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启东中学2013届数学学科暑假作业一


数学学科暑假作业一 集合与常用逻辑用语 参考答案

一、 填空题:

1. 6 5.

2. 故所求实数 a 的值为 0,1, 6.

? 3 ? a ? ?1
必要不充分条件

CR ? A ? B ? ? CR{0}= ? x x ? R, x ? 0?
9

. 12 10.

1 . 2

3. 0

4.

A? B ? ?x ? 3 ? x ? ?1?
7.

P ? Q ? (1,3)

8.

? ??, ?4? ? ??2, ?
?
14. ②③

1? 2? ?

11. ?1 ? a ? 6 。 二、解答题: 15. 解 由

12. 6.

13.⑴⑵

6 x?5 ? 1, 得 ? 0. ∴-1<x≤5,∴A= ?x | ?1 ? x ? 5? . x ?1 x ?1

(1)当 m=3 时,B= ?x | ?1 ? x ? 3? ,则 RB= ?x | x ? ?1或x ? 3? , ∴A ? ( RB)= ?x | 3 ? x ? 5? . (2)∵A= ?x | ?1 ? x ? 5?, A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4?, ∴有 4 -2?4-m=0,解得 m=8.
2

此时 B= ?x | ?2 ? x ? 4? ,符合题意,故实数 m 的值为 8. 16. 解:易求得 B= {2,3} ,C= {2,?4} ,由 A ? B ? ? 知 A 与 B 的交集为非空集。
2 2 故 2,3 两数中至少有一适合方程 x ? ax ? a ? 19 ? 0 2 又 A ? C ? ? ,∴ 2 ? A ,即 9 ? 3a ? a ? 19 ? 0 得,a=5 或 a=-2

当 a=5 时,A= {2,3} ,于是 A ? C ? {2} ? ? ,故 a=5 舍去。 当 a=-2 时,A= {2,5} ,于是 A ? B ? {3} ? ? ,∴a=-2。
2 2 2 2 17. 解:B= {x | 2 ? x ? 4} ,由 y ? (a ? a ? 1) y ? a(a ? 1) ? 0 得: ( y ? a)( y ? a ? 1) ? 0

2 2 因为 a ?1 ? a ,所以 A= {x | x ? a ? 1或x ? a} 。

2 由 A ? B ? ? 得: a ? 1 ? 4 或 a ? 2

所以 a ? (? 3, 3 ) ? (2,??) 18. 解:对于命题
x p ,由 1 ? a ? 3 ? 0 知,

1 a ? ( ) x , x ? ??,0 , ∴ a ? 1 3 2 对于命题 q , ax ? x ? a ? 0 在 R 上恒成立

?

?

? 0 ,则 ? x ? 0 在 R 上恒成立,显然不可能,舍去. ?a ? 0 1 ②若 a ? 0 ,则 ? 解得 a ? 2 2 ?? ? 1 ? 4a ? 0 ∵ 命题 p 和 q 有且仅有一个正确 ∴ p 真 q 假或者 p 假 q 真
①若 a

1 ;由 p 假 q 真,可得 a ? 1 2 1? ? 综上可得,所求 a 的取值范围为 ? ??, ? ?1, ?? ? 2? ? ?
而由

p 真 q 假,可得 a ?

数学学科暑假作业二 函数的基本性质 参考答案 一填空题: 1. {x|x≤3,且 x≠2,x≠-1} 4. [1 , 2] 8.(1/3,2/3) 12. ② 二、解答题: 15. 解 (1)依题意令 a=b=x,则? f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),? 即 f(0)=f(x)-x -x,? 而 f(0)=1,∴f(x)=x +x+1.? (2)以-x 代 x,依题意有? 2f(-x)-f(x)=lg(1-x) 又 2f(x)-f(-x)=lg(1+x) 两式联立消去 f(-x)得? 3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),? ∴f(x)=
1 2 3 lg(1+x-x -x )(-1<x<1). 3
2 2

2.

g( x ) ? 2x ? 1
6..(1,2) 10. 4 ? 14.①②

3. 5 7. (0,1] 11. 6

5. y ? 20 ? 2 x(5 ? x ? 10) 9. 13.② f(x)=x(|x|-2)?

①? ②?

16.(1)证明

∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),

则 f(x+2)=f ?( x ? 1) ? 1? ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? ? f ( x ? 1). ∴f(x+3)=f ?( x ? 1) ? 2? ? ? f ?( x ? 1) ? 1? ? ? f ( x). ∴f(x+6)=f ?( x ? 3) ? 3? ? ? f ( x ? 3) ? f ( x ). ∴f(x)是周期函数且 6 是它的一个周期. (2)解 f(2 004)=f(334?6)=f(0)=-f(3)=-2. 17. 解: (1)当 x ≤6 时,

y ? 50 x ? 115 ,令 50 x ? 115 ? 0 ,解得 x ? 2.3 . ∵ x ?N,∴ x ≥3,∴ 3 ≤ x ≤6,且 x ?N. 2 当 6 ? x ≤20 时, y ? [50 ? 3( x ? 6)] x ? 115 ? ?3x ? 68x ? 115 .
综上可知

(3 ? x ? 6, x ? N), ?50x ? 115, y?? 2 (6 ? x ? 20, x ? N). ?? 3x ? 68x ? 115, 3 ≤ x ≤6,且 x ?N 时,∵ y ? 50 x ? 115 是增函数,∴当 x ? 6 时, y max ? 185 元.当 6 ? x (2)当 34 2 811 2 ≤20, x ?N 时, y ? ?3x ? 68x ? 115 ? ?3( x ? , ) ? 3 3 ∴当 ? 11时, ymax ? 270 元.
综上所述,当每辆自行车日租金定在 11 元时才能使日净收入最多,为 270 元.

18. 解: (1)在②中令 x 且二次函数关于直线 x

? 1 ,有 1 ? f ?1? ? 1 ,故 f ?1? ? 1 . (2)当 x ? R 时, f (x ) 的最小值为 0

? ?1 对称,故设此二次函数为 f ?x? ? a?x ? 1?2 ?a ? 0? .因为 f ?1? ? 1 ,的
f ?x ? ?
) 求 实 数

a?

1 ?x ? 1?2 . ( 3 4 1 1 2 2 h?x ? ? f ? x ? ? x ? ? x ? 1? ? x ? ?x ? 1? , 4 4 1 4
. 所 以

m

的 取 值 范 围 . 记

显然 h

?x ? ? 0



f ?x ? 在区间 ?m ? 1, m?上恒有 f ?x? ? x ? 1 ,即 h?x? ? 1 ,
m ? 1 ? ?1 , ? m?3

令h

?x? ? 1 ,得 x ? ?? 1,3? ,由 h?x? 的图像只须 ? ?
? m ? 3.

解0

数学学科暑假作业三 指对数函数幂函数 参考答案

一填空题: 1. {x|x∈R,且 x≠0} 5.-12 6. 2. ①③④ 3.①②③ 4. ①②③

1 4

7. 10.

log0.2 2.3 ? 2.3?2.3 ? 0.2 ?0.2
1 3 或 ? 2 2 2 3 , ) 3 2

8. a> 2 或 a<- 2

9. (0,1] 12.
21 4

11.(-∞,1)? 14.①②⑤?

13. (

二、解答题:

( a x ? a ? x )( a 2 x ? 1 ? a ?2 x ) 1 1 7 ? a2 x ? 2 x ?1 ? 3 ? ?1 ? . x ?x a ?a 3 3 a 3 3 lg 2 ? lg 5 ? lg 2 ? lg 5 2(lg 2 ? lg 5) ? ?4 lg10 ? ?4 . (2)原式 ? ? 1 1 ? lg10 ? (?1) lg10 2 2
15. 解: (1)原式 ? 16. 解: (1)

? a2 ? b ? 0 f ( x) 的图像过点 ?2,0?, ?0,?2? ,所以 ? 0 ,解得 a ? 3, b ? ?3 ; ?a ? b ? ?2
f ( x) 单调递减,所以 0 ? a ? 1 ,又 f ?0? ? 0 ,即 a 0 ? b ? 0 ,所以 b ? ?1 .

(2)

17. 解: (1) 由

f ?x ? 是奇函数,所以 f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 即 lg

a2 ? x2 a?x a?x ? lg ? 0, ?1 1? x 1? x 1? x2
1? x 1? x


在定义域上恒成立, 解得 a 的定义域为

? 1 ; f ?0? ? 0 的 a ? 1 ) f ?x ? ? lg (或 (2)
1? x

1? x ? 0 解得 f ( x) 1? x

?? 1,1? , u ? 1 ? x ?

2 ? 1 在 ?? 1,1? 上单调递减, y ? lg u 单调递增,所以 f ?x ? 在 x ?1

?? 1,1? 上单调递减.
18. 解 (1)因 f(x)是幂函数,故 m -m-1=1,即 m -m-2=0,? 解得 m=2 或 m=-1.? (2)若 f(x)是幂函数且又是(0,+∞)上的增函数,?
2 2

? ?m 2 ? m ? 1 ? 1 , 则? ∴m=-1.? ? ? 5m ? 3 ? 0 ?
(3)若 f(x)是正比例函数,则-5m-3=1,解得 m=此时 m -m-1≠0,故 m=2

4 ,? 5

4 .? 5

(4)若 f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,? 则 m=2 2 2 ,此时 m -m-1≠0,故 m=- .? 5 5
2

(5)若 f(x)是二次函数,则-5m-3=2,即 m=-1,此时 m -m-1≠0,故 m=-1.? 综上所述,当 m=2 或 m=-1 时,f(x)是幂函数;当 m=-1 时,f(x)既是幂函数,又是(0,+∞)上的增函数; ? 当 m=4 2 时,f(x)是正比例函数;当 m=- 时,f(x)是反比例函数;? 5 5

当 m=-1 时,f(x)是二次函数. 高二数学暑假作业四 函数的图象及其应用 参考答案 1、② 2、 (-1,0)∪(1,+∞) 3、1 4、4 5、④ 6、 [-3,1]; 7、f(x1)>f(x2) 8、

(-∞,1)∪(5,+∞)

9、 (1)c:y=lg(x+1)-2;c' :-y=lg(-x+1)-2,即 y=-lg(1-x)+2

(2)令 g(x)=f(2x+1) ,则 f(2x-5)=f[(2x-6)+1] =f[2(x-3)+1]=g(x-3) 。故向右 平移 3 个单位。 10、分析:令 y=g(x)=f(-x) ,则 y=g(x-1)=f[-(x-1)]=f(-x+1) 。再令 h(x)=f(- x+1) ,则 y=-h(-x)=-f[-(-x)+1]=-f(x+1) 。

1 11、 ??
15、

3

? k ? 0.

12、1

13、(-1,1); 14、(-1,0).

y 1 -1 0 -1 1 x -3 -5

y

y 1

y

0

1

x

0

1

x

0

x

16、考虑作 y=x -4|x|+5 的图象,观察与 y=m 有四个不同交点时 m 的取值范围应是 1<m<5. 17、 (1) (2)方程

2

f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14, 0, 4 和 2 ? 14 ,由于 f (x) 在 ( ? ?, ? 1 ] 和
上 单 调 递 增 , 因 此 由 于

[ 2, 5 ] 上 单 调 递 减 , 在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? )

A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14, ? ? 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A .
(3)当 x ? [ ? 1,

?

?

?

?

.

5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .

4?k? k 2 ? 20k ? 36 ? ? , g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4x ? 5) ? x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? ? x ? ? 2 ? 4 ?
? k ? 2, ?
① 当 ?1?

2

4?k ?1. 又 ? 1 ? x ? 5 , 2

4?k 4?k , ? 1 ,即 2 ? k ? 6 时,取 x ? 2 2
k 2 ? 20k ? 36 1 2 ? ? ?k ? 10? ? 64 . 4 4
则 g ( x) min

g (x) min ? ?

?

?

? 16 ? (k ? 10) 2 ? 64, ? (k ? 10) 2 ? 64 ? 0 ,
② 当

? 0.

4?k ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , 2

g (x) min = 2k ? 0 .
5].

由 ①、②可知,当 k ? 2 时, g ( x) ? 0 , x ? [ ? 1, 因此,在区间 [ ? 1, 18、.解

5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方.
3 3 ,0]时,-x∈[0, ].? 2 2
2

(1)当 x∈[2

∴f(-x)=-(-x) -(-x)+5=-x +x+5.又∵f(x)是偶函数,?
? 2 ?? x ? x ? 5, ? 2 ∴f(x)=f(-x)=-x +x+5.?∴f(x)= ? ?? x 2 ? x ? 5, ? ?
2

? 3 ? x ? ?? ,0? ? 2 ? ? ? 3? x ? ? 0, ?. ? 2?

(2)由题意,不妨设 A 点在第一象限,坐标为(t,-t -t+5),其中 t∈(0,
2

3 ].? 2
2 3 2

由图象对称性可知 B 点坐标为(-t,-t -t+5).则 S(t)=S 矩形 ABCD=2t(-t -t+5)=-2t -2t +10t.?
2 s? ) (t =-6t -4t+10.由 s? ) (t =0,得 t1=-

5 (舍去) 2=1. ,t 3

当 0<t<1 时, s? ) (t >0;t>1 时, s? ) (t <0.?

∴S(t)在(0,1]上单调递增,在[1, 且此极大值也是 S(t)在 t∈(0, 6.

3 ]上单调递减.∴当 t=1 时,矩形 ABCD 的面积取得极大值 6, 2 3 ]上的最大值.从而当 t=1 时,矩形 ABCD 的面积取得最大值 2

高二数学暑假作业五 导数的应用一 参考答案 一、填空题 1、 7、5 13、③

2 cos x ? x sin x
8、1 9、3 14、 10、

2、1

3、 (0, 2) 12、2

4、 e

5、2

6、 5 x ?

y?2 ? 0

8 3

11、32

32 3 3

二、解答题 15、解: (1) b

? 3,c ? 0

(2)单调增区间 (??, ? 当x 当x

2),( 2, ??)

单调减区间 (?

2, 2)

? ? 2 时,取极大值 4 2 , ? 2 时,取极大值 ?4 2 ,

16、解: (1) 17、 (1)1;

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2 (2)最大值 4 2 ? 3 ,最小值-43.
(2) a

?

6 5 1 ), (1, ??) 2
时 ,

18、解: (1)单调增区间 (0, ( 2 ) 当

a ?1

[f

( x ? n] ) m i

f ?

? ;1 a当 ( )

1? 2 ? e a





[f

( x ? n] ) m i

f ? 2a ( ?

) a ?

;当 a ?a

? e 时, [ fn(a )]min ? f (e) ? e2 ? 2ae ? e ? a 。 al x

e2 ? 2e (3) a ? e ?1
高二数学暑假作业六 导数的应用二 参考答案 1、4 2、①

? 4? 3、 ? 0, ? ? 3?

4、a<-1

5、6,9

6、36

7、①②

8、0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2)

9、 [1,+∞)

10、(-∞,2)

11、0.686
2

12、-12
2

13、 (-1,0]

14、6

15、解 (1)f′(x)=3x -x+b,因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f′(x)≥0. 即 3x -x+b≥0, ∴b≥x-3x 在(-∞,+∞)恒成立.设 g(x)=x-3x . 当 x=
2 2

1 1 1 时,g(x)max= ,∴b≥ . 6 12 12
2 2

(2)由题意知 f′(1)=0,即 3-1+b=0,∴b=-2. x∈[-1,2]时,f(x)<c 恒成立,只需 f(x)在[-1,2]上的最大值小于 c 即可. 因 f′(x)=3x -x-2,令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=f( ?
2

2 3 .∵f(1)=- +c, 3 2

2 22 1 )= +c,f(-1)= +c,f(2)=2+c. 27 3 2
2

∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c<c .解得 c>2 或 c<-1, 所以 c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞). 16、解 (1)由条件知点 A(-1,2)为直线 l1 与抛物线 C 的切点,∵y′=4x, ∴直线 l1 的斜率 k=-4,

∴直线 l1 的方程为 y-2=-4(x+1),即 4x+y+2=0. (2)点 A 的坐标为(-1,2) , 由条件可得点 B 的坐标为(a,2a ) , 点 D 的坐标为(a,-4a-2) , ∴△ABD 的面积 S1 为 S1=
2

1 2 ?|2a -(-4a-2)|?|-1-a| 2
3 3

=|(a+1) |=-(a+1) . (3)直线 l1 的方程可化为 y=-4x-2, S2= ? ?1 [2x -(-4x-2)]dx= ? ?1 (2x +4x+2)dx a a
2 2

=[2( =-

1 3 2 2 1 3 2 x +x +x)]| ? 1 =- -2( a +a +a) a 3 3 3

2 3 2 2 a -2a -2a- . 3 3
设 P(x0,y0) ,则 y0=

17、解

1 2 x0 , 2

∴过点 P 的切线斜率 k=x0, 当 x0=0 时不合题意,∴x0≠0. ∴直线 l 的斜率 kl=1 1 =, k x0

∴直线 l 的方程为 y-

1 2 1 x 0 =(x-x0). 2 x0

此式与 y= x+
2

1 2 x 联立消去 y 得 2

2 2 x- x 0 -2=0. x0

设 Q(x1,y1),M(x,y).∵M 是 PQ 的中点,

x0 ? x1 ? 1 ?? ?x ? 2 x0 ? ∴? , 2 ? y ? ? 1 (? 1 ? x ) ? 1 x 2 ? 1 ? x 0 ? 1 0 0 2 ? x0 x0 2 2 x0 ?
消去 x0,得 y=x +
2

1 2x 2

+1(x≠0)就是所求的轨迹方程.由 x≠0 知 x >0,
1 2x 2

2

∴y=x +

2

1 2x
2

+1≥2 x 2 ?
2

+1= 2 +1.

上式等号仅当 x =

1 2x
2

,即 x=± 4

1 时成立, 2

所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2 +1. 18、解 (1)∵f′(x)=2(1+x)2a x ?1

=2?

x 2 ? 2x ? 1 ? a , 1? x

依题意 f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.∴x=-2 时,f(x)有极小值,∴f′(-2) =0. 代入方程解得 a=1, 故 f(x)=(1+x) -ln(1+x) . (2)由于 f′(x)=2(1+x)2 2 x( x ? 2) = , x ?1 1? x
2 2

令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=-2.

?1 ? (由于 x∈ ? ? 1, e? 1? ,故 x2=-2 舍去) , ?e ?
?1 ? 易证函数在 ? ? 1,0? 上单调递减, ?e ?
在[0,e-1]上单调递增, 且 f(

1 1 1 2 ? 1 )= +2,f(e-1)=e -2> +2, 2 e e e2

?1 ? 2 故当 x∈ ? ? 1, e? 1? 时,f(x)max=e -2, ?e ?
因此若使原不等式恒成立只需 m>e -2 即可. (3)若存在实数 b 使得条件成立, 方程 f(x)=x +x+b 即为 x-b+1-ln(1+x) =0, 令 g(x)=x-b+1-ln(1+x) ,
2 2 2 2

则 g′(x)=1-

2 x ?1 = , x ?1 x ?1

令 g′(x)>0,得 x<-1 或 x>1, 令 g′(x)<0,得-1<x<1, 故 g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,要使方程 f(x)=x +x+b 在区间[0,2]上恰好
2

? g (0) ? 0 ? 有两个相异的实根,只需 g(x)=0 在区间[0,1]和[1,2]上各有一个实根,于是有 ? g (1) ? 0 ? 2-2ln2 ? g (2) ? 0 ?
<b≤3-2ln3, 故存在这样的实数 b,当 2-2ln2<b≤3-2ln3 时满足条件.

