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高一数学总复习


一、集合 1、下列四组对象,能构成集合的是 A C 某班所有高个子的学生 一切很大的书 D B 著名的艺术家 倒数等于它自身的实数 个 D
2





2、集合{a,b,c }的真子集共有 A 7 B 8
2

( 10
2 2



C

9

3、已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| x -mx+m -19=0}, 若 B∩C≠ Φ ,A∩C=Φ ,求 m 的值

4、已知二次函数 f ( x )= x ? ax ? b ,A= x f ( x) ? 2 x ? 22? ,试求 f ( x ) 的解析式
2

?

? ?

2 5、已知集合 A ? ??1,1? ,B= x x ? 2ax ? b ? 0 ,若 B ? ? ,且 A ? B ?A

?

?

求实数 a,

b 的值。

2 2 6、设 x, y ? R ,集合 A ? 3, x ? xy ? y , B ? 1, x ? xy ? x ? 3 ,且 A=B,求实数 x,

?

?

?

?

y 的值

二、函数 13、已知 f (0) ? 1, f (n) ? nf (n ?1)(n ? N? ) ,则 f (4) ? 。 。

14、将二次函数 y ? ?2 x 2 的顶点移到 (?3, 2) 后,得到的函数的解析式为

15、已知 y ? f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,则 a 的取值范围 是 。

( x ≤ ?1) ?x ? 2 ? 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x ? 16、设 f ( x) ? ? x ? 2x ( x ≥ 2) ?
减函数。当①与②至少有一个真命题时,实数 a 的取值范围是__



17.设有两个命题: ①关于 x 的方程 9x ? (4 ? a) ? 3x ? 4 ? 0 有解; ②函数 f ( x) ? log2a2 ?a x 是 18.方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是_____。
2

2 3 , ) 19、 已知 ( x, y ) 在映射 f 的作用下的像是 ( x ? y, xy ) , 求 (?

在 f 作用下的像和 (2, ?3) 在

f 作用下的原像。

20、证明:函数 f ( x) ? x ? 1 是偶函数,且在 ?0, ??? 上是增加的。
2

21、对于二次函数 y ? ?4 x ? 8x ? 3 ,
2

(1)指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标; (2)画出它的图像,并说明其图像由 y ? ?4 x 的图像经过怎样平移得来;
2

(3)求函数的最大值或最小值; (4)分析函数的单调性。

22、 设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数, 并且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,f ? ? ? 1 , (1)求 f (1) 的值, (2)如果 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ,求 x 的取值范围。

?

?1? ? 3?

11.若一次函数 y ? f ( x) 满足 f ? ? f ? x ?? ? ? 9 x ? 1 ,则 f ( x) ? ___________. 12.已知函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,函数 f ( x2 ) 的定义域为:___________. 13.函数 f ( x) ? ax 2 ? 2 (a ? 0) ,如果 f [ f ( 2)] ? ? 2 ,则 a ? ________. 14.建造一个容积为 8m ,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别 为 120 元 / m 和 80 元 / m ,则总造价 y 关于底面一边长 x 的函数解析式为: _____________________. 15.已知函数 f ( x) ? x ? x ? 1 ,
2
2 2 3

(1)求 f (2 x) 的解析式; (2)求 f ( f ( x)) 的解析式 (3)对任意 x ? R ,求证 f ( x ? ) ? f (?

1 2

1 ? x) 恒成立. 2

16.美国的高税收是世界上出名的,生活在那里的人们总在抱怨各种税收,以工薪阶 层的个人所得税为例,以年收入 17850 美元为界,低于(含等于)这个数字的缴纳 15% 的个人所得税,高于 17850 美元的缴纳 28%的个人所得税. (1)年收入 40000 美元的美国公民交多少个人所得税? (2)美国政府规定捐赠可以免税,即收入中捐赠部分在交税时给予扣除,一位年收入 20000 美元的美国公民捐赠了 2200 美元,问他的实际收入有没有因为捐赠而减少?

(3)年收入 20000 美元的美国公民捐赠多少美元,可使他的实际收入最多?

11.解 设 f ( x) ? kx ? b,(k ? 0) ,则由 f [ f ( x)] ? 9 x ? 1 得 k (kx ? b) ? b ? 9 x ? 1

? k ? 3 ? k ? ?3 1 1 ? ? ?k ?9 , ( k ? 1b ) ?, 1? ? 1 或? 1 ,? f ( x) ? 3 x ? 或 f ( x) ? ?3 x ? . 4 2 b? b?? ? ? 4 ? ? 2
2

12 .解 因函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] , 故函数 f ( x2 ) 的定义域由 x2 ?[0,1] , 即 0 ? x ?1得
2

?1 ? x ? 1 ,所以 [?1,1] 为所求

13.解

f ( x) ? ax 2 ? 2,

? f ( 2) ? a( 2) 2 ? 2 ? 2a ? 2, ? f [ f ( 2)] ? f (2a ? 2) ? a(2a ? 2) 2 ? 2
根据题意有: a(2a ? 2)2 ? 2 ? ? 2

? a(2a ? 2)2 ? 0.但a ? 0,? 2a ? 2 ? 0, 即a=
14.解:池底面积 s ?

2 2

8 ? 4m 2 , 2

4 ,所以池底造价为 4 ?120 ? 480 , x 4 4 池壁造价为 [2(2 x) ? 2(2 ? )] ? 80 ? 320( x ? ). x x 4 总造价为 y ? 320( x ? ) ? 480( x ? 0). x
底面一边长为 x ,则底面另一边长为 15.解 (1) f (2 x) ? 4x ? 2x ? 1 ;
2

(2) f ( f ( x)) ? x ? 2x ? 4x ? 3x ? 3 ;
4 3 2

(3)

1 1 1 1 1 f ( x ? ) ? ( x ? ) 2 ? ( x ? ) ? 1 ? ( ? ? x) 2 ? ( ? ? x) ? 1 2 2 2 2 2

1 1 ? f ( x ? ) ? f (? ? x) 恒成立。 2 2 16.解(1)应交税 40000 ? 28% ? 11200 (美元) ( 2 ) 该 公 民 如 果 不 捐 赠 , 缴 纳 20000 ? 28% ? 5600 ( 美 元 ) ;实际收入是 20000 ? 5600 ? 14400 ( 美 元 ) ? 2 2 0? 0 1 7 8( 00 ;捐赠后节余 20000 美元) ;缴纳 17800 ?15% ? 2670 (美元) ;实际收入 17800 ? 2670 ? 15130 (美元) ,因此实际收入反
而有所增加。 ( 3 ) 假 设 捐 赠 x 美 元 , 若 x ? 2150 , 则 剩 余 20000 ? x ( 美 元 ) ,缴纳后剩余

(20000 ? x)(1 ? 28%) (美元) ;当 x ? 2150 时,则缴纳后剩余 (20000 ? x)(1 ? 15%) (美
元) ,当 x ? 2150 时,收入 f ( x) ? 14400 ? 0.72 x, f ( x) ? (12852,14400) ; 当 x ? 0 时, f ( x)max ? 14400 (美元) 。 当 x ? 2150 时, f ( x) ? 17000 ? 0.85x, f ( x) ?[0,15172.5] 当 x ? 2150 时, f ( x)max ? 15172.5 (美元) 相比较而言捐出美元,实际收入美元为最多。 三、指数对数函数

11.已知 0<a<1,b<-1,则函数 y=ax+b 的图像必定不经过( (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限



12.一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b%,则 n 年后这批设备的价值为( (A)na(1-b%) ) (D)a(1-b%)n

(B)a(1-nb%) (C)a[(1-(b%))n

二、填空题(4*4 分)
3

13.若 a 2 <a 2 ,则 a 的取值范围是 14.若 10x=3,10y=4,则 10x-y= 15.化简
3 5

。 。 。 。

x x

?

3 5

x x

×

5 3

x x

=

16.函数 y=3 2?3 x 的单调递减区间是

2

1? ? 1 ? 17.(1)计算: ? ? ? 27 3 ? ? ?? ?4? ?6 2 ?
? 1 ? 2 ?4 2 3 ? (2)化简: ? a ?2 ?a ? b ? ? b ? ?
?3

?2

0

1

18.(12 分)若 x ? x ? 3 ,求

1 2

?

1 2

x ? x ?3 的值. x 2 ? x ?2 ? 2

3 2

?

3 2

19. (12 分)设 0<a<1,解关于 x 的不等式 a 2 x ?3 x?1 >a x ?2 x?5 .

2

2

20. (12 分)已知 x ? [-3,2],求 f(x)=

1 1 ? x ? 1 的最小值与最大值。 x 4 2

21. (12 分)已知函数 y=( ) x ?2 x?5 ,求其单调区间及值域。

1 3

2

22.(14 分)若函数 y ? 4x ? 3 2x ? 3 的值域为 ?1,7? ,试确定 x 的取值范围。

四、三角函数 二、填空题(每题 4 分,计 16 分) 13.函数 y ? tan( x ?

) 的定义域为 ___________ 。 3 1 2 14.函数 y ? 3 cos( x ? ? )( x ? [0, 2? ]) 的递增区间 __________ 2 3
15.关于 y ? 3sin(2 x ?

?

?

4

) 有如下命题,1)若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 是 ? 的整数倍,

②函数解析式可改为 y ? cos 3(2 x ? 点(

?
4

) ,③函数图象关于 x ? ?

?
8

对称,④函数图象关于

?
8

, 0) 对称。其中正确的命题是 ___________

16.若函数 f ( x ) 具有性质:① f ( x ) 为偶函数,②对任意 x ? R 都有 f (

?

? x) ? f ( ? x) 4 4

?

则函数 f ( x ) 的解析式可以是: ___________ (只需写出满足条件的一个解析式即可) 三、解答题 17(6 分)将函数 y ? cos(

?

1 x ? ) 的图象作怎样的变换可以得到函数 y ? cos x 的图象? 3 2

19(10 分)设 a ? 0 , 0 ? x ? 2? ,若函数 y ? cos2 x ? a sin x ? b 的最大值为 0 , 最小值为 ? 4 ,试求 a 与 b 的值,并求 y 使取最大值和最小值时 x 的值。

? ? (0, 2? ) 。 20 (10 分) 已知: 关于 x 的方程 2x2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? ,
求:⑴

tan ? sin ? cos ? ? 的值; ⑵ m 的值; ⑶方程的两根及此时 ? 的值。 tan ? ? 1 1 ? tan ?

15. (本小题满分 12 分)已知 A? ?2, a ? 是角 ? 终边上的一点,且 sin ? ? ? 求 cos? 的值.

5 , 5

1 ? ? 16. (本小题满分 12 分)若集合 M ? ?? sin ? ? , 0 ? ? ? ? ? , 2 ? ? 1 ? ? N ? ?? cos ? ? , 0 ? ? ? ? ? ,求 M 2 ? ?
N.

17. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的方程 2 x 2 ? 和 cos ? : 1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? (1)求 的值; 1 ? sin ? ? cos ? (2)求 m 的值.

?

3 ? 1 x ? m ? 0 的两根为 sin ?

?

?? ? 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的图 2? ?
3 ? ? 象在 y 轴上的截距为 1, 在相邻两最值点 ? x0 , 2? , ? x0 ? , ?2 ? ? x0 ? 0 ? 上 f ? x ? 2 ? ?

分别取得最大值和最小值. (1)求 f ? x ? 的解析式;

(2)若函数 g ? x ? ? af ? x ? ? b 的最大和最小值分别为 6 和 2,求 a , b 的值.

