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学案3逻辑联结词


学案 3
自主梳理 1.逻辑联结词 命题中的 p”记作 .

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

叫做逻辑联结词.“p 且 q”记作

,“p 或 q”记作

,“非

2.命题 p∧q,p∨q,¬p 的真假判断 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假

假 假 p∨q 真 真 真 假 ¬p 假 假 真 真

3. 全称量词与存在量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ,并用符号“?”表示.含有 全称量词的命题,叫做 ,可用符号简记为 ,它的否定 . (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ,并用符号“ ?”表 示.含有存在量词的命题,叫做 ,可用符号简记为 ,它的否定 . 自我检测 1.2. 【2012 高考安徽文 4】命题“存在实数 x ,使 x > 1”的否定是 (A)对任意实数 x , 都有 x >1 (C)对任意实数 x , 都有 x ? 1 (B)不存在实数 x ,使 x ? 1 (D)存在实数 x ,使 x ? 1

2. 【2012 高考辽宁文 5】已知命题 p: ? x1 ,x2? R,(f(x2 ) ? f(x1 )(x2 ? x1 )≥0,则 ? p 是 (A) ? x1 ,x2? R,(f(x2 ) ? f(x1 )(x2 ? x1 )≤0 (B) ? x1 ,x2? R,(f(x2 ) ? f(x1 )(x2 ? x1 )≤0 (C) ? x1 ,x2? R,(f(x2 ) ? f(x1 )(x2 ? x1 )<0 (D) ? x1 ,x2? R,(f(x2 ) ? f(x1 )(x2 ? x1 )<0 3.[2014· 湖南卷] 已知命题 p:若 x>y,则-x<-y,命题 q:若 x>y,则 x >y . 在命 题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q 中,真命题是( A.①③ C.②③ B.①④ D.②④ )
2 2

? ?x+y≥1, 4.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组? 的解集记为 D,有下面四个命题: ?x-2y≤4 ?

p1 :?(x,y)∈D,x+2y≥-2, p2 :?(x,y)∈D,x+2y≥2, p3 :?(x,y)∈D,x+2y≤3, p4 :?(x,y)∈D,x+2y≤-1. 其中的真命题是( ) A.p2 ,p3 B.p1 ,p2 C.p1 ,p4 D.p1 ,p3

5.(2009· 辽宁)下列 4 个命题:

1x 1x p1 :?x∈(0,+∞),( ) <( ) ; 2 3 1 1 p2 :?x∈(0,1),log x>log x; 2 3 1x 1 p3 :?x∈(0,+∞),( ) >log x; 2 2 1 1x 1 p4 :?x∈(0, ),( ) <log x. 3 2 3 其中的真命题是( ) A.p1 ,p3 B.p1 ,p4 C.p2 ,p3 D.p2 ,p4

探究点一

判断含有逻辑联结词的命题的真假

例 1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“¬p”形式的复合命题,并 判断真假. 2 (1)p:1 是素数;q:1 是方程 x +2x-3=0 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直; 2 2 (3)p:方程 x +x-1=0 的两实根的符号相同;q:方程 x +x-1=0 的两实根的绝对值 相等.

变式迁移 1 (2011· 厦门月考)已知命题 p:?x∈R,使 tan x=1,命题 q:x2 -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧¬q”是假命题;③命题“¬p∨q”是真命题; ④命题“¬p∨¬q”是假命题,其中正确的是( A.②③ C.①③④ B.①②④ D.①②③④. )

探究点二
例2

全(特)称命题及真假判断

判断下列命题的真假. 1 (1)?x∈R,都有 x2 -x+1> . 2 (2)?α,β 使 cos(α-β)=cos α-cos β. (3)?x,y∈N,都有 x-y∈ N. (4)?x0 ,y0 ∈Z,使得 2x0 +y0 =3.

变式迁移 2 (2011· 日照月考)下列四个命题中,其中为真命题的是( 2 A.?x∈R, x +3<0 B.? x∈ N,x2 ≥1 C.?x∈ Z,使 x5 <1 D.?x∈Q,x2 =3

)

探究点三
例3

全称命题与特称命题的否定

写出下列命题的“否定”,并判断其真假. 1 (1)p:?x∈R,x2 -x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x∈R,x2 +2x+2≤0; 3 (4)s:至少有一个实数 x,使 x +1=0.