三角函数(1)答案 1.、-3 2、

3 2

3、既不充分也不必要 4、 a

? b 5、

56 6、P<Q<R 65

7.

2 5

8. ?

4 3 或? 3 4

9.

? 1 1? ?? 2 , 2 ? ? ?

10.②④

11、解:

3? ? ,0 ? ? ? ? ? 2 4 3 12 4 5 ∵sin( ? + ? )=- ,cos( ? ? ? )= ∴cos( ? + ? )= ? sin( ? ? ? )= 5 13 13 5 56 ? ∴ sin 2? ? sin[( ? ? ) ? (? ? ? )] = ? . 65


? 2

< ? <? <

3? 4

∴?

?? ?? ?

12、解: 由 sin(

?

4 4 1 ? 1 1 = sin( ? 4a ) ? cos 4a ? , 2 2 2 4 1 ? ? 5? 得 cos 4a ? 又 a ? ( , ) ,所以 a ? 2. 4 2 12

4

? 2a ) ? sin(

?

? 2a ) = sin(

?

? 2a) ? cos(

?

4

? 2a )

.

于是

2 sin 2 ? ? tan? ? cot? ? 1 ? ? cos 2? ?
== ? (cos

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 cos 2? ? ? cos 2? ? sin ? cos? sin 2?

5? 5? 3 5 ? 2 cot ) = ? (? ? 2 3) ? 3 6 6 2 2 2 13、解:∵sinA+cosA= 2 cos(A-45°)= , 2 1 ∴cos(A-45°)= . 2
又 0°<A<180°, ∴A-45°=60°,A=105°. ∴tgA=tg(45°+60°)=

1? 3 1? 3

=-2-

3.
2? 6 4
.

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

∴SABC=

1 2

AC?AbsinA=

1 2

· 2?3?

2? 6 4

=

3 4

(

2 + 6 ).
),

14、解: (Ⅰ)∵sinx+

3 cosx=2(

∴方程化为 sin(x+ ∵方程 sinx+ ∴sin(x+

? 3

1 2

sinx+

? 3 cosx)=2 sin(x+ 3 2

)=-

a . 2

3 cosx+a=0 在(0, 2π )内有相异二解,

? 3

)≠sin

? 3

=

3 2

.

又 sin(x+

? 3

)≠±1 (∵当等于

3 和±1 时仅有一解), 2

∴|-

∴ (Ⅱ) ∵α 、 β 是方程的相异解, ∴sinα + sinβ +

a 3 ≠ . 即|a|<2 且 a≠- 3 . 2 2 a 的取值范围是(-2, - 3 )∪(- 3 , 2).
且-

a |<1 . 2

3 cosα +a=0 3 cosβ +a=0

①. ②.

3 ( cosα - cosβ )=0. ??? ??? ??? ∴ 2sin cos -2 3 sin 2 2 2 ??? 3 ∴tan = . 2 3 ??? 2 tan 2 ∴tan(α +β )= = 3. 2 ? ? ? 2 ? tan 2
①-②得(sinα - sinβ )+ 15、解: (1)将 x

sin

???
2

=0, 又 sin

???
2

≠0,

? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 中得 cos ? ?

3 , 2

因为 0

?? ?

?
2

,所以 ?

?

π 6



由已知 T

? π ,且 ? ? 0 ,得 ? ?

2π 2π ? ? 2. T π

(2)因为点

3 ?π ? . A ? ,? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? 0 2 ?2 ? ? ? π ? ? ,3 ? . 2 ?

所以点 P 的坐标为 ? 2 x0

又因为点 P 在

π π? 5π ? 3 ? ? , y ? 2cos ? 2 x ? ? 的图象上,且 ≤ x0 ≤ π ,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 2 6? 6 ? 2 ? ?

7? 5? 19? 5π 11π 5π 13π ? 4 x0 ? ? ? ? ,从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? , 6 6 6 6 6 6 6 2π 3π 即 x0 ? 或 x0 ? . 3 4
三角函数(二)答案 一.填空题 π π 5 1. 答案:? , ?∪(π , π ) 4 ?4 2? 7+4 3 2. 答案: 9 3. 答案:π 4. 答案:20°,140°,260° 5.答案:- 1 3

6. 答案:b<a<d<c 2 7. 答案: 3 8.答案:1

9.答案:③④ 10 答案:⑤

二、解答题 2 1 2 2 sin α + cos α 3 4 2 1 2 2 11.解:(1) sin α + cos α = 2 2 3 4 sin α +cos α 2 1 2 1 2 2 tan α + ?3 + 3 4 3 4 5 = = 2 = . 2 tan α +1 3 +1 8 (2)由 1 =1 得 tanα =2, tanα -1
2 2

1 sin α +cos α = 2 2 1+sinα cosα sin α +cos α +sinα cosα = = tan α +1 tan α +tanα +1
2 2

2 +1 5 = . 2 +2+1 7
2

2

π 12. 解:(1)由 sinx-cosx>0? 2sin?x- ?>0, ? 4? π 5π ∴定义域为?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z). 4 4 ? ? π 1 ∵ 2sin?x- ?∈(0, 2],∴值域为?- ,+∞?. ? 4? ? 2 ?

(2)∵定义域关于原点不对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. 1 (3)∵f(x+2π )=log [sin(x+2π )-cos(x+2π )] 2 1 =log (sinx-cosx)=f(x), 2 ∴已知函数是周期函数,且最小正周期 T=2π .

a 2 a a 1 1 3 a 1 2 2 13. 解:y=1-cos x+acosx- a- =-cos x+acosx- - =-?cosx- ? + - - . 2? 4 2 2 2 2 2 2 ?
2

设 cosx=t,∵-1≤cosx≤1,∴-1≤t≤1.

a 2 a a 1 ∴y=-?t- ? + - - ,-1≤t≤1. ? 2? 4 2 2
2

a 3 3 (1)当 <-1,即 a<-2 时,t=-1,y 有最大值- a- . 2 2 2
3 3 5 由已知条件可得- a- =1,∴a=- >-2(舍去). 2 2 3

a a a a 1 (2)当-1≤ ≤1 时,即-2≤a≤2 时,t= ,y 有最大值 - - . 2 2 4 2 2 a a 1 由已知条件可得 - - =1,解得 a=1- 7或 a=1+ 7(舍去). 4 2 2 a a 3 (3)当 >1,即 a>2 时,t=1,y 有最大值 - . 2 2 2 a 3 由已知条件可得 - =1,∴a=5. 2 2
综上可得 a=1- 7或 a=5.
2

2



2π 14.解:(1)T= . 3 π (2)由题设可知 A=4 且 sin?3? +φ ?=1, ? 12 ? 则φ + π π π = +2kπ (k∈Z),得 φ = +2kπ (k∈Z). 4 2 4

π π ∵0<φ <π ,∴φ = .∴f(x)=4sin?3x+ ?. 4? 4 ? 2 π π 12 (3)∵f? α + ?=4sin?2α + ?=4cos2α = , 12? 2? 5 ?3 ? 3 ∴cos2α = . 5

1 1 5 2 ∴sin α = (1-cos2α )= .∴sinα =± . 2 5 5 1 15. .解:(1)∵sinA+cosA= ① 5 1 ∴两边平方得 1+2sinAcosA= , 25 12 ∴sinA?cosA=- . 25 12 (2)由(1)sinAcosA=- <0,且 0<A<π , 25 可知 cosA<0,∴A 为钝角, ∴△ABC 是钝角三角形. (3)∵(sinA-cosA) =1-2sinAcosA =1+ 24 49 = , 25 25
2

又 sinA>0,cosA<0,∴sinA-cosA>0, 7 ∴sinA-cosA= ② 5 4 3 ∴由①,②可得 sinA= ,cosA=- , 5 5 4 sinA 5 4 ∴tanA= = =- . cosA 3 3 - 5 解三角形(1)答案

1.

? 6

.2. 13.3、 3

4、 2 ?

x?2 2

5.直角三角形

6.

2 2

7、

8、

9、a≥3

10、Q>R>P

11、 (1)证明:∵ 2=ac,∴ b cosB=

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? . 2ac 2ac 2ac 2

又∵ 0<B<π,∴ 0<B≤

? . 3
=sinB+cosB=

(2)解:y=

1 ? sin 2 B (sin B ? cos B) 2 ? sin B ? cos B sin B ? cos B
.

2 sin(B+

? ). 4

∵ 0<B≤

? ? ? 7? ? ,∴ ? B ? 4 4 12 3
,即 B=

∴ B+ 当

? ? ? 4 4

? ? ? ? 时,ymax= 2 .当 B+ 4 4 4

时,ymin=



2 2

=1.

∴ y∈(1,

2 ).

12、证法一:∵ 2B=A+C,又 A+B+C=180° , ∴ B=60° ,C=120° -A. 由正弦定理得

a c 1 ? ? , sin A sin C sin 60?

再由合分比定理得 a+c=

2 3 2 3 (sinA+sinC)= [sinA+sin(120° ]=2sin(A+30° -A) )≤2, 3 3

再由两边之和大于第三边,∴ 1<a+c. ∴ 1<a+c≤2. 证法二:先得 B=60° (同上得).

再利用余弦定理知 cosB=

a2 ? c2 ? b2 2ac

,即

1 a2 ? c2 ? b2 ? 2 2ac



即(a+c)2-1=3ac≤ 3( 解得 a+c≤2.

a?c 2 ) . 2

又∵ a+c>1,∴ 1<a+c≤2. 13、解:(I)由正弦定理得: 则 即



????4 分,

(II)

由余弦定理:

得:

14、解: (Ⅰ)? A 、 B 为锐角, sin B

?
2

10 3 10 2 ,? cos B ? 1 ? sin b ? 10 10
A? 3 , 5

又 cos 2 A ? 1 ? 2sin

? sin A ?

5 2 5 2 , cos A ? 1 ? sin A ? , 5 5 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

? cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
?0 ? A ? B ? ?

?A? B ?
?

?
4

????????????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C

3? 2 ,? sin C ? . 4 2

由正弦定理

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b
Q a ? b ? 2 ? 1, ? 2b ? b ? 2 ?1 ,? b ? 1

?a ? 2,c ? 5

??????????????12 分

15.解析: (Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin

3 c 5

3 3 3 3 A cos B ? sin B cos A ? sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 2 4
解三角形(二)答案 一.填空题 1. 答案: 6 3

2. 答案:30° 3 3.答案. 4

4.答案:等腰直角三角形 3+ 3 5.答案: 3 6.答案 50 7. 答案:4 π 8. 答案: 6 9.答案:2+ 5 10.答案:60°

2m

二、解答题: 11.解:由 a+b=a 1 1 +b 及正弦定理得 tanA tanB

sinA+sinB=cosA+cosB, 即 sinA-cosA=cosB-sinB, π π π π 从而 sinAcos -cosAsin =cosBsin -sinBcos , 4 4 4 4 π π 即 sin?A- ?=sin? -B?. 4? ? ?4 ? 又 0<A+B<π , π π π 故 A- = -B,A+B= , 4 4 2 π 所以 C= . 2

12. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a =(2b+c)b+(2c+b)c,即 a =b +c +bc. 由余弦定理得 a =b +c -2bccosA, 1 故 cosA=- ,又 A∈(0,π ),故 A=120°. 2 (2)由(1)得 sin A=sin B+sin C+sinBsinC. 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

13.解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得 cos∠ADC= 1 - , 2 ∴∠ADC=120°,∠ADB=60°. 在△ABD 中,AD=10,B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得 = , sin∠ADB sinB 10? 2 2 3 2 =5 6.

AD2+DC2-AC2 100+36-196 = = 2AD?DC 2?10?6

AB

AD

AD?sin∠ADB 10sin60° ∴AB= = = sinB sin45°

14. 解: (Ⅰ)根据正弦定理,

c a sin C ? a ? 2a ? 2 5 ,所以 c ? sin C sin A sin A

(Ⅱ)根据余弦定理,得 cos A ?

c 2 ? b2 ? a 2 2 5 ? 2bc 5

于是 sin

A ? 1 ? cos 2 A ?

4 5 ,从而 sin 2 A ? 2sin A cos A ? 5 5 3 ………12 分 5

cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ?
所以 sin(2 A ?

?
3

) ? sin 2 A cos

?
3

? cos 2 A sin

?
3

?

4?3 3 10

平面向量、复数(1)答案 1、120° 2、垂心 3、120° 4、 (10,-5) 5、

13

6、-1.

7、C

8、

15

9、-

2 2

-

2 2

i

10、x+2y-4=0

11、解: (Ⅰ) 由 z 2 =z1+2i , 两边同时取共轭复数可得: z2= z1 -2i . 代入已知方程得: z1( z1 -2i )+ 2i z1-2i( z1 -2i)+1=0. 即|z1| -2i z1 -3=0. 令 z1=a+bi , 即可得到 a2+b2-2i(a-bi)-3=0. 即 (a2+b2-2b-3)- 2ai =0. 解得 a=0, b=3,或 a=0, b=-1. ∴z1=3i, z2=-5i, 或 z1=-i , z2=-i . (Ⅱ)由已知得 z1=
2

2iz 2 ? 1 . z 2 ? 2i 2iz 2 ? 1 ∴| |= 3 . z 2 ? 2i
2

又∵|z1|=

3,

∴| 2i z2-1| =3|z2+ 2i| . ∴(2i z2-1)( -2i z 2 -1)=3(z2+ 2i)( z 2 - 2i). 整理得: z2 z 2 +4i z2-4i z 2 -11=0. 即(z2-4i)(
2

2

z2

+4i)=27.

∴| z2-4i| =27, 即| z2-4i|=3

3. 3,
使得等式| z2-4i|=k 恒成立.

∴存在常数 k=3 12、解法一:∵

AB ⊥ AC ,∴ AB ·AC =0. ∵ AP = - AQ , BP = AP - AB , CQ = AQ - AC ,
∴ BP · CQ =( =

AP - AB )?( AQ - AC )

C Q A

AP ? AQ - AP ? AC - AB ? AQ + AB ? AC
2 2

AP ? AC + AB ? AP = -a - AP ?( AB - AC ) 1 = -a + BC PQ · 2
= -a 2

B

= -a + a cosθ . 故当 cosθ =1,即θ =0 ( PQ 与 BC 方向相同)时,

2

2

P

BP · 最大,最大值为 0. CQ

解法二:以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角 坐标系. 设|AB|=c,|AC|=b,则 A(0,0),B(0,0),C(0,0). y 且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点 P 的坐标为(x,y),则 Q(-x, -y), C ∴ BP =(x-c, y), CQ =( -x, -y- b).

Q

BC =(-c, b), PQ =(-2x,
PQ ? BC PQ BC
∴c x- b y= a2 cosθ .

-2y). - (x2+y2)+ c x- b y .

BP · =( x-c)(-x)+ y(-y- b)= CQ
∵cosθ =

?

cx ? by , a2
P

A

B

x

∴ BP · CQ = -a + a cosθ . 故当 cosθ =1,即θ =0 ( PQ 与 BC 方向相同)时,

2

2

BP · 最大,最大值为 0. CQ

13、解(Ⅰ)记 P(x, y), 由 M(-1,0), N(1, 0)得 PM = - MP =(-1-x, -y)

PN = - NP =(1-x, -y),

MN = - NM =(2, 0), ∴ MP · MN =2(1+x), PM · =x2+y2-1, NM ·NP =2(1-x). PN
于是 MP ? MN, PM ? PN,NM x2+y2-1=

? NP 成公差小于零的等差数列等价于

1 2

[2(1+x)+ 2(1-x)],且 2(1-x)- 2(1+x)<0, 解得 x2+y2=3 (x>0).

所以点 P 的轨迹是以原点为圆心, 半径为 (Ⅱ) 点 P 的坐标为(x0, y0), | PM |· PN |= | ∴cosθ =

3 的右半圆.
.

PM · =x02+y02-1=2, PN

2 2 2 2 ( ? x0) ? y 0 ? (1 ? x0 ) 2 ? y 0 ? (4 ? 2 x0 )( 4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 1

PM ? PN PM PN

?

1
2 4 ? x0

. ∵0< x0≤

3,



1 2

< cosθ ≤1, 0≤θ <

? 3

.

∵sinθ =

1 ? cos2 ? ? 1 ?

1 2 4 ? x0

,

∴tanθ =

sin ? 2 ? 3 ? x0 ? |y0|. cos ?

14、证: ∵|z1- z 2 |=|1- z1z2| ∴|z1- z 2 | =|1- z1z2| . ∴(z1- z 2 (z1 ) =(1? z 2) z1z2) (1 ? z1 z 2 ) .
2 2

∴(z1- z 2 )( z1 - z2)=( 1- z1z2)(1- z1 化简后得 z1 z1 + z2 z 2 =1+ z1z2 z1
2 2 2 2

z2 z2
.

).

∴|z1| +|z2| =1+|z1| ?|z2| . 2 2 2 2 ∴(|z1| -1)(|z2| -1)=0. ∴|z1| =1,或|z2| =1. ∴|z1|,|z2|中至少有一个为 1. 15、⑴由 A, M , N 三点共线,得 AM / / AN , 设 AM ? ? AN ? ? ?R ? ,即

???? ?

????

??????????2 分

? ? 1 ??? ???? ? 1 ??? ??? ( AE ? AF ) ? ? ( AB ? AC ) , ??????????4 分 2 2 ??? ? ???? ??? ???? ? 所以 mAB ? nAC ? ? ( AB ? AC ) ,所以 m ? n . ??????????6 分 ? ? ? ??? 1 ? ???? 1 ??? ???? 1 ??? ??? 1 ( AB ? AC ) ? ( AE ? AF ) ? (1 ? m) AB ? (1 ? n) AC , 2 2 2 2 ???? 1 ? ??? 1 ???? ? 又 m ? n ? 1 ,所以 MN ? (1 ? m) AB ? mAC , ??????????10 分 2 2 ???? 2 1 ? ??? 2 1 2 ???? 2 1 ? ??? ???? ? 2 所以 | MN | ? (1 ? m) AB ? m AC ? (1 ? m)mAB?AC 4 4 2
⑵因为 MN ? AN ? AM =

???? ?

????

???? ?

???? ???? ?

1 1 1 1 1 3 (1 ? m)2 ? m2 ? (1 ? m)m ? (m ? )2 ? 4 4 4 4 2 16 ???? ? 3 1 故当 m ? 时, | MN |min ? . ??????????14 分 4 2
= 平面向量及复数(二)答案

一.填空题 1.答案:(-1,1) 2.答案:-2i 3.答案:2 4.答案:最大值为 5.答案 6 6. 【答案】5:4

3 ,最小值- 3

7.答案:-2 8. 答案:北偏西 30° 9.答案:1 10. 答案:2 3

二、解答题: 11.解:(1)若 z 为纯虚数,

?lg (m 2 ? 2m ? 2) ? 0 ? 则有 ? 2 ?m ? 3m ? 2 ? 0 ?
即?