1 19. (本小题满分 14 分)已知 sin x ? sin y ? ,求 ? ? sin y ? cos2 x 的最值. 3

? ?? 20. (本小题满分 16 分)设 ? ? ? 0, ? ,函数 f ? x ? 的定义域为 ?0,1? 且 f ? 0? ? 0 , ? 2? ? x? y? f ?1? ? 1当 x ? y 时有 f ? ? ? f ? x ? sin ? ? ?1 ? sin ? ? f ? y ? ? 2 ? ?1? (1)求 f ? ? , ?2? ?1? f ? ?; ?4?

(2)求 ? 的值; (3)求函数 g ? x ? ? sin ?? ? 2x ? 的单调区间.

sin? cos? ? 2 cos2 ? ? 0,? ?[ , ? ], 求 sin(2? ? ) 2 3 的值. 13.已知 6 sin ? ?
2

?

?

2 14.设 f ( x) ? 6cos x ? 3 sin 2 x . (1)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期;

(2)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求

4 tan ? 5 的值.

,x ? R . 15..已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1

? π 3π ? ? , ? (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ? 8 4 ? 上的最小值和最大值.

16.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,a ? 2b sin A . (1) 求B 的 大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围.

五、

平面向量
(2)试求向量 AB 与 AC 的夹角;

18、 (14 分)设平面三点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(2,5) . (1)试求向量 2 AB + AC 的模; (3)试求与 BC 垂直的单位向量的坐标.

19. (12 分)已知向量

=

, 求向量 b,使|b|=2|

|,并且

与 b 的夹角为



20. (13 分)已知平面向量 a ? ( 3,?1), b ? ( ,

1 3 ). 若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 2 2

x ? a ? (t 2 ? 3)b, y ? ?k a ? tb, 且x ? y.
(1)试求函数关系式 k=f(t) (2)求使 f(t)>0 的 t 的取值范围.

21. (13 分)如图,

=(6,1),

,且



(1)求 x 与 y 间的关系; (2)若

,求 x 与 y 的值及四边形 ABCD 的面积。

22. (13 分)已知向量 a、b 是两个非零向量,当 a+tb(t∈R)的模取最小值时, (1)求 t 的值 (2)已知 a、b 共线同向时,求证 b 与 a+tb 垂直

24. (2002 上海春, 9) 若f (x) =2sinω x (0<ω <1 ) 在区间 [0, 则ω = .

? ] 上的最大值是 2 , 3

24.答案:

3 4

解析:∵0<ω <1 ∴T=

2?

?

>2π

∴f(x)在[0,

? 3

]区间上为单调递增函数

∴f(x)max=f(

? 3

)即 2sin

??
3

? 2

又∵0<ω <1 ∴解得ω =

3 4
.

25.(2002 北京文,13)sin

2 6 7 π ,cos π ,tan π 从小到大的顺序是 5 5 5

25.答案:cos

2? 7? 6 π <sin <tan 5 5 5

解析:cos

6? 7? 2? ? <0,tan =tan ∵0<x< 时,tanx>x>sinx>0 5 5 5 2

∴tan

2? 2? 7? 2? 6? >sin >0 ∴tan >sin >cos 5 5 5 5 5
sin 7? ? cos15? sin 8? 的值为_____. cos 7? ? sin 15? sin 8?

26.(1997 全国,18)

26.答案:2- 解析:

3

sin 7? ? cos15? sin 8? sin(15? ? 8?) ? cos15? sin 8? sin15? cos 8? ? ? cos 7? ? sin15? sin 8? cos(15? ? 8?) ? sin15? sin 8? cos15? cos 8?
1 ? cos 30? ? 2? 3. sin 30?

? tan15? ?

评述:本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.

27.(1996 全国,18)tan20°+tan40°+ 27.答案:

3 tan20°·tan40°的值是_____.

3
tan 20? ? tan 40? ,∴tan20°+tan40°= 3 - 3 tan20°tan40°, 1 ? tan 20? tan 40?

解析:tan60°=

∴tan20°+tan40°+

3 tan20°tan40°= 3 .

28.(1995 全国理,18)函数 y=sin(x-

? 6

)cosx 的最小值是

.

28.答案:-

3 4

解析:y=sin(x-

? 6

)cosx=

? ? ? 1 1 1 [sin(2x- )-sin ]= [sin(2x- )- ] 2 2 2 6 6 6
1 1 3 (-1- )=- . 2 2 4

当 sin(2x-

? 6

)=-1 时,函数有最小值,y 最小=

评述:本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性(或值域).

29.(1995 上海,17)函数 y=sin

x x +cos 在(-2π ,2π )内的递增区间是 2 2

.

29.答案: [?

3? ? , ] 2 2

解析:y=sin

x ? x x ? x ? ? +cos = 2 sin( ? ) ,当 2kπ - ≤ + ≤2kπ + (k 2 2 2 2 4 2 2 4 3? 3? ? ? ≤x≤4kπ + (k∈Z) ,只有 k=0 时, [- , ] 2 2 2 2

∈Z)时,函数递增,此时 4kπ - (-2π ,2π ).

30.(1994 全国,18)已知 sinθ +cosθ =

1 ,θ ∈(0,π ) ,则 cotθ 的值是 5

.

30.答案:-

3 4

解法一:设法求出 sinθ 和 cosθ ,cotθ 便可求了,为此先求出 sinθ -cosθ 的值. 将已知等式两边平方得 1+2sinθ cosθ =

1 25

变形得 1-2sinθ cosθ =2-

1 , 25

即(sinθ -cosθ )2=

49 25

又 sinθ +cosθ =

1 ,θ ∈(0,π ) 5
图 4—14

? 则 2

3? <θ < ,如图 4—14 4

所以 sinθ -cosθ =

7 ,于是 5

sinθ =

3 4 3 ,cosθ =- ,cotθ =- . 4 5 5
12 ,又θ ∈(0,π ) ,有 cosθ <0 25

解法二:将已知等式平方变形得 sinθ ·cosθ =-

<sinθ ,且 cosθ 、sinθ 是二次方程 x2-

1 12 3 x- =0 的两个根,故有 cosθ =- , 25 5 5

sinθ =

4 3 ,得 cotθ =- . 4 5

评述:本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力,方法较灵活. 六、恒等变形 【分层训练】 1. (05 江苏)若 sin(

?

2? ? 2? ) ? ( ) 3 7 1 1 A. ? B. ? C. 3 3 9 cos(
2. (04 重庆)

1 ??) ? ,则 6 3

D.

9 7

sin 1630 sin 2230 ? sin 2530 sin 3130 ? ( )
A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

2 sin 2? cos2 ? ? ?( ) 3. (05 全国) 1 ? cos 2? cos 2?
A. tan ? B. tan 2? C. 1 D.

1 2

4. (05 湖北)若 sin ? ? cos ? ? tan ? , ? ? (0,

?
2

) ,则 ? ? (



? ? , ) 6 4 6 ? ? ? ? C. ( , ) D. ( , ) 4 3 3 2 ? ? 2, 则 5. (05 北京)已知 tan 2 ? tan ? ? ______; tan(? ? ) ? _____ ; 4
A. (0,

?

)

B. (

6. (05 北京)已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 cos2? ? _____; , 那么 sin ? ? _____, 3

7. (05 重庆)已知 ?、? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ), 则 tan ? ? ____ ; 8. (05 全国)设 ? 为第四象限的角,若 【拓展延伸】 9. (04 湖南)已知 sin(

sin 3? 13 ? ,则 tan2? ? ____ ; sin ? 5 1 ? ? , ? ? ( , ), 求 2 sin 2 ? ? tan? ? cot? ? 1的值。 4 4 2

?
4

? 2? ) ? sin(

?
4

? 2? ) ?

1 ? x ? 0, sin x ? cos x ? , 2 5 (1) 求 sin x ? cos x 的值; x x x x 3 sin 2 ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 的值。 (2) 求 tan x ? cot x
10(05 福建)已知 ?

?

七统计算法概率

12、对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下. 100~ 200 20 200~ 300 30 300~ 400 80 400~ 500 40 500~ 600 30

寿命 (h) 个 数

(1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图及频率分布折线图; (3)估计元件寿命在 100~400 h 以内的在总体中占的比例; (4)从频率分布直方图可以看出电子元件寿命的众数是多少 .解: (1)样本频率分布表如下.

寿命(h) 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 合 计

频 20 30 80 40 30







0.10 0.15 0.40 0.20 0.15 1

200

(2)频率分布直方图如下.
频率 组距 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 寿命(h) 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600

(3)估计元件寿命在 100 h~400 h 以内的在总体中占的比例为 0.65. (4)从频率分布直方图可以看出电子元件寿命的众数是 350 13、甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现在从中抽测 10 个,它们的尺寸分别如下(单位:mm). 甲机床:10.2 10.1 10 9.8 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1;

乙机床:10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10. (1)用茎叶图表示甲,乙台机床尺寸; (2)分别计算上面两个样本的平均数和方差.如图纸规定零件的尺寸为 10 mm,从 计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适?(要求写出公式,并利用公式笔 算)

解: (1)如图所示,茎表示机床尺寸的整数环数,叶表示小数点后的数字。

甲 8 9 10

乙 9 679 012349

9987 321100

(2) x甲 ?
x乙 ?
2 s甲 ?

1 1 ( x1 ? x2 ? ... ? xn ) ? (10.2 ? 10.1 ? n 10 1 1 ( x1 ? x2 ? ... ? xn ) ? ( 10.3 ? 10.4 ? n 10
1

10.1) ? ? 10) ?

1 ?100 ? 10 , 10 1 ? 10 ? 10 . 10

n

[(x 1 ? x )2 ? (x 2 ? x )2 ?

? (x n ? x )2 ]



1 2 2 2 =0.03 m m2 ? 10.2 ? 10) ? ? ( ?(10.1 ? 10) ? (10.1 ? 10) ? ? 10

2 s乙 ? s2 ?

1

n

[(x 1 ? x )2 ? (x 2 ? x )2 ?

? (x n ? x )2 ]

?

1 2 2 2 ? 10.3 ? 10) ? =0.06 m m2 . ( ?(10.4 ? 10) ? (10 ? 10) ? 10 ?

2 2 ∴ 甲< 乙

s

s

∴用甲机床比乙机床稳定,即用甲机床加工较合适

6、如图,在边长为 25cm 的正方形中挖去边长为 23cm 的两个等腰直角三角形, 现有均匀的粒子散落在正方形中, 问粒子落在中间带形区域的概率是多少? 解:因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件。 设 A=“粒子落在中间带形区域”则依题意得 正方形面积为:25×25=625 两个等腰直角三角形的面积为:2×
1 ×23×23=529 2

带形区域的面积为:625-529=96 ∴ P(A)=
96 625

7、先后掷两个均匀正方体骰子(六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6),骰子朝上的 面的点数分别为 X,Y, 则 log 2 X Y=1 的概率为多少? 解:掷两个均匀骰子事件总数有 36 种(要略举) 要 log2 X Y ? 1, 有 2X=Y,其中 X,Y ? {1,2,3,4,5,6} 满足条件的有(1,2),(2,4),(3,6). 故有概率 P=3/36=1/12

1.

对赋值语句的描述正确的是 ( ①可以给变量提供初值 ③可以给一个变量重复赋值 A.①②③ B.①②

A ) ②将表达式的值赋给变量 ④不能给同一变量重复赋值

C.②③④

D.①②④

2.

