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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理课件 新人教A版选修1-2

时间:2016-04-07


第二章——

2.1

合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理

[学习目标]
1.理解演绎推理的意义.
2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.

3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.

1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

挑战自我,点点落实
重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功

[知识链接] 1.演绎推理的结论一定正确吗?



演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以

在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,其结论就一 定正确.

2.如何分清大前提、小前提和结论?



在演绎推理中,大前提描述的是一般原理,小前提描述

的是大前提里的特殊情况,结论是根据一般原理对特殊情况

作出的判断,这与平时我们解答问题中的思考是一样的,即
先指出一般情况,从中取出一个特例,特例也具有一般意义.

例如,平行四边形对角线互相平分,这是一般情况;矩形是
平行四边形,这是特例;矩形对角线互相平分,这是特例具 有一般意义.

3.演绎推理一般是怎样的模式? 答 “ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式,它包括: (1) 大前

提——已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;

(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

[预习导引] 1.演绎推理

含义 特点

从一般性的原理出发,推出 某个特殊情况下 的
结论的推理 由 一般到特殊 的推理

2.三段论 一般模式 大前提 小前提 结论
已知的一般原理 所研究的特殊情况

常用格式 M是P S是M S是P

根据一般原理,对特殊情况

做出的判断

3.演绎推理与合情推理的区别与联系

合理推理

演绎推理

根据已有的事实和正确 根据已有的事实和正确的 的结论(包括实验和实 区别 定义 践的结果),以及个人 的经验和直觉等推测某 些结果的推理过程

结论(包括定义、公理、定
理等),按照严格的逻辑法

则得到新结论的推理过程

思维

方法 区
别 推理 形式

归纳、类比 由部分到整体、由个别

三段论

到一般的推理或由特殊
到特殊的推理 结论不一定正确,有待 于进一步证明

由一般到特殊的推理

在前提和推理形式都正确 的前提下,得到的结论一 定正确

结论




具有猜测和发现结论, 利于创新意识的培养

按照严格的逻辑法则推 辑证明的能力

作用 探索和提供思路的作用, 理,利于培养和提高逻

合情推理与演绎推理是相辅相成的,数学结论、证 联系 明思路等的发现主要靠合情推理;数学结论、猜想 的正确性必须通过演绎推理来证明

要点一 用三段论的形式表示演绎推理 例1 把下列演绎推理写成三段论的形式. (1)在一个标准大气压下,水的沸点是100 ℃,所以在一个标准大 气压下把水加热到100 ℃时,水会沸腾;

解 在一个标准大气压下,水的沸点是100 ℃,大前提
在一个标准大气压下把水加热到100 ℃,小前提

水会沸腾.结论

(2)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1

不能被2整除;
解 一切奇数都不能被2整除,大前提 2100+1是奇数,小前提

2100+1不能被2整除.结论

(3)三角函数都是周期函数,y=tan α是三角函数,因此 y=tan α是周期函数. 解 三角函数都是周期函数,大前提

y=tan α是三角函数,小前提
y=tan α是周期函数.结论

规律方法

用三段论写推理过程时,关键是明确大、

小前提,三段论中的大前提提供了一个一般性的原理, 小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭 示了一般原理与特殊情况的内在联系 .有时可省略小前

提,有时甚至也可大前提与小前提都省略.在寻找大前
提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.

跟踪演练1

试将下列演绎推理写成三段论的形式:

(1) 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是 太阳系中的大行星,所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行;

解 大前提:太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行;
小前提:海王星是太阳系里的大行星; 结论:海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.

(2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热; 解 大前提:所有导体通电时发热;

小前提:铁是导体;
结论:铁通电时发热.

(3)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所 以y=2x-1是单调函数;

解 大前提:一次函数都是单调函数;
小前提:函数y=2x-1是一次函数; 结论:y=2x-1是单调函数.

(4) 等差数列的通项公式具有形式 an = pn + q(p , q 是常数 ) ,

数列1,2,3,?,n是等差数列,所以数列1,2,3,?,n的通项
具有an=pn+q的形式. 解 大前提:等差数列的通项公式具有形式an=pn+q;

小前提:数列1,2,3,?,n是等差数列;
结论:数列1,2,3,?,n的通项具有an=pn+q的形式.

要点二 演绎推理的应用 例2 正三棱柱 ABC - A1B1C1 的棱长均为 a , D 、 E 分别为 C1C 与 AB的中点,A1B交AB1于点G. (1)求证:A1B⊥AD; 证明 连接BD. ∵三棱柱ABCA1B1C1是棱长均为a的正三棱柱, ∴A1ABB1为正方形, ∴A1B⊥AB1.

∵D是C1C的中点,

∴△A1C1D≌△BCD,
∴A1D=BD,

∵G为A1B的中点,
∴A1B⊥DG, 又∵DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面AB1D. 又∵AD?平面AB1D,∴A1B⊥AD.

(2)求证:CE∥平面AB1D. 证明 连接GE,∵EG∥A1A,∴GE⊥平面ABC. ∵DC⊥平面ABC,∴GE∥DC,
1 ∵GE=DC=2a,∴四边形 GECD 为平行四边形,

∴CE∥GD. 又∵CE?平面AB1D,DG?平面AB1D, ∴CE∥平面AB1D.

规律方法

(1)应用三段论解决问题时,应当首先明确什

么是大前提和小前提,但为了叙述的简洁,如果前提是
显然的,则可以省略. (2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理,即一连串 的三段论,关键是找到每一步推理的依据 ——大前提、 小前提,注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的 前提.