?m2 ? 2m ? 2 ? 1 ?(m ? 1)(m ? 2) ? 0
?(m ? 3)(m ? 1) ? 0 ? ?(m ? 1)(m ? 2) ? 0

?

∴m=3;

? m 2 ? 2m ? 2 ? 0 ? (2)若 z 为实数,则有 ? 2 ?m ? 3m ? 2 ? 0 ?
? m=-1 或 m=-2; (3)若 z 对应的点在复平面内的第二象限,

?m2 ? 2m ? 2 ? 0 ?lg (m ? 2m ? 2) ? 0 ? 2 ? 则有 ? ?m ? 2m ? 2 ? 1 2 ?m ? 3m ? 2 ? 0 ? ?(m ? 1)(m ? 2) ? 0 ?
2

?m ? 1 ? 3或m ? 1 ? 3 ? ? ??1 ? m ? 3 ?m ? ?2或m ? ?1 ?

? -1<m<1-

3 或 1+ 3 <m<3.
??? ??? ? ?

12.解:在复平面内三点坐标分别为 A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC 是钝角得 AB?AC <0,且 B?A?C 不 共线,

49 , 11 ??? ? ??? ? 其中当 c=9 时, AC ? (6,8) ? ?2 AB ,三点共线,故 c≠9.
由(-3,-4)?(c-3,2c-10)<0 解得 c> ∴c 的取值范围是 c>
2

49 且 c≠9. 11
2 2

13. 解:∵a?b=x +x-x =x. ∴m(a?b) -(m+1)a?b+1<0?mx -(m+1)x+1<0. (1)当 m=0 时,x>1. 1 (2)当 m≠0 时,m(x- )(x-1)<0,
2

m

1 ①当 m<0 时,x>1 或 x< .

m

1 ②当 0<m<1 时,1<x< .

m

③当 m=1 时,x∈?. 1 ④当 m>1 时, <x<1.

m

14. 解:(1)设点 C 的坐标为(x0,y0), 又

??? ???? ??? ? ? AC ? AD ? AB =(3,5)+(6,0)=(9,5),

即(x0-1,y0-1)=(9,5), ∴x0=10,y0=6,即点 C(10,6). (2)设 P(x,y), 则 BP ?

??? ?

??? ??? ? ? AP ? AB =(x-1,y-1)-(6,0)

=(x-7,y-1),

??? ???? ???? 1 ??? ? ? ? ? ???? AC ? AM ? MC =2 AB ? 3MP
? ??? 1 ??? ? ? 1 1 ??? ? AB ? 3( AP ? AB) 2 2 2 ??? ??? ? ? =3 AP ? AB
= =(3(x-1),3(y-1))-(6,0) =(3x-9,3y-3).

??? ???? ? AB |?| AD | ,∴?ABCD 为菱形. ??? ???? ? ∴ BP ⊥ AC ,
∵| ∴(x-7,y-1)?(3x-9,3y-3)=0,

即(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0. ∴x +y -10x-2y+22=0(y≠1). 故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心,2 为半径的圆且去掉与直线 y=1 的两个交点. 15. 解:(1)∵cosα = 4 , 5sinx
2 2

4sinx 2 2 ∴y=cos x-sin x+ 5cosα =cos2x+sin x 1-cos2x 1 1 =cos2x+ = cos2x+ , 2 2 2 ∴该函数的最小正周期是 π . (2)∵ OM ? ON =cosα cosx+sinα sinx 12 =cos(α -x)= ,且 α -x 是锐角, 13 5 2 ∴sin(α -x)= 1-cos (α -x)= , 13
2

???? ???? ?

???? ??? ? ? 4 ∵ OM ∥ PQ ,∴-cosα sinx+ -sinα cosx=0, 5
4 即 sin(α +x)= . 5 3 2 ∵α +x 是锐角,∴cos(α +x)= 1-sin (α +x)= , 5 ∴cos2α =cos[(α +x)+(α -x)] =cos(α +x)cos(α -x)-sin(α +x)sin(α -x) 3 12 4 5 16 16 = × - × = ,即 cos2α= . 5 13 5 13 65 65 等差数列(答案) 1、180 8、 an 2、 等比 3、2n+2 4、11 5、24 6、

7 1 ? 6 n ?1

7、

3 4

或1

? 4n ? 3

9、8

10、

28 17

11、解: (Ⅰ)依题意,有

S12 ? 12 a1 ?

12 ? (12 ? 1) ?d ? 0 2

S13 ? 13a1 ?
由 a3=12,得

?2a1 ? 11d ? 0 (1) 13 ? (13 ? 1) ? d ? 0 ,即 ? 2 ? a1 ? 6d ? 0 (2)
(3)

a1=12-2d

将(3)式分别代入(1),(2)式,得

?24 ? 7d ? 0 24 ? d ? ?3 . ,∴ ? ? 7 ? 3? d ? 0

(Ⅱ)由 d<0 可知 a1>a2>a3>?>a12>a13. 因此,若在 1≤n≤12 中存在自然数 n,使得 an>0,an+1<0,则 Sn 就是 S1,S2,?,S12 中的最大值. 由于 由此得 S12=6(a6+a7)>0, S13=13a7<0,即 a6+a7>0, a7<0. a6>-a7>0.因为 a6>0, a7<0,故在 S1,S2,?,S12 中 S6 的值最大.

12、解: a1=-250, d=2, an=-250+2(n-1)=2n-252 同时满足 70≤n≤200, n 能被 7 整除的 an 构成一个新的等差数列{bn}. b1=a70=-112, b2=a77=-98,?, bn′=a196=140 其公差 d′=-98-(-112)=14. 由 140=-112+(n′-1)14, 解得 n′=19 ∴{bn}的前 19 项之和 S 13、2m+n-1 14、(1)由 a6=23+5d>0 和 a7=23+6d<0,得公差 d=-4.(2)由 a6>0,a7<0,∴S6 最大, S6=8.(3)由 a1=23,d=-4, 则 Sn =

? 19 ? (?112 ) ?

19 ? 18 ? 14 ? 266 2

1 2

n(50-4n),设 S n >0,得 n<12.5,整数 n 的最大值为 12.
2

15、(1)设公共根为 p,则 ai p

? 2ai ?1 p ? ai ?2 ? 0 ① ai ?1 p 2 ? 2ai?2 p ? ai ?3 ? 0 ②则②-①

,得

dp2+2dp+d=0,d≠0 为公差,∴(p+1)2=0.∴p=-1 是公共根.(直接观察也可以看出公共根为-1).(2)另一个根为

mi ,则 mi +(-1)=
以-

? 2ai ?1 2d ? ?2 ? ai ai

.∴ mi +1= ?

2d ai



a 1 ?? i mi ? 1 2d

,易于证明{

1 }是 mi ? 1

1 2

为公差的等差数列.

等比数列(答案) 1、32 2、682 3、100 4、2 5、1 或 ?

1 3

6、 an

? 3n ? 2

7、

2n n ?1

8、①②③

9、100a100

10、

n 2( n ? 2)

1 ? ?bn ? (a n ? a n ?1 ) 11、依据题设条件,有 ? 由此可得 2 ? a n ?1 ? bn bn ?1 ?
bn ?
{

1 1 ( bn ?1bn ? bn bn ?1 ) = bn ( bn ?1 ? bn ?1 ) .∵ bn >0,则 2 bn ? bn?1 ? bn?1 2 2
}是等差数列.∴ bn =

。 ∴

bn

(n ? 1) 2 2

.



2 a n ? bn ?1bn ?

n 2 (n ? 1) 2 ? n(n ? 1) ? ? = ? 2 ? 2 2 ? ?
得 a1=3,d=2
n n+1

2

,∴ an =

1 n(n ? 1) 2

12、解:由 a1+d=5,10a1+45d=120 所以 an=2n+1,bn=a2 =2 所以 Tn +1

? 2n?2 ? n ? 4 , Tn?1 ? 2n?3 ? n ? 3
当 n>5 时, Tn?1

Tn?1 ? 2Tn ? 5 ? n

? 2Tn ,当 n=5 时,

Tn?1 ? 2Tn ,当 n<5 时, Tn?1 ? 2Tn

13、∵a1=3, ∴S1=a1=3.在 Sn+1+Sn=2an+1 中,设 n=1,有 S2+S1=2a2.而 S2=a1+a2.即 a1+a2+a1=2a2.∴a2=6. 由 Sn+1+Sn=2an+1,??(1) 即 an+2=3an+1 Sn+2+Sn+1=2an+2,??(2) (2)-(1),得 Sn+2-Sn+1=2an+2-2an+1,∴an+1+an+2=2an+2-2an+1

此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an 的通项公式 an= ?

3, 当n ? 1时, n ?1 ?2 ? 3 , 当n ? 2时. ?

此数列的前 n 项和为 Sn=3+2× 3+2× 2+?+2× n – 1=3+ 3 3

2 ? 3(3 n ?1 ? 1) n =3 . 3 ?1

14、解:①由 a2+a1=3—54 又 an?1 ? an

? a2 ? ?31

? 3n ? 54 an?2 ? an?1 ? 3n ? 51 ? an?2 ? an ? 3
?

3n ? 43 2 3n ? 68 1 6n ? 1 1 1 25 ? ? an ? [ ?( ?1n) 1 ] 当 n 为偶数时, an ? 2 2 2 2 3 2 105 已当 n 为奇数时, S n ? a1 ? n ? 27 n ? 4 4 3 2 当 n 为偶数时, S n ? n ? 27 n 所以当 n=18 时,Sn 与 an?1 ? an 4
当 n 为奇数时, an 15、解(1) an 即 an

同时最小。

? Sn ? Sn?1 ? 2an ? (?1)n ? 2an?1 ? (?1)n?1 化简即 an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1

2 2 2 ? (?1) n ? 2[an ?1 ? (?1) n ?1 ] 由 a1=1,故数列{ an ? (?1) n } 3 3 3 2 是以 a1 ? (?1) 为首项,公比为 2 的等比数列。 3 2 1 n ?1 1 n ?1 2 2 n ? (?1) n ? [2n ? 2 ? (?1) n ] 故 an ? ( ?1) ? ? 2 即 an ? ? 2 3 3 3 3 3
(2)由已知得

? 1 1 1 3? 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? 3 ? ? ? m? 2 n? a4 a5 am 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 2 ? (?1) ?

? 3 ?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? m? 2 m? 2 ? 3 9 15 33 63 2 ? (?1) ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ?) ? (1 ? ? ? ? ? ?) 2 3 5 11 21 2 3 5 10 20 1 1 (1 ? m?5 ) 1 4 2 2 1 1 4 5 2 ? [ ? ] ? ( ? ? ? m?5 ) 1 2 3 5 5 2 2 3 1? 2 13 1 1 13 104 105 7 ? ? ( ) m?5 ? ? ? ? 15 5 2 15 120 120 8 ?



1 1 1 7 ? ?? ? ? (m ? 4) a4 a5 am 8

推理证明(答案) 1、 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ?? ? [n ? (2n ? 2)] ? (2n ?1) 4、大前提错误 8、 1000 9、 5、- cos x 6、 S ?BCD 10、
2
2

2、③

3、500 7、

2 2 2 ? S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB

f ( x) ?

2 x ?1

n?2 2n ? 2 1 1 1 11、证:设(1 ? a)b > , (1 ? b)c > , (1 ? c)a > , 4 4 4 1 则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a < ① 64 f (2n ) ? f ( n) ?
又∵0 < a, b, c < 1

n?2 2

1 ? (1 ? a) ? a ? ∴ 0 ? (1 ? a)a ? ? ? ?4 2 ? ?
2

同理: (1 ? b)b

?

1 1 , (1 ? c )c ? 4 4 1 64
与①矛盾 ∴原式成立

以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 12、解:一般形式:

sin 2 ? ? sin 2 (? ? 60 ? ) ? sin 2 (? ? 120 ? ) ?

3 2

证明

左边 =

1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 120? ) 1 ? cos(2? ? 240? ) ? ? 2 2 2

= =

3 1 ? [cos 2? ? cos( 2? ? 120 ? ) ? cos( 2? ? 240 ? )] 2 2 3 1 ? [cos 2? ? cos 2? cos 120 ? ? sin 2? sin 120 ? ? cos 2 cos 240 ? ? 2 2

sin 2? sin 240? ]
=

3 3 1 1 3 1 3 ? [cos2? ? cos2? ? sin 2? ? cos2? ? sin 2? ] = ? 右边 2 2 2 2 2 2 2

∴原式得证 (将一般形式写成

3 sin 2 (? ? 60? ) ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? 60? ) ? , 2 3 sin 2 (? ? 240? ) ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 ? ? 等均正确) 2

13、证明:假设

2 、 3 、 5 为同一等差数列的三项,则存在整数 m,n 满足
3 = 2 +md


5 = 2 +nd



① ? n-② ? m 得:

3 n- 5 m= 2 (n-m)

两边平方得: 3n +5m -2

2

2

15 mn=2(n-m)

2

左边为无理数,右边为有理数,且有理数 ? 无理数 所以,假设不正确。即 14、简证:令 x1 15、[解]

2 、 3 、 5 不能为同一等差数列的三项

? x2 ,则有 f ? 0? ? 1,再令 x1 ? ? x2 ? x 即可
33 ? 23 ? 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 1
┅┅

2 3 ? 13 ? 3 ? 12 ? 3 ? 1 ? 1
43 ? 33 ? 3 ? 32 ? 3 ? 3 ? 1

(n ? 1) 3 ? n 3 ? 3 ? n 2 ? 3 ? n ? 1
将以上各式分别相加得: (n ? 1) 所以:
3

? 13 ? 3 ? (12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ) ? 3 ? (1 ? 2 ? 3? ? n) ? n

1 1? n 1 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ? [( n ? 1) 3 ? 1 ? n ? 3 n] ? n( n ? 1)( 2n ? 1) 3 2 6
不等式 2. [?2, ] ;

1. 2 2 ;

3 2

3. (??, ?1) ? (?1,1) ; 8. 2 2 ;

4. (??, ?2] ? [3, ??) ;

5. [2,3)

6.16; 二、

7.1;

9. [ 2, ??) ;

10. [ 2, ??) ;

11.解:∵|x-1|≥a,∴x-1≥a 或 x-1≤a,∴ x≥a+1 或 x≤1-a, 又对于集合 B:∵ ? 如图:
O O O O

?2 x ? 1 ? 3x ? 5 ? x ? ?6 ∴? ? -6<x<4; ?5 x ? 2 ? 3x ? 6 ? x ? 4

1-a
∵A∩B=φ ∴ ?

-6

4

1+a

?1 ? a ? ?6 ?a ? 7 ∴? ∴a≥7 ?1 ? a ? 4 ?a ? 3

因此所求 a 的范围是 a≥7。

12.解:

? f (0) ? 0 ? 由已知得: ? f (1) ? 0 ? ? f (2) ? 0 ?

? 2b ? 0 ?b ? 0 ? ? ? a ? 2b ? 1 ? 0 ? ?a ? 2b ? 1 ? 0 ? 2a ? 2b ? 4 ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ? ?
其表示得区域 M 如图:

b?2 表示 C (1, 2) 与 M a ?1

区域中的点 ( a, b) 连线的斜率。

A(?3,1), B(?1,0)

1 b?2 ?1 ? kCA ? , kCB ? 1 ,从图中可知 ? ? ,1? 。 4 a ?1 ? 4 ?
13.解:设 BC 连结 BD. 则在 ?CDB 中, (b ?

? am(a ? 1, 4), CD ? bm.

1 2 ) ? b2 ? a2 ? 2ab cos60?. 2 1 1 a2 ? a2 ? 4 . ? b ? 2a ? 4 ? 2a. ?b ? a ?1 a ?1

设t

? a ? 1, t ?

2.8 ? 1 ? 0.4, 2 1 (t ? 1)2 ? 4 ? 2(t ? 1) ? 3t ? 3 ? 4 ? 7, 则 b ? 2a ? t 4t
等号成立时 t ? 0.5 ? 0.4, a ? 1.5, b ? 4. 答:当 AB ? 3m, CD ? 4m 时,建造这个支架的成本最低。

14. (1)

f ( x) ? x 即 x 2 (b ? 1) x ? c ? 0 , x1 ? x2 ? 1 ? b , x1 x2 ? c ,

x2 ? x1 ? 1,即 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ? 1 , (1 ? b) 2 ? 4c ? 1,故 b 2 ? 2(b ? 2c) ;
(2)

f (t ) ? x1 = f (t ) ? f ( x1 ) ? (t ? x1 )(t ? x1 ? b) ,
因为

t ? x1 ? b ? t ? x1 ? 1 ? x1 ? x2 ? t ? ( x2 ? 1) ? 0 ,所以 f (t ) ? x1 。

15. 【解析】 (1)若

f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1

(2)当 x

? a 时, f ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 , f ( x)min

2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? ?? a ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? f ( 3 ), a ? 0 ? ? ? 3

当x

? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x) min
2 2

2 ? f (?a), a ? 0 ??2a , a ? 0 ? ?? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

综上

f ( x)min

??2a 2 , a ? 0 ? 。 ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
直线与平面

一、 1.①②; 2.垂直; 7. 4? ; 3.

a ; 3

4.侧棱相等;

5.5 或 65;

6.96; 二、

8.①③;

9.无数;

10. 5 3 ;

11.证明:∵α ∩β =BC,A∈α ,又∵E、F 分别是 AB 和 AC 上的点, ∴E∈α ,F∈α .∴EF?α.又∵EF∩GH=P,∴P∈EF,∴P∈α . 同理,P∈β ,又∵α ∩β =BC,∴P∈BC,即 P 点必在 BC 上.

12.解:以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图 所示的正方体,则该正四面体的外接球也就是正方体的外接球. 由图知正方体的棱长为 2 6 a,正方体的对角线长为 a,设正四面体 2 2 6 6 a,∴R= a,于是球的表面积 2 4

的外接球的半径为 R,则 2R=

S=4π?(

6 2 3 2 4 6 6 a) = πa ,球的体积 V= π( a)3 = πa3. 4 2 3 4 8

13.证明:(1)在△CBB1 中,∵D、E 分别为 BC、B1C 的中点, ∴DE∥BB1,又∵BB1?平面 ABB1A1,DE?平面 ABB1A1, ∴DE∥平面 ABB1A1. (2)∵三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱 ∴BB1⊥平面 ABC,∵AD?平面 ABC,∴BB1⊥AD ∵在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC ∵BB1∩BC=B,BB1、BC?平面 B1BC,∴AD⊥平面 B1BC 又∵AD?平面 ADE,∴平面 ADE⊥平面 B1BC. 14.证明:(1)∵平面 ABCD⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,AD⊥AB, ∴AD⊥平面 ABE,AD⊥AE.∵AD∥BC,则 BC⊥AE. 又 BF⊥平面 ACE,则 BF⊥AE. ∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE,∴AE⊥BE. (2)设 AC∩BD=G,连接 FG,易知 G 是 AC 的中点,

∵BF⊥平面 ACE,则 BF⊥CE.而 BC=BE,∴F 是 EC 中点. 在△ACE 中,FG∥AE,∵AE?平面 BFD,FG?平面 BFD,∴AE∥平面 BFD.