用“辗转相除法”求得 459 和 357 的最大公约数是(D ) A. 3 B. 9 C. 17 D. 51

3. 用秦九韶算法求 n 次多项式 f ( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0 ,当 x ? x0

时,求 f ( x0 ) 需要算乘方、乘法、加法的次数分别为 A.
n(n ? 1) , n, n 2

( D



B. n,2n,n A )

C. 0,2n,n

D. 0,n,n

4. 右边程序运行后输出的结果为(

A. 3
5.

B. 5

C. 2

D. 0

算法
S1 :输入 n

S2 :判断 n 是否是2;若 n ? 2 ,则 n 满足条件;

j=1 n=0 WHILE j<=11 j=j+1 IF j MOD 4=0 THEN n=n+1 END IF j=j+1 WEND PRINT n END 第4题

若 n ? 2 ,则执行 S3
S3 :依次从2到 n ? 1 检验能不能整除 n .

若不能整除 n 满足条件, 上述的满足条件是什么 A.质数 B.奇数 (A ) C.偶数 D.约数

6、把六进制数转换成三进制数: 210(6) = 2220(3) 7、如图所示算法,则输出的 i 值为 8、若 a=7,b=6,左边程序运行结果是 -1 i=1; DO s=i*i; i=i+1; LOOP UNTIL i=i-1
PRINT i END 第7题

12
IF a>5 THEN IF b<4 THEN c=a–b ELSE c=b–a END IF ELSE IF a>3 THEN c=a*b ELSE c=aMODb END IF END IF PRINT c 第8题

s>121

八数列 1、在等差数列{an}中,a1=-250,公差 d=2,求同时满足下列条件的所有 an 的和, (1)70≤n≤200;(2)n 能被 7 整除. 2、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a3=12, S12>0,S13<0.(Ⅰ)求公差 d 的取值范围; (Ⅱ)指出 S1,S2,?,S12,中哪一个值最大,并说明理由.

3、数列{ an }是首项为 23,公差为整数的等差数列,且前 6 项为正,从第 7 项开始变为负 的, 回答下列各问: (1)求此等差数列的公差 d;(2)设前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值;(3)当 S n 是

正数时,求 n 的最大值.

4、设数列{ an }的前 n 项和 S n .已知首项 a1=3,且 S n?1 + S n =2 a n ?1 ,试求此数列的通项公式 an 及前 n 项和 S n .

5、已知数列{ an }的前 n 项和 S n ?

1 1 n(n+1)(n+2),试求数列{ }的前 n 项和. 3 an

6 、 已 知 数 列 { an } 是 等 差 数 列 , 其 中 每 一 项 及 公 差 d 均 不 为 零 , 设

ai x 2 ? 2ai ?1 x ? ai ?2 =0(i=1,2,3,?)是关于 x 的一组方程.回答:(1)求所有这些方程的公共根;
(2)设这些方程的另一个根为 mi ,求证

1 1 1 1 , , ,?, ,?也成等差数列. m1 ? 1 m 2 ? 1 m3 ? 1 mn ? 1

2 7、如果数列{ an }中,相邻两项 an 和 a n ?1 是二次方程 xn ? 3nxn ? cn =0(n=1,2,3?)的两个根,

当 a1=2 时,试求 c100 的值.

8、 有两个无穷的等比数列{ an }和{ an },它们的公比的绝对值都小于 1,它们的各项和分别是 1 和 2,并且对于一切自然数 n,都有 a n ?1 ,试求这两个数列的首项和公比.

9、有两个各项都是正数的数列{ an },{ bn }.如果 a1=1,b1=2,a2=3.且 an , bn , a n ?1 成等差数列,

bn , a n?1 , bn ?1 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.

10、若等差数列{log2xn}的第 m 项等于 n,第 n 项等于 m(其中 m?n),求数列{xn}的前 m+n 项的和。

1.已知等比数列{an},公比为-2,它的第 n 项为 48,第 2n-3 项为 192,求此数 列的通项公式。

2.数列{an}是正项等比数列,它的前 n 项和为 80,其中数值最大的项为 54,前 2n 项的和为 6560,求它的前 100 项的和。 3.已知 a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列, 且公比为 q,求证: (1) q3+ q 2+q=1, a (2)q= c

1 1 ,从第二项起,{an}是以 为公比的等比数列, 2 2 {an}的前 n 项和为 Sn,试问:S1,S2,S3?,Sn,?能否构成等比数列?为什么?

4.已知数列{an}满足 a1=1,a2=-

5.求 Sn=(x+

1 1 1 )+(x2+ 2 )+?+(xn+ n )(y ? 0 )。 y y y

6.某企业年初有资金 1000 万元,如果该企业经过生产经营,每年资金增长率为 50%,但每年年底都要扣除消费基金 x 万元,余下资金投入再生产,为实现经过 五年,资金达到 2000 万元(扣除消费基金后) ,那么每年扣除的消费资金应是多 少万元(精确到万元) 。

7. 已 知 数 列 {an} 满 足 a1=1,a2=r(r>0) , 数 列 {bn} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 (q>0),bn=anan+1,cn=a2n-1+a2n,求 cn。

8.陈老师购买安居工程集资房 7m2,单价为 1000/ m2,一次性国家财政补贴 28800

元, 学校补贴 14400 元, 余款由个人负担, 房地产开发公司对教师实行分期付款, 即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计, 应等于个 人负担的购房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和, 每 期为一年, 等额付款, 签订购房合同后一年付款一次, 再过一年又付款一次等等, 若付 10 次,10 年后付清。如果按年利率的 7.5%每年复利一次计算(即本年利息 计 入 次 年 的 本 金 生 息 ), 那 么 每 年 应 付 款 多 少 元 ?( 参 考 数 据 :1.0759 10 11 ? 1.921,1.075 ? 2.065,1.075 ? 2.221)
n ?1 ? ?a n ? a1 (?2) ? 48 1. ? 2n?4 ? ? 192 ?a 2 n ?3 ? a1 (?2)

① ②

解得 a1=3 ∴an=a1qn-1=3(-2)n-1 。

? a1 (1 ? q n ) ① ? 1 ? q ? 80 ? 2. ∵ S2n>Sn, ∴q ? 1 ? ②/①,得 qn=81 2n ? a1 (1 ? q ) ? 6560 ② ? ? 1? q

③∴q>1,故前

n 项中 an 最大。③代入①,得 a1=q-1 又由 an=a1qn-1=54,得 81a1=54q 3. (1)q3+q2+q= (2)q= ∴a1=2,q=3 ∴S100=
2(1 ? 3100 ) ? 3100 ? 1 。 1? 3

a?b?c c?a?b b?c?a ? ? ?1 a?b?c a?b?c a?b?c

c?a ?b a ?b?c (c ? a ? b ) ? ( a ? b ? c ) 2 a a ? ? ? 由合分比定理,可得 q= b?c?a c?a ?b (b ? c ? a) ? (c ? a ? b) 2c c

1 1 1 4.当 n ? 2 时,an=a2q =- ( )n-2=-( )n-1 2 2 2
n-2

?1 n ?1 ? ∴an= ? 1 n ?1 n?2 ?( ) ? ? 2

当 n=1 时,S1=a1=1 当 n ? 2 时,Sn=a1+a2+?+an=11 1 1 1 1 1 -( )2-?-( )n-1=1-[ +( )2+?+( )n-1]=12 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ?1 ) 1 2 2 ? ( ) n ?1 1 2 1? 2
∴Sn=(
1 n-1 ) 2

1 ( )n S n ?1 1 ? 2 ? ? 1 Sn 2 ( ) n ?1 2

? {Sn}可以构成等比数列。

5、当 x ? 1,y ? 1 时, ∴

Sn=(x+x2+

?

1 1 (1 ? n ) x(1 ? x ) y x ? x n ?1 1? yn y 1 1 1 ? ? ? n +xn)+( + )= ? ?? 1 1? x 1? x y y2 yn y ? y n ?1 1? y
n

当 x=1,y ? 1 时

1? yn Sn=n+ n y ? y n?1
x ? x n ?1 ?n Sn= 1? x

当 x ? 1,y=1 时

当 x=y=1 时 Sn=2n 6.设 an 表示第 n 年年底扣除消费基金后的资金。 1 a1=1000(1+ )-x 2 1 1 1 1 a2=[1000(1+ )-x](1+ )-x=1000(1+ )2-x(1+ )-x 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a3=[1000(1+ )2-x(1+ )-x](1+ )-x=1000(1+ )3-x(1+ )2-x(1+ )-x 2 2 2 2 2 2 类推所得 1 1 1 1 1 a5=1000(1+ )5-x(1+ )4-x(1+ )3-x(1+ )2-x(1+ )-x 2 2 2 2 2 3 1 ? ( )5 3 5 3 4 3 3 3 5 2 ? 2000 则 1000( ) -x[( ) +( ) +?+1]=2000 即 1000( ) -x· , 3 2 2 2 2 1? 2 解得 x ? 424 万元 7、∵bn+1=bnq, ∴an+1an+2=anan+1q ∴an+2=anq,即

an?2 ?q an

由 a1=1,a3=q,a5=q2,??,知奇数项构成一个等比数列,故 a2n-1=qn-1 由 a2=r,a4=rq,a6=rq2,??,知偶数项也构成一个等比数列,故 a2n=rqn-1 ∴Cn=(1+r)qn-1 8、设每年付款 x 元,那么 10 年后 第一年付款的本利和为 a1=1.0759x 元。 第二年付款的本利和为 a2=1.0758x 元。 依次类推 第 n 年付款的本利和为 an=1.07510-nx 元。 则各年付款的本利和{an}为等比数列。
x(1 ? 1.07510 ) 元。 ∴10 年付款的本利和为 S10= 1 ? 1.075

个人负担的余额总数为 72×1000-28800-14400=28800 元。 10 年后余款的本利和为 18800×1.07510

∴ x?

1 ? 1.07510 ? 28800 ?1.07510 1 ? 1.075

解得 x=

28800? 1.07510 ? 0.075 ? 4200 元 1.07510 ? 1

九、不等式 13、已知集合 A ?

? 2 x ? 3 ? 0, x ? R , B ? x x 2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0, x ? R, m ? R . (Ⅰ)若 A B ? ?0,3? ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围.
2

?x x

?

?

?

14.若关于 x 的不等式 x2 ? 4 x ? 4 ? m2 ≤0 在[-1,3]上恒成立,求实数 m 的取值范围.

15.解关于 x 的不等式 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 .

16.解关于 x 的不等式

a ( x ? 1) ? 1 ( a ? 0) x?2

11.一农民有基本农田 2 亩,根据往年经验,若种水稻,则每季每亩产量为 400 公斤;若种 花生,则每季每亩产量为 100 公斤。但水稻成本较高,每季每亩 240 元,而花生只需 80 元, 且花生每公斤 5 元,稻米每公斤卖 3 元。现该农民手头有 400 元,两种作物各种多少,才能 获得最大收益?

12.

18.已知正实数 x, y 满足 x ? y ? 6. 求(1) x 2 ? y 2 的最小值; (2) ( x ? 1)( y ? 2) 的最大 值; (3) x ?

4 的最小值. 7? y

19、 某工厂建造一个无盖的长方形贮水池, 其容积为 6400 m , 深度为 4 m , 如果池底每 1 m 2 的造价为 160 元,池壁每 1 m 的造价为 100 元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造 价为多少元?

3

2

20、学校食堂定期向精英米业以每吨 1500 元的价格购买大米,每次购买大米需支付运输费 用 100 元,已知食堂每天需食用大米 1 吨,储存大米的费用为每吨每天 2 元,假设食堂每次 均在用完大米的当天购买. (1)问食堂每隔多少天购买一次大米,能使平均每天所支付的费用最少? (2)若购买量大,精英米业推出价格优惠措施,一次购买量不少于 20 吨时可享受九五折优

惠,问食堂能否接受此优惠措施?请说明理由.

