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均值不等式


”是一个重要的基本不等式,可以求函数的值域。在 应用该不等式时,务必注意其条件:一是正数条件,即 a、b 都是正数;二是定 值条件,即和是定值或积是定值;三是相等条件,即 a=b 时取等号,简称“一 正、二定、三相等”。当条件不具备时,需要进行适当的转化,现举例说明。 一、不具备“正值”条件时,需将其转化为正值

例 1. 求函数

的值域





不一定是正值,故需先将其转化为正值。

解:当

时,

,当

时取等号。



时,

,当 则函数的值域为

时取等号。

例 2. 已知 解:由题意知,

,求函数

的值域。

因此,

,当且仅当

时,即

时,等号成立。

∴函数

的值域为

二、不具备“定值”条件时,需将其构造成定值条件

例 3. 已知

,求函数

的值域。



的积不是定值,故需先将其构造成定值。

解:

,当且仅当

时,即

时,等号成立。

∴函数

的值域为

三、不具备“相等”条件时,需进行适当变形或利用函数单调性求值域。

例 4. 已知

,求函数

的值域。

若直接利用均值不等式,则有 而 ,所以等号不成立。

,当

时,等号成立,

解:∵



上为减函数

∴函数



上为减函数

∴函数



上的最小值

,此时

∴函数

的值域为

例 5. 已知

,求函数

的值域。 的和不是定值, 故需将 进

由题意可知 均为正数, 因 行适当的变形,构造定值。

解:

,当且仅当

,即

时,等号成立。

∴函数

的值域为

评注:在利用“均值不等式”求值域时,若不具备“定值”条件,需将其构造成 定值,并巧妙用“定值”这个条件对所求式子进行分拆、组合、添加系数等使之 变成可用均值不等式的形式。


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