15.解:(1)证明:∵EP⊥面 ABCD, ∴EP⊥DP,又 ABCD 为矩形,AB=2BC,P、Q 为 AB、CD 中点, 1 ∴PQ⊥DC 且 PQ= DC,∴DP⊥PC,∵EP∩PC=P,∴DP⊥面 EPC. 2 (2)如图所示,假设存在 F 使平面 AFD⊥平面 BFC. ∵EP⊥平面 ABCD,EP?平面 EAB ∴平面 EAB⊥平面 ABCD. 又∵CB⊥AB,平面 EAB∩平面 ABCD=AB.∴CB⊥平面 EAB ∵AF?平面 EAB,∴CB⊥AF. ∴只要 AF⊥FB 的点 F 就符合题意, ∵P 为 AB 中点,FP⊥AB,∴当 AF⊥FB 时 FP FP =1,∴当 =1 时,平面 AFD⊥平面 BFC. AP AP 直线和圆(一) 1. ?

5 ? ? 6 ? ,? ? ? ?

2.

y ? 2x



x ? y ?3 ? 0

解析:①不要遗漏“过原点”的情形,②变题:截距互为相反数,截距

的绝对值相等,横截距是纵截距的 2 倍。 3.-1 4. ? ?

? 8 3 ? ? 8 3? 2 2 , ?3 ? ? ? 2, ? 注①:点在圆外;②:圆一般方程中的隐含条件: D ? E ? 4F ? 0 。 ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? ?
2

5. x 7.

? ( y ? 1) 2 ? 18

6. 2 a

25 4

1 (x-1),即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的 2 5 1 5 25 截距分别是 5 和 ,所以所求面积为 ? ? 5 ? 。 2 2 2 4
解析:由题意可直接求出切线方程为 y-2= ? 解 析 : 由 题 知 O1 (0,0), O2 ( m,0) , 且

8.4

5 ?| m |? 3 5 , 又 O1 A ? AO2 , 所 以 有
5 ? 20 ? 4。 5

m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ,∴ AB ? 2 ?
9.相交 10. 2

10

11.解: (1)当直线 l 的斜率存在时,设它的斜率为 k , 则直线 l 可表示为: y ? 1 ? k ( x ? 3) , 点 P 到直线 l 的距离为: d ? 即 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 ,

?k ? 2 ? 3k ? 1 k ?1
2

? 4 ,即 ?4k ? 3 ? 4 k 2 ? 1 , k ? ?

7 , 24

此时直线 l 的方程为: y ? 1 ? ?

7 ( x ? 3) 即 7 x ? 24 y ? 45 ? 0 ; 24

(2)当直线 l 的斜率不存在时,即倾斜角为 此时直线 l 的方程为 x ? 3 ;

? 时,也符合题意, 2

综合(1) ,直线 l 的方程为: 7 x ? 24 y ? 45 ? 0 和 x ? 3 . (2) 12. (1) ( x ? 4) (2) x
2 2

? ( y ? 3)2 ? 25

? y 2 ? 2x ?12 ? 0 或 x2 ? y 2 ?10x ? 8 y ? 4 ? 0
2

(3) ( x ? 2)

? ( y ? 4)2 ? 10 或 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 10

13.解析:本题难在画图,即无法确定 直线位置。 解: l1 :

l1 与 l2 的位置,应通过直线方程发现过定点及其斜率范围,来确定

? x ? 2? a ? 2 y ? 4 ? 0

过定点

? 2, 2 ? , k1 ? 2 ? ? 0,1? ? 2, 2 ? , k2 ? ? a 2 ? 0
2

a

l2 : ? y ? 2? a2 ? 2x ? 4 ? 0
l1 : 令x ? 0, 得y ? 2 ? a

过定点

l2 : 令y ? 0, 得x ? a2 ? 2

?

? 4 ? a ? ? 2 ? a2 ? 2 S?
2 2
? a2 ? a ? 4

1 ? 15 ? ? ?a ? ? ? 2? 4 ?
又 a?

2

?0,2?

?当 a ?

1 时 Smin 2 1 此时: l1 : x ? 2 y ? ?3 2

即: x ? 4 y ? 6 ? 0

1 9 2 y? 即: 8x ? y ? 18 ? 0 4 2 OA ? OB ,设斜截式方程,再利用根与系数关系求解。 14.解析:关键是 l2 : 2 x 2 ?
解:设直线 L 的斜率为1,且 L 的方程为 y=x+b,则 ? 消元得方程2x +(2b+2)x+b +4b-4=0, 设此方程两根为 x1,x2, 则 x1+x2=-(b+1),y1+y2= x1+x2+2b=b-1, 则AB中点为 ? ? b ? 1 , b ? 1 ? ,
2 2

?y ? x ?b
2 2 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0

? ?

2

? 2 ?

又弦长为

k 2 ? 1 x1 ? x2
2


2

2 ? ?b2 ? 6b ? 9 ? ,
2

由题意可列式 ? b ? 1 ? ? ? b ? 1 ? = ? 2 ? ?b2 ? 6b ? 9 ? ? ? ? ? ? ? ?

? 2 ?

? 2 ?

? ? ?

2

? ? ?

解得 b=1 或 b=-9, 经检验 b=-9 不合题意. 所以所求直线方程为 y=x+1
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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15.解析:本小题考查二次函数图像和性质、圆的方程的求法。 (1)令 x=0,得抛物线于 y 轴的交点是(0,b) 令 f(x)=0,得 x +2x+b=0,由题意 b≠0 且△>0,解得 b<1 且 b≠0 (2)设所求圆的一般方程为 x + y +Dx+Ey+F=0 令 y=0,得 x +Dx+F=0,这与 x +2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b 令 x=0,得 y + Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得 E=-b-1 所以圆 C 的方程为 x + y +2x -(b+1)y+b=0 (3)圆 C 必过定点(0,1)(-2,1) , 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边= 0 + 1 +2?0-(b+1)?1+b=0,右边=0 所以圆 C 必过定点(0,1) ;同理可证圆 C 必过定点(-2,1) 。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

直线和圆(二) 4. 4?

1.1

2.2

3.3

5. (1,

3
9。4 解析:可得圆方程是 ( x ? 3)
2

2 3 ) 3

6。3

7。3

8。4

? ( y ? 4)2 ? 5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得

PQ ? 4

10.[

? 5? , 12 12

].解析:圆 x

2

? y 2 ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 整理为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,
要求圆上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 , 2,

∴圆心坐标为(2, 半径为 3 2),

则圆心到直线的距离应小于等于

2





| 2a ? 2b |
2 2

a a ≤ 2 , ∴ ( ) 2 ? 4( ) ? 1 ≤ 0 , ∴ b b a ?b

a a ?2 ? 3 ≤ ( ) ≤ ?2 ? 3 , k ? ? ( ) ,∴ 2 ? 3 ≤k ≤ 2 ? 3 ,直线 l 的倾斜角的取值范 b b ? 5? 围是 [ , ] 。 12 12
11.解析:利用高线与∠A 的平分线求得点 A 坐标,然后求出直线 AC 与 BC 的方程,从而求出 C 点坐标. 解 A 点既在 BC 边的高线上,又在∠A 的平分线上,

由?

?x ? 2 y ?1 ? 0 得 A(-1,0),∴k ?y ? 0

AB

=1,而 x 轴是角 A 的平分线, ∴kAC= –1,

∴AC 边所在直线方程为 y=-(x+1) ① 又 kBC= –2, ∴BC 边所在直线方程为 y–2=–2(x–1) ②

联立① ②得 C 的坐标为(5,–6) 12.解析:用对称来处理光的反射。 解:设 l 与 x 轴交于点 B

?b,0? ,则有 k AB ? b ? 3 ,由光的反射定律,知入射光线与反射光线的倾斜角
? 3 , b?3 3 ? x ? b?, b?3

?3

是互补的,于是,他们的斜率互为相反数,则反射光线所在直线的斜率 k

? 反射光线所在直线方程为 y ?


3x ? ?b ? 3? y ? 3b ? 0 ;

已知圆的圆心为 C

? 2,2? ,半径为

? ?4 ? ? ? ?4 ?
2

2

? 4? 7

2

?1,

由点到直线的距离公式,得

6 ? 2 ? b ? 3? ? 3b 9 ? ? b ? 3?
2

?1,

解得

? k AB

3 , b2 ? 1。 4 4 3 ? ? 或? 3 4 b1 ? ?

? l 所在直线方程为 4 x ? 3 y ? 3 ? 0或3x ? 4 y ? 3 ? 0

13.解:依题意得,直线 L 的方程为 (1)

x y 2 2 + =1 即 bx+ay-ab=0,圆 C 的方程为(x-1) +(y-1) =1 a b ①

|a+b-ab| ∵直线与圆相切, ∴ =1,化简: (a-2)(b-2)=2 2 2 a +b

(2)

设 AB 的中点为 ( x,

?a ? 2 x 1 代人①得: ( x ? 1)( y ? 1) ? ( x ? 1, y ? 1) y ) ,则 ? 2 ?b ? 2 y
∴SΔ
AOB

(3)

由 (a-2)(b-2)=2, 得 ab=2a+2b-2

=

1 |ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3 ≥ 2 2

(a-2)(b-2)

+3=2 2 +3, 当且仅当 a=b=2+ 2 时,面积有最小值:2 2 +3.

? x 2 ? y 2 ? 20 ? 0 ?x ? 4 ?? ? ? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0 ? y ? ?2 14.解析: (1)曲线 C 的方程可化为:(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)=0,由 ? ,

∴不论 m 取何值时,x=4, y=-2 总适合曲线 C 的方程,即曲线 C 恒过定点(4, -2). (2)D=-4m, E=2m, F=20m-20, D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2

∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴D2+E2-4F>0, ?∴曲线 C 是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由 消去 m 得 x+2y=0, 即圆心在直线 x+2y=0 上.

? x ? 2m ? ? y ? ?m

(3)若曲线 C 与 y 轴相切,则 m≠2,曲线 C 为圆,其半径 r=

20(m ? 2) 2

,

又圆心为(2m, -m),则

20(m ? 2) 2

=|2m|,

?m ?

5? 5 2 .

15.解: (1) PQ

2

? PA2 ? PO2 ? r 2
? ? b ? 1? ? a 2 ? b 2 ? 1
2

? a ? 2?

2

4a ? 2b ? 6 ? 0
(2) PQ
2


2

2 a ? b ? 3 ? 0 ? b ? 3 ? 2a
2

? PA2 ? ? a ? 2 ? ? ? b ? 1?

? a2 ? 4a ? 4 ? 4a2 ? 8a ? 4 ? 5a 2 ? 12a ? 8

6? 4 4 ? ? 5? a ? ? ? ? 5? 5 5 ?

2

?

当a

?

6 2 5 时, PQmin ? 5 5

(3)由题意知 OP ?1 ? rp

? OP ? 1

OP ? a2 ? b2
? a 2 ? ? 2a ? 3 ?
2

? 5a2 ?12a ? 9
6? 9 3 5 ? ? 5? a ? ? ? ? 5? 5 5 ?
2

?

当a

?

6 3 5 3 5 时, ? OP ? ,即 ? rp ? ? ?1 ? min min 5 5 5
2

2 2 6? ? 3? ?3 5 ? ? ? 1? ? 圆 P :? x ? ? ?? y ? ? ? ? ? 5? ? 5? ? 5 ? ? ?

圆锥曲线(一) 1.

5 5 , 4 3
6

2. 7.

6.

2 3 1 4或 4 ?

3.

?3,4? ? ?4,5?

4.

3
10.

5.

x ? 0, y ? 1, x ? 2 y ? 2 ? 0

8. 16 或 4

9. 4/3

3 8

11. (1)将(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0 整理得 (-x-2y+2)k+2x-y+1=0. ?-x-2y+2=0, 解方程组? 得直线所经过的定点(0,1),所以 b=1. ?2x-y+1=0, 3 得 a=2, 2 x2 所以椭圆的标准方程为 +y2=1. 4 由离心率 e=

12. 解: (1)∵ S?PF F = S?PAF
1 2

2

∴ F F2 1

? F2 A

1 3 (2)设 PF的直线方程为 ? k ( x ? c) , y 1 ∵ S?PF F = S?PBF 1 2 1
∵a-c=2c ∴e= ∴

1 b ? kc 1 2kc PF1 · ? PF1 · 2 2 k ?1 2 k 2 ?1

∴b-kc=2kc ∴b=3kc ∵a=3c∴b=2

2c

∴k=

2 2 3

(3)设 S?PF F =t,则 S ?PAF2
1 2

?

a?c t 2c

∵P 在第一象限

∴k

?

b c

b ? kc S ?PBF1 S ?PF1 F2 ? k 2 ? 1 ? b ? kc 2kc 2kc 2 k ?1
?

b ? kc · t 2kc a?c b ? kc t? · t ∴2t= 2c 2kc ∴ 4kc ? ak ? ck ? b ? kc ∴ k (6c ? a) ? b b ∴k ? 6c ? a b b 1 ? 。∴ ? e ? 1 。 ∴ 6c ? a c 5 1 1 又由已知 ? e ? 1 ,∴ ? e ? 1 。 4 4 2 b a2 ? c2 2 ∴k ? = 36c 2 ? 12ac ? a 2 36c 2 ? 12ac ? a 2
∴ S ?PBF1 =

m ?1 1 ? e2 1 ? e2 = (令 m ? 6e ? 1 ,∴ e ? ) 2 2 6 36e ? 12e ? 1 (6e ? 1)

m ?1 2 ) 1 36 ? m2 ? 2m ? 1 6 = = 36 m2 m2 1 35 2 ( ? ? 1) = 36 m 2 m 1? (

1 1 ? e ? 1 ,∴ ? m ? 5 。 4 2 1 1 15 ? 2 。∴ 0 ? k 2 ? ∴ ? 。 5 m 4
∵ ∴0

?k?

15 。 2

13. 解: (ⅰ)∵ 圆 O 过椭圆的焦点,圆 O : (1)

x2 ? y 2 ? b2 ,∴ b ? c ,
2 2

2



b2 ? a 2 ? c2 ? c2 , a 2 ? 2c 2 ,∴ e ?

(ⅱ)由 ?APB
2

? 90? 及圆的性质,可得 OP ? 2b ,∴ OP ? 2b 2 ? a 2 , ∴ a 2 ? 2c 2

∴e

?

1 2 , ? e ? 1. 2 2

(2)设 0 P

? x0 , y0 ? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则
∴ PA 方程为: x1 x ?

y0 ? y1 x ?? 1 x0 ? x1 y1

,

整理得 x0 x ?

y0 y ? x12 ? y12

? x12 ? y12 ? b2

y1 y ? b2 , PB 方程为: x2 x ? y2 y ? b2 .
2

从 而 直 线 AB 的 方 程 为 :

x0 x ? y0 y ? b
?
2 b

.令

x?0

,得

b2 O N ? y? y0
, ∴

,令

y ? 0 ,得

O M ? x?
a2 定值是 2 b

b2 x0

, ∴

a2 ON
2

OM

2

?

2 a 2 y0 ?2b2 x0 2a2 b 2 a ? 4 ? 2 b4 b b

a2 ON
2

?

b2 OM
2

为定值,

.

14. (Ⅰ)∵圆心 O 到直线 l : x ?

y ? 8 ? 0 的距离为 d ?

8 ?4 2, 2

直线 l 被圆 O 截得的弦长 2a= 2

R2 ? d 2 ? 4 ,∴a=2,

x2 c 3 2 2 2 , a ? b ? c ,解得 b ? 1, c ? 3 ,∴椭圆 C 的方程为: ? y 2 ? 1 ; 又 ? 4 a 2
(Ⅱ)∵ OS

? OA ? OB ,∴四边形 OASB 是平行四边形.假设存在这样的直线 l,使四边形 OASB 的对角

线长相等,则四边形 OASB 为矩形,因此有 OA ? OB , 设 A(x1,y2),B(x2,y2),则 x1 x2

? y1 y 2 ? 0 .
y ? k ( x ? 3) ,

直线 l 的斜率显然存在,设过点(3,0)的直线 l 方程为:

? y ? k ( x ? 3) ? 2 2 2 2 由 ? x2 ,得 (1 ? 4k ) x ? 24k x ? 36k ? 4 ? 0 , 2 ? 4 ? y ?1 ?
由 ? ? (?24k
2 2

) ? 4(1 ? 4k 2 )(36k 2 ? 4) ? 0, 可得? 5k 2 ? 1 ? 0 ,即 k 2 ?

1 . 5

x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? 3k 2 ( x1 ? x2 ) ? 9k 2
2 36k 2 ? 4 2 24k ? (1 ? k ) ? 3k ? 9k 2 , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

由 x1 x2

? y1 y 2 ? 0 得: k 2 ?

4 2 41 ?k ? ? ,满足Δ >0. 41 41

???12 分

故存在这样的直线 l,其方程为

y??

2 41 ( x ? 3) . 41
y?? p 2
,根据抛物线定义

15. 解: )由抛物线方程得其准线方程: (Ⅰ



A(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离,即 4 ?

p 17 ? 2 4

,解得

p?

1 2

? 抛物线方程为: x 2 ? y ,将 A(m,4) 代入抛物线方程,解得 m ? ?2
(Ⅱ )由题意知,过点 P(t , t 则 l PQ
2

) 的直线 PQ 斜率存在且不为 0,设其为 k 。
? t 2 ? kt , k
则M(

: y ? t 2 ? k ( x ? t ) ,当 y ? 0, x ?

? t 2 ? kt ,0) 。 k

联立方程 ?

? y ? t 2 ? k (x ? t) 2 ,整理得: x ? kx ? t (k ? t ) ? 0 2 x ?y ?

即: ( x ? t )[x ? (k

? t )] ? 0 ,解得 x ? t , 或 x ? k ? t
1 k

? Q(k ? t , (k ? t ) 2 ) ,而 QN ? QP ,? 直线 NQ 斜率为 ?

1 ? 1 ? y ? (k ? t ) 2 ? ? [ x ? (k ? t )] ? l NQ : y ? (k ? t ) 2 ? ? [ x ? (k ? t )] ,联立方程 ? k k ? x2 ? y ?
整理得: x
2

?

1 1 x ? (k ? t ) ? (k ? t ) 2 ? 0 ,即: kx2 ? x ? (k ? t )[k (k ? t ) ? 1] ? 0 k k k (k ? t ) ? 1 ,或 x ? k ? t k


[kx ? k (k ? t ) ? 1][x ? (k ? t )] ? 0 ,解得: x ? ?

k (k ? t ) ? 1 [k (k ? t ) ? 1]2 ? N (? , ) k k2

? K NM

[k (k ? t ) ? 1] 2 (k 2 ? kt ? 1) 2 k2 ? ? k (k ? t ) ? 1 ? t 2 ? kt k (t 2 ? k 2 ? 1) ? ? k k
? y?
x?? k ( k ?t ) ?1 k

而抛物线在点 N 处切线斜率: k 切

?

? 2k ( k ? t ) ? 2 k

? ? MN 是抛物线的切线,

(k 2 ? kt ? 1) 2 ? 2k (k ? t ) ? 2 2 2 , 整理得 k ? tk ? 1 ? 2t ? 0 ? 2 2 k k (t ? k ? 1)
2 2 2 (舍去) ,或 t ? ,? t min ? 3 3 3

? ? ? t 2 ? 4(1 ? 2t 2 ) ? 0 ,解得 t ? ?
圆锥曲线(二) 1. ?1,?