例 1 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 m、n∈[-1,1] ,m+n ≠0 时

f ( m) ? f ( n ) >0 m?n
f(x+

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(1)用定义证明 f(x)在[-1,1]上是增函数; (2)解不等式
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1 1 )<f( ); 2 x ?1

(3)若 f(x)≤t2-2at+1 对所有 x∈[-1,1] ,a∈[-1,1]恒成立,求实数 t 的取值范 围
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命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目,考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性,而单调性贯穿始终,把所求问题分 解转化,是函数中的热点问题;问题的要求的都是变量的取值范围,不等式的思想起到了关 键作用
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错解分析

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(2)问中利用单调性转化为不等式时,x+
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1 1 ∈[-1,1] , ∈[-1,1] 2 x ?1

必不可少,这恰好是容易忽略的地方 技巧与方法 (1)问单调性的证明,利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键, (3)问利用单调性把 f(x)转化成“1”是点睛之笔 (1) 证 明 任 取 x1 < x2 , 且 x1 , x2 ∈ [ - 1 , 1 ] , 则 f(x1) - f(x2)=f(x1)+f( -
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x2)=

f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) ·(x1-x2) x1 ? x 2
∵-1≤x1<x2≤1, ∴x1+(-x2)≠0,由已知

f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) >0,又 x1-x2<0, x1 ? x 2
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∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在[-1,1]上为增函数 (2)解 ∵f(x)在[-1,1]上为增函数,
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1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? ?1 ∴ ?? 1 ? x ?1 ? 1 1 ? x? ? ? 2 x ?1 ?
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解得

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{x|-

3 ≤x<-1,x∈R} 2

(3)解 由(1)可知 f(x)在[-1,1]上为增函数,且 f(1)=1, 故对 x∈[-1,1] ,恒有 f(x)≤1, 2 所以要 f(x)≤t -2at+1 对所有 x∈[-1,1] ,a∈[-1,1]恒成立,即要 t2-2at+1≥ 1 成立, 故 t2-2at≥0,记 g(a)=t2-2at,对 a∈[-1,1] ,g(a)≥0,
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只需 g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于 0,g(-1)≥0,g(1)≥0, 解得,t≤-2 或 t=0 或 t≥2 ∴t 的取值范围是 {t|t≤-2 或 t=0 或 t≥2} 例 2 设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M ? [1,4] ,求实数 a 的取值范围
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命题意图 考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系 知识依托 本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系, 以及分类讨论的数学思想 错解分析 M= ? 是符合题设条件的情况之一,出发点是集合之间的关系考虑是否全 面,易遗漏;构造关于 a 的不等式要全面、合理,易出错 技巧与方法 该题实质上是二次函数的区间根问题,充分考虑二次方程、二次不等式、 二次函数之间的内在联系是关键所在;数形结合的思想使题目更加明朗 解 M ? [1,4]有两种情况 其一是 M= ? ,此时Δ <0;其二是 M≠ ? ,此时Δ
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=0 或Δ >0,分三种情况计算 a 的取值范围 设 f(x)=x2 -2ax+a+2,有Δ =(-2a)2-(4a+2)=4(a2-a-2) (1)当Δ <0 时,-1<a<2,M= ? ? [1,4]
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(2)当Δ =0 时,a=-1 或 2 当 a=-1 时 M={-1} ? [1,4] ;当 a=2 时,m={2} ? [1,4]
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(3)当Δ >0 时,a<-1 或 a>2 设方程 f(x)=0 的两根 x1,x2,且 x1<x2,
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? f (1) ? 0, 且f (4) ? 0 那么 M=[x1,x2] ,M ? [1,4] ? 1≤x1<x2≤4 ? ? ?1 ? a ? 4, 且? ? 0
?? a ? 3 ? 0 ?18 ? 7a ? 0 ? 即? ,解得 ?a ? 0 ? ?a ? ?1或a ? 2

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2<a<

18 , 7
18 ) 7

∴M ? [1,4]时,a 的取值范围是(-1, 例 3 解关于 x 的不等式
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a( x ? 1) >1(a≠1) x?2 (a ? 1) x ? (2 ? a) 解 原不等式可化为 >0, x?2 a?2 ①当 a>1 时,原不等式与(x- )(x-2)>0 同解 a ?1
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由于

a?2 1 ? 1? ?1? 2 a ?1 a ?1
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a?2 )∪(2,+∞) a ?1 a?2 ②当 a<1 时,原不等式与(x- )(x-2) <0 同解 a ?1
∴原不等式的解为(-∞,
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由于

a?2 1 ? 1? , a ?1 a ?1

a?2 1 a?2 ? 1? ? 2 ,解集为( ,2); a ?1 a ?1 a ?1 a?2 1 ? 1? ? 2 ,解集为 ? ; 若 a=0 时, a ?1 a ?1 a?2 1 a?2 ? 1? ? 2 ,解集为(2, 若 0<a<1, ) a ?1 a ?1 a ?1
若 a<0,

a?2 )∪(2,+∞);当 0<a<1 时,解集为(2, a ?1 a?2 a?2 );当 a=0 时,解集为 ? ;当 a<0 时,解集为( ,2) a ?1 a ?1
综上所述
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当 a>1 时解集为(-∞,

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1

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? ?( x ? 1) 2 ( x ? ?1) ? ?2 x ? 2( ?1 ? x ? 1) ?1 ? ? 1( x ? 1) 设函数 f(x)= ? x ,已知 f(a)>1,则 a 的取值范围是( )

A

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1 (-∞,-2)∪(- 2 ,+∞) 1 (-∞,-2)∪(- 2 ,1)

B

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1 1 (- 2 , 2 ) 1 (-2,- 2 )∪(1,+∞)

C

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D

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a2 b 已知 f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)>0 的解集是(a2,b),g(x)>0 的解集是( 2 , 2 ),则
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f(x)·g(x)>0 的解集是__________ 3 已知关于 x 的方程 sin2x+2cosx+a=0 有解,则 a 的取值范围是_______ 4 已知适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5 的 x 的最大值为 3 (1)求 p 的值;
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p x ?1 1? x log p x p ? 1 k (k∈R+) (2)若 f(x)= ,解关于 x 的不等式 f--1(x)>

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7 设 f(x)=ax2+bx+c,若 f(1)= 2 ,问是否存在 a、b、c∈R,使得不等式

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1 x2+ 2 ≤f(x)≤

3 2x2+2x+ 2 对一切实数 x 都成立,证明你的结论
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6 已知函数 f(x)=x2+px+q,对于任意θ ∈R,有 f(sinθ )≤0,且 f(sinθ +2)≥2 (1)求 p、q 之间的关系式; (2)求 p 的取值范围; (3)如果 f(sinθ +2)的最大值是 14,求 p 的值 并求此时 f(sinθ )的最小值
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7 8

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1 解不等式 loga(x- x )>1
设函数 f(x)=ax 满足条件
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当 x∈(-∞,0)时,f(x)>1;当 x∈(0,1 ] 时,不等式 f(3mx
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-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)恒成立,求实数 m 的取值范围 参考答案 1 解析 由 f(x)及 f(a)>1 可得
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?a ? ?1 ? 2 ?(a ? 1) ? 1

?? 1 ? a ? 1 ? 2a ? 2 ? 1 ① 或?

?a ? 1 ? ?1 ? ?1?1 ② 或 ?a



1 解①得 a<-2,解②得- 2 <a<1,解③得 x∈ ? 1 ∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪(- 2 ,1)
答案 C 2 解析 由已知 b>a2∵f(x),g(x)均为奇函数,
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b a2 ,? 2 ) ∴f(x)<0 的解集是(-b,-a2),g(x)<0 的解集是(- 2
由 f(x)·g(x)>0 可得
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?a 2 ? x ? b ?? b ? x ? ?a 2 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ? 或? ,即? a 2 或? b ? b a2 ? ? x ? ? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? ? x ? ? 2 ? 2 2 ?2

b b ∴x∈(a2, 2 )∪(- 2 ,-a2) b b (a2, 2 )∪(- 2 ,-a2)
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答案
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3 解析 原方程可化为 cos2x-2cosx-a-1=0,令 t=cosx,得 t2-2t-a-1=0,原问题转 化为方程 t2-2t-a-1=0 在[-1,1]上至少有一个实根 令 f(t)=t2-2t-a-1,对称轴 t=1,
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? f (?1) ? 0 ? f (1) ? 0 画图象分析可得 ? 解得 a∈[-2,2]
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答案 [-2,2] 4 解 (1)∵适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5 的 x 的最大值为 3, ∴x-3≤0,∴|x-3|=3-x
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若|x2-4x+p|=-x2+4x-p,则原不等式为 x2-3x+p+2≥0, 其解集不可能为{x|x≤3}的子集,∴|x2-4x+p|=x2-4x+p ∴原不等式为 x2-4x+p+3-x≤0,即 x2-5x+p-2≤0, 令 x2-5x+p-2=(x-3)(x-m),可得 m=2,p=8
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8x ? 1 1? x x (2)f(x)= 8 ? 1 ,∴f--1(x)=log8 1 ? x (-1<x<1 ) ,

1? x 1? x ∴有 log8 1 ? x >log8 k ,∴log8(1-x)<log8k,∴1-x<k,∴x>1-k

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∵-1<x<1,k∈R+,∴当 0<k<2 时,原不等式解集为{x|1-k<x<1};当 k≥2 时,原 不等式的解集为{x|-1<x<1 }
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7 7 1 3 由 f(1)= 2 得 a+b+c= 2 ,令 x2+ 2 =2x2+2x+ 2 x ? =-1,

3 3 由 f(x)≤2x2+2x+ 2 推得 f(-1)≤ 2

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1 3 3 3 由 f(x)≥x2+ 2 推得 f(-1)≥ 2 ,∴f(-1)= 2 ,∴a-b+c= 2 , 5 5 故 2(a+c)=5,a+c= 2 且 b=1,∴f(x)=ax2+x+( 2 -a)

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依题意

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5 1 ax2+x+( 2 -a)≥x2+ 2 对一切 x∈R 成立,

∴a≠1 且Δ =1-4(a-1)(2-a)≤0,得(2a-3)2≤0,

3 ∴f(x)= 2 x2+x+1 3 3 2 x2+x+1≤2x2+2x+ 2 对 x∈R 都成立

易验证

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3 ∴存在实数 a= 2 ,b=1,c=1, 1 3 使得不等式 x2+ 2 ≤f(x)≤2x2+2x+ 2 对一切 x∈R 都成立
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6 解 (1)∵-1≤sinθ ≤1,1≤sinθ +2≤3,即当 x∈[-1,1]时,f(x)≤0,当 x∈[1, 3]时,f(x)≥0,∴当 x=1 时 f(x)=0 ∴1+p+q=0,∴q=-(1+p) (2)f(x)=x2+px-(1+p),
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当 sinθ =-1 时 f(-1)≤0,∴1-p-1-p≤0,∴p≥0 (3)注意到 f(x)在[1,3]上递增,∴x=3 时 f(x)有最大值 即 9+3p+q=14,9+3p-1-p=14,∴p=3 此时,f(x)=x2+3x-4,即求 x∈[-1,1]时 f(x)的最小值
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3 25 又 f(x)=(x+ 2 )2- 4 ,显然此函数在[-1,1]上递增
∴当 x=-1 时 f(x)有最小值 f(-1)=1-3-4=-6
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? 1 1? ? 0 ? ? x ? ?1 ? 1 ? a ? (1)当 a>1 时,原不等式等价于不等式组 ? x

1 由此得 1-a> x

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1 因为 1-a<0,所以 x<0,∴ 1 ? a <x<0

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(2)当 0<a<1 时,原不等式等价于不等式组

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? 1 1 ? ? 0 ?① ? ? ? x ? ?1 ? 1 ? a ② ? ? x

1 1 由 ①得 x>1 或 x<0,由②得 0 <x< 1 ? a ,∴1<x< 1 ? a

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1 综上,当 a>1 时,不等式的解集是{x| 1 ? a <x<0 } ,当 0<a<1 时,不等式的解集为{x|1 1 <x< 1 ? a }
8
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由已知得 0<a<1,由 f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2),x∈(0,1 ] 恒成立

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2 ? ?3mx ? 1 ? 1 ? mx ? x ?? 2 ? ?1 ? mx ? x ? m ? 2 在 x∈(0,1 ] 恒成立
2 ? ?2 x ? 1 ? x ? 2 ? ?m( x ? 1) ? x ? 1

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整理,当 x∈(0,1)时,

恒成立,

? 1 ? x2 m ? ? ? 2x ? 2 ?m ? x ? 1 ? x ? 1 恒成立, 即当 x∈(0,1 ] 时, ?

