nbhkdz.com冰点文库

均值不等式


”是一个重要的基本不等式,可以求函数的值域。在 应用该不等式时,务必注意其条件:一是正数条件,即 a、b 都是正数;二是定 值条件,即和是定值或积是定值;三是相等条件,即 a=b 时取等号,简称“一 正、二定、三相等”。当条件不具备时,需要进行适当的转化,现举例说明。 一、不具备“正值”条件时,需将其转化为正值

例 1. 求函数

的值域





不一定是正值,故需先将其转化为正值。

解:当

时,

,当

时取等号。



时,

,当 则函数的值域为

时取等号。

例 2. 已知 解:由题意知,

,求函数

的值域。

因此,

,当且仅当

时,即

时,等号成立。

∴函数

的值域为

二、不具备“定值”条件时,需将其构造成定值条件

例 3. 已知

,求函数

的值域。



的积不是定值,故需先将其构造成定值。

解:

,当且仅当

时,即

时,等号成立。

∴函数

的值域为

三、不具备“相等”条件时,需进行适当变形或利用函数单调性求值域。

例 4. 已知

,求函数

的值域。

若直接利用均值不等式,则有 而 ,所以等号不成立。

,当

时,等号成立,

解:∵



上为减函数

∴函数



上为减函数

∴函数



上的最小值

,此时

∴函数

的值域为

例 5. 已知

,求函数

的值域。 的和不是定值, 故需将 进

由题意可知 均为正数, 因 行适当的变形,构造定值。

解:

,当且仅当

,即

时,等号成立。

∴函数

的值域为

评注:在利用“均值不等式”求值域时,若不具备“定值”条件,需将其构造成 定值,并巧妙用“定值”这个条件对所求式子进行分拆、组合、添加系数等使之 变成可用均值不等式的形式。


均值不等式公式总结及应用

均值不等式公式总结及应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。均值不等式 公式 总结 及 应用 均值不等式应用 1. (1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab (...

均值不等式【高考题】

均值不等式【高考题】_数学_高中教育_教育专区。均值不等式 均值不等式应用一、求最值 直接求 例 1、(重庆理,2005)若 x , y 是正数,则 ( x ? A. 3 ...

均值不等式重要公式

注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;② 熟悉一个重要的不等式链: 2 1 1 ? a b ? ab ? a?b ? 2 a2 ? b2 ...

几个重要的均值不等式

已知实数 x,y 满足 x2+y2=1,求(1-xy)(1+xy) 总之,利用均值不等式求最值的方法多样,而且变化多端,要掌握常见的变形技巧,掌握常见题型 的求解方法,加强...

均值不等式

均值不等式均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式: 公式内容为 Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超 过...

均值不等式习题大全

均值不等式题型汇总 杨社锋 均值不等式是每年高考必考内容, 它以形式灵活多变而备受出题人的青睐, 下面我们来 细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 类型...

均值不等式

学校: 学员姓名: 年级:高二 辅导科目:数学 教学课题:均值不等式 学科教师: 教学目标 教学内容 一.均值不等式 掌握均值不等式的基本运用 1.(1)若 a, b ? R...

经典均值不等式练习题

经典均值不等式练习题_数学_高中教育_教育专区。均值不等式均值不等式又名基本不等式、 均值定理、 重要不等式。 是求范围问题最有利的工具之一, 在形式上均值不...

均值不等式常见题型整理

(5) 5.利用均值不等式求最值, “和定,积最大;积定,和最小” ,即两个正数的和为定值,则可 求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。 注意三...

高中数学必修5 均值不等式

高中数学必修5 均值不等式_高二数学_数学_高中教育_教育专区。均值不等式复习(学案)基础知识回顾 1.均值不等式: ab≤ a+b 2 (1)均值不等式成立的条件:___....