? ?

3? ? 2?

2. x+2y-8=0

3. 1/2

4.

3 ? ?3 ? ? 5??? 5 ,3 ? ? ? 3,? 5 ? ?5 ? ?
8.

5. 2

6.

4 14 y ?? ,y ?? 3 3
3 3
∴e ?
2

7.

x ? 0? y ? 4?

5 3

9.

3

10.

?1,2?

11. (1) 由于 e ?

c 2 a 2 ? b2 1 ? ? 3 a2 a2



b2 2 ? a2 3

又b ?

2 1?1

? 2 ∴b2=2,a2=3 因此,

a ? 3 . b= 2 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)由(1)知 F1,F2 两点分别为(-1,0)(1,0) , ,由题意可设 P(1,t).(t≠0).那么线段 PF1 中点为

???? ? ???? t t N (0, ) , 设 M(x 、 y) 是 所 求 轨 迹 上 的 任 意 点 . 由 于 MN ? (? x, ? y ) . PF1 ? (?2, ?t ) 则 2 2 ? t ? ???? ???? ? MN ? PF1 ? 2 x ? t ( y ? ) ? 0 消去参数 t 得 y2 ? ?4 x( x ? 0) ,其轨迹为抛物线(除原点) 2 ? ?y ? t ?
12. 解:(I)设 F (c, 0) ,直线 l : x ?

y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为

2 2



c 3 |0?0?c| 2 ,? a ? 3, b ? 2 . ,解得 c ? 1 .又 e ? ? ? a 3 2 2
x2 y 2 ? ? 1 .设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 3 2
l : x ? my ? 1

(II)由(I)知椭圆的方程为 C :

由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 代入椭圆的方程中整理得 (2m
2

? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。

4m 4 , y1 y2 ? ? , .... ....① 2 2m ? 3 2m 2 ? 3 ??? ??? ??? ? ? ? .假设存在点 P,使 OP ? OA ? OB 成立,则其充要条件为:
由韦达定理有:

y1 ? y2 ? ?

点 P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ?

y2 ) ,点 P 在椭圆上,即

( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 )2 ? ?1。 3 2

整理得 2 x1 又

2

? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1x2 ? 6 y1 y2 ? 6 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A、B 在椭圆上,即 2x12 ? 3 y12 ? 6, 2x22 ? 3 y22 ? 6 .
................② ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 ................

故 2 x1 x2 将 x1 x2

? (my1 ?1)(my2 ?1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1 及①代入②解得 m2 ?
4m 2 3 2 2 3 2 ? 2 ? ,即 P( , ? , x1 ? x2 = ? 或? ). 2 2m ? 3 2 2 2 2 2

1 2

? y1 ? y2 ?

当m ?

2 3 2 2 时, P( , ? ), l : x ? y ?1; 2 2 2 2 2 3 2 2 时, P( , ), l : x ? ? y ? 1. 2 2 2 2
1 9 3 ? 2 ? 1,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b

当m ? ?

13. (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

3 x2 y 2 ? ? 1得 (Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ? ,代入 2 4 3

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 2
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF

?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 2


即直线 EF 的斜率为定值,其值为

14.解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) a 2 b2

,N(

6 ,1)两点,

2 ?4 ?1 1 ? a 2 ? b2 ? 1 ? a2 ? 8 ?a 2 ? 8 x2 y 2 ? ? ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? a 2 b2 ? b2 4 ? ?
(2) 假设存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ,

??? ?

??? ?

设该圆的切线方程为

y? kx m 方程组 ? 解

? y ? kx ? m ? 2 2 2 得 x ? 2(kx ? m) ? 8 ?x y2 ?1 ? ? 4 ?8

,即

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
则△= 16k
2

m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 ? ? m2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ?

??? ?

??? ?

y1 y2 ? 0 ,即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
,即 m ?

所以 k

2

?

? m2 ? 2 8 3m2 ? 8 2 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 , 所以 m ? 3 8 ? 3m ? 8
,因为直线

2 6 3



m??

2 6 3

y ? kx m 圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 ? 为

m2 m2 8 2 6 ? ? ,r ? ,r ? r? 2 2 2 3m ? 8 3 1? k 3 1? k 1? 8

m

2

,所求的圆为

x2 ? y 2 ?

8 ,此时圆的 3

切线

y ? kx ? m 都满足 m ?

2 6 3

或m? ?

2 6 3

,而当切线的斜率不存在时切线为 x

??

2 6 3

与椭圆

??? ??? ? ? x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 8 4 3 3 3 3
x2 ? y 2 ? 8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 3
E 恒有两个交点 A,B,且

存在圆心在原点的圆

??? ??? ? ? OA ? OB .
4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 因为 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 ( x1 ? x2 )
2

,

? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) , ) ? 4? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? 4 ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1
32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

①当 k

? 0 时 | AB |?

因为 4 k

2

?

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 3 2
时取”=”.

所以

② 当k

? 0 时, | AB |?

4 6 . 3

③ 当 AB 的 斜 率 不 存 在 时 , 两 个 交 点 为

(

2 6 2 6 2 6 2 6 ,? )或 (? ,? ) 3 3 3 3

,所以此时

| AB |?

4 6 , 3
4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

综上, |AB |的取值范围为

15.

? a2 3 ? ? ?c 3 (Ⅰ)由题意,得 ? ?c ? 3 ?a ?
∴b
2

,解得 a ? 1, c ?

3 ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? c 2 ? a 2 ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1. 2

(Ⅱ)点 P

? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x2 ? y2 ? 2 上,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ? 0 ? x ? x0 ? ,
y0 y ? 2 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
x y0

圆在点 P

化简得 x0 x ?

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 2 由? 及 x0 ? y0 ? 2 得 ? 3 x0 ? 4 ? x ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0 , 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0
∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? ∴ 3x0
2 2 x0 ? 2 ,

2 ? 4 ? 0 ,且 ?? 16 x0? 4 3 x0?4 8 ?2 x0 ?0 ? 2 ?? 2 ?

, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

设 A、B 两点的坐标分别为

? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? ,

2 4 x0 8 ? 2 x0 则 x1 ? x2 ? ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , x1 x2 ? 2 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ??? ??? ? ? OA ? OB ∵ cos ?AOB ? ??? ??? ,且 ? ? OA ? OB

??? ??? ? ? 1 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 x1 ?? 2 ? x0 x2 ? , y0

? x1 x2 ?

1 2 ?4 ? 2 x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 ?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2 2 2 2 x0 ?8 ? 2 x0 ? ? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? ?4 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 3x0 ? 4 2 ? x0 ? 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ? ? ?

??

2 2 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 ? 2 ? 0. 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4



?AOB 的大小为 90? ..w.k.s.5.u.c.o.m
算法与统计

一、填空题 1.答案:49 15 2.答案: 16 3.答案:3,6,12 4.答案:4 5. 答案:y←3 6.答案:③ 7.答案:(4) 1 8.答案: 9.答案:7 11 10. 答案: 45 二、解答题 11.解:总体容量为 6+12+18=36(人).当样本容量是 n 时,由题意知,系统抽样 36 n n n n 的间隔为 ,分层抽样的比例是 ,抽取工程师 ?6= (人),抽取技术员 ?12 n 36 36 6 36 = (人),抽取技工 ?18= (人).所以 n 应是 6 的倍数,36 的约数,即 n= 6,12,18,36. 3 36 2 当样本容量为(n+1)时,总体容量是 35 人,系统抽样的间隔为 取 6,即样本容量 n=6. 12.解: 35
x

n

? ai
i ?1

n

样本均值

n

n

n

n+1

,因为

35

n+1

必须是整数,所以 n 只能

13. 解:(1)图 1 中程序的功能是求 2+4+6+8+?+2n 的和,当 n=20 时,S=2+4 +6+?+40=420. 图 2 中程序功能是求 2+4+6+?+2n 的和,当 n=20 时,S=2+4+6+?+40 =420. 所以甲、乙两位同学编写的程序输出的结果是一致的. (2)修改后部分流程图为

14.解:(1)频率分布表如下: 成绩分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计 频数 2 3 10 15 12 8 50 频率 0.04 0.06 0.2 0.3 0.24 0.16 1 频率/组距 0.004 0.006 0.02 0.03 0.024 0.016 0.1

(2)频率分布直方图和折线图为:

(3)所求的学生比例为 0.2+0.3+0.24=0.74=74%. (4)所求的学生比例为 1-(0.12+0.16)=1-0.28=0.72=72%. 15.解:(1)A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名. (2)(ⅰ)由 4+8+x+5+3=25,得 x=5, 6+y+36+18=75,得 y=15. 频率分布直方图如下:

从直方图可以判断:B 类工人中个体间的差异程度更小. (ⅱ) x A= 4 8 5 5 3 ?105+ ?115+ ?125+ ?135+ ?145=123, 25 25 25 25 25

x B= ?115+ ?125+ ?135+ ?145=133.8, x =
25 75 ?123+ ?133.8=131.1. 100 100

6 75

15 75

36 75

18 75

A 类工人生产能力的平均数,B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为
123,133.8 和 131.1. 概率 一、填空题 1 1.答案: 2 3 2.答案: 5 3.答案:① 19 4.答案: 36 12 5.答案: 125 π 6.答案: 4 1 7.答案: 5 8.答案: 2 11

2 9.答案: 3 7 10.答案: 9 二、解答题 1 11.解:(1)设从 A 中任取一个元素是(1,2)的事件为 B,则 P(B)= ,所以从 A 中任取一个元素是(1,2) 36 1 的概率为 . 36 (2)设从 A 中任取一个元素,x+y≥10 的事件为 C,则有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)共 6 种情况, 1 于是 P(C)= , 6 1 所以从 A 中任取一个元素,x+y≥10 的概率为 . 6 (3)Y 可能取的值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

P(Y=2)= ,P(Y=3)= ,P(Y=4)= , P(Y=5)= ,P(Y=6)= ,P(Y=7)= ,
4 36 5 36 6 36

1 36

2 36

3 36

P(Y=8)= ,P(Y=9)= ,P(Y=10)= , P(Y=11)= ,P(Y=12)= .
1 2 3 4 5 6 5 4 则 E(Y)=2? +3? +4? +5? +6? +7? +8? +9? + 36 36 36 36 36 36 36 36 3 2 1 10? +11? +12? =7. 36 36 36 2 36 1 36

5 36

4 36

3 36

12.解:(1)一条生产线上熟练工人数不得少于 3 人有 C8+C8C2种选法.工人的配置合 C8+C8C2 13 理的概率 = . 4 C10 15 (2)两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验,因两次检验得出工人的配置合 13 理的概率均为 ,故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合 15 格的概率为 C2
1 4 3 1

4

3 1

13 13 52 (1- )= . 15 15 225

13.解:(1)由题意可得

q3 q3 2 L1=(164-3q)?q-? -3q +20q+10?=- +144q-10(q>0).

?3

?

3

同理可得 L2=- +81q-10(q>0),L3=- +50q-10(q>0). 3 3 (2)由期望定义可知

q

3

q

3

Eξ q=0.4L1+0.4L2+0.2L3
=0.4??- +144q-10?+0.4??- +81q-10?+0.2??- +50q-10? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? =- +100q-10. 3 (3)由(2)可知 Eξ q 是产量 q 的函数,设 f(q)=Eξ q=- +100q-10(q>0),得 f′(q) 3 =-q +100. 令 f′(q)=0.解得 q1=10,q2=-10(舍去). 由题意及问题的实际意义(或当 0<q<10 时,f′(q)>0,当 q>10 时,f′(q)<0)可知,当 q=10 时,f(q)取 得最大值,即 Eξ q 最大时的产量 q 为 10. 14.解:(1)由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1, 解得 a=0.2. ∴X 的概率分布列为
2

q3

q3

q3

q3

q3

X P

0 0.1

1 0.3

2 0.4

3 0.2

∴E(X)=0?0.1+1?0.3+2?0.4+3?0.2=1.7. (2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”;事件 A1 表示“两个月内有一个月被

投诉 2 次,另外一个月被投诉 0 次”;事件 A2 表示“两个月内每个月均被投诉 1 次”. 则由事件的独立性得

P(A1)=C1P(X=2)P(X=0)=2?0.4?0.1=0.08, 2 P(A2)=[P(X=1)]2=0.32=0.09,
∴P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17.

15.解:(1)由不放回抽样可知,第一次从 6 个球中取一个,第二次只能从 5 个球中取一 个,第三次从 4 个球中取一个,基本事件共 6?5?4=120 个,又事件 A 中含有基 本事件 3?2?4?3=72 个,(第一个是红球,则第 2,3 个是黄球,取法有 2?4?3 种,第 2 个是红球和第 3 个是红球取法一样多), 72 3 ∴P(A)= = . 120 5 第 3 次取到红球对前两次没有什么要求, 1 因为红球数占总球数的 ,每一次取到都是随机地等可能事件, 3 1 ∴P(B)= . 3 (2)由放回抽样知,每次都是从 6 个球中取一个,有取法 6 =216 种,事件 A 含基本事件 3?2?4?4=96 种. 96 4 ∴P(A)= = . 216 9
3

第三次抽到红球包括 B1={红,黄,红},B2={黄,黄,红},B3={黄,红,红},B4={红,红,红}四种两 2?4?2 2 4?4?2 4 两互斥的情形,P(B1)= = ,P(B2)= = , 216 27 216 27

P(B3)= P(B4)=

4?2?2 2 = , 216 27 2?2?2 1 = , 216 27

∴P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) 2 4 2 1 1 = + + + = . 27 27 27 27 3 排列、组合与二项式定理【答案】 一、填空题 1.【答案】 1080 2.【答案】30 3. 【答案】30 4. 【答案】91 5.【答案】

1 (2k ? 1)(2k ? 2)

6. 【答案】18 7. 【答案】14 8. 【答案】2 9. 【答案】0. 10【答案】 .10 二、解答题 1.解:(1)无序不均匀分组问题.先选 1 本有 C6种选法;再从余下的 5 本中选 2 本有 C5种选法;最后余下 3 本全选有 C3种方法,故共有 C6C5C3=60 种. (2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)题基础上,还应 考虑再分配,共有 C6C5C3A3=360 种. (3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是 C6C4C2种方法,但是这里出现了重 复.不妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F,若第一步取了 AB,第二步取了 CD, 第三步取了 EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则 C6C4C2种分法中还有(AB,EF,
2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 2 3 1 2 3 1

CD)、(CD,AB,EF)、(CD,EF,AB)、(EF,CD,AB)、(EF,AB,CD),共 A3 3
种情况,而这 A3种情况仅是 AB、CD、EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法, C6C4C2 故分配方式有 3 =15 种. A3
2 2 2 3

2.证明: (1)当 n (2)假设 n 则当 n 因为 3

? 1 时, 34 ? 8 ?1 ? 9 ? 64 ,能被 64 整除,命题成立.

? k 时,命题成立,即 32k ?2 ? 8k ? 9 能被 64 整除,

? k ? 1 时, 32( k ?1)?2 ? 8(k ? 1) ? 9 ? 9(32k ?2 ? 8k ? 9) ? 64k ? 64 .

2k ?2

? 8k ? 9 能被 64 整除,

所以 3 即当 n

2( k ?1) ?2

? 8(k ? 1) ? 9 能被 64 整除.

? k ? 1 时,命题也成立.
?

由(1)和(2)可知,对任何 n ? N ,命题成立.

1 1 2 1 2 3.解:依题意,前三项系数的绝对值是 1,Cn( ),Cn( ) , 2 2

1 1 2 1 2 且 2Cn? =1+Cn( ) , 2 2 即 n -9n+8=0,∴n=8(n=1 舍去), ∴展开式的第 r+1 项为 C8( x)
r
8-r 2

(-

1 2 x 4

)

r

1 r r 8-r r C8 16-3r r =(- ) C8?x ?x- =(-1) ? r?x . 2 2 4 2 4

r

(1)证明:若第 r+1 项为常数项, 16-3r 当且仅当 =0,即 3r=16, 4 ∵r∈Z,∴不存在 r,∴展开式中没有常数项. (2)若第 r+1 项为有理项,当且仅当 ∵0≤r≤8,r∈Z,∴r=0,4,8, 即展开式中的有理项共有三项,它们是: 16-3r 为整数, 4

T1=x4,T5= x,T9=

35 8

1 -2 x . 256

4.解:设 f(x)=(2x-1) =a0+a1x+a2x +?+a5x , 则 f(1)=a0+a1+a2+?+a5=1,

5

2

5

f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243.
(1)∵a5=2 =32, ∴a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31. (2)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a5| =-a0+a1-a2+a3-a4+a5 =-f(-1)=243. (3)∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5), 244 ∴a1+a3+a5= =122. 2 (4)(a0+a2+a4) -(a1+a3+a5) =f(1)?f(-1)=-243.
2 2 5

=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)

5. 解:(1)由 P1 的坐标为(1,-1)知 a1=1,b1=-1. ∴b2=

b1 2 1 ? 4a1

1 = . 3

1 a2=a1·2= . b 3 1 1 ∴点 P2 的坐标为( , ), 3 3 ∴直线 l 的方程为 2x+y=1. (2)①当 n=1 时, 2a1+b1=2?1+(-1)=1 成立. ②假设 n=k(k∈N*,k≥1)时,2ak+bk=1 成立, 则 2ak+1+bk+1=2ak·k+1+bk+1= b

bk 2 1 ? 4ak

(2ak+1)



bk 1 ? 2ak ? 1 ? 2ak 1 ? 2ak

=1,

∴当 n=k+1 时,命题也成立. 由①②知,对 n∈N*,都有 2an+bn=1, 即点 Pn 在直线 l 上. 综合试卷一参考答案 一.填空题 1.

?0,1?

2.

必要不充分 3.

y ? sin( x ? ) 3 3 8
10.

?

4. 4

5. 2

6. 3

7.

(1, 2)
13.

8.

?? 1,1? 或 ?? 3,1?

9.

4 ? 3

11.

3 4



12. -2008

1 n(n ? 1)

14.

? ??. ? 2? ? ?0? ? ? 2, ?? ?
二. 解答题 15. 解: A ?

? x ? 2 ? x ? 3? , B ? ? x x ? ?4, 或x ? 2? , A ? B ? ? x x ? ?4, 或x ? ?2?
? 0 时, C ? ? x a ? x ? 3a? ,显然不成立 ??? 9 分

CU ( A ? B ) ? ? x ? 4 ? x ? ?2? ,而 C ? ? x ( x ? a )( x ? 3a ) ? 0? ??? 7 分
(1)当 a

(2)当 a (3)当

? 0 时, C ? ? ,不成立 ??? 11 分
a?0
时,

C ? ? x 3a ? x ? a? , 要 使 CU ( A ? B ) ? C

,只要

?3a ? ?4 ,即 ? ?a ? ?2

?2 ? a ? ?

4 。 ??? 14 分 3

16. 解: (1)证明:由直三棱柱性质,B1B⊥平面 ABC, ∴B1B⊥AC, 又 BA⊥AC,B1B∩BA=B, ∴AC⊥平面 ABB1A1, 又 AC ? 平面 B1AC, ∴平面 B1AC⊥平面 ABB1A1. (2)解:∵A1C1∥AC, ∴A1C1∥平面 B1AC ∴C1 到平面 B1AC 的距离就是求 A1 到平面 B1AC 的距离 过 A1 做 A1M⊥B1A1,垂足为 M,连结 CM, ∵平面 B1AC⊥平面 ABB1A,且平面 B1AC∩平面 ABB1A1=B1A, ∴A1M⊥平面 B1AC.