2 ? ?2mx ? 1 ? x ? ?m( x ? 1) ? x 2 ? 1 且 x=1 时, ? 恒成立,

1 ? x2 1 1 1 ? x2 ? ? 2 x 2 在 x∈(0,1 ] 上为减函数,∴ 2 x <-1, ∵ 2x 1 ? x2 ∴m< 2 x 恒成立 ? m<0

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x2 ? 1 12 x2 ? 1 ? ( x ? 1) ? ?2 x ?1 又∵ x ? 1 ,在 x∈(0,1 ] 上是减函数,∴ x ? 1 <-1 x2 ? 1 ∴m> x ? 1 恒成立 ? m>-1

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? 1 ? x2 m? ? ? 2x ? 2 ?m ? x ? 1 ? x ? 1 恒成立 ? m∈(-1,0) 当 x∈(0,1)时, ?
2 ? ?2mx ? 1 ? x ?m ? 0 ? ? 2 ?m( x ? 1) ? x ? 1 0 ?1 当 x=1 时, ? ,即是 ? ∴m<0





∴①、②两式求交集 m∈(-1,0),使 x∈(0,1 ] 时, f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)恒成立,m 的取值范围是(-1,0)

十、解三角形 3.(2009 宁夏海南卷文)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y) ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2

?
2

(B) p2 , p4

(3) p1 , p3

(4) p2 , p3

4.已知 ?ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,若 sin A ?

1 ,b ? 3 sin B , 3

则 a 等于



5.在△ABC 中,已知边 c ? 10 ,

cos A b 4 ? ? ,求边 a、b 的长。 cos B a 3

6.已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若

cos B cos C ? sin B sin C ?
(Ⅰ )求 A ;

1 . 2

(Ⅱ )若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

7.已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,其中 c ? 2 , 又向量 m ? (1 , cosC ) ,n ? ( cosC , 1) ,m·n=1. (1)若 A ? 45? ,求 a 的值; (2)若 a ? b ? 4 ,求△ ABC 的面积.

8. 已 知 : △ ABC 中 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c 且

sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin 2C .
(1)求角 C 的大小; (2)若 a, c, b 成等差数列,且 CA ? CB ? 18 ,求 c 边的长.

9.已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,向量 m ? (4, ?1),

n ? (cos 2

A 7 , cos 2 A) ,且 m ? n ? . 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3 ,试求当 b ? c 取得最大值时 ?ABC 的形状.

10.在 ?ABC中, cos A ? ?

5 4 , sin B ? . 13 5

(Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 15 ,求 ?ABC的面积.

11..已知 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 1 ? 3 , x ? [0, ⑴ 求 f ( x) 的最大值及此时 x 的值; ⑵ 求 f ( x) 在定义域上的单调递增区间。

?
2

]

12.已知角 ? ? (0, ? ) ,向量 m ? (2 , cos ? ) ,

n ? (cos2 ? ,1) ,且 m ? n ? 1 , f ( x) ? 3sin x ? cos x 。 (Ⅰ)求角 ? 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x ? ? ) 的单调递减区间。

答案

D
17、解:由题意得 A ? ??4,2? , B ? ?2,3? 根据 B∩C≠Φ ,A∩C=Φ ,得 3 ? C ,则:

A

9 ? 3m ? m2 ? 19 ? 0 ,解得 m1=5,m2= —2 经检验 m2= —2
18、由 x f ( x) ? 2 x ? 22? 得方程 x ? ax ? b ? 2 x 有两个等根 22
2

?

? ?

根据韦达定理

x1 ? x2 ? 2 ? a ? 44 x1 x2 ? b ? 484

解得

a ? ?42 2 所以 f(x)=x -42x+484 b ? 484

19 解:由 A ? B ? A , B ? ? 得 B ? ?1 ?或??1?或?1, ?1?

当 B ? ?1? 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有两个等根 1,由韦达定理解得
2

a ?1 b ?1 a ? ?1 b ?1 a?0 b ? ?1

2 当 B ? ??1? 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有两个等根—1,由韦达定理解得

当 B ? ?1, ?1? 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有两个根—1、1,由韦达定理解得
2

20、由 A=B 得 二、填空题: 13、24 15、 0 ? a ?

x 2 ? xy ? y ? 1, x ? xy ? x ? 3 ? 3
2

解得

x?3 y ? ?2



x ? ?1 y ? ?6

14、 y ? ?2( x ? 3)2 ? 2 ? ?2 x2 ? 12 x ? 16

2 3

16、 3

? 1 ? ?1 ? 17、 ? ??, ?8? ? ? , 0 ? ? ,1? ? 2 ? ?2 ?
三、解答题:

? 5? 18、 ? 2, ? ? 2?

19、 (?2,3) 在 f 作用下的像是 (1, ?6) ; (2, ?3) 在 f 作用下的原像是 (3, ?1)或(?1,3) 20、略 21、 (1)开口向下;对称轴为 x ? 1 ;顶点坐标为 (1,1) ; (2)其图像由 y ? ?4 x 的图像向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到;
2

(3)函数的最大值为 1; (4)函数在 (??,1) 上是增加的,在 (1, ??) 上是减少的。 22、解: (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1) ,∴ f (1) ? 0 (2)∵ f ? ? ? 1 ∴ f ? ? ? f ( ? ) ? f ? ? ? f ? ? ? 2

?1? ? 3?

?1? ?9?

1 1 3 3

?1? ? 3?

?1? ? 3?

∴ f ?x ? ? f ?2 ? x ? ? f ?x(2 ? x)? ? f ? ? ,又由 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数,得:


?1? ?9?

1 ? ? x?2 ? x ? ? 9 ? ?x ? 0 ?2 ? x ? 0 ? ?

解之得: x ? ?1 ?

? ? ?

2 2 2 2? ?。 ,1 ? 3 3 ? ?

11 . ∵

g(x) 是 一 次 函 数 , ∴ 可 设 g(x)=kx+b(k ? 0), ∵
1 1 , F ( ) =2 , ∴ 4 4

F(x)=f[g(x)]=2kx+b 。 由 已 知 有 F ( 2 ) =

? 2 k ?b 1 ?2k ? b ? ?2 12 10 ? ?2 12 10 - 7 x? 7 4即? ,∴ k=,b= , ∴ f(x)=2 ? 1 ?1 7 7 k ?b ?1 ? 4 k ?b ? 4 ? 2 ? 2 ?

三、解答题 1.∵0<a<2,∴ y=ax 在(- ? ,+ ? )上为减函数,∵ a 2 x ?3 x?1 >a x ?2 x?5 ,
2 2

∴2x2-3x+1<x2+2x-5,解得 2<x<3, 2.g[g(x)]=4
4x

=4

2

2x

=2

2

2 x ?1

,f[g(x)]=4 >2
2 x ?1

2x

=2

22 x

, ∵

g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)], ∴ 2 2x+1>x+1>2x,解得 0<x<1 3.f(x)= ∴ ? 2?x
1 4

2 2 x ?1

>2

22 x

, ∴ 22x+1>2x+1>22x, ∴

1 1 1 3 ? x ? 1 ? 4 ? x ? 2 ? x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 1 ? (2 ? x ? ) ? , ∵ x ? [-3,2], x 2 4 4 2 3 -x 1 ? 8 .则当 2 = ,即 x=1 时,f(x)有最小值 ; 当 2-x=8,即 x=-3 2 4

时,f(x)有最大值 57。 4 . 要 使 f(x) 为 奇 函 数 , ∵ x ? R, ∴ 需 f(x)+f(-x)=0, ∴ f(x)=a2a2 2 2 x ?1 2 2 x ?1 , f ( ? x ) ? a ? ? a ? =a, 由 a=0, 得 2x ?1 2?x ? 1 2x ?1 2x ?1 2x ?1

2(2 x ? 1) 2(2 x ? 1) ? 0,? a ? 1 。 =0, 得 2a2x ?1 2x ?1
1 3

5.令 y=( )U,U=x2+2x+5,则 y 是关于 U 的减函数,而 U 是(- ? ,-1)上 的减函数,[-1,+ ? ]上的增函数,∴ y=( ) x ?2 x?5 在(- ? ,-1)上
1 3
2

是增函数, 而在[-1, + ? ]上是减函数, 又∵U=x2+2x+5=(x+1)2+4 ? 4, ∴ y=( ) x ?2 x?5 的值域为(0, ( )4)]。
2

1 3

1 3

6.Y=4x-3 ? 2 x ? 3 ? 2 2 x ? 3 ? 2 x ? 3 ,依题意有
x 2 x x ? ? ?(2 ) ? 3 ? 2 ? 3 ? 7 ?? 1 ? 2 ? 4 即 ,∴ 2 ? 2 x ? 4或0 ? 2 x ? 1, ? x 2 ? x x x ? ? ?(2 ) ? 3 ? 2 ? 3 ? 1 ?2 ? 2或2 ? 1

由函数 y=2x 的单调性可得 x ? (??,0] ? [1,2] 。 7. (2x)2+a(2x)+a+1=0 有实根,∵ 2x>0,∴相当于 t2+at+a+1=0 有正 根,
?? ? 0 ?? ? 0 ? 或 ?? a ? 0 则? ? f ( 0) ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ? 0 ?

8. (1)∵定义域为 数; (2)f(x)=

x ? R ,且

a ?x ?1 1 ? a x ? ? f ( x),? ( x) 是奇函 f(-x)= ? x ? a ?1 1? ax

ax ?1? 2 2 2 ? 1? x ,∵ a x ? 1 ? 1,? 0 ? x ? 2, 即 f(x)的值域 x a ?1 a ?1 a ?1

为(-1,1) ; ( 3 ) 设 x1,x2
?R

,



x1<x2,f(x1)-f(x2)=
1 2

a x1 ? 1 a x 2 ? 1 2a x1 ? 2a x 2 ? ? ? 0 ( ∵分母大于零, a x ? 1 a x 2 ? 1 (a x1 ? 1)(a x 2 ? 1)

且 a x <a x ) ∴f(x)是 R 上的增函数。
13. x ? k? ?

?
6

,k ? Z

14. [ ? , 2? ]

2 3

15.②④ 16. f ( x) ? cos 4 x 或 f ( x) ?| sin 2 x |

三、解答题:

1 3 x ? ) 图象上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标变为原来的一 3 2 ? 1 1 半,得到函数 y ? cos( x ? ) 的图象,再将图象向右平移 个单位,得到 y ? cos x 的图象 2 2
17.将函数 y ? 2 cos(

?