跟踪演练 2 是增函数.

2x-1 求证:函数 y= x 是奇函数,且在定义域上 2 +1

?2x+1?-2 2 证明 y= =1- x , x 2 +1 2 +1
所以f(x)的定义域为R.

2 ? ? 2 ? ? f(-x)+f(x)=?1- -x ?+?1- x ? 2 +1? ? 2 +1? ?
x 2 2 2 2· 2 ? ? ? ? =2-? x + -x ?=2-? x + x ? ?2 +1 2 +1? ?2 +1 2 +1?

2?2x+1? =2- x =2-2=0. 2 +1

即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.

任取x1,x2∈R,且x1<x2.
2 ? ? 2 ? ? ?-?1- x2 ? 则 f(x1)-f(x2)=?1- x1 2 +1? ? 2 +1? ? 1 ? ? 1 2 -2 - x ?=2· x =2? x2 . x 1 2 ?2 +1??2 1 +1? ?2 +1 2 +1?
x1 x2

由于x1<x2,从而2 <2 ,2 -2 <0, 所以f(x1)<f(x2),故f(x)为增函数.

x1

x2

x1

x2

要点三 合情推理、演绎推理的综合应用 例3 如图所示,三棱锥ABCD的三条侧棱

AB,AC,AD两两互相垂直,O为点A在底
面BCD上的射影.

(1)求证:O为△BCD的垂心;
证明 ∵AB⊥AD,AC⊥AD,AB∩AC=A,

∴AD⊥平面ABC,又BC?平面ABC.
∴AD⊥BC,又∵AO⊥平面BCD,AO⊥BC,

∵AD∩AO=A,
∴BC⊥平面AOD,∴BC⊥DO,同理可证CD⊥BO, ∴O为△BCD的垂心.

(2)类比平面几何的勾股定理,猜想此三棱锥侧面与底面间

的一个关系,并给出证明.

2 2 2 猜想:S2 △ABC+S△ACD+S△ABD=S△BCD.

证明:连接DO并延长交BC于E,连接AE,
由(1)知AD⊥平面ABC,

AE?平面ABC,
∴AD⊥AE,又AO⊥ED, ∴AE2=EO· ED,

?1 ? ? ? ?1 ? ? ?2 ?1 ? ? ? AE? =?2BC· EO?· BC · ED ∴?2BC· ? ?, ? ? ? ? ?2 ?

即 S2 S△BCD. △ABC=S△BOC·
同理可证:S2 S△BCD, △ACD=S△COD· S2 S△BCD. △ABD=S△BOD·
2 2 ∴S2 (S△BOC+S△COD+S△BOD) △ABC+S△ACD+S△ABD=S△BCD·

=S△BCD· S△BCD=S2 △BCD.

规律方法

合情推理仅是 “合乎情理”的推理,它得到

的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新 的规律,为我们提供证明的思路和方法,而演绎推理得

到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).

跟踪演练 3

已知命题: “ 若数列 {an} 是等比数列,且 an>0 ,则

n 数列bn= a1a2?an (n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质,你能

得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.
解 类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若
a1+a2+?+an 数列{an}是等差数列,则数列bn= 也是等差数列. n

证明如下: a1+a2+?+an 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 则 bn = = n n?n-1?d na1+ 2 d = a 1+ (n-1), n 2
d 所以数列{bn}是以 a1 为首项,2为公差的等差数列.

1 2 3 4

1.下面几种推理过程是演绎推理的是(

)

A. 两条直线平行,同旁内角互补,如果 ∠A 与 ∠B 是两条平行 直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三 所有班人数超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质

1 2 3 4

1?a - + 1 ? ?(n≥2),由此归 D.在数列{an}中,a1=1,an=2? n 1 an-1? ? 纳出{an}的通项公式
解析 A是演绎推理,B、D是归纳推理,C是类比推理. 答案 A

1 2 3 4

2.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),又y=log 1 x 是对数
函数(小前提),所以y=log 1 x 是增函数(结论).”下列说法正确的 是(
3 3

)

A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误

D.大前提和小前提都错误导致结论错误

1 2 3 4

解析 y=logax是增函数错误.故大前提错.

答案 A

1 2 3 4

3. 把 “ 函数 y = x2 + x + 1 的图象是一条抛物线 ” 恢复成三段
二次函数的图象是一条抛物线 ;小前提: 论,则大前提:___________________________ 函数y=x2+x+1的图象 函数y=x2+x+1是二次函数 ;结论:___________________ ________________________ 是一条抛物线 _____________.

1 2 3 4

4.“如图,在△ABC中,AC>BC,CD是AB边上的

高,求证:∠ACD>∠BCD”.
证明:在△ABC中 ,

因为CD⊥AB,AC>BC,①
所以AD>BD,②

于是∠ACD>∠BCD.③
则在上面证明的过程中错误的是________.(只填序号)

1 2 3 4

解析

由AD>BD,得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是

“ 在同一三角形中,大边对大角 ” ,小前提是 “AD>BD” ,
而AD与BD不在同一三角形中,故③错误.

答案 ③

课堂小结

1.演绎推理是从一般性原理出发,推出某个特殊情况的推
理方法;只要前提和推理形式正确,通过演绎推理得到的 结论一定正确. 2.在数学中,证明命题的正确性都要使用演绎推理,推理 的一般模式是三段论,证题过程中常省略三段论的大前提.


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