A1C1 ? 平面 B AC
1

从而A1C ? 3a, 又A1 M ? sin A1CM ? A1 M 6 ? . A1C 6

2 a, 2

∴C1 到平面 B1AC 的距离为 2
2

(3)解:∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角, ∴∠B1CB=30°. 可得 B1C=2a,BC=

3a, AC ? 2a ,

∴ VA ? AB C
1 1

? VB1 ? ABC ?

2 3 a 6

17.解: (1)a+b+c=6,b?=ac,不妨设 a ? b ? c, 由余弦定理得 cos B ? 故有 0 ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2

B?

?
3



(2)又 b

? ac ?

a ?c 6?b ? , 从而 0 ? b ? 2 2 2
3 ?b? 2. 2



又 a+b>c =6-a-b,所以

所以 S

?

1 1 1 ? ac sin B ? b 2 sin B ? ? 22 ? sin ? 3 ,即 S max ? 3 2 2 2 3
a 2 ? c 2 ? b 2 (a ? c) 2 ? 2ac ? b 2 ? 2 2

(3)所以 BA ? BC ? ac cos B ?

?
?

(6 ? b) 2 ? 3b 2 ? ?(b ? 3) 2 ? 27 2

??? ??? 27 ? ? 3 . ? b ? 2,? 2 ? BA ? BC ? 2 4

18. 解: (1)由 2b

? 2 ,得 b ? 1
从而 a

?????1 分

2 a2 又由点 M 在准线上,得 ? 2 ,故 1 ? c ? 2 ,? c ? 1 c c

? 2

?4 分

所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

?????5 分

(2)以 OM 为直径的圆的方程为 ( x ? 1)

2

t t2 ? ( y ? )2 ? ? 1 2 4
?????7 分

其圆心为 (1,

t2 t ?1 ) ,半径 r ? 4 2

因为以 OM 为直径的圆被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 所以圆心到直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d

? r 2 ?1 ?

t 2

?????9 分

所以

3 ? 2t ? 5 t ? ,解得 t ? 4 5 2
2

所求圆的方程为 ( x ? 1)

? ( y ? 2) 2 ? 5
2

?????10 分

(3)方法一:由平几知: ON 直线 OM:

? OK ? OM
?????12 分

y?

t 2 x ,直线 FN: y ? ? ( x ? 1) 2 t

t ? ?y ? 2 x t2 t2 t2 4 4 ? 由? 得 xK ? 2 ? ON 2 ? 1 ? xK ? 1 ? xM ? (1 ? ) ? 2 ?2 ? 2 2 4 4 4 t ?4 t ?4 ? y ? ? ( x ? 1) ? t ?

2。 ?????15 分 ???? ???? ? FN ? ( x0 ? 1, y0 ), OM ? (2, t ) 方法二、设 N ( x0 , y0 ) ,则 ???? ? ???? MN ? ( x0 ? 2, y0 ? t ), ON ? ( x0 , y0 ) ???? ???? ? ? FN ? OM ,? 2( x0 ? 1) ? ty0 ? 0,? 2 x0 ? ty0 ? 2
所以线段 ON 的长为定值 又? MN

???? ?

???? ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0,? x0 2 ? y0 2 ? 2 x0 ? ty0 ? 2
? x0 2 ? y0 2 ? 2 为定值。

所以, ON

19. 解(1)设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元 由题设

f ( x) ? k1 x, g ( x) ? k 2 x
1

1 1 ,故 k = 4 4 5 5 又 g ( 4) ? ,? k 2 ? 2 4 1 5 从而 f ( x ) ? x ( x ? 0), g ( x ) ? x ( x ? 0) 4 4
由图知 f(1)= (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元

y ? f ( x) ? g (10 ? x) ?
令t

1 5 x? 10 ? x (0 ? x ? 10) 4 4

? 10 ? x 则 y ?
?

10 ? t 2 5 1 5 65 ? t ? ? (t ? ) 2 ? (0 ? t ? 10) 4 4 4 2 16

当t

5 65 时, y max ? , 此时x ? 3.75 2 16 65 万元 16

答:当 A 产品投入 3.75 万元,则 B 产品投入 6.25 万元,企业最大利润为

20 解析: (1) b6 (2) bn?1

? 94

2分

? a( n?1)1 ? a( n?1)2 ? ... ? a( n?1)( n?1)

? n ? 1 ? (an1 ? an2 ) ? ... ? (an(n?1) ann ) ? n ? 1 [来源:学§科§网 Z§X§X§K]
? 2(an1 ? an 2 ? ... ? ann ) ? 2
= 2bn 学科网] (3)∵ bn?1 所以 {bn 则 bn

?2;

6 分[来源:

? 2bn ? 2 ,∴ bn?1 ? 2 ? 2(bn ? 2)

8分 9分 11 分
*

? 2} 是以 b1 ? 2 ? 3 为首项,2 为公比的等比数列,

? 2 ? 3 ? 2n?1 ? bn ? 3 ? 2n?1 ? 2.

若数列 {bn } 中存在不同的三项 bp , bq , br ( p, q, r ? N 不妨设

) 恰好成等差数列,
12 分

p ? q ? r ,显然 {bn } 是递增数列,则 2bq ? bp ? br
q ?1

即 2 2(3 ? 2

? 2) ? (3 ? 2 p?1 ? 2) ? (3 ? 2r ?1 ? 2) ,化简得:
14 分

2 ? 2q ?r ? 2 p ?r ? 1 ??(*)
由于

p, q, r ? N * ,且 p ? q ? r ,知 q ? r ≥1, p ? r ≥2,

所以(*)式左边为偶数,右边为奇数, 故数列 {bn } 中不存在不同的三项 bp , bq , br ( p, q, r ? N 综合试卷二参考答案 一.填空题 1. 8 2. -6 3.
*

) 恰好成等差数列。

?1, ?? ?

4. 21 5. 85 , 1.6 6. 5 7. 13 3 14

?2,?? ?

8. -3 或 7 9. 内心 10.

?

11. y 2 ? 二.

??1,1? 2 1 x ? 12 ? 3 9

9 2

m ? ?5 或 ?1 。

解答题

15.解:⑴由三角函数的定义知 tan ?

? ? ∴ tan 2? ?
3
2 10

4

2 ? (? 4 ) 3 4 )2 1? (3

?

24 7

.

又 由 三 角 函 数 线 知

sin ? ?

, ∵

?

为 第 一 象 限 角 , ∴

tan ? ?

1 7

, ∴

? 161 tan(2? ? ? ) ? 724 7 1 ? . 1? 7 ? 7 73
⑵∵ cos ? 又 sin ? ∴ sin(? 由

24

1

??7 分

?? ,
5

3

?
2

? ? ? ? ,∴ sin ? ? .
5

4

?

2 10

,0? ?

?

?
2

,∴ cos ?

? 1 ? sin 2 ? ?
4 7 2 10

7 2 10 3

. ?8 分

? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?
5

? ?
5

2 10

?
.

2 2

. ??14 分

?

2 2 2 2 16 解:解法:⑴取 AC 中点 D ,连结 SD 、 DB .

?? ?? ,0 ? ? ?

?

,得

?

?? ? ? ?

3?

,∴ ?

?? ?

3? 4

∵ SA ? SC , AB ? BC ∴ SD ? AC , BD ? AC , ∴ AC ? 平面 SDB ,又 SB ? 平面 SDB ,∴ AC ? SB . ⑵∵ AC ? 平面 SDB , AC ? 平面 ABC ,∴平面 SDB ? 平面 ABC . 过 N 作 NE ? BD 于 E ,则 NE ? 平面 ABC , 过 E 作 EF ? CM 于 F ,连结 NF ,则 NF ? CM , ?NFE 为二面角 N ? CM ? B 的平面角. ∵平面 SAC ? 平面 ABC , SD ? AC ,∴ SD ? 平面 ABC . 又 NE ? 平面 ABC ,∴ NE / / SD .∵ SN ? NB , ∴ NE ??4 分

? SD ?
2

1

1 2

SA ? AD
2

2

?

1 2

12 ? 4 1

? 2 ,且 ED ? EB .
1 2
,

在正 ?ABC 中,由平几知识可求得 EF 在 Rt ?NEF 中, tan ?NFE ∴二面角 N

? MB ?
4

?

EN EF

?2 2
??8 分

? CM ? B 的正切值为 2 2 .
3 2

⑶在 Rt ?NEF 中, NF

? EF 2 ? EN 2 ? ,∴ S?CMN ? CM ? NF ?
2

1

3 3 2

, S ?CMB

? BM ? CM ? 2 3 .
2

1

设点 B 到平面 CMN 的距离为 h , ∵ VB ?CMN

? VN ?CMB , NE ? 平面 CMB ,∴ S ?CMN ? h ? S ?CMN ? NE ,
3 3

1

1

∴h ?

S ?CMB ? NE S ?CMN

?

4 2 3

.即点 B 到平面 CMN 的距离为

4 2 3

.

??14 分

17.解:设 AB ? c,AC ? b,BC ? a . (Ⅰ) ?

? bc cos A ? 9 4 4 3 ? tan A ? , sin A ? , cos A ? , bc ? 15 , bc sin A ? 12 3 5 5 ?

?bc ? 15 ?b ? 3 sin B b 3 ? ,用余弦定理得 ? cos A ? ? , 由 ? b 3 ? ? sin C c 5 ?c ? 5 ? c?5 ?
a?4
????7 分

(Ⅱ) 2 S△ABC ? 3 x ? 4 y ? 5 z ? 12 ? x ? y ? z ?

12 1 ? (2 x ? y ) 5 5

?3x ? 4 y ≤ 12, ? 设 t ? 2x ? y , ? x ≥ 0, 由线性规划得 0 ≤ t ≤ 8 . ? y ≥ 0, ?


12 ≤ x ? y ? z ≤ 4 .????13 分 5

1 18 解:设 BC=x 米(x>1) AC=y 米,则 AB=y- . , 2 1 2 2 2 在△ABC 中,由余弦定理,得(y- ) =y +x -2xycos60?. 2 1 4 所以 y= (x>1) . x-1

x2-

1 4 3 法一:y= =(x-1)+ +2≥2+ 3. x-1 4(x-1)

x 2-

当且仅当 x-1=

3 3 ,即 x=1+ 时,y 有最小值 2+ 3. 4(x-1) 2

1 1 2 2 2x(x-1)-(x - ) x -2x+ 4 4 法二: y′= = 2 2 . (x-1) (x-1) 由 y′=0 得 x=1+ 所以当 x=1+ 3 3 3 .因为当 1<x<1+ 时,y′<0;当 x>1+ 时,y′>0, 2 2 2

3 时,y 有最小值 2+ 3. 2 3 )米.?????14 分 2

答:AC 的最短长度为 2+ 3米,此时 BC 的长度为(1+ 19 解:设 A(x0,y0),因为 B(0,2),M( 3 ,0) 3

3 3 → → 故 MB =(- ,2), MA =(x0- ,y0). 3 3

??????????????2 分

3 3 → → 因为 MB =-2 MA ,所以(- ,2)=-2(x0- ,y0). 3 3 所以 x0= 3 3 ,y0=-1.即 A( ,-1). 2 2
2 2

??????????????4 分

?a?0 +b?2 =1, 1 因为 A,B 都在曲线 E 上,所以? 3 解得 a=1,b= . 4 a?( ) +b?(-1) =1. ? 2
2 2

所以曲线 E 的方程为 x + =1. 4
2 2

2

y2

??????????????6 分

(2) (法一)当 a=b=1 时,曲线 E 为圆:x +y =1.设 A(x1,y1),B(x2,y2). 3 3 ?2x1+x2= 3, → → 因为 MB =-2 MA ,所以(x2- ,y2) =-2(x1- ,y1),即? 3 3 ? y2=-2y1.

设线段 AB 的中点为 T,则点 T 的坐标为(

x1+x2 y1+y2
2 , 2

),即(

3-x1 y1 ,- ). 2 2

?? 3-x1 y1 ?? 所以 OT =( ,- ), AB =(x2-x1,y2-y1)=( 3-3x1,-3y1). 2 2 ?? ?? 2 2 因为 OT⊥AB,所以 OT ? AB =0,即 3-4 3x1+3x1+3y1=0. 因为 x1+y1=1,所以 x1= 当点 A 的坐标为(
2 2

3 1 ,y1=? . 2 2

3 1 ,- )时,对应的点 B 的坐标为(0,1),此时直线 AB 的斜率 2 2

k=- 3,所求直线 AB 的方程为 y=- 3x+1;
当点 A 的坐标为( 3 1 , )时,对应的点 B 的坐标为(0,-1),此时直线 AB 的斜率 k= 3, 2 2 ??????????????16 分
2

所求直线 AB 的方程为 y= 3x-1.
2

(法二)当 a=b=1 时,曲线 E 为圆:x +y =1.设 A(x1,y1),B(x2,y2). 3 3 ?2x1+x2= 3, → → 因为 MB =-2 MA ,所以(x2- ,y2) =-2(x1- ,y1),即? 3 3 ? y2=-2y1.

?x +y =1,??① ? 因为点 A,B 在圆上,所以? ?x +y =1,??② ?
2 1 2 1 2 2 2 2

由①?4-②,得(2x1+x2)(2x1-x2)=3.所以 2x1-x2= 3,解得 x1= 由 x1= 3 1 ,得 y1=? . (以下同方法一) 2 2

3 ,x2=0. 2

(法三)如图,设 AB 中点为 T. 1 3 则 TM=TA-MA= AB,OM= . 6 3

?TM +OT =1, 3 根据 Rt△OTA 和 Rt△OTM,得? TA +OT =1. ?
2 2 2 2

? 1 AB +OT =1, ?36 3 即? 解得 1 ?4AB +OT =1. ?
2 2 2 2

AB= 3,OT= .所以在 Rt△OTM 中,

1 2

tan?OMT= = 3. 所以 kAB=- 3或 3.所以直线 AB 的方程为 y=- 3x+1 或 y= 3x-1. 20.解: (1) ∴

OT TM

{an } 为等差数列,∵ a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22 ,又 a3 ? a4 ? 117 ,

a3 , a4 是方程 x 2 ? 22 x ? 117 ? 0 的两个根

又公差 d

? 0 ,∴ a3 ? a4 ,∴ a3 ? 9 , a4 ? 13



? a1 ? 2d ? 9 ? ?a1 ? 3d ? 13

?a1 ? 1 ? d ?4 ∴?



an ? 4n ? 3 ,

(2)由(1)知,

Sn ? n ?1 ?

n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n 2 ,

Sn 2n 2 ? n bn ? ? n?c n?c ∴
b1 ? 1 6 15 b2 ? b3 ? 1? c , 2?c , 3?c



,



{bn } 是等差数列,∴ 2b2 ? b1 ? b3 ,∴ 2c 2 ? c ? 0 ,
c?? 1 2 ( c ? 0 舍去)



,

2n 2 ? n bn ? ? 2n 1 n? 2 (3)由(2)得

,

2Tn ? 3bn ?1 ? 2(n 2 ? n) ? 3(2n ? 2) ? 2(n ? 1) 2 ? 4 ? 4 , n ? 1 时取等号

.

64bn 64 ? 2n 64n 64 ? ? 2 ? ?4 (n ? 9)bn ?1 (n ? 9) ? 2(n ? 1) n ? 10n ? 9 n ? 9 ? 10 n , n ? 3 时取等号 15 分
2Tn ? 3bn ?1 ?
(1)、(2)式中等号不可能同时取到,所以 练习三答案 1.

64bn (n ? 9)bn ?1
1 7

.

? ?1, 2? 2. -1
12. 4

3.7 13.

4. (0,2) 5. (?4, ?8) 6.

3 2

7.

?

8。 ln 2 ? 1 9.

[

15 27 , ) 2 2

10.

? 6

11.

(??,1)

2 2

14.

(??,?3] ? [3,??)

15. 解:由 A ? B ?

B得B ? A ,



A ? ??4,0?



? ? 4(a ? 1)2 ? 4(a2 ?1) ? 8a ? 8

当?

? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B ? ? ,符合 B ? A ;
? ?1 时, B ? ?0? ,符合 B ? A ;

当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a 当?

? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B 中有两个元素,而 B ? A ? ??4,0? ;



B ? ??4,0?

得a

?1

∴a 16.

? 1或a ? ?1 。

(I)证明:依题意知: CD

? AD.又 ? 面PAD ? 面ABCD

? DC ? 平面PAD.

又DC ? 面PCD
(II)由(I)知 PA

? 平面PAD ? 平面PCD.
? 平面 ABCD

∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD, 设 MN=h

1 1 1 h S ?ABC ? h ? ? ? 2 ? 1 ? h ? 3 3 2 3 1 1 (1 ? 2) 1 VP ? ABCD ? S ?ABC ? PA ? ? ? 1? 1 ? 3 3 2 2 1 h h 1 要使 V PDCMA : VMACB ? 2 : 1, 即( ? ) : ? 2 : 1, 解得 h ? 2 3 3 2
则 VM ? ABC

?

即 M 为 PB 的中点. (III)以 A 为原点,AD、AB、AP 所在直线为 x,y,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(0,0,0) B(0,2,0) , ,

C(1,1,0) D(1,0,0) , , P(0,0,1) M(0,1, ,

1 2



由(I)知平面 PAD ? 平面PCD, 作AQ ?

PD ,则

AQ ? 平面PDC, 则AQ 为平面PCD 的法向量。
又? ?PAD 为等腰 Rt ?

1 1 ? Q为PD 的中点 , 即Q ( ,0, ) 2 2 1 1 1 1 ? 0, 所以 AQ不垂直 AM 因为 AQ ? AM ? ( ,0, )( 0,1, ) ? 2 2 2 4
所以 AM 与平面 PCD 不平行. 17.解: (1)由条件知 又∵取 x=2 时,

f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 2 恒成立


1 f (2) ? 4a ? 2b ? c ? (2 ? 2) 2 ? 2 与恒成立, 8

f (2) ? 2 .

(2)∵ ?

?4a ? 2b ? c ? 2 ?4a ? 2b ? c ? 0

∴ 4a ? c

? 2b ? 1,

∴b

?

1 , 2

c ? 1 ? 4a .

又 ∴a ∴

f ( x) ? x 恒成立,即 ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0 恒成立.
1 ? 0, ? ? ( ? 1) 2 ? 4a(1 ? 4a) ? 0 , 2 1 1 1 f ( x) ? x 2 ? x ? . 8 2 2
解出: a

1 1 1 ? ,b ? ,c ? , 8 2 2

(3)由分析条件知道,只要 直线的斜率

f (x) 图象(在 y 轴右侧)总在直线 y ?

m 1 x ? 上方即可,也就是 2 4

m 2

小于直线与抛物线相切时的斜率位置,于是:

? ?y ? ? ? ?y ? ? ?

1 2 1 1 x ? x? 8 2 2 m 1 x? 2 4
?

∴ m ? (??,1 ?