18.

a a2 a y ? ?(sin x ? ) 2 ? ? b ? 1,? ?1 ? sin x ? 1, a ? 0,? (1)当0 ? ? 1, 即0 ? a ? 2, 2 4 2 2 a a a a2 当 sin x ? ? , y max ? ? b ? 1 ? 0, 当sin x ? 1, y min ? ?(?1 ? ) 2 ? ? b ? 1 ? ?4, 2 4 2 4 ?a ? 2 ?? ?b ? ?2 a a a2 ? 1,?当 sin x ? ?1时, y max ? ?(?1 ? ) 2 ? ? b ? 1 ? 0, 2 2 4 a a2 当 sin x ? 1, y min ? ?(1 ? ) 2 ? ? b ? 1 ? ?4, 解得a ? 2, b ? ?2不合题意,舍去 . 2 4 3 ? 综上:a ? 2, b ? ?2,当x ? ?时,y max ? 0;当x ? 时,y min ? ? ? 4 2 2 (2)当a ? 2时,
? 3 ?1 sin ? ? cos ? ? ? ? 2 19.⑴由题意得 ? ?sin ? cos ? ? m ? ? 2 ? tan ? sin ? cos ? sin 2 ? cos 2 ? ? ? ? tan ? ? 1 1 ? tan ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? 3 ?1 ? 2
3 ?1 2 3 ?1 2 ?1 ? 2sin ? cos ? ? ( ) 2 m sin ? cos ? ? 2 3 ?m ? ,? ? 4? 2 3 ? 0 2 sin ? ? cos ? ?




3 1 , x2 ? , 又? ? (0,2?) 2 2 ? 3 ?sin ? ? 1 sin ? ? ? ? 2 ? 2 或? ?? ? ?cos ? ? 1 ?cos? = 3 ? ? ? 2 ? 2 方程的两根为x1 ? ?? ?

?
3



?
6
5 , 5

15. (本小题满分 12 分)已知 A? ?2, a ? 是角 ? 终边上的一点,且 sin ? ? ? 求 cos? 的值. 解: r ? 4 ? a2 ,?sin ? ?
a a 5 , ? ?? 2 r 5 a ?4
x ?2 2 5 ? ?? . r 5 5

? a ? ?1 , r ? 5 ,? cos ? ?

1 ? ? 16. (本小题满分 12 分)若集合 M ? ?? sin ? ? , 0 ? ? ? ? ? , 2 ? ? 1 ? ? N ? ?? cos ? ? , 0 ? ? ? ? ? ,求 M 2 ? ?
N.

解:如图示,由单位圆三角函数线知,
5? ? ? ? ? ? ? M ? ?? ? ? ? ? , N ? ?? ? ? ? ? ? 6 ? ? 6 ? 3 ?

y
5? 6 1 2
O

? 3

? 6
x

由此可得 M

5? ? ? ? N ? ?? ? ? ? ?. 6 ? ? 3

1 2

17. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的方程 2 x 2 ? 和 cos ? : 1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? (1)求 的值; 1 ? sin ? ? cos ? (2)求 m 的值. 解:依题得: sin ? ? cos ? ?

?

3 ? 1 x ? m ? 0 的两根为 sin ?

?

m 3 ?1 , sin ? ? cos ? ? ; 2 2

∴(1)

1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? 3 ?1 ? sin ? ? cos ? ? ; 1 ? sin ? ? cos ? 2

(2) ?sin? ? cos? ? ? 1 ? 2sin? ? cos?
2

? 3 ?1 ? m ∴? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ?

2

∴m ?

3 . 2

?? ? 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的图 2? ?
3 ? ? 象在 y 轴上的截距为 1, 在相邻两最值点 ? x0 , 2? , ? x0 ? , ?2 ? ? x0 ? 0 ? 上 f ? x ? 2 ? ?

分别取得最大值和最小值. (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)若函数 g ? x ? ? af ? x ? ? b 的最大和最小值分别为 6 和 2,求 a , b 的值. 解: (1)依题意,得 T 3 3 2? 2? ? x0 ? ? x0 ? ,?T ? 3 ? ,?? ? 2 2 2 ? 3 最大值为 2,最小值为-2,? A ? 2
? 2? ? ?y ? 2 s i? n x ?? ? ? 3 ?

图象经过 ? 0,1? ,? 2sin ? ? 1 ,即 sin ? ? 又

1 2

? ?

? 2

?? ?

?

?? ? 2? ,? f ? x ? ? 2sin ? x? ? 6 6? ? 3

(2)

?? ? 2? f ? x ? ? 2sin ? x ? ? ,??2 ? f ? x ? ? 2 6? ? 3
??2a ? b ? 6 ??2a ? b ? 2 或? ?? ?2a ? b ? 2 ?2a ? b ? 6 ?a ? ?1 ?a ? 1 解得, ? 或? . ?b ? 4 ?b ? 4

1 19. (本小题满分 14 分)已知 sin x ? sin y ? ,求 ? ? sin y ? cos2 x 的最值. 3 1 解: sin x ? sin y ? . 3

1 ?s i n y? ? si xn , 3 1 1 ? y ? sin y ? cos 2 x ? ? sin x ? cos 2x ? ? sin x ? ?1 ? sin 2 x? 3 3

2 ? 1 ? 11 ? sin x ? sin x ? ? ? sin x ? ? ? , 3 ? 2 ? 12
2

2

1 ?1 ? s i n y ? ?? 1, ?1 ? x s? in 3 2 解得 ? ? sin x ? 1 , 3 2 4 ? 当 sin x ? ? 时, ?max ? , 3 9 1 11 当 sin x ? 时, ?min ? ? . 2 12

1,

? ?? 20. (本小题满分 16 分)设 ? ? ? 0, ? ,函数 f ? x ? 的定义域为 ?0,1? 且 f ? 0? ? 0 , ? 2? ? x? y? f ?1? ? 1当 x ? y 时有 f ? ? ? f ? x ? sin ? ? ?1 ? sin ? ? f ? y ? ? 2 ? ?1? (1)求 f ? ? , ?2? ?1? f ? ?; ?4?

(2)求 ? 的值; (3)求函数 g ? x ? ? sin ?? ? 2x ? 的单调区间.
?1? ? 1? 0 ? 解: (1) f ? ? ? f ? ? ? f ?1? sin ? ? ?1 ? sin ? ? f ? 0 ? ? sin ? ; ?2? ? 2 ?

?1 ? ? 2 ?0? ?1? ?1? 2 f ? ?? f ? ? ? f ? ? sin ? ? ?1 ? sin ? ? f ? 0 ? ? sin ? 4 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 1? 2 ? ?3? ?1? (2) f ? ? ? f ? ? ? f ?1? sin ? ? ?1 ? sin ? ? f ? ? ?4? ?2? ? 2 ? ? ?

?s i n ? ?? 1 ? s? i? n

s ?i n ?

2 2 ? s? in

?s i n
?1? ? ? ?4?

?3 1? ? ? ? ?1? ?3? ? f ? ? ? f ? 4 4 ? ? f ? ? sin ? ? ?1 ? sin ? ? f ?2? ?4? ? 2 ? ? ?

? ?2 s i? n ? s2 i? n?

s ?i? n ?

2 ? 1? ?s ?i n ? sin

2

3 ?3 ?s i n ? 2 sin

?sin ? ? sin ? ? (3sin ? ? 2sin 2 ? )


?s i n ?? 或 0

1 或1 2

? ? ?? ? ? ? 0, ? ,?? ? . 6 ? 2?

?? ?? ? ? (3)? g ? x ? ? sin ? ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? 6? ?6 ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? ? ? ? ? ? 2k ? , ? 2 ? k ? 时, g ? x ? 单调递减, 6? ? 2 2 ? ?

? ? ?? 3? ? ? ? 2k? ? 时, g ? x ? 单调递增; ? 2 x ? ? ? ? ? 2k? , 6 ? ?2 2 ? ?
解得:

? ? ? ? x ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 时, g ? x ? 单调递减, 3 ? 6 ?
5? ?? ? x ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 时, g ? x ? 单调递增. 3 ?3 ?
13.解析:本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运 算技能. 方法一:由已知得: (3 sin? ? 2 cos? )(2 sin? ? cos? ) ? 0
? 3 sin ? ? 2 cos ? ? 0或2 sin ? ? cos ? ? 0

由已知条件可知

cos? ? 0, 所以? ?

?

? 2 , 即? ? ( , ? ). 于是 tan? ? 0,? tan? ? ? . 2 2 3
?

sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin 3 3 3

?

?

3 sin ? cos? 3 cos2 ? ? sin 2 ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? ? ? 2 2 cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? tan? 3 1 ? tan2 ? ? ? ? . 2 1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? ? sin ? cos? ?
2 将 tan? ? ? 代入上式得 3

2 2 (? ) 1 ? (? ) 2 3 3 3 ? ? 6 ? 5 3.即为所求 sin(2? ? ) ? ? ? ? 2 2 3 2 13 26 1 ? (? ) 2 1 ? (? ) 2 3 3

?

方法二:由已知条件可知

cos? ? 0, 则? ?

?
2

, 所以原式可化为

6 tan2 ? ? tan? ? 2 ? 0.即(3 tan? ? 2)(2 tan? ? 1) ? 0. ? 2 又 ? ? ? ( , ? ),? tan? ? 0.,? tan? ? ? .下同解法一 . 2 3
【点评】条件求值问题一般需先将条件及结论化简再求值,要注意“三统一”观,优先考虑从 角度入手.

f ( x) ? 6 ?
14.解: (1)

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

? 3 ? 1 ?? ? ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 ? ? 3 ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 2 6? ? ? ? .故 f ( x ) 的最大值为 2 3 ? 3 ;
T?
最小正周期

2? ?? 2 .21 世纪教育网



?? ? ?? ? 2 3 cos ? 2? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 cos ? 2? ? ? ? ?1 6? 6? ? ? (2)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 ,故 .
0 ?? ?

又由

? ? ? ? ? 5 ? 2? ? ? ? ? 2? ? ? ? ?? ? 6 6 ,故 6 2得6 12 . ,解得

4 ? tan ? ? tan ? 3 5 3 从而 .
解析:本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.

π? ? f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? 4?. ? (1)
因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π .

? π 3π ? ? 3π 3π ? π? ? , ? , ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? ? 8 8 8 4 ?上 4 ? ? ? ? ? (2)解法一:因为 在区间 上为增函数,在区间 π ?π? ? 3π ? ? 3π ? ? 3π π ? f ? ? ? 0 f ? ? ? 2 f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 4 ? 2 4? 为减函数,又 ? 8 ? , ? 8 ? , ? 4 ? , ? π 3π ? ? , ? 故函数 f ( x ) 在区间 ? 8 4 ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 .

π? ? ? π 9π ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4 ? 在长度为一个周期的区间 ? ? ?8 4 ? ? 上的图象如下: 解法二:作函数
? π 3π ? , ? ? f ( x ) 8 4 ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ? 由图象得函数 在区间 ? 3π ? f ? ? ? ?1 ? 4 ? .
sin B ? 1 2,

16.解: (1)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以

由 △ ABC 为锐角三角形得

B?

π 6.

