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圆的标准方程教学设计(教师)

时间:2015-08-18


《圆的标准方程》

一、教材分析 学习了“曲线与方程”之后,作为一般曲线典型例子,安排了本节的“圆的方程” 。 圆是学生比较熟悉的曲线,在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学 知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究它的方程,它与其他图形的位置 关系及其应用 同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面 学习其它圆锥曲线的方

程奠定了基础 也就是说, 本节内容在教材体系中起到承上启下 的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用。 二、学情分析 学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识,本节将在上章学习了曲线与方 程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究直线与 圆,圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,在这个过程中进一步体会数形结合的 思想,形成用代数方法解决几何问题的能力。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 (1)会推导圆的标准方程。 (2)能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。 (3)掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写 出圆的标准方程。 (二)过程与方法目标 (1)体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力。 (2)能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 (三)情感与态度目标 圆是基于初中的知识,同时又是初中的知识的加深,使学生懂得知识的连续性; 圆在生活中很常见,通过圆的标准方程,说明理论既来源于实践,又服务于实践,可 以适时进行辩证唯物主义思想教育. 四、重点、难点、疑点及解决办法 1、重点:圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。 2、难点:圆的标准方程的应用。 3、解决办法:充分利用课本提供的 2 个例题,通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标 准方程的用途和用法。 五、教学过程 首先通过课件展示生活中的圆,那么我们今天从另一个角度来研究圆。 (一)复习提问 在初中,大家学习了圆的概念,哪一位同学来回答? 问题 1:具有什么性质的点的轨迹称为圆? 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆). 问题 2: 图哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映 了圆的什么特点?
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圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和 半径分别确定了圆的位置和大小. 问题 3:求曲线的方程的一般步骤是什么?其中哪几个 步骤必不可少? 求曲线方程的一般步骤为: (1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意点 M 的坐标,简称建系设点;(如图) (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)|},简称写 点集; (3)用坐标表示条件 P(M),列出方程 f(x,y)=0,简称列方程; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式,简称化简方程; (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程,简称证明. 其中步骤(1)(3)(4)必不可少. 下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程. (二)建立圆的标准方程 1.建系设点 由学生在黑板上板演,并问有无不同建立坐标系的方法.教师指出:这两种建立 坐标系的方法都对,原点在圆心这是特殊情况,现在仅就一般情况推导.因为 C 是定 点,可设 C(a,b)、半径 r,且设圆上任一点 M 坐标为(x,y). 2.写点集 根据定义,圆就是集合 P={M||MC|=r}. 3.列方程 由两点间的距离公式得: 4.化简方程 将上式两边平方得:(x-a)2+(y-b)2=r2. (1) 方程(1)就是圆心是 C(a,b)、半径是 r 的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程. 这时,请大家思考下面一个问题. 问题 4:圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么? 这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1.点(a,b)、 r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2. 教师指出: 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小, 从而确定了圆, 所以, 只要 a, b,r 三个量确定了且 r>0,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备 三个独立的条件.注意,确定 a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决. (三)圆的标准方程的应用 学生练习一: 1 说出下列圆的圆心和半径:(学生回答) (1)(x-3)2+(y-2)2=5; (2)(2x+4)2+(2y-4)2=8; (3)(x+2)2+ y2=m2 (m≠0) 教师指出:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它的圆心和半径. 2、(1)圆心是(3,-3),半径是 2 的圆是_________________. (2)以(3,4)为圆心,且过点(0,0)的圆的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 A x +y = 25 B x +y = 5 C (x+3) +(y+4) = 25 D (x-3)2+(y-4)2= 25
2

教师纠错,分别给出正确答案:2、 (1)(x-3)2+(y+3)2=4;(2)D. 指出:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程. 例 1 求满足下列条件各圆的方程: (1) 求以 C(1,3)为圆心, 并且和直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的 圆的方程 (2) 圆心在 x 轴上,半径为 5 且过点(2,3)的圆。 解: (1)已知圆心坐标 C(1,3),故只要求出圆的半径,就 能写出圆的标准方程 因为圆 C 和直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,
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y

C(1,3) r
O

M
x

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3x-4y-7=0

所以半径 r 就等于圆心 C 到这条直线的距离 根据点到直线的 距离公式,得
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r?

| 3 ?1 ? 4 ? 3 ? 7 | 32 ? (?4) 2

?

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因此,所求的圆的方程是
256 25 (2)设圆心在 x 轴上半径为 5 的圆的方程为(x-a)2+y2=25 ∵点 A(2,3)在圆上∴(2-a)2+32=25∴a=-2 或 6 ∴所求圆的方程为(x+2)2+y2=25 或(x-6)2+y2=25 这时,教师小结本题:求圆的方程的方法 (1)定义法 (2) 待定系数法,确定 a,b,r; 学生练习二: 1、以 C ( 3 , -5 ) 为 圆 心 , 且 和 直 线 3x-7y+2=0 相 切 的 圆 的 方 程 _________________________. 教师纠错,分别给出正确答案:(x-3)2+(y+5)2=32。 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ?
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例 2 已知圆的方程 x 2 ? y 2 ? r 2 , 求经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的 切线方程
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y

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M
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解:如图,设切线的斜率为 k ,半径 OM 的斜率为 k 1 因为圆
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r
O

1 的切线垂直于过切点的半径,于是 k ? ? k1

x

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∵ k1 ?

y0 x0

∴k ? ?

x0 y0

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(让学生注意斜率不存在时和为 0 的情况)

经过点 M 的切线方程是 整理得
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y ? y0 ? ?
2
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x0 ( x ? x0 ) , y0

x0 x ? y0 y ? x0 ? y0

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因为点 M ( x0 , y0 ) 在圆上,所以 x0 ? y0 ? r 2 ,所求切线方程是 x0 x ? y0 y ? r 2 法二:勾股定理 法三:向量 变式一:已知圆的方程为 x2+y2= 1,求过点(2,2)的切线方程。 变式二:已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1 ,求过点(2,2)的切线方程。 学生练习三: 1.已知圆 x 2 ? y 2 ? 25 求:
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(1)过点 A(4,-3)的切线方程是_________________. (2)过点 B(-5,2)的切线方程 是_________________ 教师纠错,分别给出正确答案:(1)4x-3y=25;(2)x=-5 或 21x-20y+145=0 (四)本课小结 1.圆的方程的推导步骤; 2.圆的方程的特点:点(a,b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径; 3.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法. 4. 数型结合的数学思想 5. 过定点求圆切线方程. (五)、布置作业 习题 7.6 1,2,3 (六)、板书设计 7.6 圆的标准方程 一、建立圆的标准方程 二.圆的标准方程的应用 学生练习 1、圆的方程的推导 例1 2 2 2 (x-a) +(y-b) =r 例2 2、圆的标准方程的特点: 圆心(a,b)定位,r 定型 六、教学反思: 为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意 识,本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计 所谓“引导探究”是教师把 教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程 中,主要着眼于“引” ,启发学生“探” ,把“引”和“探”有机的结合起来。教师的 每项教学措施,都是给学生创造一种思维情景,一种动脑、动手、动口并主动参与的 学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题 其基本教学模式是:
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复习 旧知 以旧 悟新

提出 问题 尝试 探究

例题 示范 探求 方法

反馈 练习 学会 应用

点评 矫正 总结 交流

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