2 ). 2

解法 2: g ( x) 即

1 2 1 m 1 1 x ? ( ? ) x ? ? 在x ? [0,?? ) 必须恒成立, 8 2 2 2 4

x 2 ? 4(1 ? m) x ? 2 ? 0在x ? [0,??) 恒成立.
2

①△<0,即 [4(1-m)] -8<0,解得: 1 ?

2 2 ? m ? 1? 2 2

;

?? ? 0 ? ② ?? 2(1 ? m) ? 0 ? f ( 0) ? 2 ? 0 ?
18 ,解: (Ⅰ) 1 ? 即 ∴

解出: m

? 1?

2 2

.

总之

tan A 2c sin A cos B 2sin C , ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B

sin B cos A ? sin A cos B 2sin C , ? sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C 1 ,∴ cos A ? . ? sin B cos A sin B 2 π . 3
2

∵ 0 ? A ? π ,∴ A ? (Ⅱ)m ? n ? (cos B,2cos

C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2 2π 1 π ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) . 3 2 6

? |m ? n| 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 (
∵A?

π 2π 2π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ). 3 3 3

从而 ?

π π 7π . ? 2B ? ? 6 6 6 π π 1 2 ) =1,即 B ? 时,|m ? n| 取得最小值 . 6 3 2

∴当 sin(2 B ? 所以,|m ? n| min ? 19. 解:⑴?b
2

2 . 2

? ac, a2 ? c2 ? 2ac, ? cos B ?
B?

当且仅当 a ? c 时取等号,? 0 ? 由于

?
3

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac ? ac 1 ? ? , 2ac 2ac 2



f ( B) ? sin B ? 3 cos B ? 2sin( B ? ) , 3 ? ? ? 2? ? 又 B ? ?? , ? ,? 3 ? f ( B) ? 2 , 3 ?3 3 ? 即 f ( B ) 的值域为 ? 3, 2 ? . ? ? ⑵? a ? c ? 2b,?sin A ? sin C ? 2sin B, 又 ? 2? B ? B ? A ? C ? , A ? C ? ? ? B,? A ? ? ,C ? ? , 3 3 2 3 2 2? B ? B ? sin( ? ) ? sin( ? ) ? 2sin B, 3 2 3 2 B B B ? 2 ? 2sin cos , 展开化简,得 3 cos 2 2 2

?

? cos
20.

B B 3 ? 0,? sin ? , 2 2 4

? cos B ? 1 ? 2sin 2

B 3 5 ? 1? ? . 2 8 8

20、 (Ⅰ)解: 当a 令

f ?( x) ? 4x3 ? 3ax2 ? 4x ? x(4x2 ? 3ax ? 4) .

10 2 时, f ?( x) ? x(4 x ?10 x ? 4) ? 2 x(2 x ?1)( x ? 2) . 3 1 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 . 2 ??

当 x 变化时,

f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)
所以

(?∞, 0)

0
0
极小值

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2
0
极大值

?1 ? 2 ? ,? ?2 ?
?


2

(2,∞) ?

?


?


0
极小值

?


? 1? ?1 ? f ( x) 在 ? 0, ? , (2,∞) 内是增函数,在 (?∞, , ? ,? 内是减函数. ? 0) 2 ? 2? ?2 ?

(Ⅱ)解: 为使

f ?( x) ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根.

f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x 2 ? 3ax ? 4 ≥ 0 恒成立,即有 ? ? 9a 2 ? 64 ≤ 0 .
8 8 ≤ a ≤ .这时, f (0) ? b 是唯一极值. 3 3

解此不等式,得 ?

因此满足条件的 a 的取值范围是

? 8 8? ?? 3 , ? . 3? ?

(Ⅲ )解:由条件 a? 当x

2 ??2,? 可知 ? ? 9a2 ? 64 ? 0 ,从而 4x2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.

? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .

因此函数

f ( x) 在 ??11? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. ,

为使对任意的 a?

2 , ??2,? ,不等式 f ( x) ≤1 在 ??11? 上恒成立,当且仅当
即?

? f (1) ≤1, ? ? f (?1) ≤1,
在 a?

?b ≤ ?2 ? a, ?b ≤ ?2 ? a

2 ? ??2,? 上恒成立.所以 b ≤ ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 ? ?∞, 4? .

暑假作业三十一答案

1、2

2. ?

2 5 5

3. 6 ;

4.

25 2

5.81,36

6. ①④

7、 -

3 3 <k≤0。 8 2 3

9 ②⑤

1 ? ?1 ? a,a ≤ 2 ? 10、 (a) ? M = , ? a,a ? 1 ? ? 2

M (a) = min

1 2

. 11、(

? 5?

, )、 3 6

12 【解析】 f ( x) 在 R 上是偶函数, f ( x) 的图象关于 y 轴对称, 故 作出 f ( x) 的图象, 截取值域是 ?0,1? 的 一段,发现 a,b 的取值只可能在-2,-1,0,1,2 中取得,但必须取 0,-2﹑2 必须至少取一个,故有 5 个.14、1 13、 【解析】 BP
2

? PC

2

,即 ( BA ?

AP) 2 ? (PA ? AC) 2 , AC ? BA ? 2 AP ? BC ? 5 ,

2

2

AC ? 5 ,
15.解: (I)∵a ? (cos x, 2cos x) , b ? (2cos x,sin ∴

?? ? x?) ,

f ( x) ? a

?b+1 ? 2cos

2

x ? 2cos x sin(? ? x) ?1 -

? 1 ? cos 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2

-

? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 . 4
∴函数

?

-

f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ? ? .
2

-

(II)

? ?? ? x ? ?0, ? , ? 2?
∴ 2x ?

? ? ? 5? ? . ? , 4 ?4 4 ? ? ?



当2 x ?

?
4

?

?
2

,即x ?

?
8

时 , f ( x)有最大值 2 ? 2 ;

-

当2 x ?

?
4

?

5? ? , 即x ? 时 , f ( x)有最小值1 . 4 2

16. (本小题满分 14 分) 解法一: 证明:连结 OC,

? ?ABD为等边三角形,O为BD的中点,


AO ? BD .


O , -? ?ABD和?CBD为等边三角形, 为BD的中点 AB ?

2

2 , AC ? 6 ,

AO ? CO ? 3

在 ?AOC 中,? AO ∴ ?AOC

? CO2 ? AC 2 ,

? 90o , 即 AO ? OC.

? BD ? OC ? O,


AO ? 平面 BCD .
? BC于E ,连结 AE,
A

(II)过 O 作 OE

? AO ? 平面BCD ,
∴AE 在平面 BCD 上的射影为 OE.
O D



AE ? BC .

B

E

C



?AEO为二面角 A ? BC ? D 的平面角. AO ? 3 , OE ?
AO 3 ? 2, , tan ?AEO ? OE 2

在 Rt?AEO 中, ∴ ?AEO

? arctan 2 . 2.
(III)解:设点 O 到平面 ACD 的距离为 h .

∴二面角 A-BC-D 的大小为 arctan

?VO? ACD ? VA?OCD ,


1 1 S ?ACD ? h ? S ?OCD ? AO . 3 3

在 ?ACD 中,

AD ? CD ? 2, AC ? 6
2



S ?ACD

? 6? 1 15 ? ? . ? 6 ? 22 ? ? ? 2 ? 2 2 ? ?
3 2




AO ? 3, S ?OCD ?

∴h ?

S?OCD 15 . ? AO ? S?ACD 5
15 . 5

∴点 O 到平面 ACD 的距离为 解法二: (I)同解法一.

(II)解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则

O(0,0,0), A(0,0, 3 ), B (0,1,0), C ( 3 ,0,0), D(0,?1,0)

? AO ? 平面BCD ,
∴ 平面BCD 的法向量AO ? (0,0, 设平面 ABC 的法向量 n ? ( x, y, z) ,

??? ?

3) .

AB ? (0,1,? 3) , BC ? ( 3,?1,0) ,
由?

?n ? AB ? 0 ?

? y ? 3z ? 0 ? ?? ? n ? (1, 3,1) .设 n 与 AO 夹角为 ? , ?n ? BC ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ?
z A

D O

B y

C x



cos? ?

n ? AO n ? AO

?

5 . 5

∴二面角 A-BC-D 的大小为 arccos

5 . 5

(III)解:设平面 ACD 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,又 DA ? (0,1,

??? ?

3) , DC ? ( 3,1,0)

?m ? DA ? 0 ? y ? 3z ? 0 ? ? ?? ? m ? (1,? 3,1) . ? ?m ? DC ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ?
设 OA 与 m 夹角为 ? ,



cos? ?

m ? OA m ? OA

?

5 5

设 O 到平面 ACD 的距离为 h,



h 5 15 , ? ?h? OA 5 5 15 . 5

∴O 到平面 ACD 的距离为

17. 解: (Ⅰ)

f ' ( x) ? x2 ? 2bx ? 2 .
f (x) 的一个极值点, x 2 ? 2 b x? 2 ? 0的 一 个 根 , 解 得 b ?
∴函数

∵x?2是

∴ x?2 是方程

3 2

.



f ' ( x) ? 0

,则

x 2 ? 3x ? 2? 0 解 得 x ? 1 或 x ? 2 . ,
(2, +?) .
∴ (Ⅱ)∵当 x ? (1, 2) 时

y ? f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (??, 1) ,

f ' ( x) ? 0 , x ? (2,3) 时 f ' ( x) ? 0 ,


f ( x) 在(1,2)上单调递减, f ( x) 在(2,3)上单调递增.

f (2) 是 f ( x) 在区间

[1,3]上的最小值,且 若当 x ? [1, 即

f (2) ?

2 ?a . 3 2 2 2 恒成立,只需 f (2) ? a ? , 3 3

3] 时,要使 f ( x ) ? a 2 ?

2 2 ? a ? a 2 ? ,解得 0 ? a ? 1 . 3 3

18、解: (I)设运动员得 4 分的事件为 A,

2 1 2 1 4 ? ? ? ? 81 则 P(A)= 3 3 3 3
(Ⅱ)设运动员得 i 分的事件为



Ai ,

ξ 的可能取值为 0, 1, 2, 3,4 . P(ξ =0)= P(ξ =4)= P

? A0 ? ? P? A4 ? ?
3

4 , 81
3

P(ξ = 1) = P(ξ =3) = P

2 1 2 20 1 1 ? A1 ? ? P ? A3 ? ? C ? ?? ? ? C2 ? ?? ? ? ,--10 分 ? ?? ? ? ?? ? ? 3 ?? 3 ? ? 3 ?? 3 ? 81
1 2

P(ξ = 2) = P

? A2 ? ? ? 1 ? ? ?

33 ? 2? ? 2? ?1? , ? ? ? ? 4? ? ? ? ? 81 ? 3? ? 3? ? 3 ? ? 3?

4

4

2

2

ξ 的分布列为: ξ P 数学期望 E

0

1

2

3

4

4 81

20 81

33 81

20 81

4 81

ξ =0 ?

4 + 81

1?

20 81

+ 2?

33 81

+ 3?

20 + 81

4?

4 =2. 81
f ( x) ? k1 x , g ( x) ? k2 x , f (1) ?

18(文) (1)

1 1 ? k1 , g (1) ? k 2 ? 8 2

1 1 , f ( x) ? x ( x ? 0 ) g ( x) ? x(x?0) 8 2
(2)设:投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 20 ? x 万元

y ? f ( x) ? g (20 ? x) ?

x 1 ? 20 ? x (0 ? x ? 20) 8 2 20 ? t 2 1 1 ? t = ? (t 2 ? 4t ? 20) 令 t ? 20 ? x ,则 y ? 8 2 8 1 2 = ? (t ? 2) ? 3 8
所以当 t ? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大,

-

ymax ? 3 万元

19.

x2 y2 解: (Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 a b
由已知

(a>b>0) ,

a ? 2, e ?

c 1 ? , a 2

∴ c ?1

, b2 ? a2 ? c2 ? 3 ,
x2 y2 ? ?1. 4 3

∴ 椭圆方程为 (Ⅱ)解法一 椭圆右焦点 F

?1,0? .
方程为

设直线

P Q

x ? my ? 1 ( m

∈R) .



? x ? my ? 1, ? 2 ?x y2 ? ? 1, ? 3 ?4



?3m

2

? 4 y 2 ? 6my? 9 ? 0 .①
设P

?

显然,方程①的 ?

? 0.
----7 分

?x1, y1 ?, Q?x2 , y2 ? ,则有 y1 ? y2 ? ?

6m 9 , y1 y2 ? ? 2 . 2 3m ? 4 3m ? 4

PQ ?

?m

2

? 1 ? y1 ? y2 ? ?
2

?

?

? 36m2 36 ? ? m ?1 ? ? 2 ? 3m2 ? 4 2 3m ? 4 ? ? ?
2

?

?

?

? 12


?m ?3m


2 2

?1

? ? 4?
2

2

? 12 ?

m2 ? 1 . 3m 2 ? 4

PQ ?

24 7



12?

m 2 ? 1 24 ? . 3m 2 ? 4 7
? ? y ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

解得 m

? ?1 .

∴直线 PQ 方程为 x

解法二: 椭圆右焦点 F

?1,0? .
PQ ? 3 ,不合题意.
y ? k ( x ? 1)
, 由

当直线的斜率不存在时,

设直线

P Q

方程为

? y ? k ? x ? 1?, ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12,



?3 ? 4k ?x
2

2

? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 .



显然,方程①的 ?

? 0.
, 则



P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y2 ?
8k 2 4k 2 ? 12 , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
PQ ?
2

x1 ? x2 ?

?1 ? k ???x ? x ?
1 2

2

? 4 x1 ? x2

?

?

?

?? 8k 2 ? 2 4k 2 ? 12 ? ? ? 4? ? 1 ? k ?? 2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ?? 3 ? 4k ? ? ?
2

?

= 12

?k ? 1? ?4k ? 3?
2 2 2

2

? 12

k 2 ?1 . 4k 2 ? 3



PQ ?

24 7



k 2 ? 1 24 ? ∴ 12 ,解得 k ? ?1 . 4k 2 ? 3 7
∴直线 PQ 的方程为

y ? ??x ?1? ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

--------9 分

(Ⅲ) ?APQ 不可能是等边三角形. ∴ ∴ ∴ ∵

如果 ?APQ 是等边三角形,必有

AP ? AQ ,

?x1 ? 2?2 ? y12 ? ?x2 ? 2?2 ? y22 ,

?x1 ? x2 ? 4??x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ,

?m? y1 ? y2 ? ? 6?m? y1 ? y2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ,
y1 ? y2 ,

∴ ∴

?m
?m

2

? 1 ? y1 ? y2 ? ? 6m ? 0 ,
?1 ? ? 3m 6m4 ? 6m ? 0 , ?
2

?

2

m2 ? 1 ? 1 (无解) ∴ m ? 0 ,或 . 3m 2 ? 4
而当 m ? 0 时,

PQ ? 3, AP ? AQ ?

3 5 2

,不能构成等边三角形.

∴ ?APQ 不可能是等边三角形. 20.

解: (Ⅰ)由题意 S n

? 2n ,

Sn?1 ? 2n?1 (n ? 2) ,
两 式 相减 得

an ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) .

当n

? 1 时,

21?1 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 ,
∴ an

?2 (n ? 1) ? . ? ? n ?1 (n ? 2) ?2 ?

-

(Ⅱ)∵ bn?1 ∴ b2

? bn ? (2n ? 1) ,

? b1 ? 1 ,

b3 ? b2 ? 3 , b4 ? b3 ? 5 ,
………

bn ? bn?1 ? 2n ? 3 .
以上各式相加得

bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ?
∵ b1

(n ? 1)(1 ? 2n ? 3) ? (n ? 1) 2 . 2

? ?1

,



bn ? n 2 ? 2n

.



?? 2, n ? 1 cn ? ? n ?1 ?(n ? 2) ? 2 , n ? 2





Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2n?1 ,
∴ 2Tn ∴ ? Tn

? ?4 ? 0 ? 22 ? 1? 23 ? 2 ? 24 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n . ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2n?1 ? (n ? 2) ? 2n .
2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2 n 1? 2
n

?

=2 ∴ Tn

? 2 ? (n ? 2) ? 2 n ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 n .

? 2 ? (n ? 3) ? 2 n .

(3) Tn ? Tn?2

? Tn2 1 = [2 ? (n ? 3) ? 2n ] ? [2 ? (n ? 1) ? 2n?2 ] ? [2 ? (n ? 2) ? 2n?1 ]2 ?
=4+ 2 ? (n ? 1) ? 2
n? 2

? 2 ? (n ? 3) ? 2n ? (n ? 3) ? (n ?1) ? 22n?2

? [4 ? 4 ? (n ? 2) ? 2n?1 ? (n ? 2) 2 ? 22n?2 ]
=2
n ?3

? (n ? 3) ? 2n?1 ? 2 2 n? 2

? 2 n ?1 ? [(n ? 1) ? 2n?1 ] .
用数学归纳法证明如下: ①当 n

∵2

n?1

?0,

∴ 需证明 n ? 1 ? 2

n ?1



? 1 时, 1 ? 1 ? 21?1 成立.

②假设 n

? k 时,命题成立即 k ? 1 ? 2k ?1 ,
? k ? 1 时, (k ? 1) ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? 2k ?1 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 2( k ?1)?1 成立.
n ?1

那么,当 n

由①、②可得,对于 n ? N * 都有 n ? 1 ? 2 ∴2
n ?1

成立.

? [(n ? 1) ? 2n?1 ] ? 0 .

∴ Tn ? Tn?2

? Tn2 1 . ?
江苏省启东中学假期作业综合卷一答案

一、填空题:

1.0

2.

2

3. 40

4.

2 5

5.1

6.

3 2

7. 2 ? 1

8.

?2 8

9.

2 2

10. 2011

11. [7,8)

12. 15

13. (3, ?

9 ) 8

14. (2 6, 2 7]

二、解答题:

π π 1 3 f ( x) ? sin( ? x) sin( ? x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ????2 分 4 4 2 2 π ? sin(2 x ? ) , ???????????????????????4 分 6 π 所以 f ( ) =1 .??????????????????????????????6 分 6 A A π π π π sn A ? 1 ? ,因 0 ? A ? π , 以A ? ? , A ? . 8分 ) ⑵由 f ( ) ? 1 , f ( ) ?i ( 有 为 所 即 2 2 6 6 2 3 2π 3 3 π sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) = sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) . ??12 分 3 2 2 3 2π π π π E 因为 0 ? B ? ,所以 ? B ? ? π , 0 ? sin( B ? ) ≤ 1 , 3 3 3 3 F 所以 sin B ? sin C 的最大值为 3 .?????14 分 D 16.⑴设 AC ? BD ? O ,连结 FO . C 因为 ABCD 是正方形,所以 O 是 BD 的中点,
15.⑴ 因为 BD ? 2EF ,所以 DO ∥EF , 所以四边形 DOFE 是平行四边形,

O

A
第 16 题图

B

所以 DE

? OF

.??????????????5 分

因为 DE ? 平面 ACF , OF ? 平面 AFC ,所以 DE

? 平面 ACF .???????7 分

⑵因为 ABCD 是正方形,所以 BD ? AC ,因为平面 ABCD ? 平面 BDEF , 平面

ABCD ? 平面 BDEF ? BD ,所以 AC ? 平面 BDEF ,
?????????????????10 分

因为 BE ? 平面 BDEF ,所以 BE ? AC .

