nbhkdz.com冰点文库

均值不等式

时间:2015-07-05


”是一个重要的基本不等式,可以求函数的值域。在 应用该不等式时,务必注意其条件:一是正数条件,即 a、b 都是正数;二是定 值条件,即和是定值或积是定值;三是相等条件,即 a=b 时取等号,简称“一 正、二定、三相等”。当条件不具备时,需要进行适当的转化,现举例说明。 一、不具备“正值”条件时,需将其转化为正值

例 1. 求函数

的值域。



不一定是正值,故需先将其转化为正值。

解:当

时,

,当

时取等号。



时,

,当 则函数的值域为

时取等号。

例 2. 已知 解:由题意知,

,求函数

的值域。

因此,

,当且仅当

时,即

时,等号成立。

∴函数

的值域为

二、不具备“定值”条件时,需将其构造成定值条件

例 3. 已知

,求函数

的值域。



的积不是定值,故需先将其构造成定值。

解:

,当且仅当

时,即

时,等号成立。

∴函数

的值域为

三、不具备“相等”条件时,需进行适当变形或利用函数单调性求值域。

例 4. 已知

,求函数

的值域。

若直接利用均值不等式,则有 而 ,所以等号不成立。

,当

时,等号成立,

解:∵



上为减函数

∴函数



上为减函数

∴函数



上的最小值

,此时

∴函数

的值域为

例 5. 已知

,求函数

的值域。 的和不是定值, 故需将 进

由题意可知 均为正数, 因 行适当的变形,构造定值。

解:

,当且仅当

,即

时,等号成立。

∴函数

的值域为

评注:在利用“均值不等式”求值域时,若不具备“定值”条件,需将其构造成 定值,并巧妙用“定值”这个条件对所求式子进行分拆、组合、添加系数等使之 变成可用均值不等式的形式。


赞助商链接

均值不等式

均值不等式 - 均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式:公式内容为 Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过...

均值不等式的待定系数法

不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇撰写人:张平 在处理一些不等式问题的时候,往往难以直接使用均值不等式,这就需要我 们根据题目自身的结构特点来进行适当的...

均值不等式的理解

均值不等式的理解√(ab)<(a+b)/2 均值不等式变化多样, 简单而又应用灵活, 所以必须要抓住其本质才能更好理解、 记忆、 应用。首先给出一个不等式(由均值不...

均值不等式公式总结及应用

均值不等式公式总结及应用_数学_高中教育_教育专区。均值不等式应用 1.(1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab (2)若 a, b ? R ,则 ab ? 2 2 a2...

高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)

解析:由知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子 积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故...

数列与均值不等式

数列与均值不等式_数学_高中教育_教育专区。高二上学期10月份,阶段考试,数列与不等式 大连市第四十八中学 2015~2016 学年度 10 月模块检测 高二试卷(时间 90 ...

经典均值不等式练习题

经典均值不等式练习题_数学_高中教育_教育专区。均值不等式均值不等式又名基本不等式、 均值定理、 重要不等式。 是求范围问题最有利的工具之一, 在形式上均值不...

均值不等式【高考题】

均值不等式【高考题】_数学_高中教育_教育专区。均值不等式 均值不等式应用一、求最值 直接求 例 1、(重庆理,2005)若 x , y 是正数,则 ( x ? A. 3 ...

均值不等式八法

均值不等式八法_数学_高中教育_教育专区。运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。 在运用均值不等式解题时,我们...

基本不等式(均值不等式)技巧

2 【技巧讲解】 技巧一:凑项(增减项)与凑系数(利用均值不等式做题时,条件不满足时关键在于 构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造) ...

更多相关标签