. 变式迁移 3 (2009· 天津)命题“存在 x0 ∈R, 2x0 ≤0”的否定是( A.不存在 x0 ∈R, 2x0 >0 B.存在 x0 ∈R, 2x0 ≥0 C.对任意的 x∈R, 2x≤0 D.对任意的 x∈R, 2x>0

)

1. 【2012 高考湖北文 4】命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 A. 任意一个有理数,它的平方是有理数 B. 任意一个无理数,它的平方不是有理数 C. 存在一个有理数,它的平方是有理数 D. 存在一个无理数,它的平方不是有理数 2. 已知命题 p: ?x∈R, ax2 +2x+3>0, 如果命题¬p 是真命题, 那么实数 a 的取值范围是( ) 1 1 A.a< B.a≤ 3 3 1 1 C.0<a≤ D.a≥ 3 3 3.[2014· 辽宁卷] 设 a,b,c 是非零向量,已知命题 p:若 a· b=0,b· c=0,则 a· c=0, 命题 q:若 a∥b,b∥ c,则 a∥ c,则下列命题中真命题是( ) A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q) 4.已知命题“?a,b∈R,如果 ab>0,则 a>0”,则它的否命题是( ) A.?a,b∈R,如果 ab<0,则 a<0 B.?a,b∈R,如果 ab≤0,则 a≤0 C.?a,b∈R,如果 ab<0,则 a<0 D.?a,b∈R,如果 ab≤0,则 a≤0 5.(2011· 宁波调研)下列有关命题的说法正确的是( ) 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” B.“ x=-1”是“x2 -5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得 x2 +x+1<0”的否定是“?x∈R,均有 x2 +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题 6.(2010· 安徽)命题“对?x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________. 7.已知命题 p:“?x∈R,?m∈R 使 4 x-2x+1 +m=0”,若命题¬p 是假命题,则实 数 m 的取值范围为__________.

学案 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 知识梳理 1.或,且,非 “p∧q p∨q,“¬p.3(1) 、全称量词,全称命题, ?x∈M,
p(x), ?x∈M,¬p(x). (2)存在量词 、 特称命题,?x∈M,p(x), ?x∈M,¬p(x). 自我检测 1-5CCCBD 例 1 解 (1)p∨q:1 是素数或是方程 x +2x-3=0 的根.真命题. 2 p∧q:1 既是素数又是方程 x +2x-3=0 的根.假命题. ¬p:1 不是素数.真命题. (2)p∨q:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p∧q:平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题. ¬p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题. (3)p∨q:方程 x2 +x-1=0 的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题. p∧q:方程 x2 +x-1=0 的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题. ¬p:方程 x2 +x-1=0 的两实根的符号不相同.真命题. 变式迁移 1 解析 命题 p:?x∈R,使 tan x=1 是真命题,命题 q:x2 -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2} 也是真命题, ∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧¬q”是假命题; ③命题“¬p∨q”是真命题;④命题“¬p∨¬q”是假命题.
2

探究点二

全(特)称命题及真假判断

例2 解 (1)真命题, 1 3 3 1 因为 x2 -x+1=(x- )2 + ≥ > . 2 4 4 2 π π (2)真命题,如 α= ,β= ,符合题意. 4 2 (3)假命题,例如 x=1,y=5,但 x-y=-4? N. (4)真命题,例如 x0 =0,y0 =3 符合题意. 变式迁移 2 解析 由于?x∈R 都有 x2 ≥0,因而有 x2 +3≥3,所以命题“?x∈R,x2 +3<0”为假命 题; 由于 0∈N,当 x=0 时,x2 ≥1 不成立,所以命题“?x∈N,x2 ≥1”为假命题; 由于-1∈Z,当 x=-1 时,x5 <1,所以命题“?x∈ Z,使 x5 <1”为真命题; 由于使 x2 =3 成立的数只有± 3,而它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平 方能等于 3,所以命题“?x∈Q,x2 =3”为假命题. 例3 1 解 (1)¬p:?x∈R,x2 -x+ <0,这是假命题, 4 1 12 2 因为?x∈R,x -x+ =(x- ) ≥0 恒成立,即 p 真,所以¬p 假. 4 2 (2)¬q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题. (3)¬r: ?x∈R, x2 +2x+2>0, 是真命题, 这是由于?x∈R, x2 +2x+2=(x+1)2 +1≥1>0 成立. (4)¬s:?x∈R,x3 +1≠0,是假命题,这是由于 x=-1 时,x3 +1=0. 变式迁移 3

答案 D 解析 本题考查全称命题与特称命题的否定. 原命题为特称命题, 其否定应为全称命题, 而“≤”的否定是“>”,所以其否定为“对任意的 x∈R, 2x>0”. 自我达标 1-5BBABD6 ?x∈R,|x-2|+|x-4|≤3 7.m≤1


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