. 每摩尔气体做功
?1 pb r r 1 ?? RT1[1 ? ( ) ] r ?1 p1

?1 1 100 ?103 1.4 1.4 ? ? 8.315 ? ? 273 ? 21? [1 ? ( ) ] 1.4 ? 1 900 ?103

=2848(J/mol) 钢球离开枪口时动能

1 1 4 Ek ? mv 2 ? ? ? r 3 ? v 2 2 2 3 1 4 3 ? ? ? ? [( )3 ? (10?3 )3 ] ? 7770 ? (100)2 2 3 2
=0.5492(J) 气室中空气质量及容积分别为

m?

Ek

?

? (28.97 ?10?3 ) ?

0.5492 ? 28.97 ?10?3 ? 5.59 ?10?6 kg 2848

V?

? RT
p

?(

0.5492 8.315 ? (273 ? 21) ) ? 5.24 ?10?7 (m3 ) 3 2848 900 ?10

空气自 900kpa 膨胀到 100kpa 时之体积为
V0 ? V (
1 p 1 900 ?103 1.4 ) r ? (5.24 ?10?7 )( ) ? 2.51?10?6 (m3 ) p0 100 ?103

枪管的最小体积 V ? 及长度 L 分别为
V ? = V0 -V=2.51 ?10?6 ? 0.524 ?10?6 ? 1.99 ?10?6 (m3 )

V? V? 1.99 ?10?6 L? ? ? ? 0.28(m) A 1 ? d 2 1 ? (3 ?10?3 )2 4 4

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八、分别考虑以下几种情况: (1)两个平面反射镜相向放置。这时,对于两个平面镜之间的实物,系统可以形 成无限多个像,不合题意。 (2)焦距为 f 的透镜 L 与平面反射镜的相距为 D,如图(a)所示 物 A 向右发光经 L 成像,由

1

?

?

1 1 ? u f
V1 为 :

可 得 像 的 位 置

u1 ? D ? d , V1 ?

(D ? d ) f (D ? d ) ? f

式中 V1 表示 L 向右的距离,V1>0 表示像在 L 的右方,V1<0 表示像在 L 左方。 由物 A 向左发光经 m 成像在 A, (如图 a) 。反射光再向右经 L 成像,其像距离 V2 为:

u2 ? D ? d , V2 ?

(D ? d ) f (D ? d ) ? f

两个像的放大率分别为 V1/u1 和 V2/u2,由题意两个像大小相等,故 V1/u1= ? V2/u2 即 D-d-f= ? (D+d-f) ①

式中若取“+”号,则 2d=0,即 d=0,这要求物位于一个特殊位置,不合题意。 若式中取“-” ,则 D-d-f=-D-d+f

即 D=f。这要求两个元件间距离等于透镜焦距。元件间距 D>0,f>0,L 为凸透镜, 这种系统满足题目的调条件: 一反射镜和凸透镜,间距为焦距。 透镜对物成虚像,反射镜不再成像, 谓之“最后的像” ;而反射镜中的物 体像位于透镜的两倍焦距以内,透镜 成实像于系统之外,形成了“最后的 像” 。 (3)焦距分别为 f1 和 f2 的两个透镜 L1 和 L2,见图(b) 。

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清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题

物 A 向右的光经 L1 成像,像距
V1 ? u1 f1 u1 ? f1

物 A 向左的光经 L2 成像,像距为

u2 ? D ? u1 , V2 ?

( D ? u1 ) f 2 ( D ? u1 ) ? f 2

式中 V2 表示从 L2 向左的距离,V2<0 表示像在 L2 右方,V2>0, 表示像在 L2 左方, 同样利用两个像的放大率 V1/u1 和 V2/u2,由题意两个像大小相等的条件 V1/u1= ? V2/u2 即 式中若取“+”号,则
f1 (D? u1 ? f 2 ) ? f 2 (u1 ? f1 ) f1 (D? u1 ) ? f 2u1
D? f1 ? f 2 Df1 u1 ? u1 ? f1 f1 ? f 2

f1 f2 ?? u1 ? f1 D ? u1 ? f 2



这表示只有特殊位置才满足要求,不合题意。 若式中取“-” ,则

f1 f2 ?? u1 ? f1 D ? u1 ? f 2
f1 (D? u1 ? f 2 ) ? ? f 2 (u1 ? f1 ) f1 D ? ( f1 ? f 2 )u1 ? 2 f1 f 2 D? f1 ? f 2 u1 ? 2 f 2 f1

按题意,上式应对两有 u1 值均成立,必须有 f1=f2=f,从而 D=2f,由 D>0,可知 f>0,两个透镜为焦距相等的两个凸透镜,相距 2f。这时,可保证物体放在其间 的任意位置均能得到两个大小相等的像,且一个为虚像(物距小于焦距) ,在物 的同侧,为实际光线的反向延长线会聚而成,不可能再次被另一个透镜成像,谓 之“最后的像” ;另一个实像在两透镜的外侧,也不可能再被成像,也为“最后 的像” 。
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