? ? ? ?? ? cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ? ?6 ? (2) ?? ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? 3?. ? 2 2
? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?B? ? ? ?A? ?B ? A? ? 2 6 3. 3 2 3 6, 由 △ ABC 为锐角三角形知, 2 ,2

1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3 3 ? 2 .由此有 2 3? 2 ? ? 所以 2 ,
? 3 3? ? ? ? 2 , 2? ? ?. cos A ? sin C 所以, 的取值范围为

18、 (1)∵

, AC =(2-1,5-0)=(1,5) . AB =(0-1,1-0)=(-1,1)

∴ 2 AB + AC =2(-1,1)+(1,5)=(-1,7) .
2 2 ∴ |2 AB + AC |= ( ?1) ? 7 = 50 . 2 2 | AB |= ( ?1) ? 1 = 2 .| AC |= 12 ? 5 2 = 26 ,

(2)∵

AB · AC =(-1)×1+1×5=4.
∴ cos ? =

AB ? AC | AB | ? | AC |



4 2 ? 26



2 13 . 13

(3)设所求向量为 m =(x,y) ,则 x2+y2=1. ① 又 ,由 BC ⊥ m ,得 2 x +4 y =0. ② BC =(2-0,5-1)=(2,4)

? ? 2 5 2 5 ?x ? ?x ? - ? 5 或? 5 由①、②,得 ? ? ?y ? ? 5 . ?y ? 5 . ? ? 5 5 ? ?
即为所求.

∴ (

2 5 5 2 5 5 ,- )或(- , ) 5 5 5 5

19 . 由 题 设 ,得

, 设 b= . ∴

, 则由 ,

解得 sinα =1 或



当 sinα =1 时,cosα =0;当 故所求的向量 或
2

时, 。



[(a ? t ? 3)b] ? (?k a ? tb) ? 0. 20.解: (1)? x ? y,? x ? y ? 0.即
2 2 1 ? a ? b ? 0, a ? 4, b ? 1,? ?4k ? t (t 2 ? 3) ? 0,即k ? t (t 2 ? 3). 4

1 2 t (t ? 3) ? 0,即t (t ? 3) ? (t ? 3)0, 则 ? 3 ? t ? 0或t ? 3. (2)由 f(t)>0,得 4
21.解:(1)∵
∴ 由 (2) 由

, ,得 x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.
=(6+x, 1+y), 。

∵ ∴当

, ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又 x+2y=0, 时, 时, 同向, , 。





当 故

22.解: (1)由 (a ? tb) ?| b | t ? 2a ? bt? | a |
2 2 2

2

当t ? ?

2a ? b |a| 时 a+tb(t∈R)的模取最小值 ?? cos? (?是a与b的夹角) 2 |b| 2|b|
|a| |b|

(2)当 a、b 共线同向时,则 ? ? 0 ,此时 t ? ?

∴ b ? (a ? tb) ? b ? a ? tb 2 ? b ? a? | a || b |?| b || a | ? | a || b |? 0 ∴b⊥(a+tb) 1-4 题答案: A B 5.

B

C

4 1 ? ,? 3 5

6.

1 7 , 7. 3 9

1

8.提示:关键: 3? ? 2? ? ? , ? ? 2? ? ?

?

sin 3? sin(2? ? ? ) sin 2? cos? ? cos 2? sin ? 13 tan 2? 9 1 ? ? ? ,? ? , tan? ? ? , sin ? sin(2? ? ? ) sin 2? cos? ? cos 2? sin ? 5 tan? 4 3
4 3

则 tan 2? ? ?

9.(2004 湖南)已知 sin(

?
4

? 2? ) ? sin(

?
4

? 2? ) ?

1 ? ? , ? ? ( , ), 求 2 sin 2 ? ? tan? ? cot? ? 1的 4 4 2

值。解:由 sin(
2

?

? 2 2 1 ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? (cos2? ? sin 2? ) ? (cos2? ? sin 2? ) ? , 4 4 2 2 4
2

有 cos 2? ? sin 2? ? cos 4? ? 而? ? (

5? 5? 1 5? 5? , ), 4? ? (? ,2? ), 在 (? ,2? ) 里仅有 ? ,? 4? ? ,? ? 使 cos 4 2 3 3 2 3 12 2 sin ? cos? 2(sin ? ? cos2 ? ) ? 2 sin 2 ? ? tan? ? cot? ? 1= 2 sin 2 ? ? ? ? 1 ? ?(1 ? 2 sin 2 ? ) ? cos? sin ? 2 sin ? cos?

? ?

1 , 2

= ? cos 2? ? 2 ?

cos 2? 5? ? ? cos ? sin 2? 6

2 3 5 3 ? ?2 3 ? 5? 2 2 tan 6

10.略 1、 解: a1=-250, d=2, an=-250+2(n-1)=2n-252 同时满足 70≤n≤200, n 能被 7 整除的 an 构成一个新的等差数列{bn}. b1=a70=-112, b2=a77=-98,?, bn′=a196=140 其公差 d′=-98-(-112)=14. 由 140=-112+(n′-1)14, 解得 n′=19 ∴{bn}的前 19 项之和 S ? 19 ? (?112 ) ?

19 ? 18 ? 14 ? 266 . 2

2、解: (Ⅰ)依题意,有 S12 ? 12 a1 ?

12 ? (12 ? 1) ?d ? 0 2

S13 ? 13a1 ?

?2a1 ? 11d ? 0 (1) 13 ? (13 ? 1) ? d ? 0 ,即 ? 2 ? a1 ? 6d ? 0 (2)
(3)

由 a3=12,得 a1=12-2d

将(3)式分别代入(1),(2)式,得

?24 ? 7d ? 0 24 ? d ? ?3 . ,∴ ? ? 7 3 ? d ? 0 ?

(Ⅱ)由 d<0 可知 a1>a2>a3>?>a12>a13. 因此,若在 1≤n≤12 中存在自然数 n,使得 an>0,an+1<0,则 Sn 就是 S1,S2,?,S12 中的最大值. 由于 S12=6(a6+a7)>0, S13=13a7<0,即 a6+a7>0, a7<0. 由此得 a6>-a7>0.因为 a6>0, a7<0,故在 S1,S2,?,S12 中 S6 的值最大. 3、 (1)由 a6=23+5d>0 和 a7=23+6d<0,得公差 d=-4.(2)由 a6>0,a7<0,∴S6 最大, S6=8.(3) 由 a1=23,d=-4,则 S n =

1 n(50-4n),设 S n >0,得 n<12.5,整数 n 的最大值为 12. 2

4、 ∵a1=3, ∴S1=a1=3.在 Sn+1+Sn=2an+1 中,设 n=1,有 S2+S1=2a2.而 S2=a1+a2.即 a1+a2+a1=2a2. ∴a2=6. 由 Sn+1+Sn=2an+1,??(1) Sn+2+Sn+1=2an+2,??(2) (2)-(1),得 Sn+2-Sn+1=2an+2-2an+1,∴an+1+an+2=2an+2-2an+1 即 an+2=3an+1 此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an 的通项公式 an= ?

3, 当n ? 1时, n ?1 ?2 ? 3 , 当n ? 2时. ?

此数列的前 n 项和为 Sn=3+2× 3+2× 32+?+2× 3n – 1=3+ 5、 an = S n - S n ?1 =

2 ? 3(3 n ?1 ? 1) n =3 . 3 ?1

1 1 1 n(n+1)(n+2)- (n-1)n(n+1)=n(n+1).当 n=1 时,a1=2,S1= × 1× (1 3 3 3

+ 1)× (2 + 1)=2, ∴ a1= S1. 则 an = n(n + 1) 是 此 数 列 的 通 项 公 式 。 ∴

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) a1 a2 an 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) 2 2 3 n n ?1
=1-

1 n = . n ?1 n ?1
2 2

6、 (1)设公共根为 p,则 ai p ? 2ai ?1 p ? ai ?2 ? 0 ① ai ?1 p ? 2ai ?2 p ? ai ?3 ? 0 ②则②-① , 得 dp2+2dp+d=0,d≠0 为公差,∴(p+1)2=0.∴p=-1 是公共根.(直接观察也可以看出公共根为 - 1).(2) 另 一 个 根 为 mi , 则 mi + ( - 1)=

? 2ai ?1 2d 2d . ∴ mi +1= ? ? ?2 ? ai ai ai



a 1 1 1 }是以- 为公差的等差数列. ? ? i ,易于证明{ 2 mi ? 1 mi ? 1 2d

7、解由根与系数关系, an + a n ?1 =-3n,则( a n ?1 + an?2 )-( an + a n ?1 )=-3,即 an?2 - an =- 3.∴a1,a3,a5?和 a2,a4,a6?都是公差为-3 的等差数列,由 a1=2,a1+a2=-3,∴a2=-5.则 a 2 k =-3k -2,∴a100=-152, a2 k ?1 =-3k+5,∴a101=-148,∴c100= a100 ? a101=22496 8、设首项分别为 a 和 b,公比 q 和 r. 则有 q ?1, r ?1 .依据题设条件,有

b a =1,① =2,② 1? r 1? q

?aq ?

n ?1 2

? br n?1 ,③ 由上面的①,②,③ 可得(1-q)2 q 2 n?2 =2(1-r) r n ?1 .令 n=1,有(1-q)2=2(1

-r),④设 n=2.则有(1-q)2q2=2(1-r)r,⑤ 由④和⑤,可得 q2=r,代入④ 得(1-q)2=2(1-q2).由于

1 1 4 16 ,r = .因此可得 a=1-q= ,b=2(1-r)= . 3 9 3 9 4 16 ? ? a ? b ? ? 3 和? 9 经检验,满足 a 2 ? b 的要求. ∴? n n 1 ? 1 ?q ? ? ?r ? 3 ? 9 ?
q≠1,∴有 q= ?

1 ? ?bn ? (a n ? a n ?1 ) 9、依据题设条件,有 ? 由此可得 2 ? ? a n ?1 ? bn bn ?1
bn ? 1 1 ( bn ?1bn ? bn bn ?1 ) = bn ( bn ?1 ? bn ?1 ) .∵ bn >0,则 2 bn ? bn?1 ? bn?1 。 2 2

∴{ bn }是等差数列.∴ bn =

(n ? 1) 2 . 2
2



1 n 2 (n ? 1) 2 ? n(n ? 1) ? a ? bn ?1bn ? ? =? ,∴ an = n(n ? 1) ? 2 2 2 ? 2 ?
2 n

10、2m+n-1

( ? ?, ? 2) ? (3, ? ?) 12.、 ; 13(1) 、m ? 2 ; (2) m ? 5或m ? ?3
14.解:

x 2 ? 4 x ? 4 ? m 2 ≤0, ?[ x ? (2 ? m)][ x ? (2 ? m)] ≤0. (1)当m ? 0时,不等式解为2 ? m ? x ? 2 ? m. 不等式在[?1,3]上恒成立, ? 2 ? m ≤? 1, 且2 ? m ≥ 3, ? m ≥ 3. (2)当m ? 0时,不等式解为2 ? m ≤x ≤2 ? m. ? 2 ? m ≤? 1且2 ? m ? 3, ? m ≤? 3. (3)当m ? 0时,不合题意. ? m的取值范围是m ≥ 3或m ≤? 3. 9分 10分 8分 5分 2分

15.(1) a ? 0 时,原不等式可化为 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0

1 和 1, a 1 当 0 ? a ? 1 时, 1 ? x ? , a
对应方程两根为 当 a ? 1 时, x ? ? , 当 a ? 1 时,

1 ? x ? 1. a

(2) a ? 0 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? 0 , 解得 (3) a ? 0 时

x ?1
1 和 1, a

原不等式可化为 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 ,对应方程两根为 所以

x?