1 因为 BF ? BD ,所以 BF ? BO ,所以四边形 BOEF 是正方形,所以 BE ? OF . 12 分 2 因为 OF ? AC ? O , OF , AC ? 平面 ACF ,所以 BE ? 平面 ACF . ???14 分
17.⑴因为 △ AOC 的面积与 △ BOC 的面积之和等于 △ AOB 的面积, 所以

1 1 1 x( 2 ? 6)sin 45? ? y( 2 ? 6)sin 30? ? xy sin 75? ,???????????4 分 2 2 2

2 1 6? 2 2 2x x( 2 ? 6) ? y ( 2 ? 6) ? xy ,所以 y ? ( x ? 2) . ????6 分 2 2 4 x?2 1 6? 2 3 ? 1 x2 ? xy = ? ⑵ △ AOB 的面积 S ? xy sin 75 ? ?????????8 分 2 8 2 x?2 3 ?1 4 3 ?1 (x ? 2 ? ? 4) ≥ ? ? 4( 3 ? 1) . 8 = ?????12 分 2 x?2 2
即 当且仅当 x ? 4 时取等号,此时 y ? 4 2 . 故 OA ? 4km , OB ? 4 2km 时,△ OAB 面积的最小值为 4( 3 ? 1)km .
2

????14 分

1) 1) 18.⑴易求 A(2 , , B(?2 , .
2

?????????????????????2 分

??? ? ??? ? ??? ? ? x ? 2(m ? n) x0 ? y0 2 ? 1.由 OP ? mOA ? nOB ,得 ? 0 , 4 ? y0 ? m ? n 4(m ? n)2 1 1 n 所以 ? (m ? n)2 ? 1,即 m2 ? n2 ? .故点 Q(m ,) 在定圆 x2 ? y 2 ? 上. 2 2 4 yy 1 y y ⑵设 M ( x1 ,1 ) , N ( x2 , 2 ) ,则 1 2 ? ? . x1 x2 4 y 设 P( x0 , 0 ) ,则
平方得 x1 x2 ? 16 y1 y2 ? (4 ? x1 )(4 ? x2 ) ,即 x1 ? x2 ? 4 .
2 2 2 2 2 2 2 2

?8 分

?????????10 分

因为直线 MN 的方程为 ( x2 ? x1 ) x ? ( y2 ? y1 ) y ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 , 所以 O 到直线 MN 的距离为 d ?

| x1 y2 ? x2 y1 | ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

,

?????????12 分

所以 △OMN 的面积 S ?

1 1 1 MN ? ? | x1 y2 ? x2 y1 |? d x12 y22 ? x22 y12 ? 2x1 x2 y1 y2 2 2 2
=

x2 x2 1 1 1 x12 (1 ? 2 ) ? x2 2 (1 ? 1 ) ? x12 x2 2 = x12 ? x22 ? 1 . 2 4 4 2 2
???????????????16 分
2

故 △OMN 的面积为定值 1 .

19.⑴ 为 g ?( x) ? 2 x , 以 xg ?( x) ? g ( x) ? 2 x 因 所 即 xg ?( x) ?

? ( x2 ?1) ? x2 ? 1 ? 0 在(0, ??) 上恒成立,

g ( x) 在 (0, ??) 上恒成立,所以 g ( x) ? x2 ? 1是 A 型函数.??????2 分 1 1? a 1? a 1? a ( x ? 0) ,由 xh?( x) ? h( x) ,得 ax ? 1 ? ? ax ? 3 ? ln x ? ⑵ h?( x ) ? a ? ? , 2 x x x x

因为 x 令

? 0 ,所以可化为 2(a ? 1) ? 2 x ? x ln x ,

p( x) ? 2 x ? x ln x , p?( x) ? 3 ? ln x ,令 p?( x) ? 0 ,得 x ? e?3 ,
?3

当 x ? (0,e 当 x ? (e 所以
?3

) 时, p?( x) ? 0 , p( x) 是减函数;

, ??) 时, p?( x) ? 0 , p( x) 是增函数,

1 p( x)min ? p(e?3 ) ? ?e?3 ,所以 2(a ?1) ? ?e?3 , a ? 1 ? e ?3 .??????4 分 2 1? x ? 0 ,得 x ? 1 ,所以增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ; ①当 a ? 0 时,由 h?( x ) ? x2 1? a a( x ? )( x ? 1) a ②当 a ? 0 时,由 h?( x) ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , x2
所以增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ; ③ 0? 当 ④当 a

a?

1 1? a 1? a 1? a , ??) ,减区间为( ,1) ; 时 得x ? 1 , x ? , 或 , 以 区 为(0,1) ,( 所 增 间 2 a a a

1 时, h?( x) ≥ 0 ,所以,函数增区间为 (0, ??) ; 2 1? a a( x ? )( x ? 1) 1 1 ?3 1? a a ?( x) ? ⑤ ? a ? 1 ? e 时,由 h ,或 x ? 1 , ? 0 ,得 x ? 2 2 2 a x 1? a 1? a ) ,减区间为 ( ,1) . ??????????10 分 所以增区间为 (1, ??) , (0, a a ?
⑶证明:函数

f ( x) 是 (0, ??) 上的每一点处都有导数,且 xf ?( x) ? f ( x) 在 (0, ??) 上恒成立,设

F ( x) ?

f ( x) xf ?( x) ? f ( x) ? 0 在 (0, ??) 时恒成立, , F ?( x) ? x x2

所以函数 F ( x)

?

f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, x

???????????????12 分

因为 x1

? 0, x2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? x1 ? 0, x1 ? x2 ? x2 ? 0 ,
x 2 F( ) ?) ?x 2
f (x 1 ?x 2 ) f ( 1) f ( 1 x ?2) f x 2 x x ( ) ? , ? x1 ? x2 x1 x1 ?2 x x2

所 F (x 1 ?x 2 ) ?F 以

( 1),F (x x

1

, 即

, 分 14

所 f ( x1 ) ? 以

x1 f ( x ? x ) x f (x ? x ) 1 2 , f ( x2 ) ? 2 1 2 , 式 加 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) , 两 相 , 16分 x1 ? x2 x1 ? x2

20.⑴当 k ? 3 , a1a2 a3 ? 6 则 a1 ? a2 ? a3 ? 6 . 设 cn ? a3n ? 2 ? a3n ?1 ? a3n ,由 an ?3

? 3 ? an ,得 cn?1 ? cn ? 9 ,所以数列 {cn } 是公差为 9 的等差数列,

12 ?11 ? 9 ? 666 .????????????4 分 2 ⑵若 k ? 2 时, a1 ? a2 ? a1 ? a2 ,又 a1 ? a2 ,
故 S36 ? c1 ? c2 ? ? ? c12 ? 12 ? 6 ? 所以 a1 ? a2

? 2a2 ,所以 a1 ? 1 ,此时 1 ? a2 ? a2 ,矛盾. ????????????6 分 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? 3a3 , a1 ? a2 ? 3 ,

若 k ? 3 时, a1 ? a2 所以 a1

? 1, a2 ? 2, a3 ? 3 ,满足题意. ????????????????????8 分 ? ? ? ak ? a1 ? a2 ? ? ? ak ,所以 a1 ? a2 ?? ? ak ? kak ,即 a1 ? a2 ?? ? ak ?1 ? k , ? 1? 2 ??? (k ? 1) ≥ 2k ? 2 ? k ,所以 k ≥ 4 不满足题意.??10 分 ? 3 ? an ,

若 k ≥ 4 时, a1 ? a2

又因为 a1 ? a2 ?? ? ak ?1

所以, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 ,且 an ?3 所以 a3n?2 故 an

? a1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 , a3n ?1 ? a2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1, a3n ? a3 ? 3(n ? 1) ? 3n ,
??????????????????????????????12 分 所以 bn ?1 ? bn ? 2

?n.

⑶又 bn

1 ? bn ?1 ? ?21? ( ) an ?8 2

1 ? ?21? ( ) an?1 ?8 2
为公比的等比数列,

所以

1 bn ? 2 1 ? ,所以 ?b2n ? , ?b2n?1? 都是以 2 bn 2

? ? 6 1 n2 1 3 ? 2 ? ( ) , n ≥ 1, n为奇数, ? ? 2 所以 bn ? ? n ??14 ? ( 1 ) 2 ?1 , n ≥ 2, n为偶数 . ? ? 2

????????????????14 分



1 1 1 bn ? bn?1 ? 1 ,即 ?21? ( ) n?8 ? 1 , ( ) n?8 ? ,所以 n ≥ 13 2 21 2

, b n 为奇数时有, b1 ? b2 ? 1, b3 ? b4 ? 1 ?,11 ? b12 ? 1, b13 ? b14 ? 1, b15 ? b16 ? 1 ,
从而

T2 ? T4 ? ? ? T12 , T12 ? T14 ? ? ,

n 为偶数时,有 b2 ? b3 ? 1, b4 ? b5 ? 1,?, b12 ? b13 ? 1, b14 ? b15 ? 1, b16 ? b17 ? 1 ,
从而

T1 ? T3 ? ? ? T13 , T13 ? T15 ? ?,
? 0, T13 ? 0 ,且 T13 ? b13 ? T12 ? 3T12 ? T12 ,
n

注意到 T12 所以数列

?bn ? 的前 n 项积 T

最大时 n 的值为 13 . ???????????

江苏省启东中学假期作业综合卷二答案 1.

1 ? i ;2. {3,5} ;3.

2

?

;4.

1 ;5. 2;6. 2 ;7. 7500;8. k ? 0 或 k ? 4 ; 7

9. 4;10. 360;11. 9;12. y ? 3

2012

x ? 2 ;13. (1, ) ;14.

5 4

2 3 . 3

15. 解: (1) 则

3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 ,????3 分 2 2 2 6 f ( x ) 的最小值是-2, 最小正周期是 T ? 2? ? ? ; ???7 分 2 f ( x) ?

(2)

f (C ) ? sin(2C ? ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ? ) ? 1 , 6 6
?0 ? 2 ? 2 C ?
,? C

Q0? C ??

?? ? ? 2C ? ? ? 11? 6 6 6



? 2C ? ? ? ? 6 2

??, 3

????10 分 ????11 分 ②

Q sin B ? 2sin A ,由正弦定理,得 a ? 1 ,① b 2
由余弦定理,得 c 由①②解得 a
2

? a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ,即 a 2 ? b2 ? ab ? 3, 3

? 1, b ? 2 .
0

????14 分

16.(1)证明:在 ?ABC 中,∵AC=2BC=4, ?ACB ? 60 ∴

AB ? 2 3 ,∴ AB2 ? BC 2 ? AC 2 ,∴ AB ? BC
BB1 ,
∴ AB ? 面BB1C1C …………5 分

H

由已知 AB ?

又∵ AB ? 面ABE, ABE ? 面BB1C1C 故

G

B

, (2)证明:取 AC 的中点 M,连结 C1M , FM 在 ?ABC 中 FM
而 FM ? 平面ABE , ∴直线 FM//平面 ABE 在矩形 而 C1M ? 平面ABE ,∴直线 C1 M 又∵ C1 M

// AB ,

E M ∴ ACC1 A1 中, 、 都是中点, C1 M // AE

// 面ABE // 面AEB
……………10 分

? FM ? M

∴ 面ABE // 面FMC1 故 C1F

(3)取 B1C1 的中点 H ,连结 EH ,则 EH / / AB 且 EH ? 由(1)

1 AB ? 3 , 2

AB ? 面BB1C1C ,∴ EH ? 面BB1C1C ,

∵P 是 BE 的中点,

∴ VP ? B C F ? 1 1 17. 解: (1)当 x

1 1 1 VE ? B1C1F ? ? S?B1C1F ? EH ? 3 …………………………………14 分 2 2 3

? 0 时,t=0;

当0 ?

x ? 24 时, x ?

1 ? 2 (当 x ? 1 时取等号) , x

∴t

?

x 1 ? 1? ? 1? ? ? 0, ,即 t 的取值范围是 ?0, ? . 1 ? 2? x ?1 x ? ? ? ? 2? x
2

……………………4 分

(2)当 a ?

2 ? 1? ?0, 2 ? 时,记 g ? t ? ? t ? a ? 2a ? 3 ? ?

2 ? ??t ? 3a ? 3 , 0 ? t ? a ? 则 g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ? 1 ? 3 2 ?
∵g

……………………6 分

?t ? 在 ?0, a? 上单调递减,在 ? a, ?
?

1? 上单调递增, 2? ?

且g

? 0? ? 3a ?

2 ?1? 7 1? ?1? ? , g ? ? ? a ? , g ?0? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? . 3 ?2? 6 4? ?2? ?

? ?1? 1 ? 7 1 ?g ? 2 ? , 0 ? a ? 4 ? a ? 6 , 0 ? a ? 4 ? ? ? ? 故 M ?a? ? ? . ?? 1 1 ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? g ? 0? , ? a ? ? 3 4 2 ? ? 4 2 ?
当a

……………………12 分

?

4 时, M ? a ? ? 2 . 9

故0 ? a

?

4 4 1 时不超标,当 ? a ? 时超标.…14 分 9 9 2

?c 2 ? ? ? ?a 2 , ? ?a ? 2 , ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 18. 解: (1)由题设: ? ? 2 ? c ?1 ? ? a ?2 ? c ?
? 椭圆 C 的方程为:

x2 ? y2 ? 1 2

??????? 4 分
2

(2)①由(1)知: F (1,0) ,设 M (2, t ) ,圆 D 方程: ( x ? 1) ? ( y ? ) ? 1 ?
2

t 2

t2 ,? 6 分 4

直线 PQ 的方程: 2 x ? ty ? 2 ? 0 ,

?????? 8 分

? PQ ? 6 ,? 2 (1 ?

t2 )?( 4

2?

t2 ?2 2
2

4?t

)2 ? 6 , ??????? 10 分

? t 2 ? 4 ,? t ? ?2 ? 圆 D 的方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ? 12 分

? t 2 t2 2 ? ( x0 ? 1) ? ( y0 ? ) ? 1 ? ②设 P( x0 , y0 ) , 由①知: ? 2 4 , ? 2 x ? ty ? 2 ? 0 0 ? 0

即: ?

? x02 ? y02 ? 2 x0 ? ty0 ? 0 ? , ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ? 0 ?
2 2 2 2

??????? 14 分

消去 t 得: x0 ? y0 =2 ? 点 P 在定圆 x ? y =2 上.????? 16 分 19.解: (1)在 an
2

? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,
即?

得?

?a1 2 ? S1 , ? ?a 2 2 ? S 3 , ?

?a1 2 ? a1 , ? ?(a1 ? d ) 2 ? 3a1 ? 3d , ?

?????????2 分

解得 a1 又? an

? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1
2 ? 2n ? 1 时, Sn ? n2 满足 an ? S2n?1 ,? an ? 2n ? 1

??????3 分

? bn ?
?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
??????5 分

(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn

? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. ?????????6 分 n n 8 ? 2n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n ????????????????7 分 ? 此时 ? 需满足 ? ? 25 .

??

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn

? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立. ??????????8 分 n n 8 8 ? 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n ????????????????9 分 ? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 . 综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 . ??????????10 分 1 m n , Tn ? (3) T1 ? , Tm ? , 3 2m ? 1 2n ? 1

??

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 由

m2 n m 2 1 n . ?12 分 ? ) ? ( ) ,即 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6n ? 3

m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ? ,可得 ? ? 0 ,即 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 , 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 n m
2

? 1?

6 6 ? m ? 1? 2 2

.又 m ? N ,且 m

? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .

因此,当且仅当 m ? 2 ,

n ? 12 时, 数列 ?Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列……16 分

20. 解: (1) m ? 1 ?

n n n n 时, T ( x) ? e x ( x ? 1 ? )(n ? R) ,? T ?( x) ? e x ( x ? 1) 2 2 2 2

………1 分

① n ? 0 时, T ?( x) ? e x ? 0 , T ( x ) 在 [0,1] 上为增函数,则此时 T ( x) max ? T (1) ? e ;………2 分 当
n 2 2 ② n ? 0 时, T ?( x) ? e x ? ( x ? ) , T ( x ) 在 (? , ??) 上为增函数, 当 2 n n

故 T ( x ) 在 [0,1] 上为增函数,此时 T ( x) max ? T (1) ? e ;

………3 分

n 2 2 2 ③ n ? 0 时, T ?( x) ? e x ? ( x ? ) , T ( x ) 在 ( ??, ? ) 上为增函数,在 (? , ??) 上为减函数, 当 2 n n n 2 2 2 若 0 ? ? ? 1 ,即 n ? ?2 时,故 T ( x ) 在 [0, ? ] 上为增函数,在 [ ? ,1] 上为减函数, n n n
2 ? 2 2 ?2 此时 T ( x)max ? T (? ) ? e n (?1 ? m) ? ? ? e n , n n

若?

2 ? 1 ,即 ?2 ? n ? 0 时, T ( x ) 在 [0,1] 上为增函数,则此时 T ( x) max ? T (1) ? e ; n
2 ? 2 ?n ? ? e , n ? ?2 ?? n ?e , n ? ?2 ?

综上所述: [T ( x)]max

………………6 分

(2) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? 2 x ? m , F ?( x) ? e x ? 2 , 故 F ( x) 在 (0,ln 2) 上单调递减;在 (ln 2, ?? ) 上单调递增; 故 F ( x) ? e ? 2 x ? m 在 [0, 2] 上恰有两个相异实根
x

………………8 分

? F (0) ? 1 ? m ? 0 ? ? ? F (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? m ? 0 ? 2 ? 2ln2 ? m ? 1 ? 2 ? F (2) ? e ? 4 ? m ? 0
(3)由题设: ?x ? R, p( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e ?
x

………………11 分

n 15 , x ? ? 0(? ) 2 2

………………12 分

因为 p?( x) ? e x ?

n n n 故 p ( x ) 在 (0,ln ) 上单调递减;在 (ln , ??) 上单调递增; 2 2 2

n n n n 15 1 n 故( ? ) ? p( x)min ? p(ln ) ? ? ln ? ? (n ? n ln ? 15) ? 0 , 2 2 2 2 2 2 2

………………13 分

设 h( x) ? x ? x ln

x x x ? 15 ? x ? x(ln x ? ln 2) ? 15 ,则 h?( x) ? 1 ? ln ? 1 ? ? ln , 2 2 2

故 h ( x ) 在 (0, 2) 上单调递增;在 (2, ?? ) 上单调递减;而 h(2e 2 ) ? 2e 2 ? 2e 2 ln e 2 ? 15 ? 15 ? 2e 2 ? 0 ,且
h(15) ? 15 ? 15ln 15 15 15 ? 15 ? 15(2 ? ln ) ? 15(ln e2 ? ln ) ? 0 , 2 2 2

故存在 x0 ? (2e2 ,15) 使 h( x0 ) ? 0 ,且 x ? [2, x0 ) 时 h( x ) ? 0 , x ? ( x0 , ?? ) 时 h( x ) ? 0 , 又 ? h(1) ? 16 ? ln
?

15 1 2 ?0,7 ? e ? , 2 2

故 n ? N 时使 f ( x ) 的图象恒在 g ( x ) 图象的上方的最大正整数 n ? 14 ;


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