1 , 或x ? 1 a
1 a

综上所述, 当 0 ? a ? 1 时, {x |1 ? x ? } , 当 a ? 1 时, x ? ? , 当 a ? 1 时, {x | 当 a ? 0 时, 当a ? 0时

1 ? x ? 1} . a

{x |x ? 1}

1 , 或x ? 1} a a?2 16. 当 0 ? a ? 1 时, {x | 2 ? x ? }, a ?1 (2,+?) 当 a ? 1 时, x ? , a?2 ) ? (2, ??) . 当 a ? 1 时, (??, a ?1 11.解:设该农民种 x 亩水稻, y 亩花生时,能获得利润 z 元。则 [x | x ?
z ? (3 ? 400 ? 240) x ? (5 ?100 ? 80) y ? 960 x ? 420 y
?4 分

?x ? y ? 2 ?240 x ? 80 y ? 400 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?x ? y ? 2 ?3x ? y ? 5 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0

??????8 分

x? y ? 2
2

y
3x ? y ? 5
3 1 B( , ) 2 2

C (0, 2)

1



x
0

作出可行域如图所示,

??????11 分

5 1 A( , 0) 3

2

5 , y ? 0.5 时, zmax ? 1650 元 故当 x ? 1. 5 亩水稻, 0.5 亩花生时,能获得最大利润,最大利润为 1650 元。14 分 答:该农民种 1.
12. (Ⅰ)由题意可知: a ? 0 ,且 ax 2 ? bx ? 1 =0 的解为-1,2

? ? ? ∴? ? ? ?

a?0 1 ? ?2 a b ? ?1 a

解得: a ? ?

1 1 , b ? ????????6 2 2
b

(Ⅱ)由题意可得 ? 画出可行域

? f (?1) ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ,? ? ,???10 ? f (2) ? 0 ?4a ? 2b ? 1 ? 0

A

O

a

? a??1 ?a ? b ? 1 ? 0 ? 2 由? 得? ???????????????12 ?4a ? 2b ? 1 ? 0 ? b ? 1 ? 2
作平行直线系 z ? 3a ? b 可知 z ? 3a ? b 的取值范围是 (?2, ??) .
2 2 2 2 18.(1)由 x ? y ? ( x ? y ) ? 2 xy ? ( x ? y ) ? 2(

x? y 2 ) ? 18 4 分 2
1分

知道 x ? y 的最小值为 18
2 2
2 (2)由 ( x ? 1)( y ? 2) ? ( x ? 1)( 4 ? x) ? ?( x ? ) ?

5 2

9 4

4分 1分

知 ( x ? 1)( y ? 2) 的最大值为 (3)由 x ?

9 4

4 4 4 ? x ?1? ? 1 ? 2 ( x ? 1) ? ?1 ? 3 7? y x ?1 x ?1

3分

知x?

4 的最小值为 3,此时 x ? 1 7? y

19、解:设水池上底面相邻两边的长分别为

x , ym , 水 池 总 造 价 为 z 元 , 则 有 4 xy =6400, 即 xy =1600. 故

z =160( xy )+100( 8x ? 8 y ) ? 160 ?1600 ?1600 xy

? 160 ?1600 ? 1600 ? 40 ? 320000
当且仅当 x ? y ? 40 时, z =320000. 故当 x ? y ? 40 时, z 取最大值 320000 元. 答:当水池底面为正方形(其边长为 40)时,水池总造价最低,最低总造价为 320000 元. 20、解: (1)设每隔 t 天购进大米一次,因为每天需大米一吨,所以一次购大米 t 吨, 那么库存费用为 2[t+(t-1)+(t-2)+?+2+1]=t(t+1), 设每天所支出的总费用为 y1,则

1 100 100 y1 ? [t (t ? 1) ? 100] ? 1500? t ? ? 1501? 2 t ? ? 1501? 1521 . t t t
当且仅当 t=

100 ,即 t=10 时等号成立. t

所以每隔 10 天购买大米一次使平均每天支付的费用最少. (2)若接受优惠条件,则至少每隔 20 天购买一次,设每隔 n(n≥20)天购买一次,每天

1 100 [n(n ? 1) ? 100 ] ? 1500 ? 0.95 ? n ? +1426 n n 100 ? n ? [20,?? ), 而f (n) ? n ? 在[20,?? ) 上为增函数, n 100 ? 1426 ? 1451 ? 1521 . ∴当 n=20 时,y2 有最小值: 20 ? 20
支付费用为 y2,则 y2= 故食堂可接受 (本小题满分 15 分)

20、某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1800 元,面 粉的保管及其它费用为平均每吨每天 3 元,购面粉每次需支付运费 900 元.设该厂 x ( x ? N * )天 购买一次面粉,平均每天所支付的总费用为 y 元。 (平均每天所支付的总 所有的总费用 费用= ) (1)求函数 y 关于 x 的表达式; 天数 (2)求函数 y 最小值及此时 x 的值 20、解: (1)由题意知: ∴购买面粉的费用为 6 ?1800 x ? 10800 x 元, ????2 分 保管等其它费用为 3 ? (6 ? 12 ? ? 6 x) ? 9 x( x ? 1) , ??6 分

10800 x ? 9 x( x ? 1) ? 900 100 ? 10809 ? 9( x ? ) ( x ? N * )??8 分 x x 10800 x ? 9 x( x ? 1) ? 900 100 (2) y ? ? 10809 ? 9( x ? ) x x
∴ y?

? 10809 ? 9 ? 2 x ?
即当 x ?

100 ? 10989 ,14 分 x
15 分 16 分

100 ,即 x ? 10 时, y 有最小值 10989 , x

答:该厂 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少。

3. A 【解析】因为 sin
2

x 2 x + cos =1,故 p1 是假命题;当 x=y 时, p2 成立,故 p2 是真命题; 2 2

1 ? cos 2 x 1 ? (1 ? 2sin 2 x) =|sinx|, 因为 x ? ? 0, ? ? , 所以, |sinx|=sinx, p3 正 ? 2 2
确;当 x=

? 9? ? ,y= 时,有 sin x ? cos y ,但 x ? y ? ,故 p4 假命题,选 A. 4 2 4

4.

3 3

cos A b b cos A sin B ? ? ? sinB a ,可得 cos B sin A ,…………………….4 分 5.解:由 cos B a , sinA
变形为 sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B, …………….6 分

? 又∵a≠b, ∴2A=π -2B, ∴A+B= 2 . ∴△ABC 为直角三角形. ………….8 分
b 4 ? 由 a2+b2=102 和 a 3 ,解得 a=6, b=8。………….12 分

6.解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?

1 2
????????????2 分

? cos( B ? C ) ?

1 2

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?
3

???????4 分 ????????????6 分

? A ? B ? C ? ? ,? A ?
2 2 2

2? 3

(Ⅱ)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc ? cos
2 2

2? 3

????????????8 分

即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4 ∴ S ?ABC ?

1 2

????????????10 分

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

????????????12 分

7.解:(1)∵mn ? cosC ? cosC ? 2cosC ? 1

cos C ?


1 2

0? ? C ? 180?

∴ C ? 60?

?????????????2分

a 2 ? 由正弦定理得, sin 45? sin 60? ,
a?


?????????????????4分

2 2 3

?

2 6 3 , ????????????????????????6分
2 2

(2)∵ c ? 2 , ?C ? 60? , ?a ? b ? 2ab cos60? ? 4 , ∴ a ? b ? ab ? 4 ,
2 2 2 2

??????????????????????8分 ?????????10分

又∵ a ? b ? 4 ,∴ a ? b ? 2ab ? 16 ,∴ ab ? 4 ,



S ?ABC ?

1 ab sin C ? 3 2 . ????????????????????12分

8.解:(1) ∵ sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin 2C ∴ sin( A ? B) ? sin 2C ,------------------------------------2 分 ∵ A ? B ? ? ? C,?sin( A ? B) ? sin C ∴ sin C ? sin 2C ? 2sin C cos C ,-----------------------------4 分 ∵0 ? C ?? ∴ cos C ? ∴ sin C ? 0 ∴C ?

1 2

? . --------------------------------6 分 3

(2)由 a, c, b 成等差数列,得 2c ? a ? b. ----------------------------7 分 ∵ CA ? CB ? 18 , 即 ab cosC ? 18, ab ? 36. ----------------------------------------9 分 由余弦弦定理 c ? a ? b ? 2abcosC ? (a ? b) ? 3ab ,
2 2 2 2

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,
? c ? 6. ---------------------------12 分

9.解: (1)由 m ? (4, ?1), n ? (cos

A ,cos 2 A) 2 A 1 ? cos A m ? n ?4 c o2s ? c o sA2? 4 ? ? (2 cos 2 A ? 1) 2 2 ? ?2cos2 A ? 2cos A ? 3 ……………………………………3 分 7 7 2 又因为 m ? n ? , 所以-2cos A ? 2 cos A ? 3 ? 2 2 1 解得 cos A ? ………………………5 分 2
2

0 ? A ? ? ,? A ?

?

3 (Ⅱ )在 ?ABC中,a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, 且a ? 3 , 1 ? ( 3) 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? ? b2 ? c 2 ? bc .…………………………………9 分 2 2 2 b ? c ? 2bc,?3 ? 2bc ? bc ,
即 bc ? 3,当且仅当 b ? c ? 3时,b ? c取得最大值 ,……………………12 分

……………………7 分

又由(Ⅰ )知 A ?

?
3

,? B ? C ?

?
3

, ………………………………13 分

所以, ?ABC 为正三角形 ………………………………14 分
5 4 12 3 , sin B ? ,得 sin A ? , cos B ? .----2 分 13 5 13 5 ∵ A ? B ? C ? ? ,∴ cos C ? cos[? ? ( A ? B)] ? ? cos(A ? B) -----4 分

10.解: (Ⅰ)由 cos A ? ?

? ?(cos A cos B ? sin A sin B) ?

63 .-----6 分 65

(Ⅱ)由 cos C ?

63 13 ,得 sin C ? ,------8 分 65 65 BC ? sin B ? 13 .-----10 分 sin A

由正弦定理得 AC ?

所以 ?ABC的面积 S ?

1 1 16 ? BC ? AC ? sin C ? ?15?13? ? 24 .----12 分 2 65 2

11.解:⑴ f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

?0 ? x ?
当 2x ? ⑵由

?
2 ?

?

?

3

) ?1 ? 2x ?

-----------3 分

?
3

?
3

?
2

时,即 x ?

?

3

?

4? 3
-----------6 分

?
3

? 2x ?

?
3

?

?
2

12

时, y max ? 1

得0 ? x ?

?
12

] -----------12 分 12 12.解: (Ⅰ)∵ m ? (2 , cos ? ) , n ? (cos2 ? ,1) ,且 m ? n ? 1 , 2 ∴ 2cos ? ? cos ? ? 1 ???????????????2 分

? f ( x) 在定义域上的单调递增区间 [0,

?

即 2cos ? ? cos ? ? 1 ? 0
2

∴ cos ? ?

1 ? ? ? ? , ?????????????6 分 2 3 3 1 ? (Ⅱ)∵ f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2( sin x ? cos x) ? 2sin( x ? ) ????8 2 2 6
∵角 ? ? (0, ? ) ,∴ cos ? ? 分 ∴ f (x ? ? ) ? f (x ? 分 分

1 或 cos ? ? ?1 , ??????4 分 2

?
3

) ? 2sin( x ?

?

? ) ? 2sin( x ? ) ? 2 cos x 6 3 2

?

?

??10

∴函数 f ( x ? ? ) 的单调递减区间为 [2k? , 2k? ? ? ] k ? Z

??????12


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